最短路径问题将军饮马问题
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
《最短路径-将军饮马问题》教学课件ppt
• A2
AB+BC+CA的和
为什么是最小呢？
·
M
A
两点之间
N
线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？Fra bibliotek情节1：
O
B
C
• A2
A1 •
C′
B′ ·
M
A
N
两点之间 线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？
情节2： A1 •
O
C
B
·
M
A
• A2
两点之间 线段最短
N
y
4
A′• 3 2 1•P
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4
•A
2 3•P 4 x
•B
若换成y 轴呢？
一题多变
将军饮马问题
探究3 若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水 ，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？
O
A
M
N
探究新知
将军饮马问题
分析：1、建模：点在两直线的内部 2、在OM上找点B，在ON上找点C， 使AB+BC+CA的和最小。
O
B
·
M
A
考虑对称点的作用
C
1.将直线同侧两点问题转 化为直线异侧两点问题；
2.利用轴对称的性质可以 将相等线段转化。
N
方法揭晓
将军饮马问题
作法：
1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2 ， 2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,
则路径A-B-C-A是最短路径。
课题学习 最短路径问题——将军饮马
教师活动学生活动设计意图【活动一】问题引入前几节课，我们学习了轴对称性质在等腰三角形中的应用,本节课，我们将继续探究轴对称性质的另一个实际应用——经典的“将军饮马问题”，请看视频。
【活动二】解决问题问题1：你能把“将军饮马”这个问题抽象为数学问题吗?问题2：注意观察，当饮马点C的位置改变时，你能确定使AC+CB最小的饮马点C的位置吗？问题3：当点A、B在直线l的异侧时，你能在直线l上确定一点C，使线段AC与CB的和最小?问题4 回到“将军饮马”问题，怎样将直线同侧两点转化为直线异侧两点?问题5：你能用所学的知识证明AC+CB最小学生认真观看视频，明晰本节课要探究的问题。
将A、B两地抽象为两个定点，将河抽象为一条直线l。
学生回答并相互补充，最后达成共识。
已知：直线l和直线l的同侧两点A，B;求作：直线l上一点C，使得AC+CB 最小.通过老师的引导启发，使同学们想到作定点的对称点，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异侧的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，感悟转化的数学思想。
教师引导点拨，从数学史上久负盛名的“将军饮马”问题引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想，同时引导学生分析题意，将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题。
从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。
让学生进一步吗？小结：“将军饮马”问题的已知条件是什么？求什么？“将军饮马”的实质是什么？“将军饮马”的作图步骤是什么？跟踪练习：如图P、Q是△ABC的边AB、AC 上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？【活动三】“将军饮马”变式1如图，点A 是∠MON 内的一点，分别在OM、ON上作点B、C，使△ABC 的周长最小。
结合几何画板的演示，师生共同完成证明过程。
学生回答，并相互补充，最后由教师总结。
要求学生用两种方法画图，学生独立思考，画出图形，点名一名学生在黑板上画图。
最短路径问题(将军饮马问题)
C
B N
M A
O
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15
变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
(2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。. A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
A.' .C
O
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B'
16
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
N 河边
9
如图:已知 MON 内一点A
求作:OM上一点B,ON 上一点C,使 AB+BC+AC最小
作法: (1)作点A关于OM、
ON的对称点A'、A''
.A' B.
O
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.A .N C .A''
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(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C, 则点B、C为所求。
10
变式1：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
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两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
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答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后 回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
13.4将军饮马——最短路径问题
A
BP
河
B'
最短路线：A ---P--- B.
