用柯西不等式解题的常用变形技巧
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧一、求解极值问题∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b] f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]，其中等号成立来自于两个函数的线性相关性。
利用柯西不等式，我们可以求解函数的最大值和最小值。
以求解函数f(x)=x(1-x)在区间[0,1]上的极值为例，我们可以将f(x)表示为f(x)=x-x^2，进而应用柯西不等式得到：∫[0,1] x(1-x) dx ≤ √[∫[0,1] x^2 dx] * √[∫[0,1] (1-x)^2 dx]=√[1/3]*√[1/3]=1/3所以函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1/3二、求解积分问题以求解积分∫[0,1] (x^2 + 1) dx为例，我们可以构造一个辅助函数g(x) = 1，然后应用柯西不等式得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^2 + 1)^2 dx] *√[∫[0,1] 1^2 dx]计算得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^4 + 2x^2 + 1) dx] *√[1]=√[1/5+2/3+1]=√[(5+10+15)/15]=√[2]所以∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √2三、求解概率问题以证明概率分布函数的Cauchy-Schwarz不等式为例，假设X和Y是两个随机变量，它们的概率分布函数分别为f(x)和g(x)。
根据柯西不等式，我们有：E(XY)^2≤E(X^2)E(Y^2)，其中E(表示期望。
通过柯西不等式，我们可以证明两个随机变量的相关系数的上限为1、若X和Y的相关系数为ρ，则根据定义有：ρ = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)表示X和Y的标准差。
我们可以利用柯西不等式证明：ρ，≤1四、其他应用总结起来，柯西不等式是一个在线性代数中非常有用的工具。
谈谈柯西不等式的应用技巧
思路探寻思路探寻所以()2a+3b+2æèöø1a+1+2b≥()2+62=8+43，所以1a+1+2b≥3，当且仅当a+1b=时，1a+1+2b的最小值为2+3，故A选项正确；对于B，由柯西不等式可得()a2+b2()22+32≥(2a+3b)2，所以a2+b2≥413，当且仅当3a=2b时，a2+b2的最小值413，故B选项正确；对于C，由柯西不等式得2a+1+3b+2≤()12+12éëêùûú()2a+12+()3b+22=10，当且仅当2a=3b+1时，2a+1+3b+2的最大值为10，故C选项正确；对于D，由柯西不等式可得，éëêùûú()2a+12+()3b+62⋅éëêêùûúúæèçöø÷2a2a+12+æèçöø÷3b3b+62≥æèçöø÷2a+1∙2a2a+1+3b+6∙3b3b+62，所以()2a+3b+7æèçöø÷4a22a+1+3b2b+2≥()2a+3b2，即4a22a+1+3b2b+2≥49，当且仅当b=4a时，4a22a+1+3b2b+2的最小值为49，故D选项错误.因此本题的答案为ABC.本题四个选项中的代数式均较为复杂，且均含有双变量，需运用二维柯西不等式来求解，分别通过分离常数、凑系数、开方、平方等方式，配凑出两式的和与积，进而运用二维柯西不等式求得最值.例5.求函数f()θ=sinθ2+cosθ的最值.解：令sinθ2+cosθ=t，则sinθ-t cosθ=2t，由柯西不等式可得：()sinθ-t cosθ2≤()sin2θ+cos2θ()1+t2，所以4t2≤1+t2，解得≤t≤，所以函数f()θ=sinθ2+cosθ的最大值为，最小值为.我们先令sinθ2+cosθ=t，即可将分式化为整式，要求得t的最值，就需将变量θ消去，于是联想到同角三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1，便构造出1+t2，进而运用二维柯西不等式，得到关于t的一元二次不等式，通过解不等式得出t的范围，即为该函数的值域.