矩阵函数微积分
函数矩阵的微分和积分
及变量 z 的函数 u = f( z) 都可微 , 则 ( 5 . 7)
d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) ・ f( z) dz du dz 性质 4 若 n 阶函数矩阵 A( z) 可逆 , 且 A( z) 及其逆阵 A ( z) 都可微 , 则 d -1 -1 d -1 A ( z) = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 证明性质 2 设 A( z) B ( z) = C( z) 〔 d A( z) 〕 B( z) = H( z) dz A( z)
f f , …, x1 xn
( 5. 14)
d d d 〔 a f( X) + bg( X) 〕 = a f( X) + b g( X) dX dX dX 性质 3 d d d 〔 f( X) ・ g( X) 〕= g( X) f( X) + f( X) g( X) dX dX dX d d f f ( X) 及 g ( X) 的 i 行 j 列 元 素 分 别 是 , dX dX x ji
m× n m ×n
d a ( z) dz 12 d a 22 ( z) dz d a m2 ( z) dz
… …
d a ( z) dz 1n d a 2n ( z) dz d a mn ( z) dz
…
( 5 . 5)
设函数矩阵 A( z) , B( z) 分别是 m × n 及 n× s 阶矩阵 , 且 A( z) , B( z) 都可微 , ( 5 . 6)
这里需注意的是 , 由于矩阵的乘法不满足交换律 , 所以上式中乘积的顺序一般是不能交换的。 若 K 是一个常数矩阵 , 则有 d d 〔 K・ A( z) 〕 = K A( z) dz dz d d 〔 A( z) ・ K〕 =〔 A( z) 〕 ・K dz dz 这两个式子也不能交换顺序。又如 d 2 d d 〔 A ( z) 〕 = 〔 A( z) 〕 A( z) + A( z) A( z) dz dz dz ≠2A( z) 证明性质 3, 因为 d d d a〔 a ij ( u) f( z) ij f( z) 〕 = dz du dz 由此立刻得出 d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) f( z) dz du dz 证明性质 4, 因为 A ( z) ・ A( z) = E 所以 d -1 dA ( z) -1 d 〔 A A( z) 〕 = A( z) + A ( z) A( z) = 0 dz dz dz d -1 -1 d -1 〔 A ( z) 〕 = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 例1 其中 x1 ( t) χ= x2 ( t) … xn ( t) 解 d T d T T d χ Aχ+ χA χ 〔 χ Aχ 〕= dt dt dt = χA
第4讲(2)矩阵的微分与积分
14—2矩阵的微分与积分21.矩阵的微分2.矩阵的积分3.其他微分概念4.应用31. 矩阵的微分如果矩阵A (t )=(a ij (t ))∈C m ×n 的每个元素a ij (t )都是t 的可微函数，则A (t )关于t 的导数(微商)定义为：()()()().ij m ndA t A t a t dt×′′==4定理1：设A (t )，B (t )可导，则()()()()()()()()()()()();(2)()(();(3)()()).1d d dA tB t A t B t dt dt dt df t A t f t A t f t A t dt dA tB t A t B t A t B t dt ⎡⎤+=+⎣⎦′′⎡⎤=+⎣⎦′′⎡⎤=+⎣⎦(4) 设为可微矩阵，则)(),(1t A t A −())()()()(111t A t A dt d t A t A dt d −−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=5定理2：设A 是n 阶常数矩阵，则;(2)cos()sin()sin();(3)sin()cos()(cos(1)).tA tA tA de Ae e A dt dtA A tA tA A dtdtA A tA tA A dt===−⋅=−⋅=⋅=⋅62. 矩阵的积分如果矩阵A (t )=(a ij (t ))∈C m ×n 的每个元素a ij (t )都在[t 0,t ]上可积，则称A (t )可积，记为()()()0.ttij t t m n A d a d ττττ×=∫∫7()()()()()()()()()()()()()000000001010;(2);;(3);(4).(1)tttt t t t tt t t tt t tt t t A B d A d B d A B d A B d A B d A d B d A d A t dt A d A t A t τττττττττττττττττττ⎡⎤+=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦=′=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫83. 其他微分概念(a) 函数对矩阵的导数设X =(x ij )m ×n ，mn 元函数f (X )对X 的导数定义为：1111.nijm nm mn ff x x f x f f x d dX x f ×=∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎛⎞∂⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥∂∂∂⎝⎠⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦=L M M L 例1设求1,n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M T ,.df dfdx dx 9例3设A 是n 阶矩阵，x =[x 1,…,x n ]T ，f (x )=x T Ax ，求df /dx .例2设b 是n 维列向量，x =[x 1,…,x n ]T ，f (x )=x T b ，求df /dx .例4设A ∈R m ×n ，b ∈R m ，若x ∈R n 使得||Ax -b ||2 =min ，则A T Ax =A T b ..nX I df dX=例5设X =(x ij )∈R n ×n ，f (X )=[tr(X )]2，求10(b) 函数矩阵对矩阵的导数设X =(x ij )m ×n ，有rs 个mn 元函数f kl (X )写成函数矩阵的形式：1111,s r rs f ff f F ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=L MM L 则F 对X 的导数定义为：1111,n m mn FF x x dF dX F F x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦=L M M L 1111.s ij ij ijrs r ij ij f f x x F x f f x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣=⎦L M M L 11例6设F (x )=[f 1(x ),f 2(x ),…,f l (x )]，则1,n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 1111.l l n n f f x x f f x dF dx x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎦=⎣L M M L 例7设A 是一个常数矩阵，则1,n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 1()()()T n d Ax d Ax d Ax dx dx dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L 1111.n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎣⎦L M M L 121111122112211222221122'()()()()()'()()()()()'()()()()()n n n n nn n nn n n x t a x t a x t a x t b t x t a x t a x t a x t b t x t a x t a x t a x t b t =++++⎧⎪=++++⎨⎪=++++⎩L L ML 4. 应用13令1112111()(),(),(),()()n nn n n a a x t b t A x t b t a a x t b t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L M M M M L ()()()x t A x t b t ′=⋅+则可以写成矩阵形式：非齐次微分方程()()x t A x t ′=⋅齐次微分方程14其中c 是任意常向量. 若再加上初始条件x (t 0)=x 0，则其解为0()0().t t A x t e x −=(),tA x t e c =定理3：齐次微分方程的通解为：()()x t A x t ′=⋅15110010,002A ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例8设矩阵求满足x (0)=[1 0 1]T 的齐次微分方程的解.