2018-2019唐山一中高三数学(理)一模试卷19.3.5

唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案

一．选择题：

A 卷：CDBAA CDBAC BC

B 卷：CDCAA CDBAB BC

二．填空题： （13）－4

（14）7

（15）2π

（16）33

2

三．解答题： （17）解：

（1）令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1， 所以S n ＝n ，即S n ＝n 2．

当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1适合上式， 所以a n ＝2n －1． …6分

（2）b n ＝(－1)n －1•a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1•2n ＋1n 2＋n ＝(－1)n －

1•(

1n ＋1n ＋1

)

…8分

当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝(

1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…－(1n ＋

1n ＋1

)

＝1－1n ＋1＝n

n ＋1

当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝(

1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(1n ＋

1n ＋1

)

＝1＋1

n ＋1＝n ＋2n ＋1

综上所述，T n ＝⎩

⎨⎧n

n ＋1

，(n 为偶数)，n ＋2n ＋1

，(n 为奇数)． …12分

另解：

T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝(

1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)

＋…＋(－1)n －

1•(

1n ＋

1n ＋1

)

＝1＋(－1)n －1

•1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －

1n ＋1

…12分

（18）解：

（1）因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF ∥BC ， 因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ， 又因为BE ∩PE ＝E ，所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ． …5分 （2）取BE 的中点O ，连接PO ，

由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ，所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，

又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ，所以PO ⊥平面BCFE ． …7分

（2）分别以OB ，OP 所在直线为x ，z 轴，过O 且平行BC 的直线为y 轴建立空间直角坐

标系，则P (0，0，3) ，C (1，4，0)， F (－1，2，0)

．

PC →＝(1，4，－3)，PF →＝(－1，2，－3)

设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则

⎩⎪⎨⎪⎧PC →·m ＝0，PF →·m ＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3z ＝0，－x ＋2y －3z ＝0， 则m ＝(－1，1，3)，

易知n ＝(0，1，0)为平面PBE 的一个法向量， cos 〈m ，n 〉＝

－1⨯0＋1⨯1＋3⨯0(－1)2＋12＋(3) 2

＝ 1

5＝5 5，

所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值5

5． …12分 （19）解：

（1）当k ＝

1 2时，直线l ：y ＝

1

2(x ＋4)即x －2y ＋4＝0．

此时，直线l 与抛物线C 相切，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0

y 2＝2px

得y 2－4py ＋8p ＝0，

由∆＝0即16p 2

－32p ＝0，得p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x ． …5分 （2）直线l ：y ＝k (x ＋4)，其中k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋4)y 2＝4x

得：ky 2－4y ＋16k ＝0，由∆＝16－64k 2＞0知：k 2＜

1

4．

根据韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝

4

k ，

y 1y 2＝16，

…①

又A 为PB 的中点，得：y 1＝

1

2y 2， …②

由①②得：k 2＝

2

9，符合∆＞0，

所以|AB |＝

(

1＋1k 2)

[(y 1＋y 2)2

－4y 1y 2]＝4(1＋k 2)(1－4k 2)k 2

＝211. …12分 （20）解：

（1）分层抽样.

…2分 （2）将列联表中的数据代入公式计算得

K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(40×50－100×10)

2

140×60×50×150

≈3.175＞2.706，

所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． …6分 （3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记

顺利的概率为 4 5，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 2

3． X 可取0，1，2，3，4．

P (X ＝0)＝

1 5×(

1 3)

3＝ 1 135， P (X ＝1)＝

4 5×(

1 3)

3＋

1 5×C 13

× 2 3×(

1 3)

2＝ 10

135，

P (X ＝2)＝

4 5×C 13× 2 3×(

1 3)

2＋

1 5×C 2

3

×( 2 3)

2×

1 3＝ 36

135，

P (X ＝3)＝

4 5×C 23×( 2 3)

2×

1 3＋

1 5×(

2 3)

3＝ 56 135，P (X ＝4)＝

4 5×( 2 3)

3＝ 32

135．

X 的分布列为：