例6.已知x,y,z满足x+y+z=1，求x2+4y2+9z2的最小值.解：由柯西不等式可得：éëêùûú12+æèöø122+æèöø132∙[x2+()2y2+()3z2]≥()x+y+z2，即4936∙()x2+4y2+9z2≥1，所以x2+4y2+9z2≥3649，当且仅当x=4y=9z时取等号，所以x2+4y2+9z2的最小值为3649.本题中涉及了三个变量，于是结合式子x+y+z=1和x2+4y2+9z2的特点，联想到三维柯西不等式，通过构造因式12+æèöø122+æèöø132，来配凑出三维柯西不等式()a21+a22+a23()b21+b22+b23≥()a1b1+a2b2+a3b32中的式子，进而运用三维柯西不等式解题.例7.已知直线l:ax-by+2=0(a>0,b>0)经过点(-1,2)，求当2a+1b取得最小值时直线l的斜率.解：由题设可知，-a-2b+2=0，即a+2b=2，由柯西不等式可得éëêùûú()a2+()2b2⋅éëêêùûúú2+2≥æèça∙+2b∙2，所以()a+2bæèöø2a+1b≥8，2a+1b≥4，当且仅当a=2b时，2a+1b取得最小值，此时直线l的斜率k=ab=2.对于本题，我们需先根据已知条件求得a+2b=2；然后将式子2a+1b变形为2+2，将其与式子()a2+()2b2中的对应项相乘得到定值，即可运用二维柯西不等式求得2a+1b的最小值；最后根据柯西不等式取等号的条件和直线的斜率公式可得出l的斜率.二、用柯西不等式解方程利用柯西不等式解方程或者解方程组，主要是利用柯西不等式取等号的条件来求得方程或者方程组的解.44思路探寻例8.已知sinα-3cosα=10，求tanα的值.解：由柯西不等式可得()sinα-3cosα2≤()sin2α+cos2α[]12+()-32≤10，即sinα-3cosα≤10，当且仅当-3sinα=cosα，即tanα=-13时等号成立.本题是一道三角方程问题.在解方程时，需利用二维柯西不等式取等号的条件和同角三角函数的商式关系式求得tanα的值.例9.若p，q，m，r，s，t为实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则p+q+mr+s+t=______.解：由柯西不等式可得：()p2+q2+m2()r2+s2+t2≥()pr+qs+mt2，当且仅当pr=qs=m t时取等号，令pr=k，则p+q+mr+s+t=k，将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6，可得k()r2+s2+t2=6，解得k=23，所以p+q+mr+s+t=23.本题是解方程问题，利用了三维柯西不等式取等号的条件建立方程组，最终通过恒等变换求得p+q+mr+s+t的值.三、利用柯西不等式证明不等式柯西不等式是证明不等式的重要工具.在证明不等式时，首先要明确已知关系式和目标式的结构特征，用柯西不等式来搭建“桥梁”，使已知关系式和目标式建立联系；再合理配凑两式的和或积，运用柯西不等式证明不等式.例10.已知a>0，b>0，a2+b2=8，（1）求证：a+b≤4；（2）≥2.证明：（1）由柯西不等式可得()a+b2≤()12+12()a2+b2，所以()a+b2≤16，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立；（2）由柯西不等式可得：()a2+b2æèçöø÷1a2+32b2≥æèöøa∙1a+b∙3b2，所以8æèçöø÷1a2+9b2≥16≥2，当且仅当3a b=b a，即a=2，b=6时等号成立.第（1）问的目标式为a+b≤4，需根据二维柯西不等式将其与已知条件a2+b2=8关联，配凑出12+12，使其与a2+b2=8相乘，得出()a+b2≤(12+12)⋅()a2+b2.第（2）问的目标式为≥2，需将该式左边的两式分别与a2、b2相乘，得到常数，即可运用柯西不等式求得1a2+9b2的最小值.例11.已知a，b，c都为正实数，且a+b+c=3，证明：2a+1+2b+1+2c+1≤33.证明：由柯西不等式可得，()2a+1+2b+1+2c+12≤()12+12+12[]()2a+1+()2b+1+()2c+1，所以()2a+1+2b+1+2c+12≤3×9，所以2a+1+2b+1+2c+1≤33，当且仅当12a+1=12b+1=12c+1，即a=b=c=1时等号成立.