矩阵函数微积分

从而
1 0 0
f A eAt aI bA
e2t
t
1t
t
t t 1 t
则微分方程组满足初始条件的解为：
X t eAt X0
e2t 1 1 t 1 tT
一阶常系数线性非齐次微分方程组问题
dX AX F (t) dt X (0) X 0
由
d [eAt X (t)] eAt ( A) X (t) eAt dX (t)
cos t sin t
sin t cos t
,
(2)
2
At
dt,
d
t2
At
d
t
0
dt 0
由矩阵积分定义得：
2
0
At
dt
1 1
11,
利用可变上限函数的导数公式得：
d
t2
At
dt
2t
At2
dt 0
2t
cos t sin
2
t2
sin t cos t
2 2
纯量函数对矩阵的导数
设 X
xij
,
第四节 函数矩阵的微积分
主要内容 1·函数矩阵的导数 2 函数矩阵的积分 3·纯量函数对矩阵导数及矩阵值函 数对矩阵的导数
函数矩阵的导数定义
以变量x的函数aij(x)为元素的矩阵称为函数矩阵， 记作A(x)
A(x) (aij (x)) Cmn
若每一个元素aij(x)都可微，则定义A(x)的导数为
第二节 QR分解
QR分解也称为正交三角分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容：
1·矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2·矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换
定义:设A C nn. 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分 当 A Rnn 时，则解称为A的正三角分解
(c1, c2 ,, cn )T
定理1 一阶线性微分方程组的初值问题1有且仅有唯
一解X = e A t X0
证明
由于
d2X dt 2
d (AX ) dt
A dX dt
A2 X
d3X dt 3
d2 dt 2
( AX
)
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A3
X
dkX dt k
d k1 dt k1
(AX )
Ak
X
从而
d
2 X (0) dt2
dx
dx
dx
(3) dA1(x) A1(x) dA (x) A1(x)
dx
dx
(4) dA( f (x)) f '(x) dA(u) ,u f x
dx
du
以（3）为例证明如下：
(3) dA1(x) A1(x) dA (x) A1(x)
dx
dx
由 A1xAx I, 则
d A1(x) A(x) dA1(x) A(x) A1(x) dA(x) 0
(3)ab(BA(x))dx B(ab A(x)dx) B与x无关
当函数aij(x)都连续时，称A(x)连续，则
d
x
A(s)ds A(x)
dx a
b
a A'(x)dx A(b) A(a)
例2、设At
cos t sin t
sin t cos t
,
求
(1) dAt , dAt , d At , dA1t
dA( X dX
)
A ( xij
) C mpnq
自学:P118
例5,例6
第五节 微分方程组的求解
一阶常系数线性齐次微分方程组
dx1
dt dx2 dt
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
dxn dt
an1x1 an2 x2
ann xn
记为 F(s) L(( f (t))
若F（s）是f(t)拉氏变换，则称f(t)是F（s）的拉氏 逆变换或向原函数，记为
f (t) L1(F(s))
拉氏变换存在定理： 若函数f(t)满足：1）在 t 0 的任一有限区间上分段连续； 2）当 t 时f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即 存在 M 0 , 0 , 使得 f (t) Met ,0 t 成立，则 f(t)的Laplace变换在半平面 Re(s) 上一定存在，并且
0
例2、求解一阶线性微分方程组
dx1 dt
x1 2x2
1
dx2 dt
4x1 3x2
1
x1
(0)
1,
x2
(0)
2
解令
A 14
32,
X
x1 x2
,
F (t )
11,
X0
12
改写成矩阵方程为
dX dt
X
AX F (t (0) X 0
)
用Jordan法求矩阵函数值 e At
A
证明 因为
e Ax ( Ax)k Ak xk
k 0 k!
k 0 k!
利用绝对收敛级数可逐项求导，得：
或者
de Ax
Ak xk 1
dx k 1 (k 1)!
A
Ak 1 xk 1 Ae Ax
k1 (k 1)!
(
Ak1 xk1) A e Ax A
k1 (k 1)!
