浅谈数轴在初中有理数教学中的运用

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初中数学知识归纳数轴与有理数的关系

初中数学知识归纳数轴与有理数的关系数轴是一个用于表示实数的直线，并在直线上标明零点和单位长度。

在初中数学中，我们学习了数轴的基本知识，并将其与有理数进行了关联。

本文将就数轴与有理数的关系进行归纳总结。

一、数轴的构造数轴由一条直线构成，上面标有一系列点和刻度。

我们通常将其中一个点标记为零点，然后按照相等的长度单位在零点的两侧标记其他点。

例如，在零点的右侧标记1、2、3，左侧标记-1、-2、-3，便可构成一个简单的数轴。

二、数轴上的有理数在数轴上，我们可以找到有理数。

有理数包括整数、分数和零。

整数位于数轴上的整数点，分数位于两个整数之间的点，零位于零点处。

例如，整数2位于数轴上与零点距离为2个单位的点上，分数1/2位于数轴上1和2之间，零位于数轴上的零点。

三、数轴上有理数的排序在数轴上，我们可以根据有理数的大小对其进行排序。

较大的数位于较右侧，较小的数位于较左侧。

例如，整数3位于整数2的右侧，分数1/2位于整数1和整数2之间。

四、数轴上有理数的比较通过观察数轴上两个有理数所处的位置，我们可以进行有理数的比较。

如果一个有理数位于另一个有理数的左侧，则前者较小；如果一个有理数位于另一个有理数的右侧，则前者较大。

例如，整数5位于整数-2的右侧，因此5大于-2。

五、数轴上有理数的运算数轴也可以帮助我们进行有理数的加减运算。

当我们要计算两个有理数之和时，可以在数轴上找到第一个数，然后向右移动相应的单位距离，即可找到和。

同样，当我们要计算两个有理数之差时，可以在数轴上找到第一个数，然后向左移动相应的单位距离，即可找到差。

六、数轴上有理数的表示数轴也可以帮助我们表示有理数。

例如，对于数轴上的整数点，我们可以使用这些点来表示整数。

如果我们需要表示一个分数，可以找到一个整数和一个相等的整数点，然后使用这两个整数点之间的所有点来表示分数。

例如，分数1/2可以通过整数0和整数1之间的所有点来表示。

综上所述，数轴是初中数学中重要的工具之一，可以帮助我们理解和运用有理数。

试析数轴在初中数学教学中的应用

试析数轴在初中数学教学中的应用摘要：数轴让“数”与“形”更好地结合在了一起，化抽象为具体，让数据关系具有了直观的几何意义。

在解答初中阶段遇到的数学问题的过程当中，通过数轴的方式来解答，可以将原本比较抽象的问题变得直观，使复杂的问题简单化。

关键词：数轴初中数学数形结合在初中数学当中数轴是十分重要的数学概念，同时也是数形结合最早的例子。

在初中数学教学过程当中，合理地利用数轴的思想来开展教学，不但可以让学生更加深入地理解数学概念，而且能够有效地培养学生独立思考和解决问题的能力。

本文深入分析了数轴的概念，并探讨了数轴在初中数学中的应用。

一、数轴的定义数轴是具有单位长度、原点以及正方向的直线。

这三个是数轴的基本要素，缺少了任何一个要素都不能称之为数轴。

数轴能够直观地将数表示出来，全部有理数都能够用数轴上的点代替，然而这并不意味着数轴上的点代表的全都是有理数。

在数轴上不连续的点代表的是有理数，除有理数之外，数轴上还有无理数，有理数与无理数加在一起就组成了整个数轴，因此，数轴上的点与实数是一一对应关系，也可以说成是数轴上的一个点就代表了一个实数。

二、数轴的应用1.有理数大小比较中的应用。

在初中数学当中我们知道了一个与数轴有关的结论：数轴左边的数字在大小上永远小于右边的数字。

因此，我们可以通过这个结论来区分两个有理数的大小。

除此之外，一般在比较两个代数式的大小，并且代数式含有字母的时候，我们假设两个代数式相等得出字母的具体数值，之后在数轴上表示出两个代数式所对应的点就可以得到答案。

2.体现数形对应关系的应用。

有理数可以通过数轴上的点来表示，能够形成一一对应的关系，并且都是唯一的，与此同时无理数也可以通过数轴上的点来表示。

一部分学生可能对这两个概念理解起来比较困难，此时教师就可以利用数形结合的方式来帮助学生更好地理解这两个概念。

比如，可以在数轴上表示出相应的点，作两个直角三角形，它们其中的一条边分别为一个单位长度和三个单位长度，然后以数轴的原点作为原心，将直角三角形的斜边作为半径画圆，与数轴的正半轴有一个交点，这个点就是直角三角形斜边对应的大小，根据这种方式，可以画出无理数在数轴上所对应的点，并且都是唯一的，利用这种数形结合的方式能够将抽象的有理数变得具体化，让学生能够更加透彻地理解有理数和无理数的概念和知识。