()()x t A x t ′=⋅1612()()(),x t x t x t =+其中x 1(t )=e tA c 是对应齐次微分方程的通解，x 2(t )是原非齐次微分方程的一个特解. 常向量c 由初始条件确定.定理4：非齐次微分方程的通解可以表示为：()()()x t A x t b t ′=⋅+172()(),tA x t e c t =如何计算一个特解？常向量变易法，即设带入原非齐次微分方程有'()(),tA e c t b t =由此可以解出一个c (t )，即得到一个通解.()00()()tAt AtA x t e x eeb d τττ−=+∫1821101010,()0,002t A b t e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例9设求满足初始条件的非齐次微分方程()()()x t A x t b t ′=⋅+1(0)10x −⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解.19例：求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=210113421)(x x dt dx 20解：()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=−500151013421J A E ,λλλλλ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−=110011442211p ,,λ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=210012242452p ,,λ21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∴−11123121111P P 1500−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=P e e P e t t At ()∫−+=∴t A AtAtd F eex e t x 00τττ)()(。
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是微积分的一个重要分支，它将微积分的概念和方法应用于矩阵和向量的运算中。
在矩阵微积分中，我们可以通过对矩阵进行微分和积分来研究矩阵的性质和变化规律。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的导数、矩阵的积分和矩阵微分方程等内容。
一、矩阵的导数在矩阵微积分中，我们可以定义矩阵的导数。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别求导来得到矩阵的导数。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可导的，那么矩阵f(X)的导数就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [x1^2 x2^2; x3^2 x4^2]。
那么矩阵f(X)的导数就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数，即f'(X) = [2x1 2x2; 2x3 2x4]。
二、矩阵的积分与矩阵的导数类似，我们也可以定义矩阵的积分。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别积分来得到矩阵的积分。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可积的，那么矩阵f(X)的积分就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
那么矩阵f(X)的积分就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分，即∫f(X)dX = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
三、矩阵微分方程矩阵微分方程是矩阵微积分中的一个重要概念。
它是描述矩阵函数与其导数之间关系的方程。
一般而言，矩阵微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
矩阵微积分
矩阵微积分本文摘译自 Wikipedia。
在数学中，矩阵微积分是多元微积分的一种特殊表达形式。
它以向量或矩阵的形式将单个函数表示为多个变量，或将一个多元函数表示为单个变量，从而可以作为一个整体来处理，大大简化了多元函数极值、微分方程等问题的求解过程。
表示法在本文中，将采用如下所示的表示方法：•$ \mathbf A, \mathbf X, \mathbf Y $ 等：粗体的大写字母，表示一个矩阵；•$ \mathbf a, \mathbf x, \mathbf y $ 等：粗体的小写字母，表示一个向量；•$ a, x, y $ 等：斜体的小写字母，表示一个标量；•$ \mathbf X^T $：表示矩阵 $ \mathbf X $ 的转置；•$ \mathbf X^H $：表示矩阵 $ \mathbf X $ 的共轭转置；•$ | \mathbf X | $：表示方阵 $ \mathbf X $ 的行列式；•$ || \mathbf x || $：表示向量 $ \mathbf x $ 的范数；•$ \mathbf I $：表示单位矩阵。
向量微分向量-标量列向量函数 $ \mathbf y = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_m \end{bmatrix}^T $ 对标量 $ x $ 的导数称为$ \mathbf y $ 的切向量，可以以分子记法表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x}\newline \frac{\partial y_2}{\partial x} \newline\vdots \newline \frac{\partial y_m}{\partialx}\end{bmatrix}_{m \times 1} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x} &\frac{\partial y_2}{\partial x} & \cdots &\frac{\partial y_m}{\partial x}\end{bmatrix}_{1 \times m} $标量-向量标量函数 $ y $ 对列向量 $ \mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^T $ 的导数可以以分子记法表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_1} &\frac{\partial y}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_n}\end{bmatrix}_{1 \times n} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_1}\newline \frac{\partial y}{\partial x_2} \newline\vdots \newline \frac{\partial y}{\partialx_n}\end{bmatrix}_{n \times 1} $向量-向量列向量函数 $ \mathbf y = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_m \end{bmatrix}^T $ 对列向量 $ \mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{bmatrix}^T $ 的导数可以以分子记法表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1} &\frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\newline\frac{\partial y_2}{\partial x_1} &\frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial y_2}{\partial x_n} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy_m}{\partial x_1} & \frac{\partial y_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\newline\end{bmatrix}_{m \times n} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1} &\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \cdots &\frac{\partial y_m}{\partial x_1}\newline\frac{\partial y_1}{\partial x_1} &\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \cdots &\frac{\partial y_m}{\partial x_1} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_1}\newline\end{bmatrix}_{n \times