解答本题主要运用了三维柯西不等式，需先结合已知关系和目标式的结构特点，配凑出12+12+12、()2a+1+()2b+1+()2c+1；再运用三维柯西不等式证明结论.例12.已知a，b，c都是正数，且a+b+c=1.求证：a2b+b2c+c2a≥1.证明：因为a，b，c都是正数，由柯西不等式可得，()a+b+cæèçöø÷a2b+b2c+c2a=éëêùûú()a2+()b2+()c2⋅éëêêùûúúæèçöø÷ca2+æèçöø÷ab2+æèçöø÷bc2≥æèçöø÷a∙ca+b∙ab+c∙bc2=()c+a+b2=1，所以a2b+b2c+c2a≥1，当且仅当a=b=c=13时取等号.先将a2b+b2c+c2a中的单项式改变位置，可化为c2a+a2b+b2c；再将其与因式()a+b+c相乘，即可运用三维柯西不等式证明不等式成立.当遇到此类问题时，为了便于运用柯西不等式，需要重新排列各个单项式的位置，以便得到定值.总之，在运用柯西不等式解题时，要注意将代数式进行合理的变形，常用的变形技巧有拆常数项、添项、补项、更换单项式的位置、开方、平方、凑分母、凑分子等，使两个多项式中的对应项的积为定值，或几个单项式的和为定值，为运用柯西不等式创造条件.（作者单位：福建省厦门市杏南中学）45。
柯西不等式常见题型
柯西不等式常见题型摘要：一、柯西不等式的概述二、柯西不等式的应用范围三、柯西不等式的常见题型四、柯西不等式的解题技巧五、柯西不等式的意义和价值正文：一、柯西不等式的概述柯西不等式，是由法国数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数问题时得到的。
然而，从历史的角度来看，该不等式应当称为柯西- 布尼亚科夫斯基- 施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，它的应用范围广泛，可以解决许多复杂的数学问题。
二、柯西不等式的应用范围柯西不等式在数学中有着广泛的应用，包括证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题。
此外，柯西不等式在物理学、工程学、经济学等领域也有着广泛的应用。
三、柯西不等式的常见题型柯西不等式在数学竞赛和考试中经常出现，常见的题型包括：1.证明两个向量的数量积大于等于它们的模长之积。
2.已知两个实数a 和b，证明(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) >= (ac -bd)^2。
3.求解一个三角形的最大面积，已知三角形的三个顶点坐标。
4.求解一个函数的最小值，已知函数的表达式和约束条件。
5.解方程组，已知方程组中的系数矩阵是正定矩阵。
四、柯西不等式的解题技巧解决柯西不等式的问题，通常需要灵活运用不等式的性质和一些数学方法。
以下是一些常用的解题技巧：1.利用柯西不等式的定义，将问题转化为求解一个不等式。
2.利用向量的数量积和模长的关系，将问题转化为求解一个向量问题。
3.利用三角函数的性质，将问题转化为求解一个三角函数问题。
4.利用线性规划的方法，将问题转化为求解一个线性规划问题。
5.利用二次型的性质，将问题转化为求解一个二次型问题。
五、柯西不等式的意义和价值柯西不等式在数学中有着重要的意义和价值，它为我们解决许多实际问题提供了一个强大的工具。
巧用柯西不等式求函数的最值
中等号成立的条件. （作者单位：齐齐哈尔大学理学院） 39
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( ) 根据柯西不等式可得 1 ×
-6 + x + 1 ×
12 - x
2
≤
( ) ( ) ( ) 12 + 12
é
ê
-6 + x
2
+
ë
12 - x
2ù
ú
û
，
即 f 2(x) ≤ 2 × 6 = 12 ，所以 | f (x)| ≤ 2 3 ，
当且仅当 -6 + x = 12 - x 时，即 x = 9 时，等号成立， 综上，函数的最大值为 2 3 .
西不等式，通过将已知关系式变形，或者将已知条件
和结论相互关联起来，构造出 n 个数的和或积，使其和
或积为定值，然后便可直接运用柯西不等式求得最值.
