向量与三角形
平面向量与三角形的关系及三角形的性质
平面向量与三角形的关系及三角形的性质平面向量是解决和研究平面几何问题的有力工具，而三角形是平面几何中最基本的图形之一。
本文将探讨平面向量与三角形之间的关系，并介绍一些与三角形相关的重要性质。
一、平面向量与三角形的关系1. 平面向量的定义平面向量是指既有大小又有方向的量。
用带箭头的小写字母表示，如a→，b→等。
平面向量的起点和终点可以是任意点。
2. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对、坐标、自由向量等多种方式表示。
其中，自由向量是指有大小和方向，但起点可以是任意点的向量。
自由向量a→的终点记为A，即a→=OA→。
3. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数乘运算。
加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
4. 三角形的向量表示定理对于三角形ABC，设向量AB→=a→，向量AC→=b→，则有向量AB→+向量BC→=向量AC→。
即a→+c→=b→。
5. 三角形的重要定理（1）质点法分解定理：对于任意三角形ABC，以任意一点O为起点，作向量OA→、向量OB→、向量OC→，有向量OA→+向量OB→+向量OC→=0→。
（2）垂直定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→垂直，则有向量AB→•向量BC→=0。
（3）共线定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→共线，则有向量AB→×向量BC→=0→。
二、三角形的性质1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
2. 三角形的外角定理三角形的任意一个外角等于其他两个内角之和。
即∠D = ∠A + ∠C，其中∠D表示三角形的外角。
3. 三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心，记为G。
重心到三角形各顶点的向量满足质点法分解定理。
即向量GA→+向量GB→+向量GC→=0→。
4. 三角形的垂心三角形的三个高线交于一点，这个点称为三角形的垂心，记为H。
向量与三角形四心的关系
向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。
作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。
一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。
在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
一、线共点问题。
解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。
=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。
因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。
类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。
分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。
(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。
分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。
拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。
向量与三角形
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识得交汇一、四心得概念介绍(1)重心——中线得交点:重心将中线长度分成2:１;(2)垂心-—高线得交点:高线与对应边垂直;(3)内心—-角平分线得交点(内切圆得圆心):角平分线上得任意点到角两边得距离相等;(4)外心——中垂线得交点(外接圆得圆心):外心到三角形各顶点得距离相等。
二、四心与向量得结合(1)就是得重心、证法１:设就是得重心。
证法２:如图三点共线,且分为２:1就是得重心(2)为得垂心。
证明:如图所示O 就是三角形ABC 得垂心,ＢE 垂直AC,A Ｄ垂直B Ｃ, D 、E 就是垂足.同理, 为得垂心 (3)设,,就是三角形得三条边长,O 就是ＡBC 得内心为得内心.证明:分别为方向上得单位向量, 平分,),令()化简得(4)为得外心。
典型例题:例１:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 。
外心B 、内心 C.重心 D 。
垂心分析:如图所示,分别为边得中点、//点得轨迹一定通过得重心,即选、例2:(0３全国理４)就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( B )B D BC DA.外心 B 。
内心 C 、重心 D.垂心分析:分别为方向上得单位向量,平分,点得轨迹一定通过得内心,即选、例3:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 、外心 B.内心 C 。
重心 D 、垂心分析:如图所示AD 垂直BC,BE 垂直AC, D 、E 就是垂足.= ==+=０点得轨迹一定通过得垂心,即选、练习: 1.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则得值为( )Ａ、2 B 、 C.３ Ｄ。
62.若得外接圆得圆心为Ｏ,半径为1,,则( )A 、 B.0 C 。
1 D 、３.点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比就是( )A 、0 B. Ｃ。
向量与三角形四心的一些结论