数轴在初中数学解题中的应用

数轴在初中数学解题中的应用数轴在初中数学解题中是一个非常重要的辅助工具，它帮助学生将抽象的数学问题转化为具体的可视化问题，更容易理解和解决。

数轴在初中数学解题中的应用包括数线图的绘制、数的比较、数的运算、方程等各个方面。

下面将分别介绍这些应用。

一、数线图的绘制数线图是数轴上标出了若干数，并画出它们之间的相对位置。

在初中数学中，常常需要绘制数线图来表示一些数的关系，比如表示一组数的有序性、相对大小、相对位置等。

通过绘制数线图，学生可以直观地了解数的大小及其相对关系。

例如，给定一组数{2, 5, 9, 3}，要求将这些数按从小到大的顺序绘制在数线图上。

首先确定数轴的刻度，并标出2、3、5、9这四个数。

然后按照要求，将这些数绘制在数轴上，并连接它们之间的位置关系。

这样，学生可以清晰地看到这些数的大小和相对位置。

二、数的比较在进行数的比较时，数轴可以帮助学生直观地理解和比较数的大小关系。

通过数轴上的刻度和标记，学生可以很容易地在数轴上找到相应的数，并比较它们之间的大小。

例如，给定两个数a=3和b=5，要求判断a和b的大小关系。

学生可以在数轴上标出这两个数，并比较它们之间的位置关系。

由于b所在的位置在a的右侧，所以可以判断b大于a，即b>a。

三、数的运算在进行数的加减乘除运算时，数轴可以帮助学生直观地理解运算的过程和结果。

通过在数轴上绘制相应的数，学生可以很容易地进行运算，尤其在负数和分数的运算中更为有效和直观。

例如，计算-3+4的结果。

首先在数轴上标出-3，并向右移动4个单位，找到最终的位置。

可发现最终的位置是1，因此-3+4=1。

四、方程在解一元一次方程时，数轴可以帮助学生直观地展示方程的解，并帮助理解方程的解集。

例如，解方程x+2=5。

首先在数轴上标出2和5这两个数，然后找到使得x+2=5的数，即在数轴上找到x的位置。

通过观察，可以发现x 的位置是3，因此方程的解是x=3。

除了以上几个应用，数轴还可以用于解决一些几何题、概率问题、统计问题等。

数轴在有理数概念教学中的应用

二二
又是分数，称为正分数；相反ｂ既是负数
又是分数，我们称为负分数。对于数轴上的原点表示的数字０，它既不是正数也不是负数。
度较大。因此教师要引导学生全面地理解和掌握绝对值的概念。
结合恰恰可以缓解概念学习中的乏味，它将“ 数” 的抽象直观地呈现在“ 形” 的载
体上，化抽象为具体，有利于学生构建新的数学逻辑。数轴作为数与形在初中数学中的首次 “ 碰撞 ” ，它在概念的学习中可以发挥积极的作用。
一
引人数轴后，正负分数的归属有了直观的认识，以数轴上的 “ ０ ” 点为分界
概念的教学中起到了积极的作用。它化繁为简、化抽象为具体，培养了学生数形
结合的数学思想。（责编林剑）
４ — ３— ２—１０１２３４
图１
图２
如图１所示，数轴使得数和点建立了对应关系，并将正数与负数这对相对的概念在数轴中表现出来：在数轴中位于
点， “ 左归负，右归正 ” 极为贴切地反映出各个概念所表述的数字的含义及特点，
０
图３
如图３所示，一个正数ａ的绝对值是
、
借助数轴来理解正负数概念
课本中对正数和负数的概念讲解主
要采用对比的方式，准确地理解正数与
好概念有助于数学逻辑的养成。但是数学中的相关概念是数学知识的高度提

中考数学复习指导：数轴在初中数学中的作用.doc

数轴在初中数学中的作用数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，是数与形结合的基础，在数学中占有重要的地位，它是学习有理数的一条主线，它与相反数、绝对值等有密切的联系，下面仅结合有理数的有关概念, 谈谈它的“主线”作用。

一、从数轴上看正负数例1.如图1所示，在数轴上有三个点A、B、C,请回答：A B C111111111〉-4-3-2-101234图1（1）将B点向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（2）将A点向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（3）将C点向左移动6个单位后，这吋B点表示的数比C点表示的数大多少？（4）怎样移动A、B、C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？解：（1）因为将B点向左移动3个单位后，点B表示一5,而点A表示一4,点C表示3,因此点B 表示的数最小，是一5；（2）将A点向右移动4个单位后，点A表示0,点B表示一2,点C表示3,因此点B表示的数最小，是一2；（3）将C点向左移动6个单位后，C点表示数一3, A点表示数一4, B点表示数一2,所以B点表示的数比C点表示的数大lo（4）使三个点表示的数相同共有三种移动的方法。

第一种：把点A向右移动2个单位，点C向左移动5个单位；第二种：把B点向左移动2个单位，C点向左移动7个单位；第三种：把A点向右移动7个单位，B点向右移动5个单位。

二、从数轴上看相反数数a的相反数表示为-a。

在数轴上表示互为相反数（除0外）的两个点，分别在原点的两旁，且离开原点的距离相等，女H+2.5和-2. 5所对应的点分别在原点的右边和左边，且离开原点的距离都为2. 5。

依据相反数的这一几何特征，更能识别和掌握相反数。

三、从数轴上看绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.一个数a的绝对值记作aI ”，I a |就是数轴上表示数a的点到原点的距离。