m} $矩阵微分矩阵-标量形状为 $ m \times n $ 的矩阵函数 $ \mathbf Y $ 对标量$ x $ 的导数称为 $ \mathbf Y $ 的切矩阵，可以以分子记法表示为$ \frac{\partial \mathbf Y}{\partial x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_{11}}{\partial x} &\frac{\partial y_{12}}{\partial x} & \cdots &\frac{\partial y_{1n}}{\partial x}\newline\frac{\partial y_{21}}{\partial x} &\frac{\partial y_{22}}{\partial x} & \cdots &\frac{\partial y_{2n}}{\partial x} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy_{m1}}{\partial x} & \frac{\partial y_{m2}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_{mn}}{\partial x}\newline\end{bmatrix}_{m \times n} $标量-矩阵标量函数 $ y $ 对形状为 $ p \times q $ 的矩阵$ \mathbf X $ 的导数可以分子记法表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf X} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_{11}} &\frac{\partial y}{\partial x_{21}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{p1}}\newline\frac{\partial y}{\partial x_{12}} &\frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{p2}} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy}{\partial x_{1q}} & \frac{\partial y}{\partialx_{2q}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{pq}} \newline\end{bmatrix}_{q \times p} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf X} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_{11}} &\frac{\partial y}{\partial x_{12}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{1q}}\newline\frac{\partial y}{\partial x_{21}} &\frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{2q}} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy}{\partial x_{p1}} & \frac{\partial y}{\partialx_{p2}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{pq}} \newline\end{bmatrix}_{p \times q} $恒等式在下面的公式中，除非另有说明，默认要导出的复合函数的所有因子都不是导数变量的函数。
矩阵微积分中的微分与积分
矩阵微积分中的微分与积分矩阵微积分是微积分在矩阵领域的推广和应用，它将微积分中的微分和积分概念扩展到矩阵和向量上。
在矩阵微积分中，微分与积分是非常重要的概念，它们有着广泛的应用和深远的理论背景。
本文将介绍矩阵微积分中的微分和积分，探讨它们的定义、性质和应用。
一、矩阵微分在矩阵微积分中，微分是研究函数变化率的工具。
与传统微积分类似，矩阵微分也涉及到导数和偏导数的概念。
对于一个矩阵函数F(X)，其微分可以表示为dF(X)。
矩阵微分的计算可以通过求导数的方式进行，即通过求偏导数来计算微分。
具体来说，对于一个矩阵函数F(X)，其微分dF(X)可以通过以下公式计算：dF(X) = ∇F(X) · dX其中，∇F(X)表示F(X)的梯度，dX表示X的微小变化量。
这个公式表明，微分dF(X)可以看作是F(X)对X的梯度∇F(X)与X的微小变化量dX的乘积。
这种计算微分的方法在矩阵微积分中被广泛应用，可以用来求解矩阵函数的导数和对函数进行近似。
矩阵微分具有许多重要的性质和规则，与传统微积分中的微分类似。
例如，矩阵微分满足线性性质、乘法规则和链式法则等性质。
这些性质使得矩阵微分成为了研究矩阵函数变化率的有力工具。
二、矩阵积分矩阵微积分中的积分是研究曲线面积和函数累积量的工具。
在矩阵微积分中，矩阵积分可以表示为∫F(X)dX的形式，其中F(X)表示要积分的矩阵函数，dX表示积分变量。
与矩阵微分类似，矩阵积分的计算也可以通过求原函数的方式进行。
对于一个矩阵函数F(X)，如果存在一个矩阵函数G(X)，使得dG(X)/dX = F(X)，那么G(X)就是F(X)的原函数。
在矩阵微积分中，原函数的概念可以用来计算矩阵积分。
具体来说，矩阵积分的计算可以通过以下公式进行：∫F(X)dX = G(X) + C其中，G(X)表示F(X)的原函数，C为常数。
这个公式表明，矩阵积分可以通过求原函数来计算，得到的结果再加上一个常数C。
2.2-函数矩阵的微分与积分
A(z)dz
b
a
a ij
(
z
)dz
mn
类似定义 A(z) 的不定积分:
A(z)dz
a ij
(
z
)dz
mn
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11
North China Elec. P.U.
Mathematical Methods & its Applications
2. 性质
2024/7/15
13
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Mathematical Methods & its Applications 2024/7/15
J. G. Liu
例3
设
A(t
)
sin t cos t
cos t
sin t
,
求
A(t )dt
解
A(t )dt
sin tdt cos tdt
i1
1j
i2
2j
is
sj
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5
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所以 A(z)B(z)
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(a (z)b (z) a (z)b (z) a (z)b (z)
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§2.矩阵的微分与积分
一、函数矩阵的微分 二、函数矩阵的积分 三、向量对向量的微分
5.4矩阵的微分和积分
∂ξ n ⎞ ⎛ ∂f ∂ζ 1 ⎟ ⎜ ∂ζ 1 ⎟⎜ ∂ξ n ⎟ ⎜ ∂f ⎟ ⎜ ∂ζ ∂ζ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ξ n ⎟ ⎜ ∂f ⎟⎜ ∂ζ n ⎠ ⎝ ∂ζ n
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
t1
t1
t0
A ( t ) dt B
t0 t1
A • B ( t ) dt = A
(∫
)
t0
( B与 t 无 关 ）
t0
B ( t ) dt
t1 t0
)
t1 t0
( A与 t 无 关 ）
t0
A ( t ) dB ( t ) = [ A ( t ) B ( t )] − ∫ B ( t ) dA ( t )
∂f1s ⎞ ⎟ ∂ξ ij ⎟ ∂f 2 s ⎟ ∂ξ ij ⎟ ⎟ ⎟ ∂f rs ⎟ ∂ξ ij ⎟ ⎠
例5.13 设 x = (ξ 1 , ξ 2 ,
, ξ n ) T , n元 函 数 f ( x ) =
解 因为
⎛ ∂f ∂f df =⎜ , , dx ⎝ ∂ ξ 1 ∂ ξ 2
∂f ⎞ , ⎟ ∂ξ n ⎠
,ζ n ) ,
T
证
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ∂ξ1 + ∂f ∂ξ 2 + ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ∂ ζ 1 ⎟ ⎜ ∂ ξ1 ∂ ζ 1 ∂ ξ 2 ∂ ζ 1 ⎜ ∂f ⎟ ⎜ ∂f ∂ξ1 + ∂f ∂ξ 2 + df = ⎜ ∂ ζ 2 ⎟ = ⎜ ∂ ξ1 ∂ ζ 2 ∂ ξ 2 ∂ ζ 2 du ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ∂f ⎟ ⎜ ∂f ∂ξ ∂f ∂ξ 2 1 + + ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ ζ n ⎠ ⎝ ∂ ξ1 ∂ ζ n ∂ ξ 2 ∂ ζ n
第七讲 矩阵的微分与积分
解
1 A 1 4
0 2 0
1 ， 0 3
上讲已求得 …….