【一些结论】：以下皆是向量之邯郸勺丸创作1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就暗示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC 内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,延长CO交AB于D,按照向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.需要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,∵O是内心∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO 的延长线相交于M,所以四边形OMAN是平行四边形按照平行四边形法例,得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},按照正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB )+|BC|/(|AC|*2sinC )=0,即AP•BC=0,P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)) OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/ (|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线按照正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,∴点P 过三角形重心.4.OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+λ(ABcosC/|AB |+ACcosB/|AC|)AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP•BC=λ(AB•B C cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]=0,所以向量AP与向量BC垂直,P 点的轨迹过垂心.5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC标的目的上的单位长度向量,向量AB与AC的单位向量的和向量,因为是单位向量,模长都相等,组成菱形,向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心。
向量与三角形四心结合(纯干货)
三角形的“四心”与向量的完美结合知识概述：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结1）O 是ABC ∆的重心0=++⇔OC OB OA ; 若O 是ABC ∆的重心，则,31ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆===故;,0=++OC OB OA 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则,tan :tan :tan ::C B A S S S AOB AOC BOC =∆∆∆故0tan tan tan =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A3）O 是ABC ∆的外心)222OC OB OA ====⇔或 若O 是ABC ∆的外心,则C B A AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=∆∆∆ 故02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是0=⋅=⋅=⋅CB CA OC BC BA OB AC AB OA引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA BC AB ,,的单位向量为321,,e e e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)()()(322131=+⋅=+⋅=+⋅e e OC e e OB e e OAO 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0=++OC c OB b OA a若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故0sin sin sin 0=++=++OC C OB B OA A OC c OB b OA a 或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查【例 1】:O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心【解答】：因为AB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.练习：在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC =_________________.【解答】：点C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使()||||OA OBOC OA OB λ=+=34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-,而||2OC =，可得10λ=，∴10310(OC =-.【例2】：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+=(||BA OB BA ⋅+||CB CB ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心解：||||AB CA AB CA +表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量，由()||||AB CAOA AB CA ⋅+= 0知OA 垂直∠A 的外角平分线，因而OA 是∠A 的平分线，同理，OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线，故选 C .【例3】：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++=0 ，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：∵OB OA AB =+，OC OA AC=+，则()a b c OA bAB cAC++++= 0，得()||||bc AB ACAO a b c AB AC =+++. 因为||AB AB 与||AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，设||||AB ACAP AB AC =+，则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线，知AO 平分∠BAC.同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是△ABC 的内心.【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”AB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形向量定理
三角形向量定理三角形向量定理是解决三角形中各种问题的重要工具。
它将三角形的边和角与向量的数量关系结合起来，使得我们可以通过向量的运算来推导和解决与三角形有关的各种问题。
本文将从三角形向量定理的定义、推导和应用几个方面进行介绍。
我们来看一下三角形向量定理的定义。
三角形向量定理是说，对于任意一个三角形ABC，如果我们以一个点O为原点建立一个坐标系，那么三角形的三个顶点A、B、C对应的向量a、b、c满足以下关系：c = a + b。