数轴在初中数学解题中的应用

数轴在初中数学解题中的应用数轴作为一种简单的几何图形，在初中数学学习中扮演着重要的角色。

以下是数轴在初中数学解题中的一些应用：直观表示数：数轴可以用来表示实数，包括有理数和无理数。

通过将数轴上的点与实数一一对应，可以帮助学生理解数的概念，比较数的大小，并解决与数相关的计算问题。

理解方向和位置：数轴可以帮助学生理解方向和位置的概念。

在数轴上，向右表示正方向，向左表示负方向。

通过在数轴上标注出点的位置，可以直观地表示出点的坐标，从而解决与位置相关的几何问题。

解决追击相遇问题：数轴可以用来解决追击相遇问题。

通过在数轴上标注出物体的位置，可以直观地表示出物体的运动轨迹和相对位置，从而帮助学生解决追击相遇问题。

理解不等式关系：数轴可以帮助学生理解不等式关系。

实数轴上，左边的数比右边的数小。

通过将不等式中的未知数标注在数轴上，可以直观地表示出不等式的关系，从而帮助学生解决不等式问题。

辅助作图：数轴可以辅助作图。

例如，在画函数图像时，可以通过在数轴上标注出点的位置来辅助作图。

综上所述，数轴在初中数学解题中具有多种应用，可以帮助学生直观地表示数、理解方向和位置、解决追击相遇问题、理解不等式关系以及辅助作图等。

以下是一些数轴在初中数学解题中的具体应用例子：比较数的大小：例如，比较-3和2的大小，可以直接在数轴上找到这两个数，然后观察它们的位置。

由于-3在2的左边，所以-3小于2。

确定点的位置：例如，有一个点P，其坐标为x。

我们需要在数轴上找到这个点P的位置。

通过将点P的坐标与数轴上的坐标一一对应，可以直观地找到点P的位置。

解决追击相遇问题：例如，有两个物体A和B在数轴上相向而行，A的速度为v1，B 的速度为v2。

我们需要找出它们相遇的时间。

通过在数轴上标注出A 和B的位置，并观察它们的相对位置和运动轨迹，可以找出它们相遇的时间。

解决不等式问题：例如，解不等式2x > 3。

我们可以将x的取值范围标注在数轴上，然后观察哪些区间的x值满足不等式2x > 3。

标题初一数学课教学文案数轴与有理数

标题初一数学课教学文案数轴与有理数初一数学课教学文案：数轴与有理数引言：在初中数学课程中，数轴与有理数是一个非常重要的知识点。

理解数轴与有理数的概念，能够帮助学生建立对数学概念的整体认识，并能够运用数轴解决实际问题。

本文将以初一数学课教学为背景，探讨如何有效地教授数轴与有理数的相关内容。

一、数轴的引入1. 数轴的定义数轴是一个直线上的图形，用来表示数与数之间的大小关系。

数轴通常包括一个原点、一个单位长度与正方向。

通过数轴，我们可以直观地理解数的相对大小和位置。

2. 数轴的绘制与标记通过在纸上画一条直线，并标记出原点以及单位长度，我们就可以绘制一个数轴。

为了方便，我们通常将数轴上的整数点标记出来，以便于数的表达与比较。

例子：请同学们在纸上绘制一个数轴，并标记出-5、0、2和7这几个整数点。

二、有理数的概念与表示方法1. 有理数的定义有理数包括正数、负数和零，可以用两个整数的商来表示。

有理数以分数的形式表达，其中分子表示正负和大小，分母表示单位。

2. 有理数的分类有理数可以分为整数和分数两大类。

整数是分母为1的有理数，例如2、-3；而分数则是分母不为1的有理数，例如1/2、-5/3。

例子：请同学们列举出一些有理数，并判断它们属于整数还是分数。

三、数轴上的有理数表示1. 正数和负数数轴上，我们用右侧的正方向表示正数，用左侧的负方向表示负数。

原点则表示零。

通过数轴，同学们可以直观地了解正数、负数和零的相对大小和位置。

2. 数轴上有理数的标记在数轴上，我们可以将有理数的表示方法与数轴的标记相结合。

正数、负数和零分别标在数轴的相应位置上。

例子：请同学们将之前列举的一些有理数表示在数轴上，并判断它们的相对大小。

四、数轴上的有理数运算1. 有理数的加法与减法通过数轴，我们可以直观地理解有理数的加法与减法。

对于有理数的加法，我们可以将数轴上的有理数向右移动；对于减法，则是向左移动。

通过这种移动的方式，我们可以很直观地理解加法与减法的操作。

数轴在初中数学教学中的妙用

数轴在初中数学教学中的妙用江苏省盐城多伦多国际学校高黄星数轴在初中数学教学中的应用，不仅能提高学生的学习兴趣，还能使学生对数学知识理解透彻。

在解决数学习题的过程中，也能有效应用数学要点。

本文回顾了教师在数学教学中应用数轴的相关场景，以加强对数学知识的理解，大大提高对数学知识的掌握能力。

一、数轴概念分析数轴主要是指具有指定原点和正方向，单位长度的直线，称为数轴。

数轴的定义离不开单位长度、原点和正方向，三者缺一不可。

数轴不仅可以直观的显示数字，任何有理数都可以在数轴上找到自己的位置。

但是，换一种说法，数轴上的点并不代表都是有理数。

此外，数轴上代表有理数的点也反映了不可持续性。

只有把有理数和无理数有效地结合起来，数轴才能被覆盖，才能保证数轴上的每一点都有对应的实数。

二、数轴思想初中数学教学过程中，数轴可谓是相对重要的概念之一，它的应用有助于培养学生的学习兴趣，同时在学习过程中掌握正确的方法与技巧。

著名数学家华罗庚曾提出：“数形结合百般好，隔离分家万事休。

”这就意味着数形结合思想对于学生学好数学的影响较大。

很多时候，数学知识极其抽象，学生很难将抽象的知识具体化，而图形的表达较为直观，学生可将两者有效结合，对问题透彻分析，从而深入理解，掌握并有效利用知识，真正做到学以致用。

数轴思想与数学结合思想相似，它是以数轴的形式展现各类数字，使问题更加简单、清楚。

如若学生在学习过程中遇到较难的问题，那么就可利用数轴思想，将其细分为多个小问题，并按步骤解决，从局部入手突破整体，提高问题的解决效率。

总而言之，如果学生在学习过程中掌握数轴思想，对其心领神会，那么必然会提高学生独立自主解决问题的能力，逐步形成数学思维。

数轴在初中数学教学中的妙用 3数轴在初中数学教学中的应用，不仅可以提高学生应用数学知识的能力，而且有助于改变学生的学习观念，形成正确的学习方法。

值得一提的是数轴在初中数学教学中的应用优势是明显的。

作为一种非常有代表性的数学辅助工具，它不仅可以表示绝对值、正数和负数，还可以表示相反数。

浅议数轴在初一数学解题中的应用

０ｌ２＾矗７８
图７
与口＋ｃ的大小。
ｃ０６ａ
如图所示，观察数轴可知３ａ＝７８ —１２，解得口＝２２
’ 答：父子相差２２岁。在进行“ 一元一次不等式和一元一次不等式组 ” 教学时，为深化学生对不等式解集的理解，教学中教师要经常性的把不等式的
语数外学习
Ｎ０．０２．２０ｌ３
ＹｕＳｈｕＷａｉＸｕｅＸｉ
２０１３年第２期
浅议数轴在初一数学解题中的应用
方舟
（吴江市松陵第一中学校，江苏苏州
２１５２００）
摘要：无论是在学习有理数的加法法则、还是在理解绝对值的几何意义、抑或是学习不等式和不等式组的解集概念时引导学生利用数轴，进而培养他们的数形转换能力。利用数轴解题，可以起到化难为易，化繁为简的作用。“ 数形结合、借图助解 ” 的思想，是我们研究数学问题常用的思维方法。下面举例说明“ 数轴” 这个重要工具在解题中的灵活运用。关键词：数轴；数学解题；应用中图分类号：ｔ３６３３文献标识码：Ａ文章编号：１００５ — ６３５１（２０１３）－０２ — ００６３一Ｏ１
西商场
一
学校
青少年官
医院东
３００— ２００一ｌ０００ｌ００２００３００４００５００

数轴在初中数学学习中的应用

数轴在初中数学学习中的应用作者：李树坚来源：《大东方》2019年第05期摘要：数轴是初中数学教学内容的重要组成部分，也是初中生学习数学必然掌握的知识，提高数轴教学应用的效率，才能帮助学生巩固数学知识，发展数学能力。

本文结合笔者多年的初中数学教学经验，探讨数轴在初中数学学习中的应用，以供参考。

关键词：数轴;初中数学;学习应用数轴是初中数学知识体系的重要组成内容，在开展初中数学教学过程中，教师要有意识地引导学生利用数轴理解数学知识，解答数学难题，才能锻炼学生的数学思维，提高学生的解题能力。

1.数轴在初中数学学习中的应用优势1.1将数轴知识应用于解题中有助于加强学生对题目条件的整合伴随着新课改的推广与实施，当前初中数学教学要求培养学生的逻辑能力与综合能力，锻炼学生的数学学习思维，因此数轴知识必然成为学生学习的重点。

引入数轴概念后，学生不但能更清晰地了解负数、零、正数之间的关系，还能利用数据简化和分析数学问题，重新罗列数学问题的已知条件，整合知识内容，对学生掌握数学知识有着重要的促进作用[1]。

1.2将数轴知识应用于解题中有助于帮助学生分析数学解题过程通过利用数轴知识，很多数学题目中的数字关系变得更为清晰，学生利用数轴分析数学题目，引导其思维向多元化发展，由各个数学条件整合分析，避免重要知识点的遗漏，这样的过程是学生不断补充知识体系和完善自我的过程[2]。

因此，在数学教学过程中，教师要善于利用数轴知识，积极引导学生尝试应用解答难题。

2.数轴在初中数学学习中的实践应用2.1利用数轴比较有理数大小学习数轴知识后学生得知，数轴左边的数始终比右边的数小，因此教师可以利用这个结论指导学生比较有理数的大小。

常见的如数轴左边为负数，右边为正数，确定任意的两点A与B，右边的值必然大于左边，这是简单的一类有理数大小比较。

另外，数轴还可以应用在含有字母的代数式值大小比较上，比如教师选择两个代数式值相等的字母值，在数轴上画出这些值对应的点，最后通过分段比较数轴上的点的大小。

让初中生轻松驾驭数轴认识有理数与实数

让初中生轻松驾驭数轴认识有理数与实数在数学学科中，数轴是一个非常重要且基础的概念，它可以帮助我们更好地理解和运用有理数与实数。

对于初中生而言，理解数轴并轻松驾驭有理数与实数是非常关键的。

本文将为初中生介绍数轴的认识以及有理数与实数的概念，以帮助他们更好地掌握数学知识。

一、数轴的认识数轴是一个直线上由原点起向两边无限延伸的线段。

我们可以将数轴分为左侧和右侧两个部分。

原点处是0，向右边逐渐增加的部分表示正数，向左边逐渐减小的部分表示负数。

数轴上的每个点都与一个数相对应，可以将它们一一进行对应。

初中生可以通过以下步骤来认识数轴：1. 在纸上画一条直线，并在中间标出一个点作为原点；2. 在原点的右边画一个箭头，表示正数方向，即数值逐渐增大的方向；3. 在原点的左边同样画一个箭头，表示负数方向，即数值逐渐减小的方向；4. 利用刻度线，在数轴上标出一些有序数，如-3、-2、-1、0、1、2、3等。