2、最小二乘问题 最小二乘问题：设 A Cm n, b , 当线性方程组 Ax b 无解时，对任意 x C n 都在 Ax b 0 . Cm
2 此时希望找出向量 x0 C n ，使得 || Ax b ||2 达最小，即求 x0 arg min || Ax b ||2 的问题，称 x0 为矛 n xC
第七讲 矩阵微分与积分
一、函数矩阵的微分和积分 1. 函数矩阵导数定义：若函数矩阵 A(t ) (aij (t ))mn 的每一个元素 aij ( t ) 是变量 t 的可微函数，则称 A(t)可微，其导数定义为 dA(t ) A(t ) ( daij (t ) ) . mn dt dt 注：类似可以定义高阶导数，又可以定义偏导数。 例 1 求函数矩阵
, xn ]T 且 f ( x) xT Ax ,求 df .（P77）
dx
例3
已知矩阵变量 X ( xij )mn ，且 det X 0 ,证明 d det X (det X )( X 1 )T .(P77)
dX
三、矩阵分析应用 1、 （1）一阶线性齐次常系数常微分方程组
1 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组 dt a11x1 (t ) a12 x2 (t ) a1n xn (t ) dx (t ) dx (t ) 2 a21 x1 (t ) a22 x2 (t ) dt dxn (t ) a x (t ) a x (t ) n1 1 n2 2 dt a2 n xn (t )
盾方程组的最小二乘解。为应用，考虑实矩阵与实向量的情形。 定 理 1 设 A Rmn , b Rm , 若 x0 R n 是 线 性 方 程 组 Ax b 的 最 小 二 乘 解 则
矩阵函数微积分
dA( X dX
)
A ( xij
) C mpnq
自学:P118
例5,例6
第五节 微分方程组的求解
一阶常系数线性齐次微分方程组
dx1
dt dx2 dt
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
dxn dt
an1x1 an2 x2
ann xn
由函数对矩阵导数的定义可得：
T
df dX
f x1
,
f x2
,,
f xn
df dX T
f x1
,
f x2
,,
f xn
自学:P116 例2,例3,例4
矩阵值函数对矩阵的导数
设 A( X ) ( flk ( X )) Cmn , X (xij ) C pq ,
定义函数矩阵 A(X ) 对矩阵X的导数为：
用拉氏变换求解微分方程组
dx
dt
Ax(t)
x(0) x0
记 X (s) L[(x(t)] , 在微分方程两边取拉氏变换：
L[(x(t)] L[ Ax(t)]
微分性质可得 sX (s) x(0) AX (s)
于是 (sI A)X (s) x(0) 从而 X (s) (sI A)1 x(0)
dt
dt
eAt ( dX AX ) dt
eAt F (t)
在 0,t 上对上式积分得：
d eAt X t eAt Ft
dt
0t
d ds
[e
As
X
(s)]ds
0t
e
As
F
(s)ds
即
eAt X (t) X (0) t eAs F (s)ds 0
矩阵微积分规则
矩阵微积分规则摘要：1.矩阵微积分的概念与基本原理2.矩阵微积分的运算方法3.矩阵微积分在实际问题中的应用正文：矩阵微积分是一种应用于多元函数微分和线性变换的数学工具，它是微积分学在向量空间和矩阵运算中的拓展。
矩阵微积分不仅具有传统微积分的基本原理，还具有独特的运算方法和应用领域。
一、矩阵微积分的概念与基本原理矩阵微积分的概念来源于矩阵运算与多元函数微分的结合。
矩阵微积分的基本原理包括以下几个方面：1.矩阵的导数：设A 是一个m×n 矩阵，其元素为aij，那么A 的导数是一个同样大小的矩阵，记作A"。
A"的元素为a"ij=aij/xk，其中k 为变量。
2.矩阵的梯度：矩阵的梯度是矩阵导数的特例，表示一个标量函数在向量空间中的梯度。
设f(A) 为矩阵A 的某个函数，那么矩阵A 的梯度是一个列向量，其元素为f"(A)·A"，其中f"(A) 表示函数f(A) 的梯度。
3.矩阵的链式法则：矩阵微积分的链式法则与传统微积分的链式法则类似，表示复合函数的导数。
设f(A) 和g(A) 是两个矩阵函数，那么(f(g(A)))"=f"(g(A))·g"(A)。
二、矩阵微积分的运算方法矩阵微积分的运算方法主要包括以下几个方面：1.矩阵乘法：矩阵乘法是矩阵微积分的基础运算，表示两个矩阵之间的乘积。
设A 和B 是两个m×n 矩阵，那么AB 是一个m×n 矩阵，其元素为(AB)ij=aik·bkj。
2.矩阵求导：矩阵求导是矩阵微积分的关键运算，表示矩阵元素的导数。
根据矩阵导数的定义，可以求得任意矩阵A 的导数A"。
3.矩阵求梯度：矩阵求梯度是矩阵微积分的另一个重要运算，表示标量函数在向量空间中的梯度。
根据矩阵梯度的定义，可以求得任意矩阵A 的梯度。
三、矩阵微积分在实际问题中的应用矩阵微积分在实际问题中有广泛的应用，例如在线性代数、优化理论、机器学习等领域。
第八章 矩阵微积分
第八章 矩阵微积分§8.1 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积对参与运算的矩阵没有任何限制，在矩阵的理论研究和计算方法中都有十分重要的应用，尤其是在矩阵代数方程求解和矩阵微分等运算中使得计算更加简洁。
本节中，我们将介绍Kronecker 积的定义和基本性质. 8.1.1 Kronecker 积的概念与性质定义1 设矩阵()C m n ij m n a ⨯⨯=∈A ，()C p q ij p q b ⨯⨯=∈B ，则称如下分块矩阵111212122212=C n n mp nq m m mn a B a Ba B a B a Ba B a B a Ba B ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦A B 为矩阵A 与B 的Kronecker 积或称A 与B 的直积，记做⊗A B 。
显然⊗A B 是具有m n ⨯个子块的分块矩阵，每个子块都与矩阵B 同阶，所以⊗A B 是mp nq ⨯阶矩阵。
由定义1显然有矩阵B 与矩阵A 的Kronecker 积为111212122212=C q q pm qn p p pq b A b A b A b A b A b A b A b A b A ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦B A所以，矩阵的Kronecker 积不满足交换律，即一般情况下，⊗≠⊗A B B A 。
例1 设10234,01567⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，则 2340001056700001000234000567⎡⎤⎢⎥⋅⋅⎡⎤⎢⎥⊗==⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B A B B B203040234020304567506070050607⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⊗== ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭ ⎪⎝⎭A A AB A A A A 显然，⊗≠⊗A B B A 。
从定义1可以直接给出Kronecker 积简单的运算性质如下。
矩阵微积分
在网上看到有人贴了如下求导公式：Y = A * X --> DY/DX = A'Y = X * A --> DY/DX = AY = A' * X * B --> DY/DX = A * B'Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. 行向量Y'对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对行向量X’求导：转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = Ad(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
第五章 矩阵函数及其微积分
|xj |
1/2
(和 范数 或 l1 范数 或 1- 范数 ); |2
1/p
j =1 n j =1 n j =1
|xj |xj
(欧 几里 得 范数 或 l2 范数 ); ,p≥1 (H¨ older 范 数 或 lp 范数 或 p- 范 数).