例
1.求函数
y
=
sin sin x
x +
+ 2
3 cos cos x
x +
1
的值域.
解：将原式变形可得 y = (1 - y)sin x + (3 - 2y)cos x ，
根据柯西不等式可得
[ ] y2 ≤ (1 - y)2 + (3 - 2y)2 (sin2 x +cos2 x)，
例 4. 求 函 数 u = (y - 1)2 + (x + y - 3)2 + (2x + y - 6)
的最小值.
即
2y2
-
7y
+
5
≥
0
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧
由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧邓军民（广州市育才中学数学科）柯西不等式：设n n b b b a a a ,......,,;,......,,2121为两组实数，则()()()222212222122211.n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当时取等号，，，，约定)210(2211n i a a b a b a b i nn =≠===。
柯西不等式证法一：构造二次函数（n i a i ，，， 21,0=≠）()()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a x f +++++++-+++=()()()()()()()()()()时取等号。
即，，当且仅当nn n n nn n n n n n n n n a b a b a b b x a b x a b x a b b b a a a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b x a b x a b x a x f ====-=-=-++++++≤+++∴≤++++++-+++=∆∴≥-++-+-= 2211221122221222212221122221222212221122222110000440这种证法则是利用了二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12的两个特点：（1）、二次项系数大于0 ；（2）、函数值 ()0,0≤∆≥则可得出结论：x f 。
有些不等式题则可根据已知条件和条件的特点，巧妙地构造二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12，从而利用()0≥x f 恒成立，0≤∆来求解。
例1、 设()n i x i ,2,10=>，求证：n n x x x x x x xx x +++≥+++ 2112322221()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-++++=∴=>123222212121322,2,10x x x x x x x x x x x x x x x x f n i x n n n i 可构造函数证明：21123232212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x x x x x n()()()()()nn n nn nn n x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x f ++++≥+++∴+++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∴≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+++=∆∴≥ 3211232222122112322221132123222211322210440恒成立例2、已知实数a 、b 、c 、d 满足a+b+c+d=3,56322222=+++d c b a ,试求a 的最大值和最小值。
柯西不等式数形结合
柯西不等式数形结合
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济等。
数形结合是数学中一种非常有用的解题方法，它可以通过将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，从而更好地理解和解决这些问题。
当我们使用数形结合的方法来理解柯西不等式时，可以将不等式左边视为一个向量的模长的平方，右边视为各个向量与单位向量的数量积的平方。
这样，柯西不等式可以理解为：一个向量的模长的平方总是大于或等于各个向量与单位向量的数量积的平方。
通过数形结合的方法，我们可以将柯西不等式与几何图形结合起来，从而更好地理解这个不等式的意义和作用。
例如，我们可以将柯西不等式应用于解决直线和圆的位置关系问题。
如果我们设直线的方向向量为a，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，那么柯西不等式可以转化为：a·b≤(a²+b²)/2，其中b为圆心到直线的垂直距离。
