用柯西不等式解题的常用变形技巧
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柯西不等式形式优美，具有重大的应用价值，并 且作为新增内容进入新课程的选修教材 《不等式选
讲》。浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导
意见对柯西不等式考查的要求为：“认识柯西不等式 的几种不同形式，理解它们的几何意义；掌握一般形
式的柯西不等式证明思路”。近三年来，柯西不等式作
为高考的选考内容，以三维柯西不等式形式为主，考 查其简单应用。
1 a－b
+
1 b-c
+
1 c-d
≥9 a－d
．
分析：为改变原不等式结构，原不等式证明转化为
来自百度文库
（ 1 + 1 + 1 ）（a－d）≥９。为应用柯西不等式， a－b b-c c-d
将（a－d）变化为结构 a－d＝（a－b）+（b-c）+（c-d）
由柯西不等式，得（ 1 + 1 + 1 ）［（a－b）+ a－b b-c c-d
考题研究
用柯西不等式解题的常用变形技巧
浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 柯少华
柯西不等式：设 a１，a２，…，aｎ ，b１，b２，…，bｎ ∈Ｒ，则 （a１２＋a２２＋ … ＋aｎ２）（b１２＋b２２＋ … ＋bｎ ２） ≥（a１b１＋a２b２＋ … ＋aｎbｎ）２．
当且仅当 bi＝０（i＝１，２，… ，n）或 存 在 数 k，使 得 ai＝kb（i i＝１，２，…，n）时，等号成立。
≥（x+y+z）２．
又 因 为 x +y +z =1， 所 以 x２ + y２ + z２ ≥ y+2z z+2x x+2y
（y+2z）（+（x+zy++2zx））２+（x+2y）=
1 3
.
四、调整结构
有些不等式不具备应用柯西不等式的条件，需要
将结构适当的进行调整，再利用柯西不等式．
例 ４ 已知实数 a,b,c,d 满足 a＞b＞c＞d，求证：
柯西不等式应用灵活，技巧强，类型多，学生在应 用时最困难的是如何变形来沟通待解决的问题与柯
西不等式之间的联系，而这却是应用柯西不等式解题
的关键。在利用柯西不等式时，必须认真分析，巧妙构 思，从而促成问题的解决。为此本文归纳运用柯西不
等式的常用变形技巧，以供参考。
一、巧凑系数
把握柯西不等式的结构特点，为了利用题目所给
1，求证： x２ + y２ + z２ ≥ 1 ． y+2z z+2x x+2y 3
分析：不等式左边嵌乘因式（y+2z）+（z+2x）+（x+
2y），即嵌入因式 ３（x+y+z），利用柯西不等式得
［（y+2z）+（z+2x）+（x+2y）］［ x２ + y２ + z２ ］ y+2z z+2x x+2y
（3x－y－５）２ 的最小值，并求出取到最小值时相应 x，y
的值。
分析：［２·（x－２）＋１·（x－y－１）＋１·（y－３x＋５）］２
＝２２ ≤（２２＋１２＋１２） ［（x－２）２＋ （x－y－１）２＋
（3x－y－５）２］。
∴（x－２）２＋（x－y－１）２＋（3x－y－５）２
≥
２ ３
．
当且仅当
x－２ ２
姨２
姨３
姨６
当且仅当
姨２ １
x
＝
姨3 １
y
＝
姨6 １
z
时取“＝”。
姨２ 姨３ 姨６
∴２x＝3y＝6z．又 ∵x+y+z=1，
∴x＝
１ ２
，y＝
１ ３
，z＝
１ ６
．
二、巧消变量
把握柯西不等式的结构特点，合理系数，消去变
量，再利用柯西不等式。
例 ２ 已 知 x，y ∈Ｒ， 求 （x－２）２＋（x－y－１）２＋
＝x－y＋１＝3x－y－５，即 x＝
８ ３
，y＝
１０ ３
时，
取到最小值。
三、巧嵌因式
柯西不等式有三个因式，而大多数题中只有一个
或两个因式，为利用柯西不等式，需要巧妙嵌入一个因
式．此因式嵌入的目的是为了出现题中的因式，且往往 嵌入的因式和为定值．
例 ３ （２００９ 浙江卷）已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=
姨 姨 （b-c）+（c-d）］≥（
1 a－b
姨a－b +
1 b-c
姨b-c +
姨1 c-d
姨c-d ）２＝９，
即
1 a－b
+
1 b-c
+
1 c-d
≥9 a－d
五、项的巧添
把握柯西不等式的结构特点，有时候需要根据需
要巧妙地添加适当的项，改变式子结构，再利用柯西不
等式。 六、项的巧拆
柯西不等式项数的选取是证题的一个关键，有时 候需要将一些项巧妙地拆开，为柯西不等式创造条件。
条件，有时候需要配凑系数，再利用柯西不等式。 例 １ 已知 x，y，z 为整实数，且 x+y+z=1， 求 2x2+
3y2+6z2 的最小值并求取得最小值时 x，y，z 的值．
分 析 ：［（ 姨２x ）２ +（ 姨3y ）２ +（ 姨6z ）２］
［（ １ ）２+（ １ ）２+（ １ ）２］≥（x+y+z）２＝１
除上述方法外，柯西不等式还有其他使用技巧．总
之，把握好柯西不等式的结构特征是用柯西不等式解 题的关键，配凑法是手段．根据具体问题，分析题中哪
些项相当于柯西不等式中的 ai 和 bi，适当变形，有时 甚至需要构造．但应该注意到，柯西不等式作为选考内
容，要求不高，技巧性不强．
２０１２年第 ８ 期 ·41·
讲》。浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导
意见对柯西不等式考查的要求为：“认识柯西不等式 的几种不同形式，理解它们的几何意义；掌握一般形
式的柯西不等式证明思路”。近三年来，柯西不等式作
为高考的选考内容，以三维柯西不等式形式为主，考 查其简单应用。
1 a－b
+
1 b-c
+
1 c-d
≥9 a－d
．
分析：为改变原不等式结构，原不等式证明转化为
来自百度文库
（ 1 + 1 + 1 ）（a－d）≥９。为应用柯西不等式， a－b b-c c-d
将（a－d）变化为结构 a－d＝（a－b）+（b-c）+（c-d）
由柯西不等式，得（ 1 + 1 + 1 ）［（a－b）+ a－b b-c c-d
考题研究
用柯西不等式解题的常用变形技巧
浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 柯少华
柯西不等式：设 a１，a２，…，aｎ ，b１，b２，…，bｎ ∈Ｒ，则 （a１２＋a２２＋ … ＋aｎ２）（b１２＋b２２＋ … ＋bｎ ２） ≥（a１b１＋a２b２＋ … ＋aｎbｎ）２．
当且仅当 bi＝０（i＝１，２，… ，n）或 存 在 数 k，使 得 ai＝kb（i i＝１，２，…，n）时，等号成立。
≥（x+y+z）２．
又 因 为 x +y +z =1， 所 以 x２ + y２ + z２ ≥ y+2z z+2x x+2y
（y+2z）（+（x+zy++2zx））２+（x+2y）=
1 3
.