|p
显然, 当 n = 1 时, 例 5.1.2 中的所有范数都变成 C 或 R 上的普通范数 (模或绝对值). 容易看出, || · ||1 与 || · ||2 为 H¨ older 范数中取 p = 1 与 p = 2 的情形, 而 || · ||∞ 是 H¨ older 范 数当 p → ∞ 的极限情形. 直接验证可知 (见习题 3 ), || · ||∞ 满足 定义 5.1.1 的 3 个条件, 因而 为 V 上的向量范数. lp 范数 (p ≥ 1) 显然满足定义中的条件 (1) 和 (2). 为验证条件 (3), 只需 应用下列 Minkowski 不 等式 (证明见习题 4 ):
n i,j =1 n
1/2 |aij |2 |aij |
i=1 n
=
tr(A∗ A) ( Frobenius 范数或 F- 范数) 极大列和范数 极大行和范数
||A||1 = max
1≤j ≤n
||A||∞ = max
1≤i≤n
|aij |
j =1
则不难验证 (见习题 6 ), 它们都是 F n×n 中的范数, 因而 F n×n 成为赋范线性空间.
d d E 1 d −1 d
||x||2 = 1 T 1 '$ −1
E &%
||x||∞ = 1 T 1 −1 −1
E
Chapter2-3(5) 矩阵的微分与积分
,x
T
A
T
T n
An
T
A
T T 1
T 1
A1 , A A2 ,
T 2 T 2 T n
, A An
T n T
A A1 , A A2 ,
, A An x
A A1 , A A2 ,
T 1 T 2
三、数量函数对矩阵变量的导数
定义3 设f X 是以矩阵变量X xij mn 为自变量
f 的mn元函数，且 ，定义 xij
f x 11 f df f = = x21 dX x ij mn f x m1
a At
k 0 k
k
例
二、矩阵的积分
1. 定义
上可积，则称矩阵A t 在 a, b 上可积，并定义
定义2 设A t = aij t mn ,如果每个aij t 都在 a, b
A t dt = a t dt
定义4 设F X = fij X st , X xij mn ,称F X
f1t xij . f st xij st
例6. x 1,2 , ,n
T
dx . In , T dx
24
dxT In. dx
.
例7. a a1 , a2 , a3 , a4 , X xij
T
d Xa a1 0 a2 0 a3 0 a4 dX 0 a1 0 a2 0 a3 0
T
0 , a4
a1 a2 0 0 d Xa 0 0 dX a1 a2
微积分中的矩阵函数应用
微积分中的矩阵函数应用矩阵是数学中的一个重要概念，矩阵函数则是矩阵中的一类重要运算。
矩阵函数运算的作用是将矩阵与一个函数进行组合，得到一个新的矩阵。
在微积分中，矩阵函数应用极为广泛，本篇文章将对微积分中的矩阵函数应用进行简要介绍。
一、矩阵函数的定义及特点矩阵函数是指将矩阵与一个函数进行组合得到一个新的矩阵的运算，记作$f(A)$，其中$f(x)$是一个函数，$A$是一个矩阵。
矩阵函数的特点是：矩阵函数是一个矩阵，其元素为函数值，而不是常数。
例如，设$f(x)=x^2$，$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$f(A)=\begin{bmatrix} 1^2 & 2^2 \\ 3^2 & 4^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 9 & 16 \end{bmatrix}$。
二、矩阵函数的求导及应用对于可导函数$f(x)$，矩阵函数$f(A)$的导数也存在。
其中，矩阵函数$f(A)$的导数定义为$\frac{d}{dA}f(A)$，表示当$A$沿某个方向变化时，矩阵函数的变化率。
矩阵函数的导数是一个矩阵，其元素为函数的导数。
例如，设$f(x)=x^2$，$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$\frac{d}{dA}f(A)=\begin{bmatrix}\frac{df(A)}{dA_{11}} & \frac{df(A)}{dA_{12}} \\\frac{df(A)}{dA_{21}} & \frac{df(A)}{dA_{22}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2A_{11} & 2A_{12} \\ 2A_{21} &2A_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$。
第8讲 矩阵的微分和积分
( Xa)T x13
( Xa)T x23
( Xa)T
x14
( Xa)T x24
矩阵论第8讲-17
矩阵的微分和积分
– 矩阵值函数对矩阵变量的导数
举例（2）
a1
a
a2
M
an
X
x11 x21
x12 x22
x13 x23
x14
x24
e1T Xa
e2T Xa
f11(X ) f12(X )
df ? dX
AX
a x n
k 1 ik kj mm
tr(AX )
m s1
a x n
k 1 sk ks
f xij
a ji
(i 1,L , n;
j 1,L , m)
df dX
f xij
nm
(a ji )nm
AT
矩阵论第8讲-10
矩阵的微分和积分
– 数量函数对矩阵变量的导数
d dt
B(t)
d A(u) f (t) d A(u)
dt
du
矩阵论第8讲-5
矩阵的微分和积分
A(t) (aij (t))mn
B(t) (bij (t))np
d (A(t)B(t)) d (
dt
dt
n k 1
aik
(t
)bkj
(t
))m
p
d dt
(ai1
(t)b1
j
(t)
ai 2
(t)b2
a n
k 1 jk k
( j 1,L , n)
f
df
1
M
a n
k 1 k1 k
a n
矩阵中的矩阵微积分
矩阵中的矩阵微积分矩阵微积分是线性代数中的一门重要分支，它将微积分的概念和矩阵运算的技巧相结合，增强了线性代数的理论体系和应用能力。
矩阵微积分研究的是矩阵函数的导数和积分、矩阵微分方程以及相关的数学模型和优化算法等。
本文将从三个方面介绍矩阵微积分的基本概念、应用范围以及研究进展，帮助读者深入了解这门重要课程。
一、矩阵微积分的基本概念矩阵微积分的基本概念包括导数、偏导数、积分、微分方程和泰勒公式等。
其中，矩阵函数的导数定义为极限值，偏导数定义为矩阵函数在某个方向上的变化率，积分定义为矩阵函数的面积或体积，微分方程定义为关系一个或多个未知函数、它们的导数和自变量的方程，泰勒公式定义为用无穷阶导数刻画一个矩阵函数在某个区间内的变化趋势。