这个不等式可以帮助我们判断直线与圆的位置关系，以及求出圆心到直线的最短距离。
此外，数形结合的方法还可以帮助我们解决其他一些问题，例如向量模长问题、线性规划问题等。
通过将这些问题转化为图形问题，我们可以更加直观地理解和解决这些问题，从而更加高效地解决数学问题。
综上所述，数形结合是一种非常有用的解题方法，它可以让我们更好地理解和解决数学问题。
通过将柯西不等式与几何图形结合起来，我们可以更加深入地理解这个不等式的意义和作用，从而更好地应用于各个领域。
妙用-柯西不等式-巧解题
解： 函数的定义域为 「 ， 」， 且 （ ） （
【 点评 ］ 此题利用柯西不等式， 结合 件， 实现快速解答 例 已知 的三边长分别为 、 ）
这一条
、 ， 其外接圆的半
） （
）
径为 ， 求证： （ 证明： 由正弦定理得
， ， ，
当且仅当 当
时， 等号成立， 即
所以 于是 （ （ · ） ）
妙用“ 柯西不霎贰” 巧解题
（ 山东省沂水县第一中学 ）
初等数学是高等数学的基础， 高等数学是初等数学的发展 在中学数学教材和教学中适当地渗透一些高等数学的知识是必 要的 《 普通高中课程标准实验教科书·数学 （ 选修 ）》 即 《 不等式选讲 》 中的“ 柯西不等式” 作为联系初等数学与高等数 学的重要桥梁， 在中学数学中的应用比较广泛， 它是异于“ 均 值不等式” 的另一个重要不等式， 灵活巧妙地运用它， 可以使 一些比较困难的问题迎刃而解 一、 柯西 （ 二维形式 若 、 、 、 当且仅当 都是实数， 则（ 时， 等号成立 都是实数， 则 时， 等号成立 · ） · ） （ ） （ ）， ） 不等式的几种形式 使 若 若 （ 故 （ （ ， 则 ， 则有 （ （ （） 当 （ · 因为 （） 所以判别式 · ） · ） ， ， ·， ）不全为零时， 则 ） （ · · · ） ） （ ） ） （ （ · （ 恒成立， （ ， ） （ ） ， 以上不等式取等号， 即存在唯一实数 ， ， ， ·， ）， （ ， ， ·， ）， 原不等式成立， ， ， ， ·， ）或 （ ， ， · ）· · · （ · ） ， ）
个定点呢？ 联立得 的横坐标成等差数列） 没 得 因为 、 所以 则 因为 所以 代入 所以 ， 为直线 的方程 恒过定点 （， 的方程为 ， 是上述方程的两根， ， ， 即为 （ ， 上任意一点， ， ， 得 ） （ ）上的动点，
柯西不等式的证明、推广及应用
柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。
证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。
2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。
柯西不等式中取等条件的妙用
柯西不等式中取等条件的妙用设,,,,,321n a a a a n b b b b ,,,,321 是实数，则))((2222122221n n b b b a a a ++++++ 22211)(n n b a b a b a +++≥ ，当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得),,2,1(n i kb a i i ==时，等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为“方和积不小于积和方”）,其应用十分广泛和灵活，善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能，可用于求代数式的值、解方程、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
一、妙用取等条件求代数式的值例1 设0abc ≠,且()()22222314a b c a b c ++=++，求b c a c a b a b c +++++的值。
解析:构造两组实数,,a b c ；1,2,3.由柯西不等式，得()()()222222212323a b c a b c ++++≥++，即()()22221423a b c a b c ++≥++，上式等号成立的充要条件是.123a b c== 令123a b ck ===，则a k =，2b k =,3.c k = 所以5438.23b c a c a b k k k a b c k k k+++++=++=点评：本题若直接求解，过程较繁.借助柯西不等式，顺利地实现了从不等到相等的转化，干净利落.其中不等式等号成立的条件及其适当的变形是实现这一转化的桥梁。
二、妙用取等条件解方程例2 解方程1521234=-++x x .分析： 利用二维形式的柯西不等式把x x y 21234-++=变形后求最值,取“="号时x 的值即为原方程的根。
解析: 2152= ])21()232[(]2)2[(2222x x -++⋅+≤15256)21232(6=⨯=-++≤x x 。