也就是说，三角形的一条边的向量等于另外两条边的向量之和。
接下来，我们来推导一下三角形向量定理。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
我们以点O为原点建立坐标系，那么向量a、b、c的坐标分别是(a1, a2)、(b1, b2)、(c1, c2)。
根据向量的加法规则，我们可以得到：c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2。
这就是三角形向量定理的推导过程。
三角形向量定理可以应用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，我们可以利用三角形向量定理来求解三角形的面积。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
根据三角形的面积公式，我们可以得到三角形的面积S等于底边BC的长度与高h的乘积的一半。
而底边BC的长度可以通过向量c的模长来计算，即|c| = √(c1^2 + c2^2)。
而高h可以通过点A到直线BC的距离来计算，即h = |Proj_AB(c)| = |c| * sin(angle(AB, c))，其中Proj_AB(c)表示向量c在向量AB上的投影，angle(AB, c)表示向量AB与向量c之间的夹角。
因此，三角形的面积S可以表示为：S = 0.5 * |c| * |c| * sin(angle(AB, c)) = 0.5 * |c|^2 * sin(angle(AB, c))。
除了求解三角形的面积，三角形向量定理还可以用于判断三角形的形状。
向量在三角形中的应用课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
感谢您的观看。
总结词
04
CHAPTER
向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。
高中数学向量与三角形问题专题辅导
高中数学向量与三角形问题平面向量的应用十分广泛。
由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件。
在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强。
本文就此介绍几例，以供参考一、运用向量知识求三角形面积 例1. 已知△ABC ，AB →=(cos cos )2367°，°，BC →=(cos cos )268222°，°，试求△ABC 的面积。
解：因BA →=--(cos cos )2367°，°，BC →=(cos cos )268222°，°，所以||||BA BC →=→=12，，BA BC →→=--=·°°°·°2236826722cos cos cos cos-=-2452cos °，即-=→2BA ·BC BA BC B →=→→||||cos ，则cos B =-=-21222×， sin B =22，则△ABC 的面积为：1222||||sin BA BC B →→=。
二、运用向量知识判断三角形形状 例 2. 在△ABC 中，()BC CA →→·：()()CA AB AB BC →→→→·：·＝1：2：3，试判断△ABC 的形状。
解：设BC CA k CA AB k AB BC k k →→=→→=→→=·，·，·≠230()，令||BC →＝a ，||CA b →=，||AB c →=。
因BC CA BC CA →→=→→·||||cos()cos π-=-C ab C ，而ab C cos ＝12222()a b c +-，所以a b c k 2222+-=-。
高考数学第01讲向量与解三角形_知识必备(1)(可复印)
1第01讲向量与解三角形·知识必备1. 平面向量的基本概念（1）定义：既有的方向，又有大小的量；表示：a r或AB u u u r ． （2）零向量：大小为0，方向任意． （3）单位向量：大小为1的向量．2. 向量的坐标表示（1）(),x y =a ：把有序数对(),x y 叫做向量a 的坐标，记作(),x y =a ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．（2）(),OA x y =u u u r ：向量OA u u u r 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标，即若(),OA x y =u u u r，则A 点坐标为(,)x y ． （3）()2121,AB x x y y =−−：已知()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =−−，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．3. 向量的模长表示：22x y =+a ；()()221212AB x x y y =−+−u u u r（两点间的距离公式）．4. 向量的加法法则与减法法则：（1）加法法则：三角形法则；平行四边形法则和：首尾顺次相接，首是首，尾是尾； 共起点，补平行四边形，和指对角线．即AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r．即AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ．（2）减法法则：三角形法则． 差：共起点，连终点，指被减，即AC AB BC −=u u u r u u u r u u u r．AADCBA拓展：中点的向量表示：点O 是BC 点的中点，则()12AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r．重心的向量表示：若G 是ABC △的重心，则有GA GB GC ++=0． 5. 向量的共线（平行）定理（1）若λ=b a ，则∥a b ．（2）若∥a b ，且≠0a ，那么，存在唯一一个实数λ，使λ=b a ．（3）设向量()11,x y =a ，()22,x y =b ，则a 与b 共线当且仅当12210x y x y −=． 其中，相等向量：大小相等，方向相同； 相反向量：大小相等，方向相反．且()11,x y =a ，()22,x y =b 相等的等价条件是12x x =，12y y =． 6. 向量的基本定理（分解定理）（1）如果1e ，2e 是一平面内的两个不平行的向量，则存在唯一的一对实数1a ，2a ，使得该平面内的任一向量a ，有1122a a =a e +e ．（2）基底：两个不平行的向量称为基底，基底可以表示任意一个向量． 7. 三点共线的条件：（1）已知O 为平面内任意一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在实数λ，μ且1λμ+=，使OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ．（2）已知O 为平面内任意一点，若存在实数λ，μ且1λμ+=，使OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则A 、B 、C 三点共线．