这些基本概念构成了矩阵微积分的理论基础，为后续的应用提供了强有力的数学支撑。
二、矩阵微积分的应用范围矩阵微积分的应用范围广泛，涵盖了许多不同的学科领域，例如物理学、工程学、计算机科学、金融等。
其中，最为常见的应用是通过矩阵微积分来解决优化问题。
优化问题是指在满足一定约束条件的前提下，使某一目标函数达到最优值的问题。
有了矩阵微积分的支持，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的最大值和最小值，从而解决一系列优化问题，例如线性规划、非线性规划、整数规划等。
此外，矩阵微积分还可以用来构建回归分析、时间序列分析、图像处理等各种数学模型，为现代科技的发展提供技术支持。
三、矩阵微积分的研究进展矩阵微积分的研究进展主要体现在以下几个方面：矩阵微积分与偏微分方程的联系、矩阵微积分和概率统计的关系、矩阵微积分在机器学习中的应用等。
其中，矩阵微积分和偏微分方程的联系是一个经典的数学问题，在很多实际问题中都有广泛应用。
数值分析的技术进步，使得矩阵微积分和偏微分方程的求解更加高效和精确。
矩阵微积分和概率统计的关系也是一个热门研究领域，它在矩阵统计、贝叶斯统计、贝尔曼方程等方面都有广泛应用。
矩阵微积分在机器学习中的应用则是当前研究热点之一，它涉及到最小二乘法、核方法、降维等多个方面，为机器学习领域的发展提供了重要的数学基础和算法支持。
第五章 矩阵函数及其微积分
1/p |xj + yj |p
≤
n j =1
1/p |xj |p
+
n j =1
1/p |yj |p , p ≥ 1. (5.1.1)
130
注 1. 定义 5.1.1 中的字母“l”是序列空间 (对照第二章第六节) 或 Lebesgue 49 空间的统 称. 确切地说, 数域 F 上的所有绝对收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l1 空间, 绝对平方 收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l2 空间, 所有有界无穷数列构成的线性空间称为 l∞ 空 间, 以及 lp 空间等等. 类似地, 可以定义绝对可积函数空间 L1 , 绝对平方可积函数空间 L2 , 以 及 Lp , L∞ 等等. 注 2. 当 0 < p < 1 时, lp 范数仍然满足向量范数的前两个条件, 但不满足三角不等式, 见 习题 5. 注 3. 对于 C 或 R 上一般 n 维线性空间 V , 可以通过取 V 的一组基, 然后像 例 5.1.2 中 一样定义 V 的范数. 注 4. 常将 1- 范数称为 Manhattan (曼哈顿)- 度量, 因为在赋范线性空间中可以由范数自 然定义距离, 即 d(x, y ) = ||x − y ||. 请读者在平面上或者空间中画出两点间的距离的示意图. 如果连接两点间的最短曲线称为线 段, 请问 1- 范数下的线段是什么? ∞- 范数下的线段是什么? 例 5.1.3 (各种范数下的单位圆) 下面的图从左至右依次展示了 1- 范数, 普通范数 (欧几 里得范数) 和 ∞- 范数下的平面上的单位圆 ( 1 维单位球面): ||x||1 = 1 T 1
何时成立? 即相当于 |x| < 1 的条件是什么? 容易知道一个充分条件是 ρ(A) < 1. 但是 矩阵的特征值及其谱半径都是不容易计算的, 我们能否改进这个条件? 答案是肯定的, 只需 将 ρ(A) < 1 换成 |||A||| < 1, 即 A 的范数小于 1, 任何一种范数即可! 因此, 矩阵的范数可以看 作是实数的绝对值或者复数的模的推广, 是一种衡量矩阵 (包括向量) 大小的尺度. 另外, 我们对矩阵函数的微积分也不陌生, 比如三元函数 f (x, y, z ) 的梯度向量 ∇f (x) = ( ∂f ∂f ∂f , , ) ∂x ∂y ∂z (5.0.4)
矩阵的微分与积分
§3.矩阵的微分与积分 一、矩阵的微分1.Def 1.若n m ij x a x A ⨯=))(()(，且)(x a ij 可导。
则称A (x )可导，记为n m ijx a x A ⨯'='))(()( 的为A (x )导数。
2.性质：①)()(])()([x B x A x B x A '+'='+②)()()()(])()([x B x A x B x A x B x A '+'='⋅注意：)(),(x B x A 的位置不可变换，特别地)(])([x A c x A c '⋅='⋅)(x f u =是可微函数）④若A (x )与)(1x A -均可导（m =n 方阵）Proof : ④由I x A x A =⋅-)()(10])([)()()(11='⋅+⋅'⇒--x A x A x A x A )()(])([)(11x A x A x A x A --⋅'-='⋅⇒)()]([)()]([111x A x A dxdx A x A dx d ---⋅⋅-=⇒注：性质④不同于反函数的导数，)(1])([1x f x f '='- 另：)()(2?])([2x A x A x A '='事实上)()()()(])()([])([2x A x A x A x A x A x A x A '+'='⋅='eg 1.求⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3201sin cos sin )(x x e xx x x x x A x 的导数，及)(2x A 的导数解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='223002sin cos 1sin cos )(x x e x xx x x x x A x)()()()(])([2x A x A x A x A x A '+'='⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++++-+-++-+-+-+-+=52242222232261sin 3cos )2(5cos 22sin 2cos 22sin )cos (sin sin 2sin 4sin )1(cos 32sin 2cos 122sin 2cos 22sin x x x x e x x x x e x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx xeg2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x xx xx A sin cos cos sin )( 求)]([1x A dx d -，)]([2x A dx d 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-x x x x x A sin cos cos sin )(1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x x A dx d cos sin sin cos )]([1)()(22sin 2cos 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 2cos )]([2x A x A x x x x x x x x dx d x A dx d '⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---= Df 2.