将军饮马：
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到 河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
BP B'
A
P'
河
AP + BP < AP' + BP'
将军饮马：
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB,AC上的点，你能
在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗？
将军饮马：
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
将军饮马：
A'
P
NQ
B'
A
M
B将军饮马：
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两 球分别位于B、A两点的位置上,试问怎样撞击白球，使 白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
将军饮马：
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
A' M 草地
最短路线：
P
O
. A ---P--- Q---A 驻地A
Q
N 河边
A''
将军饮马：
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在
AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周 长最短吗？
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
恩施州清江外国语学校 教师：刘玉兰
将军饮马：
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册一．将军饮马：线段和的最小值例1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．例2．已知x+y＝7，且x，y均为正数，则的最小值是．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A．3B．C．5D．变式2．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m变式4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．8变式5．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7二．选址造桥例3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．变式1．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）三．线段差最大例4．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为．变式1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cmC．6cm D．2cm四．角中对称问题例5．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，求∠AOB的度数．变式2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，求则△PMN的周长．变式3．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值课后练习1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是．2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC 上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．3．如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+4．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．65．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°6．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC 最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）B．C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）8．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．609．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC 的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．1210．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．811．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，求∠AOB．12．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC 和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数13．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，求PM+MN的最小值14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，求△DEF的周长的最小值为．15．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为．16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N 是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，求PM+PN的最小值.17．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接BE，求△ABE周长的最小值。
将军饮马问题总结
最短路径——“将军饮马”问题基本类型总结【问题1】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．在直线1l 、2l 上分别求点N ，使四边形PQMN 的周长最小．【问题5】“造桥选址”图形直线m ∥n ，在m 、上分别求点M 、N ，使m ，且AM +MN +BN 的值最小．【问题6】图形在直线l 上求两点M 、在左），使a MN ，并使MN +NB 的值最小．【问题7】图形1上求点A ，在2l ，使PA +AB 值最小．m n BA【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短．AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．。
最短路径(将军饮马造桥选址)
M N P Q
G
H
B
问题解决 A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
B
Ｑ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
最短路径问题 ---“将军饮马” 问题
【重要考点】 两点之间线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、
二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等．