8. 平面向量数量积的定义（1）平面向量数量积的定义：cos ,⋅=a b a b a b ．（2）向量的投影：cos ,a a b 为向量a 在b 方向上的正投影（简称投影），cos ,b a b 为向量b 在a 方向上的正投影．投影可以为正，可以为负，可以为零．9. 向量的夹角：OA =u u u r a ，OB =u u u rb ，则AOB θ∠=()0πθ≤≤叫做向量a 与b 的夹角记作,a b ．（1）当0θ=时，a 与b 同向（共线）． （2）当πθ=时，a 与b 反向（共线）．（3）当π2θ=时，称a 与b 垂直，记作⊥a b ．（4）规定：零向量与任意向量垂直．OD CBACBA310. 平面向量数量积的坐标表示设向量a =()11,x y ，b =()22,x y ，,θ=a b ，则：（1）12x x y y ⋅=+a b ．（2）===a ==b（3）cos x θ==ba b ； （4）a b ⊥当且仅当12120x x y y ⋅=+=a b ．11. 求数量积的方法（1）极化恒等式：①模长形式：()()2214⎡⎤⋅=+−−⎣⎦a b a b a b ；②几何形式：222214AB AC AD BC AD BD ⋅=−=−u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；③适用条件：已知中线，或者构造中线．（2）基底法：①基底：不共线的两个向量称为基底（题目中一般给定长度的向量），基底可以表示任意一个向量； ②适用条件：一般给定向量的模长，以给定模长的向量的为基底，在三角形中找到所有求边，利用三角形法则转化表示所求向量． （3）建系运算：①适用条件：给定模长和角度，即可建系写出坐标；②注意：建系时可求坐标，写准坐标，建系时尽量让点在坐标轴上面．正、余弦定理．（1）正弦定理： ①2sin sin sin a b cR A B C===（R 为外接圆半径）． ②拓展：1）2sin a R A =；2sin b R B =；2sin c R C =． 2）::sin :sin :sin a b c A B C =． 3）2sin sin sin sin a b c aRA B C A ++==++．4）适用条件：两边及一边对角；两角一边．(角的个数不少于边的个数)5）思想：边化角，角化边（等式两边，分式中分子、分母边都是边一次时可以边化角）．DCB（2）余弦定理：①2222cos c a b ab C =+− 222cos 2a b c C ab +−=．②2222cos b a c ac B =+− 222cos 2a c b B ac +−=．③2222cos a b c bc A =+−222cos 2b c a A bc+−=．④变形：2222cos a b c ab C +−=；（补全）⑤适用条件：一边及对角；两边一角；三边．（3）射影定理：cos cos a b C c B =+；cos cos b a C c A =+；（补全） 面积公式．①111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；②4abc S R =；③海伦公式：S =（2a b cp ++=）；④适用条件：用已知角的面积公式． （五）三角形中的诱导公式．①()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=−；()tan tan A B C +=−． ②适用条件：已知角表示未知角。
8由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用
8由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用向量形式的三角形面积公式：考虑一个三角形ABC，其顶点A的坐标为（x1，y1），顶点B的坐标为（x2，y2），顶点C的坐标为（x3，y3）。
我们可以用向量来表示三角形的边向量：向量AB=(x2-x1,y2-y1)向量AC=(x3-x1,y3-y1)通过向量的叉积，我们可以得到一个新向量，该向量的模长就是三角形的面积的两倍。
该向量的坐标为：向量N=(x2-x1,y2-y1)×(x3-x1,y3-y1)根据向量的叉积性质，该向量的模长等于向量AB和向量AC的模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，即：向量N， = ，向量AB × 向量AC， = ，向量AB，× ，向量AC，× sinθ其中，θ为向量AB和向量AC之间的夹角。
因此，三角形的面积S 可以表示为：S=1/2，向量AB×向量AC将向量的坐标带入上式，我们可以得到坐标式的三角形面积公式：S=1/2，(x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)坐标式的三角形面积公式的应用：1.判断三角形的方向：根据坐标式的面积公式，如果面积为正值，那么三角形顶点的排列顺序为逆时针；如果面积为负值，顶点的排列顺序为顺时针。
2.判断三角形是否共线：如果三角形的面积为0，那么三个顶点就共线。
3.判断点是否在三角形内部：假设给定一个点P的坐标为（x，y），通过坐标式的面积公式计算三个小三角形的面积，然后将三个小三角形的面积求和，如果和等于整个三角形的面积，那么点P在三角形内部。
4.计算多边形的面积：将多边形视为若干个三角形的集合，通过坐标式的面积公式计算每个三角形的面积，然后将三角形的面积求和，即可得到多边形的面积。
5.判断线段是否相交：假设我们有两条线段AB和CD，通过坐标式的面积公式可以判断线段AB和CD是否相交。
如果线段AB和线段CD的起点和终点分别位于对方的两侧，且AB和CD的面积有正负号之分，那么线段AB和线段CD相交。
第7讲 向量与三角形
第7讲 向量与三角形基础训练1．[14高考模拟(5)南通学科基地]已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角的正切为－12，b 与c 的夹角的正切为－13，|b |＝2，则a •c 的值为 ． 【解】易得tan C ＝－tan(A ＋B )＝－1，从而sin A ＝55，sin B ＝1010，sin C ＝22，由正弦定理得，|a |＝255，|c |＝2105，故a •c ＝255•2105•22＝45． 2．[11江苏高考预测(一)]在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知S ΔABC ＝332，且b ＝2，c ＝3，O 为△ABC 的外心，则OB →·OC →＝____ __．【解】由S ΔABC ＝332，且b ＝2，c ＝3知，sin A ＝32，因△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3，故a ＝7，故a sin A ＝2R ＝2321，因A ＝π3，故∠BOC ＝2π3，故OB →·OC →＝2321×2321(－12)＝－76． 考点一 利用三角形解决向量问题【例1】【南通市一校四题】在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其中b ＝5，c ＝3，且满足sin 22A －2sin2A sin A ＋cos2A ＝1．