第九章 高考专题突破五

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题

【考点自测】

1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5

2x ，且与椭

圆x 212＋y 2

3＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 2

10＝1 B.x 24－y 2

5＝1 C.x 25－y 2

4＝1 D.x 24－y 2

3

＝1 答案 B 解析 由y ＝

52x ，可得b a ＝52

.① 由椭圆x 212＋y 2

3＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，

可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 2

5

＝1.故选B.

2．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2

为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.

63 B.33 C.23 D.13

答案 A

解析 由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，

∴圆心到直线的距离d ＝2ab

a 2＋

b 2

＝a ，解得a ＝3b ，

∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝

a 2－

b 2

a

＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝

1－⎝⎛⎭⎫132＝63

.

故选A.

3．(2017·全国Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A

解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，

所以F (1,0)．

由题意知直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1

k ，故直线

l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1

k

(x －1)．

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 显然，该方程必有两个不等实根．

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4

k 2，x 1x 2＝1，

所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2

＝

1＋k 2·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k 2＋4k 22

－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．

所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)

k 2＋4(1＋k 2)

＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1＋1＋k 2

＝8＋4⎝

⎛⎭⎫k 2＋1

k 2≥8＋4×2＝16， 当且仅当k 2＝1

k

2，即k ＝±1时，取得等号．

故选A.

4．(2017·北京)若双曲线x 2

－y 2

m

＝1的离心率为3，则实数m ＝________.

答案 2

解析 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，

故双曲线的离心率e ＝c

a ＝

1＋m ＝3，

∴1＋m ＝3，解得m ＝2.

5．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F

的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±

22

x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

a 2－y 2

b 2＝1，x 2＝2py ，

得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 显然，方程必有两个不等实根． ∴y 1＋y 2＝2pb 2

a 2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，

∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p

2，即y 1＋y 2＝p ，

∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±

2

2

x .

题型一 求圆锥曲线的标准方程

例1 (2018·佛山模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|

＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 2

3

＝1 B.x 23

＋y 2

＝1

C.x 22＋y 2

＝1 D.x 24

＋y 2

＝1 答案 A

解析 ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2，

∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、简单性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．

跟踪训练1 已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与

圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 2

13＝1 B.x 213－y 2

9＝1 C.x 23－y 2

＝1 D ．x 2－

y 2

3

＝1 答案 D

解析 双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一个焦点为F (2,0)，

则a 2＋b 2＝4，①

双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a x ，

由题意得

2b a 2＋b 2

＝3，②

联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为

x 2－

y 2

3

＝1，故选D. 题型二 圆锥曲线的简单性质

例2 (1)(2018届辽宁凌源二中联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

16＝1(a >0)的一个焦点为(5,0)，则双

曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝12 B ．4x ±41y ＝0 C ．16x ±9y ＝0 D ．4x ±3y ＝0

答案 D

解析 由题意得c ＝5，则a 2＝c 2－16＝9，即a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±4

3x ，即

4x ±3y ＝0，故选D.