通过这种方式，初中生可以直观地看到数轴上的有序数，并且可以通过数轴上的位置来确定数的大小关系。

数轴的认识是掌握有理数与实数的基础。

二、有理数的认识有理数是可以用一个整数除以另一个非零整数得到的数。

有理数包括整数、分数和小数。

在数轴上，有理数即为数轴上的所有点。

对于初中生来说，掌握有理数的概念及其性质十分重要。

有理数的性质：1. 有理数可以进行加、减、乘、除运算，并且结果仍然是有理数；2. 不为零的有理数之间可以进行大小比较；3. 有理数都可以用分数的形式表示。

初中生可以通过数轴来理解有理数的概念和性质。

例如，当初中生要找到-3和2之间的所有有理数时，他们可以将-3和2在数轴上标出，并在它们之间画一条线段，这样就找到了-3和2之间的所有有理数。

三、实数的认识实数是包括有理数和无理数的所有数的集合。

有理数和无理数的区别在于无理数不能表示为两个整数的比值。

例如，根号2、圆周率π等都是无理数。

相比于有理数，初中生可能对实数的概念和性质了解得相对较少。

数轴与有理数的认识

数轴与有理数的认识数轴是一种重要的数学工具，它能够帮助我们更好地认识和理解有理数。

在本文中，我将介绍数轴的概念以及如何使用数轴来表示和比较有理数。

一、数轴的概念数轴是一条直线，用来表示不同数值之间的关系。

它通常是水平放置的，中间有一个起点，可以向左右两个方向延伸到无穷远。

数轴上的每个点都对应一个数值，这个数值称为该点的坐标。

在数轴上，我们可以将所有的正整数、负整数和零以及它们之间的分数都表示出来。

数轴上离起点越远的点代表的数值越大，离起点越近的点代表的数值越小。

二、使用数轴表示有理数有理数包括整数、分数和零。

我们可以用数轴来表示这些有理数，并且可以通过比较它们在数轴上的位置来判断它们的大小关系。

对于整数来说，我们可以将它们表示在数轴上的某个点上。

例如，0、1、-1可以分别表示在数轴上的原点、1单位距离右侧和1单位距离左侧。

如果要比较两个整数的大小，只需要比较它们在数轴上的位置即可。

对于分数来说，我们可以将它们表示在数轴上的某个位置上，方法是将数轴等分为若干等份，然后将分数所在的位置表示出来。

例如，1/2可以表示在数轴的0点和1点之间的中点处。

三、比较有理数的大小通过数轴，我们可以很方便地比较有理数的大小。

如果两个有理数在数轴上的位置相同，那么它们相等；如果一个有理数的位置在另一个有理数的右侧，那么前者比后者大；如果一个有理数的位置在另一个有理数的左侧，那么前者比后者小。

例如，如果比较-2和-3的大小，我们只需要在数轴上找到它们对应的位置，发现-2在-3的右侧，所以-2比-3大。

四、有理数的加减运算在数轴上，我们可以使用移动的方式进行有理数的加减运算。

假设要计算-2 + 3，我们可以先在数轴上找到-2，然后向右移动3个单位距离，即可得到结果1。

同样，如果要计算-2 - 3，我们可以先在数轴上找到-2，然后向左移动3个单位距离，即可得到结果-5。

五、有理数的乘除运算有理数的乘除运算可以利用数轴上的倍增和倍减来完成。

初二数学：上册2.3数轴例说“数轴”的五大功能

例说“数轴”的五大功能大家知道，我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.“数轴”是初中数学中联系数与形的第一座“桥梁”.下面将它的功能归纳如下，供同学们学习时参考！一、利用数轴可以直观地表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，最常见的是这两类问题：⑴已知数轴上的点读出所表示的数；⑵把有理数用数轴上的点表示出来.例1：如图1所示，指出由A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数？解：点A 表示数2.5，点B 表示数-3.5，点C 表示数0，点D 表示数1，点E 表示数-2.二、利用数轴可以形象解释相反数只有符号不同的两个数互为相反数，如果我们利用数轴来认识相反数，则十分形象直观. 在数轴上，表示一对相反数的两个点同时具备两个条件：（1）到原点的距离相等；（2）分别位于原点的左右两侧.如图1中的-2和2，它们互为相反数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.三、利用数轴可以准确地比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.根据这一特点可把要比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴上比较两数的大小.例2：根据图2所示，试判断c b a ,,的大小.解：因为在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，所以数c b a ,,的大小关系是b c a <<.四、利用数轴可以帮助我们理解绝对值的意义一个数a 的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点离开原点的距离.而距离至少为0，所以绝对值就一定是非负数，即a ≥0.绝对值与离开原点的距离有关，不论在正半轴还是负半轴，离开原点越远则这个数的绝对值越大.例3：已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图3所示，化简a b a c b c -+-+-.图1图2 图3解：由数轴可知：0a b c <<< 所以a b b a -=-，a c c a -=-，b b =-，c c =所以原式＝()()b a c a b c -+---＝b a c a b c -+---＝-2a .五、利用数轴分析物体运动的实例可以非常直观地获得物体运动后的结果例4：小强从A 地向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，问此时小强在A 地的哪个方向上？距离是多少？解：我们借助数轴，把实际问题转化为数学知识模型，先画出如图4所示的数轴，以A 点为原点.观察数轴可知：小强实际走的路线是A→D→B→C，我们可以把小强行走的过程想象为A 点在数轴上移动的过程：A 点向右移动10个单位长度，得到表示10的点D ，接着向左移动3个单位长度，得到表示7的点C ，所以此时小强在A 地的正东方向，距离A 点13米.图4七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图所示，已知∠1=∠3，∠2=∠4，不能判定AB∥CD的条件是（）A．∠1=∠2 B．∠1+∠2=1．C．∠3+∠4=1．D．∠2+∠3=1．【答案】A【解析】∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，A、∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4，同旁内角相等，并不能判定两直线平行，故错误；B、∵∠1+∠2=1°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即同旁内角互补，可得其平行，故B正确；C、D、同B，皆由同旁内角互补，可判定其平行，故C，D都正确．故选A．2．若点P 为直线a 外一点，点A、B、C、D 为直线a 上的不同的点，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3.那么点P 到直线a 的距离是A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3【答案】C【解析】利用垂线段最短的性质，得出点P到直线a的距离取值范围．【详解】∵点P为直线外一点，点A、B、C、D为直线l上的不同的点，其中PA=1，PB=4，PC=5，PD=1，垂线段最短∴点P到直线a的距离是不大于1．故选C．【点睛】此题主要考查了垂线段最短，利用PD=1，得出点P到直线a的距离是解题关键．3．一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（）A．x2{x1>≤-B．x2{x1<>-C．x2{x1<≥-D．x2{x1<≤-【答案】C【解析】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