⑴．求cos(B －C )的值；⑵．O 为△ABC 的外心，若OA →＝mAB →＋nAC →，求m ＋n 的值．【解】⑴．由sin 22A －2sin2A sin A ＋cos2A ＝1得，cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝23，在△ABC中，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故a ＝7，在△ABC 中，由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，sin B ＝5314，sin C ＝3314，故cos B ＝1114，cos C ＝1314，cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝47/49．⑵．建立直角坐标系得，A (0，0)，B (5，0)，C (－32，32)，O (52，1163)，由OA →＝mAB →＋nAC →得，m ＝－23，n ＝－119，故m ＋n ＝－179． 【练习1】在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C ，所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0． ⑴．求角B 的大小；⑵．若a ＋c ＝5，且a ＞c ，b ＝7，求AB →·AC →的值．【解】⑴．因3a －2b sin A ＝0，故3sin A －2sin B sin A ＝0，因sin A ≠0，故sin B ＝32，又B 为锐角，则B ＝π3；⑵．由⑴知，B ＝π3，又b ＝7，由余弦定理得，b 2＝7＝a 2＋c 2﹣2ac cos π3，整理得：(a ＋c )2﹣3ac ＝7，因a ＋c ＝5，故ac ＝6，又a ＞c ，可得a ＝3，c ＝2，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝714，则AB →·AC →＝|AB→|•|AC →|cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1．【例2】[南京淮安13高三二模13．3]在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，B ＝π3，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD →•BC →＝______________．【解】由余弦定理得，AC ＝7，因BD 是AC 边上的高，故BD ⊥AC ，故BD →•DC →＝0，故BD →•BC →＝BD →•(BD →＋DC →)＝|BD →|2＋BD →•DC →＝|BD →|2．又△ABC 的面积为12AB •BC sin π3或12AC •BD ，故12AC •BD ＝12AB •BC sin π3，故12•2•3•32＝12BD 7，故BD ＝3721，故|BD →|2＝17•27． 考点二 三角形中的条件以向量给出【例3】在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝ ．【解一】由AB →·BC →＝1得，ca cos B ＝－1，又AB ＝c ＝2，故a cos B ＝－12，过点C 作CD ⊥AB ，与AB的延长线交于点D ，则BD ＝12，AD ＝52，故CD ＝1211，故BC ＝3．【解二】由·AB →·BC →＝1得，ca cos B ＝－1，故b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，即9＝a 2＋4＋2，故BC ＝3．【解三】由AB →·BC →＝1得，AB →·(AC →－AB →)＝1，故AB →·AC →－|AB →|2＝1，即AB →·AC →＝5，故a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋4－2×5＝3，故BC ＝3．【练习3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且|AB →|2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →．⑴．判断△ABC 的形状；⑵．若AB →·BC →＝－3，AB →·AC →＝9，求角B 的大小．【解一】⑴．|AB →|2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，即c 2＝bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ，由余弦定理得，c 2＝12[(b 2＋c 2－a 2)＋(c 2＋a 2－b 2)＋(a 2＋b 2－c 2)]，即c 2＝12(a 2＋b 2＋c 2)，化简得，a 2＋b 2＝c 2，即角C为直角，故△ABC 为直角三角形；⑵．由AB →·BC →＝－3知，ca cos B ＝3，即12(c 2＋a 2－b 2)＝12×2a 2＝3，故a ＝3，由AB →·AC →＝9得，bc cos A＝9，即12(b 2＋c 2－a 2)＝12×2b 2＝9，故b ＝3，故tan B ＝b a ＝3，又0＜B ＜π，故B ＝π3．【解二】⑴．由|AB →|2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →得，AB →·(CA →＋AB →)－BC →·(BA →＋AC →)＝0，即AB →·CB →－BC →·BC →＝0，即(AB →＋BC →)·BC →＝0，AC →·BC →＝0，即AC ⊥BC ，即角C 为直角，故△ABC 为直角三角形；⑵．由角C 为直角知，AB →·BC →＝－3，AB →·AC →＝9，即ca cos B ＝3，bc cos A ＝9，即a 2＝3，b 2＝9，故a ＝3，b ＝3，故tan B ＝b a ＝3，又0＜B ＜π，故B ＝π3．【解三】由AB →·BC →＝－3，AB →·AC →＝9得，BA →·BC →＝3，AB →·AC →＝9，即|AB →|2＝12，即c ＝23，考点三 利用向量知识解决三角形问题【例4】点O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝2，若AO →＝xAB →＋yAC →，x ＋2y ＝1，则cos B ＝________． 【解】如图D 为AC 中点，故AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2y (12AC →)，又x ＋2y ＝1，B ，O ，D 三点共线，故AB ＝BC ＝3，则cos B ＝79．【练习4】在△ABC 中，A ＝π6，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB →|2＝|AD →|2＋BD →·DC →，则B ＝ ．