【命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形、圆为背景借助轴对称
的性质考查学生的综合能力。
【考查方向】 最短路径问题(即“将军饮马”模式)，动点问题下的最
塔P向A村、B村铺设管道最短需__5_0_0__米。
y
B
A
O
P
M
X
H
B′
知识应用
（利用正方形的对称性找对称点）
2. 已知正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点， P为 对角线BD上的一动点，要使 PF+PC的值最小，试确定点P 的位置，并求出最小值。
因为点C关于BD的对称点为
点A,连接AF，交BD于P点。
坐标为(2,−3)
总结
【思想方法】 (1) 最短路径问题的背景来源主要有：角、等腰(边) 三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到 三角形(四边形)的周长最值问题、面积最值等问题。 (2)“将军饮马”问题就是利用对称性“化折为直”。
方法提升：（PA+PB最小）
1.点的分类及确定： 两个定点+一个动点
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1， AF=3，点P为BD上一动点，求：线段EP+FP和的最小值。
3．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y 轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时， 求点C的坐标。
值问题在中考中一般放置在选择题、填空题或解答题最后， 以压轴题的形式出现．
初二数学最短路径问题,“将军饮马”四种题型详解,折变直是关键
初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键 -初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。
最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图方法。
希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。
以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。
例1：作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）本题关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．例2：尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．本题不仅考察了最短路径的作图方法，还要求根据题意明确点P还在角COD的角平分线上。
“将军饮马”常见模型 路径最短问题
两
点
·A
之
间
P
m
， 线
段
B·
最 短
第二关： “两点一线”两点在线的同侧
如图，将军您在A处接到最新消息，有人欲偷袭粮仓B， 需要您前去支援，但马儿已经口渴难耐，无法支撑至B处， 需先到河边饮水，您将选择在何处饮马？
同侧----异侧
·A
两点之间，线段最短
B·
m
·P
B1
第三关： “一点两线”点在两线中间
难点：如何理解通过轴对称解决路径一定是最 短
【路径最短问题】
知识点回顾
1、从A到B有三条路径，选择哪个路径最短？ 理由是__两_点 __之__间__，__线__段__最_短 __。___
2、图中点C与直线AB上点的连线中哪条最短？
理由是__垂 __线__段__最__短____
C
①
②
A
B
第一题 ③
或 者转化为垂线段最短问题
3、基本思想：转化的思想
谢 谢！
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BM+MN最小。
因为BAC的平分线交BC于点D。
由角平分线性质可知，ME=MN，
A
N
当BE是点B到直线AC的距离时 B （垂线段最短）
AB= 2，BAC=45o
BE=AB sin 45o 1
课堂总结：
1、基本知识点：两点之间线段最短 垂线段最短
2、基本方法：求线段和最短的问题通过对 称转化为两点之间线段最短 问题，实现“折”化“直”，
如图，将军您接到一个寻找水源的任务，行至P处，发现前方有两 河A,B交汇，您需派出一位侦察兵前往探测两河情况，并回到P处复命。 则侦察兵应在OA,OB上的何处侦察才能最快？
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题——将军饮马》教学设计
13.4 课题学习最短路径问题第一课时一、内容和内容解析1.内容最短路径问题——将军饮马问题2.内容解析本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。
最后让学生对所学知识加以应用。
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。
二、目标和目标解析1.教学目标（1）能将实际问题中的“地点”、“一排商铺”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题；（3）能通过逻辑推理证明所求距离最短；（4）体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。
2.目标解析（1）将实际问题抽象成数学问题是学生的应具备的能力。
数学来源生活，服务生活。
（2）学生学会将用轴对称最短路径变为“两点之间线段最短”问题三、教学问题诊断分析学生在之前已经学习了“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”等知识，知道如何去找某点关于某条直线的对称点，为本节课的学习打下了基础。
但是如何将将军饮马问题中的同侧两点问题转化为异侧两点问题，最终用“两点之间线段最短”解决，这是学生不易理解的地方。
本节课教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。
关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，利用轴对称转移线段，从而获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。
四、教学过程设计1.故事引入，引出课题问题1 同学们你们取过包裹快递吗？你们知道双十一吗？播放《直击双11物流现场》视频，激发学生学习兴趣。
八年级上册最短路径难题讲解
八年级上册最短路径难题讲解
八年级上册最短路径问题是一个重要的数学问题，涉及到图论和几何知识。
以下是几个经典的最短路径问题及相应的解题思路：
1. 将军饮马问题：两个将军分别在河的两岸，他们想要到河的对面饮马。
河水流速很快，不能逆流而上。
他们应该选择怎样的路径才能使其中一位将军到河对岸的总时间最短？
解题思路：在这种情况下，两个将军都可以选择直接过河，但是这样会花费较长的时间。
为了使总时间最短，他们可以选择在河岸的某一位置相遇，然后一起走到河对岸。
这样，他们可以节省掉单独过河的时间。
2. 造桥选址问题：有两个人分别在河的两岸，他们想要通过建造一座桥来互相通行。
为了使造桥的成本最低，他们应该选择怎样的桥址？
解题思路：在这种情况下，最短的路径就是直接在两岸之间建造一座桥。
因此，他们应该选择在河的中心建造桥，这样可以使得桥的长度最短，同时也可以节省造桥的成本。
3. 费马点问题：在三角形中，任意选取三个点，要求找到一个点到其他三个点的距离之和最短的位置。
解题思路：首先，我们可以将这个问题转化为求三角形三个顶点的中点。
然后，我们可以利用三角形的性质来证明这个结论。
具体来说，我们可以证明任意一个点到其他三个点的距离之和都大于等于三角形三个顶点的中点到其他三个点的距离之和，当且仅当这个点是三角形三个顶点的中点时取等号。
因此，三角形的费马点就是其三个顶点的中点。
以上是最短路径问题的几个经典例子及相应的解题思路。
通过这些例子，我们可以了解到最短路径问题的基本概念和方法，以及如何利用几何和图论的知识来解决这些问题。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马说课稿