柯西不等式3种变形
柯西不等式3种变形柯西不等式是数学中的一个重要不等式，由法国数学家柯西于1821年提出。
它是数学分析中的一个基本定理，被广泛应用于实分析、复分析、概率论等领域。
柯西不等式的三种变形分别是：乘法形式、平方和形式和积分形式。
一、乘法形式柯西不等式的乘法形式表达了两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系。
设有两个n维向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，那么它们的内积满足如下不等式：|a·b| ≤ |a||b|其中，a·b表示向量a和向量b的内积，|a|表示向量a的模。
乘法形式的柯西不等式可以用几何上的解释来理解。
对于两个非零向量a和b，它们的内积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
因此，柯西不等式可以看作是余弦函数的性质在向量空间上的一个推广。
二、平方和形式柯西不等式的平方和形式是乘法形式的一个特殊情况。
设有两个实数a和b，则它们的平方和满足如下不等式：(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥ (ac+bd)^2其中，a、b、c、d都是实数。
平方和形式的柯西不等式可以用来证明两个实数的平方和大于等于它们的乘积的平方。
这个不等式在数学中有着广泛的应用，可以用来证明其他不等式、几何问题等。
三、积分形式柯西不等式的积分形式表达了两个函数的乘积与它们的平方积分之间的关系。
设有两个定义在区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，那么它们的乘积在[a,b]上的积分满足如下不等式：∫[a,b]f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b]f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数积分。
积分形式的柯西不等式可以用来证明两个函数的乘积积分小于等于它们的平方积分的乘积的平方根。
这个形式的柯西不等式在实分析中有着重要的应用，特别是在研究函数的平方可积性、傅里叶级数等方面。
柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它有着乘法形式、平方和形式和积分形式三种变形。
柯西不等式的应用篇
柯西不等式的应用篇 The following text is amended on 12 November 2020.柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数=()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即1212nna a ab b b ===时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立设A=22221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =+++则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式的应用 篇
柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数=()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥Q L即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立设A=22221k a a a +++Λ B=22221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧摘要：柯西不等式是高中数学新课程中的新增内容，其在解决数学问题中是非常重要并且高效的解题方法。
在解决证明命题问题或者最值等问题时，柯西不等式是较优的选择，同时，在培养学生的综合运用能力、分析能力以及转换能力方面都具有一定辅助作用，并且有利于帮助学生形成多方面思考的解题习惯，有利于创新思想的形成。
关键词：柯西不等式；高中数学；高考应用柯西不等式在其构造形式以及表现形式上，具有非常高的灵活性，学生可以运用数学归纳法、构造函数法、线性相关法、配方法、比较法、参数法或者均值不等式或向量内积等方法来证明柯西不等式。
同样的，柯西不等式也可以在多中不同的情况下，灵活巧妙的应用。
例如：解决数学中的不等式证明问题、最值求解问题、推到空间点导致先的距离公式等问题上都可以借助柯西不等式进行求解。
在高中阶段，较为常用的是利用柯西不等式解决最值问题、不等式的证明问题以及利用其变形公式进行求解的问题。
在本文中，将针对上述三种问题，具体论述柯西不等式在高考数学中的应用。