【解一】由|AB →|2＝|AD →|2＋BD →·DC →知，|AB →|2－|AD →|2＝BD →·DC →，即(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝BD →·DC →，即(AB →＋AD →＋DC →)·BD →＝0，故(AB →＋AC →)·BD →＝0，即△ABC 的中线与BD 互相垂直，故△ABC 为等腰三角形，故B ＝5π12．【解二】取D 是BC 边的中点，则|AB →|2＝|AD →|2＋BD →·DC →，即|AB →|2＝|AD →|2＋|BD →|2，则∠ADB 为直角，故△ABC 为等腰三角形，故B ＝5π12．考点四 利用向量方法解决三角形问题【例5】在△ABC 中，已知AC ＝3，A ＝π4，点D 满足CD →＝2DB →，且AD ＝13，则BC ＝ ．【解】由CD →＝2DB →知，AD →＝23AB →＋13AC →，则AD →2＝49AB →2＋49(AB →•AC →)＋19AC →2＝13，即AB →2＋322|AB →|－27＝0，解得，|AB →|＝32，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9，故BC ＝2．【练习5】[南通14高三三模]在直角△ABC 中，C ＝π2，AC ＝6，BC ＝4．若点D 满足AD →＝－2DB →，则CD ＝ ．【解一】由AD →＝－2DB →得，CD →＝2CB →－CA →，故CD →2＝4CB →2＋CA →2＝100，故CD ＝10．【解二】以C 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (6，0)，B (0，4)，D (－6，8)，故CD ＝10．练习1．在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝π3，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【解】AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)•(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →•AD →－12AB →2＝1－12－2＝－32．2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝2 3，△ABC 的面积为1543，则BC →•BA →＝ ．【解】由△ABC 的面积为1543知，12bc sin A ＝334b ＝1543，故b ＝5，由余弦定理得，a ＝7，故cos B＝1114，故BC →•BA →＝7×3×1114＝33/2． 3．[海安中学南京外国语金陵中学12高三联合]在△ABC 中，若a ＝2，b －c ＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →＝ ．【解】S ＝12bc sin A ＝3，即sin A ＝23/bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝[(b －c )2－a 2＋2bc ]/2bc ＝(2bc －3)/2bc ，由sin 2A ＋cos 2A ＝1得，(23/bc )2＋[(2bc －3)/2bc ]2＝1，故bc ＝19/4，则cos A ＝1319，故AB →·AC →＝bc cos A＝134． 4．[苏大13考前指导卷(2)]15．在△ABC 中，A ＝2B ，sin B ＝13，AB ＝23．⑴．求sin A ，sin C ； ⑵．求CA →·CB →的值．【解】⑴．sin B ＝13，B 为锐角，故cos B ＝223．sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ＝429．cos A ＝cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝79．sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2327． ⑵．因AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B，AB ＝23，故AC ＝9，BC ＝122．cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－10272．故CA →·CB →＝CA •CB cos C ＝9×122×10272＝－80．5．在△ABC 中，AP 为BC 边上的中线，AB ＝3，AP →•BC →＝－2，则AC ＝_______________． 【解】|BP →|2＝|PC →|2，即(BA →＋AP →)2＝(P A →＋AC →)2，|AC →|2＝|BA →|2＋2AP →•BC →＝5，|AC →|＝5． 6．在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3|BC →|2，求角A ，B ，C 的大小．A BC【解】由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|知，cos A ＝32，故A ＝π6，又由bc ＝3a 2知，sin B sin C ＝3sin 2A＝32，即sin(5π6－C )sin C ＝34，化简得，sin(2C －π3)＝0，又0＜C ＜5π6，则－π3＜2C －π3＜4π3，故2C －π3＝0或2C －π3＝π，故C ＝π6或C ＝2π3，故角A ，B ，C 的大小分别为π6，2π3，π6或π6，π6，2π3． 7．[南通教研室12全真模拟六]已知△ABC 的周长为16，面积为6，且BC ＝6，则AB →·AC →＝ ． 【解】如图，以BC 为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设A (x ，y )，则B (－3，0)，C (3，0)，由题意得，AB ＋AC ＝10＞BC ＝6，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，10为长轴长的椭圆，方程为x 225＋y 216＝1(除与x 轴的两个交点)，由6＝12•6•|y A |得，|y A |＝2，由对称性，不妨取点A (532，2)，则AB →·AC →＝55/4．8．[苏大14考前指导卷⑵]已知△ABC 中，3(CA →＋CB →)•AB →＝4AB→2，则tan Atan B＝ ． 【解】由已知得：3(CA →＋CB →)•(CB →－CA →)＝4AB →2，即3(a 2－b 2)＝4c 2．tan A tan B ＝sin A cos B /cos A sin B ＝a ba 2＋c 2－b 22ac /b 2＋c 2－a 22bc ＝(a 2＋c 2－b 2)/(b 2＋c 2－a 2)＝－7． 9．[扬州13高三上期中12．11]在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，AB →•BC →＝－9，则BC ＝ ． 【解】由AB →•BC →＝－9得，ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)＝9，故a 2＝25，即BC ＝5．