四、调整结构
有些不等式不具备应用柯西不等式的条件，需要
将结构适当的进行调整，再利用柯西不等式．
例 ４ 已知实数 a,b,c,d 满足 a＞b＞c＞d，求证：
柯西不等式应用灵活，技巧强，类型多，学生在应 用时最困难的是如何变形来沟通待解决的问题与柯
西不等式之间的联系，而这却是应用柯西不等式解题
的关键。在利用柯西不等式时，必须认真分析，巧妙构 思，从而促成问题的解决。为此本文归纳运用柯西不
等式的常用变形技巧，以供参考。
一、巧凑系数
把握柯西不等式的结构特点，为了利用题目所给
1，求证： x２ + y２ + z２ ≥ 1 ． y+2z z+2x x+2y 3
分析：不等式左边嵌乘因式（y+2z）+（z+2x）+（x+
2y），即嵌入因式 ３（x+y+z），利用柯西不等式得
［（y+2z）+（z+2x）+（x+2y）］［ x２ + y２ + z２ ］ y+2z z+2x x+2y
（3x－y－５）２ 的最小值，并求出取到最小值时相应 x，y
的值。
分析：［２·（x－２）＋１·（x－y－１）＋１·（y－３x＋５）］２
＝２２ ≤（２２＋１２＋１２） ［（x－２）２＋ （x－y－１）２＋
（3x－y－５）２］。
∴（x－２）２＋（x－y－１）２＋（3x－y－５）２
≥
２ ３
．
当且仅当
x－２ ２
姨２
姨３
姨６
当且仅当
姨２ １
x
＝
姨3 １
y
＝
姨6 １
z
时取“＝”。
姨２ 姨３ 姨６
∴２x＝3y＝6z．又 ∵x+y+z=1，
∴x＝
１ ２
，y＝
１ ３
，z＝
１ ６
．
二、巧消变量
把握柯西不等式的结构特点，合理系数，消去变
量，再利用柯西不等式。
例 ２ 已 知 x，y ∈Ｒ， 求 （x－２）２＋（x－y－１）２＋
＝x－y＋１＝3x－y－５，即 x＝
８ ３
，y＝
１０ ３
时，
取到最小值。
三、巧嵌因式
柯西不等式有三个因式，而大多数题中只有一个
或两个因式，为利用柯西不等式，需要巧妙嵌入一个因
式．此因式嵌入的目的是为了出现题中的因式，且往往 嵌入的因式和为定值．
例 ３ （２００９ 浙江卷）已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=
姨 姨 （b-c）+（c-d）］≥（
1 a－b
姨a－b +
1 b-c
姨b-c +
姨1 c-d
姨c-d ）２＝９，
即
1 a－b
+
1 b-c
+
1 c-d
≥9 a－d
五、项的巧添
把握柯西不等式的结构特点，有时候需要根据需
要巧妙地添加适当的项，改变式子结构，再利用柯西不
等式。 六、项的巧拆
柯西不等式项数的选取是证题的一个关键，有时 候需要将一些项巧妙地拆开，为柯西不等式创造条件。
条件，有时候需要配凑系数，再利用柯西不等式。 例 １ 已知 x，y，z 为整实数，且 x+y+z=1， 求 2x2+
3y2+6z2 的最小值并求取得最小值时 x，y，z 的值．
分 析 ：［（ 姨２x ）２ +（ 姨3y ）２ +（ 姨6z ）２］
［（ １ ）２+（ １ ）２+（ １ ）２］≥（x+y+z）２＝１
除上述方法外，柯西不等式还有其他使用技巧．总
之，把握好柯西不等式的结构特征是用柯西不等式解 题的关键，配凑法是手段．根据具体问题，分析题中哪
些项相当于柯西不等式中的 ai 和 bi，适当变形，有时 甚至需要构造．但应该注意到，柯西不等式作为选考内
容，要求不高，技巧性不强．
２０１２年第 ８ 期 ·41·