在教学过程中，我将设计多样化的师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作。在师生互动环节，我将通过提问、回答和讨论等方式，与学生进行实时互动，了解学生的学习情况，并及时给予引导和反馈。在生生互动环节，我将组织小组讨论、合作探究等活动，让学生相互交流、分享想法和解决问题，培养他们的团队合作能力和沟通能力。此外，我还将鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题和建议，激发他们的学习兴趣和主动性。通过这些互动方式，我将创造积极的学习氛围，促进学生的参与和合作，提高他们的学习效果。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备平面几何的基本知识，如点、线、面的基本概念，图形的性质和运算能力。他们还需要具备一定的问题解决能力和逻辑思维能力，能够理解和运用几何图形的性质来解决问题。然而，部分学生可能对将军饮马问题的背景和意义不够了解，可能会对其解决方法感到困惑。此外，对于一些复杂的最短路径问题，学生可能存在理解上的困难和解决上的挑战。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解。首先，我会介绍将军饮马问题的定义和特点，让学生明确问题的实质。接着，我会通过图形的直观演示和几何绘图软件的应用，向学生展示将军饮马问题的解决方法。我会引导学生观察图形的变化，解释和证明解决方法的合理性。在这个过程中，我会鼓励学生积极参与，提出问题和想法，并与同学们进行交流和讨论。通过这种方式，学生能够深入理解知识点，并培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（五）作业布置
课后作业的布置目的是帮助学生巩固所学知识，并培养他们的自主学习能力。我计划布置一道将军饮马问题的综合练习题，要求学生在课后解决并提交。此外，我还会布置一些相关的阅读材料，让学生进一步了解将军饮马问题的背景和应用。通过这些作业，学生能够在课后继续巩固和运用所学知识，提高他们的学习效果。
人教版 八年级上册13.4 最短路径问题(将军饮马问题)
A
城堡
B
军营
“将军饮马” 问题（一）
设C将为河直流线抽上象的为一一个条动直点线，l上．面将的城问堡题和就军转营化分别 为抽：象当成点AC，在B l两的个什点么。位置时,AC 与CB 的和最小?
·B
·A
C
C
l
“将军饮马” 问题（一）
如果点A与点B在直线l的异侧，点C 在什么位置，AC+BC最短？
·A
人教版 八年级上册
13.4 最短路径问题
（将军饮马问题）
最短路径
B
l
线段公理： 两点之间，线段最短。
垂线段性质： 垂线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
将相军传从，城古堡希出腊发亚，历到山一大条里笔亚直城的里河有边一饮位马久，负然盛后名到 军的营学．者请，问名将叫军海到伦河．边有什一么天地，方一饮位马将可军使专他程所拜走访的海路伦线， 全求程教最一短个？百思不得其解的问题：
你能将 这个实际问 题转化成数 学问题吗？
“将军饮马” 问题（二）
A’
C
D B’
A
B
最短路径为： A C D B
C
l
·B 转化：两点之间，线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
利用轴对称的性质如何找到点A的对应点 A’的位置。
·B ·A
l
A’
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
“将军饮马” 问题（二）
牧马人从A地出发，先到草地边某处牧 马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出 最短路径。
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M A'
N
B'
B A
变式1：
已知： MON内两点A、B.
求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON 上，且AC+CD+BD+AB最短。
A' M
C
A
B
O
N
D
B'
变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有 黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试 问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM、ON后，反弹击中黑球？
两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回 到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应 该怎么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。 2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各 对称点确定所求位置点）。
课后拓展：
在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、 N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
如图:已知 MON 内一点A
求作:OM上一点B,ON上 一点C,使AB+BC+AC最 小
. A' B.
作法:
(1)作点A关于OM、
O
ON的对称点A'、A''
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C,则点 B、C为所求。
变式1：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
A
B
作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P；
所以 点P就是所求的点．
B
A
M
N
P
B'
证明：
A B
在MN 上任取另一点P'， M
N
P
P'
连结BP、BP'、AP' 、B'P' ．
B'
∵ 直线MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴上， ∴BP=B'P，BP'=B'P'．
C
M
B N
A O
变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM 于C，交ON于D。 A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
B'
A.' .C
O
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
——将军饮马问题及延伸
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
绿地里本没有路，走的人多 了… …
禁止践 踏
在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一 所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短， 试确定候车亭P的位置。
A P
l
B
★思考：本题运用了 两点之间，线段最短.
.
将军饮马问题：
∴ BP+AP=B'P'= B'P'+AP'
在△AB'P'中，AB'<AP'+B'P'，
∴ BP+AP < BP'+AP'，即AP+BP最小．
变式1：
已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A 问：这位将军怎样走路程最短？
A
M
D
N
C B
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的 学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜 访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要 到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？