10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且(AC →•BC →)/(AB →•BC →)＝(c －3a )/c ．⑴．求sin B ；⑵．若b ＝42，(AB →－BC →)•AC →＝0，求△ABC 的面积．【解】⑴．由题意得，ab cos C /ca cos(π－B )＝(c －3a )/c ，b cos C ＝－(c －3a )cos B ，即sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，则sin A ＝0或cos B ＝13，又A ∈(0，π)，故cos B ＝13，sin B ＝223； ⑵．因(AB →－BC →)•(AB →＋BC →)＝0，|AB →|2－|BC →|2＝0，故|AB →|＝|BC →|，即c ＝a ，因b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，则a 2＋a 2－2a 2×13＝32，故a 2＝24，故S △ABC ＝12ca sin B ＝12×24×223＝82．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1．（第7题图）⑴．求证：A ＝B ； ⑵．求边长c 的值；⑶．若|AB →＋AC →|ABC 的面积．【解】⑴．因AB →·AC →＝BA →·BC →，故bc cos A ＝ca cos B ，由正弦定理得：sin B cos A ＝sin A cos B ，故sin(A －B )＝0，又A ，B ∈(0，π)，故A －B ∈(－π，π)，即A －B ＝0，即A ＝B ；⑵．由AB →·AC →＝1得，bc cos A ＝1，又由余弦定理得，bc •b 2＋c 2－a 22bc ＝1，故b 2＋c 2－a 2＝2，又A ＝B ，则a ＝b ，故c 2＝2，即c ＝2；⑶．由|AB →＋AC →|c 2＋b 2＋2AB →·AC →＝6，故2＋b 2＋2＝6，故b ＝2，故a ＝b ＝c ＝2，即△ABC 为正三角形，故S △ABC ＝32．。
向量的知识点总结和解三角形
向量的知识点总结和解三角形一、向量的知识点总结：1.向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
记作AB或者a，表示从点A到点B的有向线段。
2.向量的表示：通常使用一个有箭头的字母来表示向量。
向量可以用坐标表示法、分解成水平和垂直方向的分量表示法、单位向量表示法等。
3.向量的运算：包括向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
（1）向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
两个向量相加得到的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与两个向量相同。
（2）向量的减法：向量的减法可以看作加上其相反向量，即A-B=A+(-B)。
（3）数乘：数乘指的是向量与一个实数相乘，结果是将向量的大小乘以该实数。
（4）点乘：向量的点乘也称为内积。
计算方法为两个向量各分量相乘后相加，结果是一个数。
两个向量的点乘结果等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值。
点乘的几何意义是一个向量在另一个向量上所投影的长度。
（5）叉乘：向量的叉乘又称为外积。
计算方法是，将两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值相乘，结果是一个向量。
叉乘的几何意义是两个向量所形成的平行四边形的面积的法向量。
4.向量的模长：向量的长度也称为模长，通常表示为，A，表示向量的大小。
5.向量的单位向量：向量的单位向量是指与该向量方向相同，大小为1的向量。
单位向量一般用a^表示。
6.向量的共线与垂直：若两个向量的夹角为0度或180度，则它们共线；若两个向量的点乘为0，则它们垂直。
7.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示法表示。
例如，向量AB的坐标表示为AB=(x2-x1,y2-y1)。
二、解三角形（包括平面三角形和空间三角形）的方法：1.平面三角形的解法：（1）已知两边和夹角：根据余弦定理和正弦定理，可以求得第三边和其他角度的大小。
（2）已知两边和对边夹角：根据正弦定理可以求得第三边的长度。
（3）已知三个角度：根据角度之和为180度，可以推导出三个角的大小，然后利用正弦定理求边长。
向量与三角形的“不解之缘”
含 参 数 的
一
，
一
一
‘／
式 的 舒 法
■ 惠
解含 参 数 的一 元 二 次 不 等式 ， 般需 分 类讨 论 ， 如下 三 种类 有 型： ①讨论开 口； ②讨论判别式 ； ③ 讨论 一元 二次 方 程 的两 根 大小。 分类讨论要合理 ， 到不重不漏。 做 例 １ 解 下 列 关 于 的 不 等 式 一 （ ０＋０ ） ＋ ｎ ＞０ ０∈ （
一
１ ； ｍ＝一２解集 为（ｊ当 ｍ ｝当 ， ２；
０时 ， 集 为 ｛ Ｉ ＜ 一１ ； １ 解 ｝当 ７ １ ，
＝
＞０时 ， 集 为 ｛ ｌ ＞三 ， 解 或 ＜
一
向
１。 ｝ 评 注 ： 题 的 思 路 是 先 讨 论 本
开口， 再讨论￣ Ｎ式 ， － ｌ ｍ 必要时需进
一
、
莉
式解 集 为 ｛ ｌ ＞ 三 ， 或 ＜
， “
一
１ ．向 量 加 法 的 三 角 形 法 则
若 ａ、 ｂ示 两 个 向
图１
１； ｝ ②当 ｍ＜ ０时 ， 于 与 一１ 由
量 ， ａ＋ｂ仍 然是 一个 向量 ， 则 作
商 ：口 ：６ 那么 ： ＋ｂ ， ， ，
小 结 ： 含有 参 数 的一 元 二 解 次不等式 ， 要对 参 数进 行分 类讨 论， 分类 讨 论取 决 于 以下几 个 因 素： （） 判 别 式 Ａ＞０ Ａ＝０和 １由 、 △＜ ０决定解 的情 况 ； （） ２ 比较 判 断含 有参 数 的两 根大小 ； （） ３ 写不 等式 的解 时要 关注 不 等 式 对 应 的 二 次 函数 的抛 物 线 开 口方 向 。 （ 作者单位 ： 河南省 中牟县 第 高级 中学）
向量与三角形四心结论
向量与三角形四心结论在几何学中，向量与三角形的四心结论是一个重要的定理，也是研究三角形内部向量的有用结论。
这一定理指出，如果三角形的三个内角的对应边的中点连接在一起，则这三个内角的乘积等于三个半周长的乘积。
本文将研究“向量与三角形四心结论”。
首先讨论向量与三角形四心结论的定义。
它是指三角形内的三个内角的对应边的中点向量的乘积等于三个半周长的乘积。
用符号表示为：AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，其中，AM是三角形ABC内角A的边BC的中点M的向量，BM是三角形ABC内角B的边AC的中点的向量，CM是三角形ABC内角C的边AB的中点的向量，R是三角形ABC的半径，A、B、C是三角形ABC的内角。
接下来，考虑“向量与三角形四心结论”的证明。