数轴与有理数

数轴与有理数数轴是我们学习与理解有理数的重要工具。

通过数轴，我们可以直观地表示和比较各种有理数的大小关系。

本文将介绍数轴的基本概念，以及如何在数轴上表示和运算有理数。

一、数轴的基本概念数轴是一种用于表示和比较数值大小的直线图形。

它通常是一条直线，上面标有一系列点，这些点之间等距离，并且每个点与原点（通常在最左边或最下方）之间的距离相等。

数轴上的正方向通常表示较大的数值。

二、在数轴上表示整数在数轴上表示整数很简单。

我们可以选取一个点作为原点，例如将原点定为0，然后在数轴上向右方依次标记1、2、3等整数。

同样，在原点的左侧可以标记-1、-2、-3等负整数。

通过这样的标记，我们可以清楚地看到整数在数轴上的分布。

三、在数轴上表示分数除了整数，我们还可以在数轴上表示分数。

对于简单的分数，我们可以将数轴分成若干等分，在适当的位置上标记相应的分数。

例如，我们可以将数轴分成10等分，然后在数轴上标记1/2、1/4、3/4等常见简分数。

对于更复杂的分数，我们可以借助计算器或其他工具来准确地找到其在数轴上的位置。

通过数轴，我们可以直观地了解和比较各种分数的大小关系。

四、在数轴上表示有理数有理数包括整数和分数，它们都可以在数轴上表示。

对于有理数而言，我们可以将数轴看作是一个连续的线段，包括正数、零和负数。

通过数轴，我们可以将有理数按照大小进行直观的比较。

在数轴上，我们可以使用点、线段或箭头来表示有理数。

对于整数，我们可以在对应的点上标记整数的值。

例如，如果原点对应0，那么点1和点-1分别对应整数1和整数-1。

对于分数，我们可以使用线段来表示。

例如，对于分数1/2，我们可以将数轴分成若干等分，然后在对应的位置上绘制一条线段，表示1/2在数轴上的位置。

五、在数轴上进行有理数的运算数轴不仅可以表示有理数，还可以帮助我们进行有理数的运算。

例如，对于加法运算，我们可以将两个有理数在数轴上表示出来，然后从起点出发，按照相应的方向和距离进行移动，最终到达运算的结果。

初中数轴的作用

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初中数轴的作用是什么？
答：初中数轴的作用如下：
1、数轴的定义数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线.其中,原点、正方
向和单位长度称为数轴的三要素。

2、数轴的画法画一条水平直线,在这条直线上任取一点作为原点,再确定正方向和单
位长度.数轴的三要素缺一不可,其中正方向只有一个,一般规定向右的方向为正方向,且
数轴无端点.标数字时,通常把数字标在数轴的下方,而表示点的字母写在数轴的上方。

3、数轴的作用
1)利用数轴表示有理数有理数都可以用数轴上的点表示,但并不是任意一点都表示
有理数,到了初二,同学们自然会明白这是为什么。

2)利用数轴可以比较有理数的大小。

数轴上从左往右的点表示的数是从小往大的顺
序,那么利用数轴可以比较数的大小。

在数轴上表示的两个数右边的总比左边的大；正数
都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数.另外由于数轴是一条直线,是可以向两端
无限延伸的,根据这一特点,还可知道没有最小的负数,也没有最大的正数。