设),,,()(21n x x x f X f =为可微函数，),,(21n x x x X =为变向量，称),,,(21n x f x f x f ∂∂∂∂∂∂ 为函数)(X f 对X 的导数，记作：dXdf（注：这事实上是多元函数的梯度，即},,,{21nx fx f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= ） Df 3.设n m ij z Z ⨯=)(,q p kl x X ⨯=)(且ij z 是),,2,1,,,2,1(q l p k x kl ==的可微函数，eg 3.设Tm n Tnn x x x X y y y Y ⨯⨯==121121),,(),,(其中i y 是i x 的可微函数，求dXdY 解：),,,(21mdx dYdx dY dx dY dX dY = mn m n n n m m dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212221212111eg 4.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x e xy xyz xyzZ 2)()sin( ),,(z y x X = 求dX dZ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022)cos()cos()cos(22xy e xyxyz xy xy xyz xz xz xyz yz yzdX dZ xeg 5.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z x xyt xt xyz x Z 222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t z y x X 求dX dZ 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯01020002024244xy x xy xt x ytxy t y x dt dZ dzdZdy dZ dxdZdX dZ二、矩阵的积分1.Df 4..设函数矩阵n m ij x a x A ⨯=)]([)(，若)(x a ij 在[a ,b ]上可积，称n m baij dx x a ⨯⎰])([为)(x A 在[a ,b ]上的定积分，记为⎰badx x A )(。
微积分与矩阵
微积分学（Calculus，拉丁语意为用来计数的小石头）是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。
在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是现代数学的主要分支之一。
早在古代，人们就会积分思想，如阿基米德用积分法算出了球的表面积，中国古代数学家刘微运用割元法求出圆周率3.1416，这也是用正多边形逼近圆，任何求出近似圆周率。
割圆法也是积分思想。
我们最伟大的古代数学家（现在是华罗庚）祖冲之也是利用积分算出了圆周率后7位数。
和球的体积。
但是正正系统提出微积分的是牛顿和莱布尼茨，他们为谁先发明微积分挣得头破血流。
牛顿是三大数学家之一，也是第一位划时代的物理学家，晚年从事神学和炼金学，它创立了整个经典力学体系和几何光学，这几乎成为了整个中学的必修部分，初中的力学和光学默认为几何光学，力学默认为简单的经典力学。
高中开始正式学习经典力学。
这里有一个非常之大的错误就是初中里为了方便或简单，用平均速率来代替平均速度，也就是速度公式v=x/t在初中里用速率公式v=s/t代替。
速度和速率一个是矢量，一个是标量，这里差距巨大，不知道编写初中课本（人教版是这样）的编者是学历太低，还是别有用心?这里我们讲微积分，之所以提起这个事情，就是为了突出一个名词——平均速度。
牛顿发明微积分（暂且认为是他和莱布尼茨共同发明的）的目的是为了研究物理学，因为微积分能解决很多普通数学不能解决的物体，如求曲边梯形面积。
实际上，我们初中是速度公式是速率公式，即v=s/t高中的速度公式实际上是平均速度公式，即v=△x/△t这里的△念德耳塔，表示变化率，这里当然不是用△去乘x了，△x是一个整体，就像汉字一样。
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cos t sin t
sin t cos t
,
(2)
2
At
dt,
d
t2
At
d
t
0
dt 0
由矩阵积分定义得：
2
0
At
dt
1 1
11,
利用可变上限函数的导数公式得：
d
t2
At
dt
2t
At2
dt 0
2t
cos t sin
2
t2
sin t cos t
2 2
纯量函数对矩阵的导数
设 X
xij
,
dt
1 1 3
条件 X 0 1,1,1 的解
用待定系数法先求矩阵函数值 e At
由矩阵A的特征多项式为 23, 易求得A的最小多项式 为 m 22, 则设 f z etz mzqz a bz,
由 f 2 e2t a 2b, f 2 te2t b 求得
a 1 2te2t ,b te2t
d ( X T AX ) dt
dX T AX X T A dX
dt
dt
2 dX T AX dt
定理 对任意n阶矩阵A(A与x无关），成立
deAx Ae Ax e Ax A dx
d sin Ax Acos Ax cos AxA
dx
d cos Ax Asin Ax sin AxA
dx
由函数对矩阵导数的定义可得：
T
df dX
f x1
,
f x2
,,
f xn
df dX T
f x1
,
f x2
,,
f xn
自学:P116 例2,例3,例4
矩阵值函数对矩阵的导数
设 A( X ) ( flk ( X )) Cmn , X (xij ) C pq ,
定义函数矩阵 A(X ) 对矩阵X的导数为：
dA( X dX
)
A ( xij
) C mpnq
自学:P118
例5,例6
第五节 微分方程组的求解