1.利用柯西不等式解决最值问题在利用柯西不等式解决最值问题时，有些可直接套用，有些可能需要对题目中所给的式子进行适当的配凑，再进行公式的套用。
在解决不等式问题时，可以应用到的方法很多，但是利用柯西不等式解决此类问题最大的特点便是效率，过程不再有那么繁琐，简单精简，显得干净利落。
并且，最值问题这类题目的难度系数不高，出现在高考中的可能性较大，如果能够掌握好柯西不等式的应用，对于解决此类问题十分重要。
下面以两个例子，具体阐述柯西不等式的应用：例1：已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值：解：通过柯西不等式可知：（2b2+3c2+6d2）（1/2+1/3+1/6）≥（b+c）2a由条件可以得出：5—a2≥（3—a）解得：1≤a≤2 当且仅当时等等号成立代入：b=1,c=1/3,d=1/6时，可得a最大值为2b=1,c=2/3,d=1/3时，可得a最小值为1例2：求解函数的最大值解：根据题意可知：y>0，并且x的范围为1到5闭区间所以由柯西不等式可知：当且仅当：即当x=61/25时取等号所以函数的最大值为101.利用柯西不等式解决不等式证明问题柯西不等式是在证明一些不等式问题时的经常会使用的理论根据，通过利用柯西不等式以及对给出证明式的拆分变形，可以减少在证明不等式过程中会遇到的许多问题，有利于题目的求解。
柯西施瓦兹不等式的应用
柯西施瓦兹不等式的应用(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的几种证明方法思路一从代数式角度来考虑，由柯西不等式联想到完全平方公式，利用配方法可证。
证明因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=( a2c2+2abcd+b2d2)+( a2d2-2abcd+b2c2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而(ad-bc)2≥0。
所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)。
思路二从不等式的角度考虑，由柯西不等式的特点，可以联想借助均值不等式来证。
证法1要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立，只要证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，即证2 abcd ≤a2d2+b2c2。
由均值不等式可得2abcd≤a2d2+b2c2，因为2abcd≤2abcd,所以2abcd≤a2d2+b2c2，于是柯西不等式得证。
证法2要证ac+bd≤○1=B，○2则○1即ac+bd≤AB，○3当A=0或B=0时，命题显然成立。
如果A≠0且B≠0，则由均值不等式可得2ac AB ≤22aA+22cB，2bdAB≤22bA+22dB。
两式相加，得2AB（ac+bd）≤222a bA++222c dB++, ○4由○2，○4两式得ac bdAB+≤1，即ac bd+≤AB，因为ac b d+≤a c+b d，所以ac b d+≤AB，因此不等式○3成立，于是柯西不等式得证。
思路三从函数与方程的角度考虑，由柯西不等式的特点联想到一元二次方程的判别式，构造二次函数可证。
证明当a，b全为零时，命题显然成立，如果a，b不全为零，考察二次函数f(x)=( a2+b2)x2-2(ac+bd)x+( c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)2,因为对于任意实数x均有f(x) ≥0。
所以f(x)=0的判别式22222[2()]4()()0ac bd a b c d∆=-+-++≤，故22222()()()ac bd a b c d+≤++。
一般形式的柯西不等式
+
2
· 2
2
(1+2 +3 +…+ )2
.
1 +2 +3 +…+
21 22
+
1
2
2
+…+
+…+
·
(b1+b2+…+bn)
2
= (a1+a2+…+an)2.
∵b1,b2,…,bn 为正数,
∴b1+b2+…+bn>0,
∴
21
1
22
+
2
2
1
21
22
2
2
以上式子相加整理,得
+
+ ⋯+
+
1 +2 2 +3
-1 +
+1
1
1
(a1+a2+…+an) = , 当且仅当a1=a2=…=an 时,等号成立.
2
2
-1
≥
题型一
题型二
题型三
题型四
反思通过本题不同的证明方法可以看出,无论用柯西不等式或其
他重要不等式来证明,构造出所需要的某种结构是证题的难点,因
表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与
实际应用时二者达到一种默契.教材例1中数字“1”的利用说明了处
理问题与变形的灵活性.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
三维形式的柯西不等式
【例 1】 在△ABC 中,设其各边长分别为 a,b,c,外接圆半径为 R,