数轴与有理数的关系

数轴与有理数的关系数轴是用来表示数值大小和相对位置的一种图形工具，它是数学中一个重要的概念。

而有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

数轴与有理数之间存在着密切的关系，下面将从不同角度探讨这种关系。

数轴可以帮助我们直观地理解有理数的大小关系。

在数轴上，我们可以将有理数点对应到数轴上的一个具体位置，从而形成一个有理数的数值大小顺序。

比如，我们可以将整数1对应到数轴上的点1，将整数-1对应到数轴上的点-1，将分数1/2对应到数轴上的点0.5等等。

通过观察数轴上不同点之间的位置关系，我们可以直观地判断出有理数的大小关系，比如-2比-1小，1/2比1大等等。

数轴可以帮助我们进行有理数的运算。

在数轴上，我们可以用加减法来表示有理数的加减运算。

比如，如果要计算2+3的结果，我们可以在数轴上从点2出发，向右移动3个单位，最后到达点5，表示结果为5。

同样地，如果要计算2-3的结果，我们可以在数轴上从点2出发，向左移动3个单位，最后到达点-1，表示结果为-1。

通过数轴的移动，我们可以直观地理解有理数的运算规则，并进行相应的计算。

数轴还可以帮助我们表示有理数的相反数和绝对值。

在数轴上，每一个有理数都有一个相反数，它们在数轴上关于原点对称。

比如，整数2的相反数是-2，分数1/2的相反数是-1/2。

通过数轴的对称性，我们可以直观地找到任意一个有理数的相反数。

此外，数轴上的点到原点的距离，就是该点对应有理数的绝对值。

比如，整数2对应的点到原点的距离是2，分数1/2对应的点到原点的距离是1/2。

通过数轴的长度，我们可以直观地计算出有理数的绝对值。

数轴还可以帮助我们解决实际问题中与有理数相关的应用题。

在解决实际问题时，我们可以将问题中涉及到的有理数用数轴上的点表示出来，从而更好地理解问题的意义和要求。

比如，如果一个问题中涉及到温度的正负，我们可以将正温度和负温度分别用数轴上的点表示，从而更好地理解温度变化的情况。

七年级初一数学上册2.3数轴借助数轴学习有理数

借助数轴学习有理数数轴是一种数学工具呦，它使数和数轴上的点建立了对应关系，揭示了数与形之间的内在联系，也为我们研究问题提供了新的方法.数轴有助于我们深化对有理数的认识啊！一、数轴帮我们认识有理数1.从数轴上可以看出，数的范围在扩大因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，而且所有的正数都在原点的右边，所有的负数都在原点的左边，0正好在正、负数的“分界”点上，这就十分形象地告诉我们：小学里学过的仅仅是有理数中的一部分：0和正有理数，它们在数轴上的位置是原点及原点的右边；位居原点左边的负有理数是我们刚认识的“新朋友”，“朋友”多了，哈哈！说明我们接触的数的范围在扩大.2．在数轴上，重新认识0的地位小学里，0是最小的数，并且表示“没有”，那是我们就我们所学的数的范围而言的.现在从数轴上再来看0，对它的地位、意义就要“刮目相看”了，你能说0°C是“最低温度”吗？是“没有”温度吗？在数轴上，“0”的左边是数不尽的“负”兄弟，它的右边又有数不尽的“正”朋友.数的范围扩大后，0成了正数和负数的分界点，它既不是正数，也不是负数，它是整数.二、数轴可以帮助我们解决与有理数有关的问题1.利用数轴理解有理数的分类在数轴上，原点表示0，而原点右侧表示正数，左侧表示负数.例2小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图1，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数.解：-12，-11，-10，-9，-8，-7及0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.点评：本题主要考查有理数的分类，有理数的分类有两种：一是可分为正有理数、0、负有理数；二是可分为整数、分数.此题只要找出-12.1～-6.5及-0.5～10.5之间的整数即可.2.运用数轴直观表示点的移动正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键.例2把-0.5在数轴上的对应点沿数轴向左或向右移动4个单位长度后，所得的点对应的数是什么？解：如图2，用数轴表示为：由图2可知，表示-0.5的点向右移动4个单位长度，所得的点对应的数为3.5；向左移动4个单位长度，所得的点对应的数为-4.5.点评：用数轴表示点的运动非常直观，充分体现了数与形的转化.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是() A．3,4,5B．1,2,3C．6,7,8 D．2,3,4【答案】B【解析】试题解析：A．（3）2+（4）2≠（5）2，故该选项错误；B．12+（2）2=（3）2,故该选项正确；C．62+72≠82，故该选项错误；D．22+32≠42，故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.2．如图所示，下列说法不正确的是()A．线段BD是点B到AD的垂线段B．线段AD是点D到BC的垂线段C．点C到AB的垂线段是线段AC D．点B到AC的垂线段是线段AB【答案】B【解析】根据点到直线的距离的意义对各个选项一一判断即可得出答案．【详解】解：A、线段BD是点B到AD的垂线段，故A正确；B、线段AD是点A到BC的垂线段，故B错误；C、点C到AB的垂线段是线段AC，故C正确；D、点B到AC的垂线段是线段AB，故D正确；故选B．【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的意义是解题关键．3．如图，已知a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=46°，则∠2的度数是（）A．44B．46C．54D．56【答案】A【解析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【详解】∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝44°．∵a∥b，∴∠2＝∠3＝44°．故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠3的度数是解答本题的关键．4．随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（）A．4006005x x=-B．4006005x x=-C．4006005x x=+D．4006005x x=+【答案】C【解析】该书店第一次购进x套，则第二次购进(x+5)套，根据“两次进价相同”列出方程即可.【详解】该书店第一次购进x套，则第二次购进(x+5)套，依题意得：4006005 x x=+.故选C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5．若关于x的二次三项式x2﹣kx﹣b因式分解为(x﹣1)(x﹣3)，则k+b的值为( )A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【答案】B【解析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出所求【详解】解：根据题意得：x2﹣kx﹣b＝(x﹣1)(x﹣3)＝x2﹣4x+3，∴k＝4，b＝﹣3，则k+b＝1，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．【详解】解：如图1，，到l1的距离为2的点是两条平行直线l3、l4，到l2的距离为1的点也是两条平行直线l5、l6，∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．故选C．【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线．7．平面直角坐标中，点M（0，﹣3）在（）A．第二象限B．第四象限C．x轴上D．y轴上【答案】D【解析】根据y 轴上的点的横坐标为0解答即可．【详解】∵点M （0，﹣3）的横坐标为0，∴点M 在y 轴上．故选D ．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．8．不等式组3020x x -≤⎧⎨+⎩＞的解集是（） A ．-2<x≤3B ．x>-2C ．x≥0D ．x≤0【答案】A【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【详解】3020x x -≤⎧⎨+⎩①＞② 由①得：3,x ≤由②得：x >-2，则不等式组的解集为-23x <≤故答案为：A【点睛】考查不等式组的解集，掌握不等式的解法是解题的关键.9．下面的调查中，不适合抽样调查的是（）A ．一批炮弹的杀伤力的情况B ．了解一批灯泡的使用寿命C ．全国的人口普查D ．全市学生每天参加体育锻炼的时间【答案】C【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A 、了解一批炮弹的杀伤力的情况，由于破坏性强，适合抽样调查，故选项错误； B 、了解一批灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故选项错误；C 、全面人口普查，适合全面调查，故选项正确；D 、全市学生每天参加体育锻炼的时间，适合抽样调查，故选项错误．故选C ．【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，已知65BDC ∠=︒，则DFE ∠的度数为（）A ．32.5°B ．25°C ．50°D ．65°【答案】C 【解析】先利用互余计算出∠FDB=25°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=25°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=25°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE 的度数．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC,∠ADC=90∘，∵∠FDB=90°−∠BDC=90°−65°=25°，∵AD ∥BC ，∴∠CBD=∠FDB=25°，∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，∴∠FBD=∠CBD=25°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=25°+25°=50°. 故选：C.【点睛】此题考查矩形的性质，折叠的性质，解题关键在于利用折叠的性质求解二、填空题题11．已知平面直角坐标系内不同的两点A （3a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为_____．【答案】1或-1．【解析】由A 、B 两点到x 轴的距离相等，即可得出关于a 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】∵平面直角坐标系内不同的两点A （1a+2，4）和B （1，2a+2）到x 轴的距离相等， ∴|2a+2|=4，解得：a1=1，a2=-1．故答案为1或-1．【点睛】本题考查了两点间的距离公式以及解含绝对值符号的一元一次方程．由A、B两点到x轴的距离相等找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．12．在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为________．【答案】1 4【解析】试题分析：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据旋转的性质易证阴影区域的面积=正方形面积4份中的一份，故针头扎在阴影区域的概率为14；故答案为14．考点：几何概率．133_____ 31-，3______-7，3232．【答案】＜＜＞【解析】（1）估计无理数值再比较大小；（2）运用倒数法比较大小；（3）、运用立方根意义进行比较.【详解】（13312->0331 2（23737=<=37>所以37（3）因为332728=，2728> 所以32>32 故答案为(1). ＜ (2). ＜ (3). ＞【点睛】本题考查实数的大小比较.运用特殊方法比较数的大小是难点.14．如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的∠1 与∠2 ，则∠1 与∠2 的度数和是______度．【答案】1．【解析】试题分析：如图2，AB ∥CD ，∠AEC=1°，作EF ∥AB ，根据平行线的传递性得到EF ∥CD ，则根据平行线的性质得∠1=∠AEF ，∠2=∠CEF ，所以∠1+∠2=∠AEC=1°如图2，AB ∥CD ，∠AEC=1°，作EF ∥AB ，则EF ∥CD ，所以∠1=∠AEF ，∠2=∠CEF ，所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=1°考点：平行线的性质15222）=_____．【答案】1．【解析】去括号后得到答案.22222＋1＝1，故答案为1. 【点睛】本题主要考查了去括号的概念，解本题的要点在于二次根式的运算.16．如图，经过点B （－2，0）的直线y kx b =+与直线y 4x 2=+相交于点A （－1，－2），则不等式4x 2<kx b<0++的解集为．【答案】2<x<1--【解析】分析：不等式4x 2<kx b<0++的解集就是在x 下方，直线y kx b =+在直线y 4x 2=+上方时x 的取值范围．由图象可知，此时2<x<1--．17．已知A(2，﹣3)，先将点A 向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B ，则点B 的坐标是_____．【答案】（﹣1，-1）【解析】分析：将点A 向左平移3个单位时，横坐标减3，纵坐标不变；向上平移2个单位时，横坐标不变，纵坐标加2，从而可求B 点的坐标.详解：∵将点A 向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B ，∴2-3=-1，-3+2=-1，∴B （-1，-1）.故答案为（-1，-1）.点睛：本题考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．三、解答题18．如图，先将三角形ABC 向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形111A B C .(1)画出经过两次平移后的图形，并写出1A ，1B ，1C 的坐标；(2)已知三角形ABC 内部一点P 的坐标为(),a b ，若点P 随三角形ABC 一起平移，平移后点P 的对应点1P 的坐标为()2,2--，请求出a ，b 的值；(3)求三角形ABC 的面积.【答案】（1）点1A ，1B ，1C 的坐标分别为()4,3--，()2,2-，()1,1-；（2）12a b =⎧⎨=⎩；（3）10.5. 【解析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点111A B C ，，，即可解决问题．（2）利用平移规律，构建方程组即可解决问题．（3）利用分割法求出三角形的面积即可．【详解】解：(1)如图，111A B C ∆为所作，点1A ，1B ，1C 的坐标分别为()4,3--，()2,2-，()1,1-；(2) 平移后点P 的对应点1P 的坐标为()3,4a b --；1P 的坐标为()2,2--∴3242a b -=-⎧⎨-=-⎩解得：12a b =⎧⎨=⎩ (3)ABC ∆的面积1146613322=⨯-⨯⨯-⨯⨯14310.52-⨯⨯= 【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．19．在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A（1，a）、B（b，1）满足：|2a﹣b﹣1|+28a b+-=1．（1）求A、B两点的坐标；（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C（﹣2，t），如图1所示．若三角形ABC的面积为9，求点D的坐标；（3）平移线段AB到CD，若点C、D也在坐标轴上，如图2所示，P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），连接OP，PE平分∠OPB，∠BCE=2∠ECD．求证：∠BCD=3（∠CEP﹣∠OPE）．【答案】（1）A（1，2），B（3，1）；（2）D（1，﹣143）；（3）证明见解析.【解析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；（2）如图1中，设直线CD交y轴于E．首先求出点E的坐标，再求出直线CD的解析式以及点C坐标，利用平移的性质可得点D坐标；（3）如图2中，延长AB交CE的延长线于M．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【详解】（1）∵|2a﹣b﹣a2b8+-，又∵：|2a﹣b﹣1|≥1a2b8+-，∴210280a ba b=⎧⎨+-=⎩﹣﹣，解得23 ab=⎧⎨=⎩，∴A（1，2），B（3，1）；（2）如图1中，设直线CD交y轴于E，∵CD∥AB，∴S△ACB=S△ABE，∴12×AE×BO=9，∴12×AE×3=9，∴AE=6，∴E（1，﹣4），∵直线AB的解析式为y=﹣23x+2，∴直线CD的解析式为y=﹣23x﹣4，把C（﹣2，t）代入y=﹣23x﹣4得到t=﹣83，∴C（﹣2，﹣83），将点C向下平移2个单位，向左平移3个单位得到点D，∴D（1，﹣143）．