由于中点向量的乘积，可以用调和公式得到：AM * BM * CM = (AB + AC + BC) * (AB + AC - BC) * (AB - AC + BC) * (- AB + AC + BC)，接着，回到原来的公式，AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，从而，就可以用展开二次方程的方法来证明“向量与三角形四心结论”。
最后，讨论“向量与三角形四心结论”的应用。
三角形内向量的乘积是由“向量与三角形四心结论”来确定的，因此，“向量与三角形四心结论”可以用于求解三角形内部向量的乘积。
此外，“向量与三角形四心结论”也可以用来判断三角形是不是等腰三角形，从而帮助我们分析三角形的形状特征。
综上所述，“向量与三角形四心结论”是一个重要的定理，它可以用来研究三角形内部的向量乘积，也可以用来判断是不是等腰三角形，帮助我们分析三角形的形状特征。
相信随着今后的进一步研究，“向量与三角形四心结论”会发挥更大的作用，为几何学的研究和应用提供更多的依据。
向量的三角形法则
向量的三角形法则
夹角θ=cos-1（a·b/|a||b|）
构造向量法则：如果两个向量a和b的（a + b）和（a - b）可以构成三角形，那么它们所成的夹角θ就是(a·b/|a||b|) 。
逆时针构造法则：如果两个向量a和b都指向原点，但方向相反，并且可以
构成三角形，那么他们构成的夹角θ就是π−(a·b/|a||b|)。
向量叉乘法则：如果两个向量a和b的叉乘等于零，那么他们构成的夹角θ
就是π/2或-π/2）。
齐次坐标变换法则：如果两个向量a和b的齐次变换（等于更改了其在空间
中的位置，而不是方向）后可以构成一个以原点为顶点的三角形，那么他们构成的夹角θ就是（a·b/|a||b|）。
向量三角形中线定理
向量三角形中线定理
向量三角形中线定理又称为乘积定理，是向量一阶微分方程等科目中
常用的基本定理。
它指出，三角形三个顶点分别表示的三个向量a，b
和c满足以下条件，两个向量的乘积与第三个向量的乘积之和已知：
1. 乘积定理：两个向量的乘积（或内积）与第三个向量的乘积之和为0，即
a ·
b + b ·
c + c · a = 0
2. 齐次和定理：乘积定理还可推广到齐次和定理，即将讨论的三个向
量全部缩放比例相同，则向量三角形乘积定理仍成立，即
ka · kb + kb · kc + kc · ka = 0（k为非零恒量）
3. 余弦定理：根据功能模型，任两个向量的夹角cosθ由其乘积（内积）定义，这表明两个向量的夹角由其乘积的形式及大小确定，即
cosθ = a · b / （|a|×|b|）
4. 向量差分定理：除上述结论之外，还有关于向量相减的定理，即
b -
c = a - (b + c)
5. 总结：由上述可知，向量具有空间内两个向量线性相关的特性，只
要满足乘积定理，就可以从中求出对数量的表示，以此进行计算。
总的来说，向量三角形中线定理在数学中的运用是非常普遍的，它是
一种基础的定理，在微积分科目以及向量空间中得以推广使用。
因此，在研究向量空间中关于向量相关问题时，熟练掌握这一定理对解决问
题是十分有帮助的。
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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.
证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33
321
321y y y y x x x x
⇔O 是ABC ∆的重心.
证法2：如图
++
2=+=
∴2=
∴D O A 、、三点共线，且O 分AD
为2：1
∴O 是ABC ∆的重心
（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.
证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.
0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA
AC OB ⊥⇔
同理BC OA ⊥，AB OC ⊥
⇔O 为ABC ∆的垂心
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.
证明：b
AC
c AB 、
分别为方向上的单位向量， ∴
b
c +平分BAC ∠, (
λ=∴b AC c AB +)，令c
b a bc
++=λ
B
C
D
∴
c
b a bc
AO ++=
（b c +) 化简得)(=++++c b c b a
∴=++c b a
（4
）==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足
)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，
E D 、分别为边AC BC 、的中点.
AD AC AB 2=+
∴λ2+=
+= λ2=∴
∴//
∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .
例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足+
+=λ，[)+∞∈,0λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
分析：分别为方向上的单位向量，
∴
+
BAC ∠,
∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .
例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足
B C
D
+
+=λ，
[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足
. +
BC ⋅
+
+
=-
=0
∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .
练习：
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．3
D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( ) A ．
21 B ．0 C ．1 D ．2
1
- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形
ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．
23 C ．45 D ．3
4
4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若2
2
2
OB
BC OA =+
2
22+=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则
△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2
，则
ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注！）。