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讲》。浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导
意见对柯西不等式考查的要求为：“认识柯西不等式 的几种不同形式，理解它们的几何意义；掌握一般形
式的柯西不等式证明思路”。近三年来，柯西不等式作
为高考的选考内容，以三维柯西不等式形式为主，考 查其简单应用。
1，求证： x２ + y２ + z２ ≥ 1 ． y+2z z+2x x+2y 3
分析：不等式左边嵌乘因式（y+2z）+（z+2x）+（x+
2y），即嵌入因式 ３（x+y+z），利用柯西不等式得
［（y+2z）+（z+2x）+（x+2y）］［ x２ + y２ + z２ ］ y+2z z+2x x+2y
＝x－y＋１＝3x－y－５，即 x＝
８ ３
，y＝
１０ ３
时，
取到最小值。
三、巧嵌因式
柯西不等式有三个因式，而大多数题中只有一个
或两个因式，为利用柯西不等式，需要巧妙嵌入一个因
式．此因式嵌入的目的是为了出现题中的因式，且往往 嵌入的因式和为定值．
例 ３ （２００９ 浙江卷）已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=
1 a－b
+
1 b-c
+
1 c-d
≥9 a－d
．
分析：为改变原不等式结构，原不等式证明转化为
（ 1 + 1 + 1 ）（a－d）≥９。为应用柯西不等式， a－b b-c c-d
将（a－d）变化为结构 a－d＝（a－b）+（b-c）+（c-d）
由柯西不等式，得（ 1 + 1 + 1 ）［（a－b）+ a－b b-c c-d
姨 姨 （b-c）+（c-d）］≥（
1 a－b
姨a－b +
1 b-c
姨b-c +
姨1 c-d
姨c-d ）２＝９，
即
1 a－b
+
1 b-c
+
1 c-d
≥9 a－d
五、项的巧添
把握柯西不等式的结构特点，有时候需要根据需
要巧妙地添加适当的项，改变式子结构，再利用柯西不
等式。 六、项的巧拆
柯西不等式项数的选取是证题的一个关键，有时 候需要将一些项巧妙地拆开，为柯西不等式创造条件。
除上述方法外，柯西不等式还有其他使用技巧．总
之，把握好柯西不等式的结构特征是用柯西不等式解 题的关键，配凑法是手段．根据具体问题，分析题中哪
些项相当于柯西不等式中的 ai 和 bi，适当变形，有时 甚至需要构造．但应该注意到，柯西不等式作为选考内
容，要求不高，技巧性不强．
２０１２年第 ８ 期 ·41·
姨２
姨３
姨６
当且仅当
姨２ １
x
＝
姨3 １
y
＝
姨１
z
时取“＝”。
姨２ 姨３ 姨６
∴２x＝3y＝6z．又 ∵x+y+z=1，
∴x＝
１ ２
，y＝
１ ３
，z＝
１ ６
．
二、巧消变量
把握柯西不等式的结构特点，合理系数，消去变
量，再利用柯西不等式。
例 ２ 已 知 x，y ∈Ｒ， 求 （x－２）２＋（x－y－１）２＋
（3x－y－５）２ 的最小值，并求出取到最小值时相应 x，y
的值。
分析：［２·（x－２）＋１·（x－y－１）＋１·（y－３x＋５）］２
＝２２ ≤（２２＋１２＋１２） ［（x－２）２＋ （x－y－１）２＋
（3x－y－５）２］。
∴（x－２）２＋（x－y－１）２＋（3x－y－５）２
≥
２ ３
．
当且仅当
x－２ ２
≥（x+y+z）２．
又 因 为 x +y +z =1， 所 以 x２ + y２ + z２ ≥ y+2z z+2x x+2y
（y+2z）（+（x+zy++2zx））２+（x+2y）=
1 3
.
四、调整结构
有些不等式不具备应用柯西不等式的条件，需要
将结构适当的进行调整，再利用柯西不等式．
例 ４ 已知实数 a,b,c,d 满足 a＞b＞c＞d，求证：
条件，有时候需要配凑系数，再利用柯西不等式。 例 １ 已知 x，y，z 为整实数，且 x+y+z=1， 求 2x2+
3y2+6z2 的最小值并求取得最小值时 x，y，z 的值．
分 析 ：［（ 姨２x ）２ +（ 姨3y ）２ +（ 姨6z ）２］
［（ １ ）２+（ １ ）２+（ １ ）２］≥（x+y+z）２＝１
考题研究
用柯西不等式解题的常用变形技巧
浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 柯少华
柯西不等式：设 a１，a２，…，aｎ ，b１，b２，…，bｎ ∈Ｒ，则 （a１２＋a２２＋ … ＋aｎ２）（b１２＋b２２＋ … ＋bｎ ２） ≥（a１b１＋a２b２＋ … ＋aｎbｎ）２．
当且仅当 bi＝０（i＝１，２，… ，n）或 存 在 数 k，使 得 ai＝kb（i i＝１，２，…，n）时，等号成立。
柯西不等式应用灵活，技巧强，类型多，学生在应 用时最困难的是如何变形来沟通待解决的问题与柯
西不等式之间的联系，而这却是应用柯西不等式解题
的关键。在利用柯西不等式时，必须认真分析，巧妙构 思，从而促成问题的解决。为此本文归纳运用柯西不
等式的常用变形技巧，以供参考。
一、巧凑系数
把握柯西不等式的结构特点，为了利用题目所给