（3）如图2中，延长AB交CE的延长线于M，∵AM∥CD，∴∠DCM=∠M ，∵∠BCE=2∠ECD ，∴∠BCD=3∠DCM=3∠M ，∵∠M=∠PEC ﹣∠MPE ，∠MPE=∠OPE ，∴∠BCD=3（∠CEP ﹣∠OPE ）．【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题，属于中考压轴题．20．若方程组275x y k x y k +=+⎧⎨-=⎩的解x 与y 是互为相反数，求k 的值. 【答案】k=-6【解析】试题分析：由于x 与y 是互为相反数，则把y=-x 分别代入两个方程求出x ，然后得到关于k 的一次方程，再解此一次方程即可．试题解析：275x y k x y k ①②+=+⎧⎨-=⎩，把y=−x 代入①得x−2x=7+k ，解得x=−7−k ，把y=−x 代入②得5x+x=k,解得x=6k ，所以−7−k=6k ，解得k=−6.点睛：本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 21．计算（1）20201820191(3)(0.125)83π-⎛⎫-+-⨯-- ⎪⎝⎭（2）97103⨯（简便运算）（3）()2224126(6)x y xy xy xy --÷-【答案】（1）0；（2）9991；（3）421x y -++【解析】（1）分别根据零指数幂、积的乘方、负整数指数幂进行计算即可；（2）对原式变形，然后运用平方差公式求解即可；（3）根据多项式除以单项式的运算法则进行求解．【详解】解：（1）2020*******(3)(0.125)83π-⎛⎫-+-⋅-- ⎪⎝⎭， 201820181(0.125)889=+-⨯⨯-，20181(0.1258)89=+-⨯⨯-，1189=+⨯-， 189=+-，0=；（2）97103⨯，(1003)(1003)=-+，221003=-，100009=-，9991=；（3）()2224126(6)x y xy xy xy --÷-421x y =-++．【点睛】本题考查了实数的混合运算，平方差公式以及多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．计算：（1）2m(mn)2； (2)(－1)2018－(3.14－x)0＋2－1【答案】（1）322m n （2）12【解析】分析：（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式；（2）先算有理数的乘方、零指数幂和负指数幂，再算有理数的加减法．详解：（1）原式 222?m m n ==322m n（2）原式1112=-+ 12= 点睛：本题考查了积的乘方、负指数幂，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23．在长为20 m 、宽为16 m 的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积.【答案】每个小矩形花圃的面积32m2.【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=20m，小矩形的2个宽+一个长=16m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．【详解】设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：220 216x yy x+⎧⎨+⎩＝＝，解得：84 xy⎧⎨⎩＝＝，即小矩形的长为8m，宽为4m．答：每个小矩形花圃的面积32m2.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．24．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：∵∠1＝∠2（），且∠1＝∠4（）∴∠2＝∠4（等量代换）∴CE∥BF（）∴∠＝∠3（）又∵∠B＝∠C（已知）∴∠3＝∠B（）∴AB∥CD（）．【答案】已知，对顶角相等，同位角相等，两直线平行，C，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．【解析】根据平行线的性质与判定即可求解.【详解】解：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4 （等量代换），∴CE∥BF （同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知，对顶角相等，同位角相等，两直线平行，C，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线的性质与判定定理.25．如图，在∠AOB的内部有一点P，已知∠AOB＝60°．（1）过点P画直线PC∥OA，PD∥OB；（2）求出∠CPD的度数．【答案】（1）详见解析；（2）60°或120°．【解析】（1）根据要求画出图形即可；（2）利用平行线的性质即可解决问题.【详解】解：（1）如图所示；（2）如图，设PC交OB于M，PD交OA于N．∵PC∥OA，PD∥OB，∴∠CPD＝∠PNA，∠PNA＝∠O，∴∠O＝∠CPD＝60°，∴∠CPD′＝120°．∴∠CPD的度数为60°或120°．故答案为（1）详见解析；（2）60°或120°．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意一题多解．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2的值为（）A．19 B．25 C．8 D．6【答案】A【解析】先根据完全平方公式得到a1+b1=（a+b）1-1ab，然后把a+b=5，ab=3整体代入计算即可.【详解】因为a1+b1=（a+b）1-1ab，a+b=5，ab=3，所以a1+b1=（a+b）1-1ab=15-6=19.【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）1=a1±1ab+b1．也考查了整体代入的思想运用．2．下列命题中，为真命题的是（）A．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行B．如果a+b＞c，那么线段a，b，c一定可以围成一个三角形C．三角形的一条角平分线将三角形分为面积相等的两部分D．三角形中各条边的中垂线的交点是三角形的重心【答案】A【解析】根据平行公理、三角形的三边关系、三角形的角平分线的性质、重心的概念判断即可．【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，A是真命题；B、如果a+b＞c，那么线段a，b，c不一定可以围成一个三角形，B是假命题；C、三角形的一条角平分线不一定将三角形分为面积相等的两部分，C是假命题；D、三角形中各条边的中线的交点是三角形的重心，D是假命题，故选：A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】D【解析】试题分析：∵AB ∥CD ， ∴∠3=∠1=65°， ∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．考点：平行线的性质4．如图，ABC ∆的三边,,AB BC CA 的长分别为20，30，40，点O 是ABC ∆三条角平分线的交点，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（）A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶5【答案】C 【解析】作OF ⊥AB 于F ，OE ⊥AC 于E ，OD ⊥BC 于D ，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】作OF ⊥AB 于F ，OE ⊥AC 于E ，OD ⊥BC 于D ，∵三条角平分线交于点O ，OF ⊥AB ，OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，∴OD=OE=OF ，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =AB ：BC ：CA=20：30：40＝2：3：4，故选C ．【点睛】考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，若点A(a ，－b)在第一象限内，则点B(a ，b)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先根据第一象限内的点的坐标特征判断出a、b的符号，进而判断点B所在的象限即可.【详解】∵点A(a，-b)在第一象限内，∴a>0，-b>0，∴b<0，∴点B((a，b)在第四象限，故选D．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．6．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分，则小明至少答对的题数是（）A．14道B．13道C．12道D．ll道【答案】A【解析】设小明答对的题数是x道，根据“总分不会低于60分”列出不等式5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解.【详解】设小明答对的题数是x道，5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60，x≥13，∵x为整数，∴x的最小整数为14，故选A．【点睛】本题了一元一次不等式的应用，关键是设出相应的未知数，以得分做为不等量关系列不等式求解．7．下列四个算式中运算正确的是（）A．102×103＝106B．（a2）3＝a5C．（﹣a）4÷（﹣a）2＝a2D．20+2﹣1＝﹣1【答案】C【解析】直接利用幂的运算法则分别化简得出答案．【详解】解：A、102×103＝105，故此选项错误；B、（a2）3＝a6，故此选项错误；C 、（﹣a ）4÷（﹣a ）2＝（﹣a ）2＝a 2，正确；D 、20+2-1＝1+12＝32，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、零次幂以及负整数指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．下列实数中，是无理数的为（）A ．0B ．－C ．D ．3.14 【答案】C【解析】试题分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．试题解析：A ．0是有理数，故A 错误；B ．-是有理数，故B 错误；C ．是无理数，故C 正确；D ．1．14是有理数，故D 错误；故选C ．考点：无理数．9．在平面直角坐标系中，点M (-2019,2019)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】根据直角坐标系中点的坐标特征解答即可.【详解】∵-2019<0，2019>0，∴点M (-2019,2019)在第二象限.故选B.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0.10．符号[]x 为不超过x 的最大整数，如[2.8]2=，[3.8]4-=-．对于任意实数x ，下列式子中错误的是（）A ．[]x x ≤B ．0[]1x x ≤-<C ．[1][]1x x -=-D ．[][][]x y x y +=+【答案】D 【解析】根据“定义[x]为不超过x 的最大整数”进行分析；【详解】A 选项：当x 为正数时，[]x x ≤成立，故不符合题意；B 选项：当x 为整数时，0[]x x =-，不为整数时，0[]1x x <-<，所以0[]1x x ≤-<成立，故不符合题意；C 选项：[1][]1x x -=-中的1是整数，所以成立，故不符合题意；D 选项：当x=1.6,y=2.7时，[][1.6 2.7][4.3]4[][][1.6][2.7]123x y x y +=+==≠+=+=+=，故不成立，故符合题意.故选：D.【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义二、填空题题11．近期,被誉为“中国天眼”的 FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证,新现的脉冲星自转周期为 0.00519秒,将 0.00519 用科学记数法表示应为 __________________【答案】5.19×10-3 【解析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】30.00519 5.1910.-=⨯故答案为35.1910.-⨯【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值小于1的数的表示方法是解题的关键.12．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．【答案】15【解析】分析：设输出结果为y ，观察图形我们可以得出x 和y 的关系式为：32y x =-，将y 的值代入即可求得x 的值．详解：∵32,y x =-当y=127时，32127,x -= 解得：x=43；当y=43时，3243,x -=解得：x=15；当y=15时,3215,x -= 解得17.3x =不符合条件．则输入的最小正整数是15.故答案为15.点睛：考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.13．已知一个正数的两个平方根分别为2m ﹣6和3+m ，则（﹣m ）2016的值为．【答案】1.【解析】根据正数有两个平方根，化为相反数.得2m-6+3+m =0，求出m ，再求出式子的值.【详解】∵正数的两个平方根分别是2m-6和3+m ，可得：2m-6+3+m =0，解得：m=1，∴（﹣m ）2018=1.故答案为：1【点睛】本题考核知识点：平方根. 解题关键点：理解整数两个平方根，化为相反数.即：和为0. 14．方程36x =的解为__________．【答案】x=1【解析】方程中x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：方程系数化为1得：x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 15．已知AD 是△ABC 的高，∠BAD ＝70°，∠CAD ＝25°，则∠BAC 的度数是_____【答案】95°或45°．【解析】分高AD 在△ABC 内部和外部两种情况讨论求解即可．【详解】解：分两种情况：①如图1，当高AD 在△ABC 的内部时，∠BAC ＝∠BAD+∠CAD ＝70°+25°＝95°；②如图2，当高AD 在△ABC 的外部时，∠BAC ＝∠BAD ﹣∠CAD ＝70°﹣25°＝45°，综上所述，∠BAC 的度数为95°或45°．故答案为：95°或45°．【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．16．已知方程3x-2y=1，用含x 的式子表示y ，则y=______. 【答案】312x - 【解析】将x 看做已知数，y 看做未知数，求出y 即可．【详解】3x-2y=1，解得：y=312x -．故答案为：312x -．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数，y 看做未知数．17．请写出一个以x=1，y=2为解的二元一次方程__．【答案】x+y=1．【解析】试题解析：本题答案不唯一，只要写出的二元一次方程的解为即可，如x+y=1．考点：二元一次方程的解．三、解答题18．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.已知：线段a ，c ，α∠.求作：ABC ∆，使BC a =，AB c =，ABC α∠=∠.【答案】见解析【解析】先画出与α∠相等的角，再画出a,b 的长，连接AC,则△ABC 为所求的三角形.【详解】如图，△ABC 为所求.【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知尺规作三角形的方法.19．为了扶贫户学生好读书，读好书，某实验学校校友会在今年开学初，到新华书店采购文学名著和自然科学两类图书．经了解，购买30本文学名著和50本自然科学书共需2350元，20本文学名著比20本自然科学书贵500元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的自然科学书价格都一样）（1）求每本文学名著和自然科学书的单价．（2）若该校校友会要求购买自然科学书比文学名著多30本，自然科学书和文学名著的总数不低于80本，总费用不超过2400元，请求出所有符合条件的购书方案．【答案】（1）每本文学名著45元，每本自然科学书20元；（2）方案一：文学名著25本，自然科学书55本；方案二：文学名著26本，自然科学书56本；方案三：文学名著27本，自然科学书57本．【解析】（1）设每本文学名著x 元，每本自然科学书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买自然科学书比文学名著多30本，自然科学书和文学名著的总数不低于80本，总费用不超过2400元，列出不等式组，解答即可．【详解】解：（1）设每本文学名著x 元，每本自然科学书y 元，可得：305023502020500x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：4520x y =⎧⎨=⎩．答：每本文学名著45元，每本自然科学书20元；（2）设学校要求购买文学名著z 本，自然科学书为（z+30）本，根据题意可得：30804520(30)2400z z z z ++⎧⎨++⎩，解得：36025z 13≤≤，因为x 取整数，。