函数矩阵的积分
设函数矩阵为A(x)， A(x) (aij (x))Cmn, x [a,b]
A x11
A
dA dX
x21
A
x p1
A
x12 A
x22 A
x p2
A
x1q
A
x2q
其中
A
x pq
A xij
f11 xij
f 21 xij
f m1 xij
f12
xij f 22
xij
f m 2
xij
f1n xij
f 21 xij
f mn xij
如果每个aij x 都是区间[a,b]上的可积函数，则
定义A(x)在区间[a,b]上的积分为
ab A(x)dx (abaij (x)dx) Cmn
矩阵积分的性质
(1)ab( A(x) B(x))dx ab A(x)dx ab B(x)dx (2)ab( A(x)B)dx (ab A(x)dx)B
积分 f (t)estdt 绝对收敛且一致收敛。 0
拉氏变换的性质： （1）拉氏变换是线性变换； （2）微分性质：L[( f (t)] sF (s) f (0)
常用的拉氏变换公式：见教材P156 拉氏变换可推广到向量函数，矩阵函数上去，即
如果向量函数的每一分量都存在拉氏变换，则可定
义该向量函数的拉氏变换。
2e5ts 4e 5t s
2e t s 2e t s
则
eAt X 0
e5t 2e5t
e A(ts)
F
(s)
e(ts) e(ts)
又由
t eA(ts)F (s)ds
0
t 0
e e
(ts) (t s
)
ds
1 et 1 et
得
X (t) e At X 0
t eA(ts)F (s)ds
dt
1 1 3
条件 X 0 1,1,1 的解
用待定系数法先求矩阵函数值 e At
由矩阵A的特征多项式为 23, 易求得A的最小多项式 为 m 22, 则设 f z etz mzqz a bz,
由 f 2 e2t a 2b, f 2 te2t b 求得
a 1 2te2t ,b te2t
0
e5t 2e5t
1 et 1 et
e5t 1 et 2e5t 1 et
Laplace变换及应用
定义：设函数f(t)在 t 0 有定义，而且积分
f (t)estdt 0
（s 是一个复参量）
在s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数
F (s) f (t)estdt 0
为函数f(t)的Laplace变换，简称拉氏变换，或称象函数，
QR分解定理
任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩 阵证。明
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x n 由于x 1,x 2, …,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e n
1 4
32
由矩阵A的特征多项式 I A 5 1 知：矩阵A
与对角矩阵
5 0
01
相似，且其相似变换矩阵为
P
2 1
11
从而
e At
P
e5t 0
0 e t
P 1
1 6
2e5t 4e5t
4et 4et
2e5t 4e5t
2et 2et
则
e Ats
1 6
2e5ts 4e 5t s
4e t s 4e t s
xi xi (t), aij C
将此微分方程组改写为矩阵方程
dX AX dt
其中 A (aij ) C nn , X X t (x1, x2 ,, xn )T
一阶线性微分方程组的初值问题1
dX AX dt X 0 (c1, c2 ,, cn )T
其中
X 0 (x1(0), x2 (0),, xn (0))T
mn
mn元函数f X f x11,, x1n , x21,, xmn ,
定义 f X 对矩阵X的导数为
f f
df dX
f xij
mn
x11
f
xm1
x1n
f
xmn
例3 设 X x1, x2 ,, xn T , n元函数 f X f x1,, xn ,
求
df df dX , dX T
用拉氏变换求解微分方程组
dx
dt
Ax(t)
x(0) x0
记 X (s) L[(x(t)] , 在微分方程两边取拉氏变换：
L[(x(t)] L[ Ax(t)]
微分性质可得 sX (s) x(0) AX (s)
于是 (sI A)X (s) x(0) 从而 X (s) (sI A)1 x(0)
A2 X 0
,
d 3 X (0) dt3
A3 X 0
d
k X (0) dtk
Ak
X
所以由Maclaurin级数展开得
0
X
(t)
k 0
1X k!
(k)
(0)t
k
k 0
1 Ak k!
X
0t
k
k 0
1 Ak k!
t
k
X
0
eAt X0
例1、设 2
A 1
0 1
0 1,
求微分方程 dX AX t 满足初始
dx
dx
dx
于是 dA1(x) A1(x) dA (x) A1(x)
dx
dx
说明：因为矩阵乘法不满足交换律，一般地，对正整数 m 1 和
可导的函数矩阵 Ax, d Axm mAxm1 dAx
dx
dx
例1 求二次形X其TA中XA的是导n数阶实对称矩阵，
X=(x1(t),x2(t), …,xn(t))T
d ( X T AX ) dt
dX T AX X T A dX
dt
dt
2 dX T AX dt
定理 对任意n阶矩阵A(A与x无关），成立
deAx Ae Ax e Ax A dx
d sin Ax Acos Ax cos AxA
dx
d cos Ax Asin Ax sin AxA
dx
则 x(t) L1[(sI A)1]x(0)
说明：
（1）在利用拉氏变换求解微分方程时，先求出 (sI A)1
并将每一元素化为部分分式，再查常见拉氏变换公式表； （2）由微分方程组初值问题1解的唯一性可知：
eAt L1[(sI A)1]
（3）类似地可利用拉氏变换求解微分方程初值问题2 参见教材P124例3,例4
dt
dt
eAt ( dX AX ) dt
eAt F (t)
在 0,t 上对上式积分得：
d eAt X t eAt Ft
dt
0t
d ds
[e
As
X
(s)]ds
0t
e
As
F
(s)ds
即
eAt X (t) X (0) t eAs F (s)ds 0
X (t) eAt X0
t eA(ts)F (s)ds
x1 b11e1 x2 b12e1 b22e2
其中 bii 0 , i 1,2,, n
xn b1ne1 b2ne2 bnnen
从而有
x1
x2
xn e1
由函数对矩阵导数的定义可得：
T
df dX
f x1
,
f x2
,,
f xn
df dX T
f x1
,
f x2
,,
f xn
自学:P116 例2,例3,例4
矩阵值函数对矩阵的导数
设 A( X ) ( flk ( X )) Cmn , X (xij ) C pq ,
定义函数矩阵 A(X ) 对矩阵X的导数为：
dA( x) dx
A' ( x)
(a'ij
(x)) Cmn
d 2 A( x) dx2
A' ' ( x)
(a' 'ij
(x)) Cmn
说明：A(x）是常数矩阵的充分必要条件是dAd(xx) 0
基本法则
(1) d [A(x) B(x)] dA(x) dB(x)
dx
dx dx
(2) d [A(x)B(x)] dA(x) B(x) A(x) dB(x)
dt dt dt
dt
(2)
2
At
dt,
d
t2
At
d
t
0
dt 0
由
dAt
dt
sin cos
t t
cos t sin t
,
得
dAt 1
dt
由 At 1 得 d At 0
dt
由
A
1
t
cos sin
t t
sin t cos t
得
dA1 dt
t
sin t cos t
cos t sin t
,
At