一阶常系数线性齐次微分方程组
dx1
dt dx2 dt
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
dxn dt
an1x1 an2 x2
ann xn
dt dt dt
dt
(2)
2
At
dt,
d
t2
At
d
t
0
dt 0
由
dAt
dt
sin cos
t t
cos t sin t
,
得
dAt 1
dt
由 At 1 得 d At 0
dt
由
A
1
t
cos sin
t t
sin t cos t
得
dA1 dt
t
sin t cos t
cos t sin t
,
At
QR分解定理
任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩 阵证。明
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x n 由于x 1,x 2, …,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e n
记为 F(s) L(( f (t))
若F（s）是f(t)拉氏变换，则称f(t)是F（s）的拉氏 逆变换或向原函数，记为
f (t) L1(F(s))
拉氏变换存在定理： 若函数f(t)满足：1）在 t 0 的任一有限区间上分段连续； 2）当 t 时f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即 存在 M 0 , 0 , 使得 f (t) Met ,0 t 成立，则 f(t)的Laplace变换在半平面 Re(s) 上一定存在，并且
0
例2、求解一阶线性微分方程组
dx1 dt
x1 2x2
1
dx2 dt
4x1 3x2
1
x1
(0)
1,
x2
(0)
2
解令
A 14
32,
X
x1 x2
,
F (t )
11,
X0
12
改写成矩阵方程为
dX dt
X
AX F (t (0) X 0
)
用Jordan法求矩阵函数值 e At
A
x1 b11e1 x2 b12e1 b22e2
其中 bii 0 , i 1,2,, n
xn b1ne1 b2ne2 bnnen
从而有
x1
x2
xn e1
用拉氏变换求解微分方程组
dx
dt
Ax(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
x(0) x0
记 X (s) L[(x(t)] , 在微分方程两边取拉氏变换：
L[(x(t)] L[ Ax(t)]
微分性质可得 sX (s) x(0) AX (s)
于是 (sI A)X (s) x(0) 从而 X (s) (sI A)1 x(0)
积分 f (t)estdt 绝对收敛且一致收敛。 0
拉氏变换的性质： （1）拉氏变换是线性变换； （2）微分性质：L[( f (t)] sF (s) f (0)
常用的拉氏变换公式：见教材P156 拉氏变换可推广到向量函数，矩阵函数上去，即
如果向量函数的每一分量都存在拉氏变换，则可定
义该向量函数的拉氏变换。
A2 X 0
,
d 3 X (0) dt3
A3 X 0
d
k X (0) dtk
Ak
X
所以由Maclaurin级数展开得
0
X
(t)
k 0
1X k!
(k)
(0)t
k
k 0
1 Ak k!
X
0t
k
k 0
1 Ak k!
t
k
X
0
eAt X0
例1、设 2
A 1
0 1
0 1,
求微分方程 dX AX t 满足初始
(3)ab(BA(x))dx B(ab A(x)dx) B与x无关
当函数aij(x)都连续时，称A(x)连续，则
d
x
A(s)ds A(x)
dx a
b
a A'(x)dx A(b) A(a)
例2、设At
cos t sin t
sin t cos t
,
求
(1) dAt , dAt , d At , dA1t
dt
dt
eAt ( dX AX ) dt
eAt F (t)
在 0,t 上对上式积分得：
d eAt X t eAt Ft
dt
0t
d ds
[e
As
X
(s)]ds
0t
e
As
F
(s)ds
即
eAt X (t) X (0) t eAs F (s)ds 0
X (t) eAt X0
t eA(ts)F (s)ds
从而
1 0 0
f A eAt aI bA
e2t
t
1t
t
t t 1 t
则微分方程组满足初始条件的解为：
X t eAt X0
e2t 1 1 t 1 tT
一阶常系数线性非齐次微分方程组问题
dX AX F (t) dt X (0) X 0
由
d [eAt X (t)] eAt ( A) X (t) eAt dX (t)
dx
dx
dx
于是 dA1(x) A1(x) dA (x) A1(x)
dx
dx
说明：因为矩阵乘法不满足交换律，一般地，对正整数 m 1 和
可导的函数矩阵 Ax, d Axm mAxm1 dAx
dx
dx
例1 求二次形X其TA中XA的是导n数阶实对称矩阵，
X=(x1(t),x2(t), …,xn(t))T
第二节 QR分解
QR分解也称为正交三角分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容：
1·矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2·矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换
定义:设A C nn. 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分 当 A Rnn 时，则解称为A的正三角分解
xi xi (t), aij C
将此微分方程组改写为矩阵方程
dX AX dt
其中 A (aij ) C nn , X X t (x1, x2 ,, xn )T
一阶线性微分方程组的初值问题1
dX AX dt X 0 (c1, c2 ,, cn )T
其中
X 0 (x1(0), x2 (0),, xn (0))T
0
e5t 2e5t
1 et 1 et
e5t 1 et 2e5t 1 et
Laplace变换及应用
定义：设函数f(t)在 t 0 有定义，而且积分
f (t)estdt 0
（s 是一个复参量）
在s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数
F (s) f (t)estdt 0
为函数f(t)的Laplace变换，简称拉氏变换，或称象函数，
2e5ts 4e 5t s
2e t s 2e t s
则
eAt X 0
e5t 2e5t
e A(ts)
F
(s)
e(ts) e(ts)