例谈数轴的妙用

例谈数轴的妙用数轴实现了数与形的结合,使数与直线上的点建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础.因此,数轴不仅是初中数学中的重要知识,也是我们学习有理数及其他知识的工具，本文将通过实例探讨如何利用数轴解决数学问题。

一、利用数轴能形象地表示有理数；【例1】、如图a,b 为数轴上的两点表示的有理数，在a+b ，a-b ，b-a ，ab ，|a-b|，|b|-|a| 中，负数的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：根据数轴可以得到a 、b 的正负和它们的绝对值的大小，从而可以判断在a+b ，a-b ，b-a ，ab ，|a-b|，|b|-|a|中负数的个数，本题得以解决．解答：观察数轴可得，a<0，b>0，|a|>|b|，则a+b<0，a −b<0，b-a>0, ab<0，|a −b|>0，|b|−|a|<0，故在a+b ，a −b ，b −a ，ab ，|a −b|，|b|−|a|中负数的个数有4个，故选D.二、利用数轴比较有理数的大小【例2】已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是。

（用“<”号连接）分析：有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．解答：依据a>0，b<0可知，在数轴上a 在原点右边，b 在原点左边，则b<a ，−a<a ，b<−b ，|b|=−b ；又因a+b<0，异号的两数的和的正负根据|a|、|b|大小确定，则|a|<|b|，所以a<−b ，b<−a ，b<−a<a<−b ，故答案为：b<−a<a<|b|.三、利用数轴能直观地解释相反数；【例3】如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为。