外接球与内切球问题

立体图形的外接球与内切球问题

一、基础知识与概念：

1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面．

3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+．

4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体）

模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球包 直柱

球径公式：2

22h R r

⎛

⎫

=+ ⎪⎝⎭

， （r 为底面外接圆半径）

球包正方体

球包长方体

球包四棱柱

球包三棱柱

球

包直锥

三棱锥

四棱锥

r

速算

模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥

球径计算方程：()2

2

2

h R r R -+=22

22

202h r h hR r R h

+⇒-+=⇒=，

（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地，

（1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________．

（2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________． （3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________． 例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A ．

B ．

C ．

D ．

π34

π2

π4

π

【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1h =，1R =，底面半径为r ，则由2

2

2h R r ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

得：2

2

2213124r r ⎛⎫

=+⇒=

⎪⎝⎭

，234V r h ππ==．

2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的

表面积为

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，h a =，33r a =，2

22222724312h a a a R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭

， 所以该球的表面积22

2

7744123

a a S R ππ==⨯=．答案B ． 3．（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面

积为

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，4h =，22

22r =

=，则221629284

h r R h ++===， 所以2818144164

S R π

ππ==⨯

=

，答案：A ． 4．（2013年全国卷I 第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个

球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A ．35003cm π

B ．38663cm π

C ．313723cm π

D ．320483

cm π

【解析】设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =，球与正方体上表面相交圆的半径4r =，有：()2

222R r R -+=，

2454r R +⇒==，所以球的体积3450033

V R ππ

==

． 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．

两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心．

例2：1．已知边长为23的棱形ABCD 中，60∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π

D ．32π

a 2

a π2

73

a π2

113

a π2

5a π814

π16π9π274

π

2．在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为___________．

3．在边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线将菱形折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为_____________．

四、正多面体的内切球（体中球）

锥体的内切球： R =____________．

圆锥的内切球：

R =

边长为a 的正方体： 2

a R =

等边圆柱（母线a ）：

R =

2

a ． 边长a 的正八面体：

R =

五、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球）

正四面体边长为a ，球半径R =

正方体边长为a ，球半径R =

正四面体边长为a ，球半径R =

例3：1．一个球的外切正方体的全面积为，则球的体积为_________．

2．某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______．

3．（2016年全国卷III 第10题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，

8BC =，13AA =，则V 的最大值是

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，有()13

681068222

AA R R ++=⨯⇒=>=，故当球半径为

32时球的体积最大为344273382

V R π

ππ9==⨯=．答案B ． 练习：

1．（2015年全国卷II 第9题）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 A ． B ． C ． D ． 2．（2016年福建漳州市5月质检）三棱锥S ABC -中，SB ⊥平面ABC ，5SB =

，ABC ∆是边长为3的正三角

形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．5π C ．9π D ．12π 3．（2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．（2013年辽宁卷理10）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，

111ABC A B C -4π92

π

6π323

π

A B O 90AOB ∠=︒C O ABC -O 36π64π144π256π