利用等腰三角形的对称性解题 (优质)

合集下载

等腰三角形的性质和判定的综合题目

-提醒学生关注联系在现实生活中的应用，培养学生的理论联系实际的意识。
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。

八年级数学上册《等腰三角形的轴对称性》优秀教学案例

二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握等腰三角形的定义，了解等腰三角形的底和腰的概念，并能正确区分。
2.使学生掌握等腰三角形的轴对称性质，学会运用轴对称性分析等腰三角形的角、边关系，并能解决相关问题。
3.培养学生运用几何图形和符号表达数学问题的能力，提高他们的几何直观和空间想象能力。
4.使学生能够运用等腰三角形的性质解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
b.解决与等腰三角形相关的实际问题，如求等腰三角形的面积、周长等。
c.搜集生活中的等腰三角形实例，结合轴对称性质进行分析。
2.提醒学生按时完成作业，巩固所学知识。
3.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、主动探究，提高自己的几何素养。
五、案例亮点
1.生活化情境导入，激发学生学习兴趣
本案例以我国古代建筑为背景，将生活中的对称美引入课堂，让学生在感受几何图形之美的同时，自然过渡到等腰三角形的学习。这种生活化的情境导入，既激发了学生的学习兴趣，又使他们体会到数学与生活的紧密联系。
3.通过实物模型展示等腰三角形的轴对称性质，让学生在直观感知的基础上，进一步探索等腰三角形的性质。
（二）问题导向
1.提出引导性问题，如“等腰三角形有什么特点？”“如何证明等腰三角形的轴对称性质？”等，激发学生的思考，引导他们主动探究。
2.设计具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，运用所学知识，提高他们的应用能力。
4.引导学生总结、归纳等腰三角形的性质和应用，培养他们的概括能力和抽象思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，使他们体会到数学在生活中的重要作用，增强学习数学的自信心。
2.通过对等腰三角形轴对称性质的学习，让学生感受到几何图形的对称美，培养他们的审美情趣。

等腰三角形的轴对称性(2)同步练习含答案解析

《2.5 等腰三角形的轴对称性》（2）一、选择题1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD4．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题6．由“△ABC中，∠A=∠B”提供的信息可知：不但△ABC是等腰三角形，而且知道它的底边是______，顶角是______．7．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC是______三角形．8．在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是______，______．9．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=______．10．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距______海里．三、解答题11．如图，已知：AD∥BC，∠EAC=2∠C，BD平分∠ABC，AC=4cm，求AD长．12．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．BD、CE、DE之间存在怎样的关系？说明理由．13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FB平分∠ABC交AD于E，交AC于F．求证：AE=AF．《2.5 等腰三角形的轴对称性》（2）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB，∴∠C=BOC，∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=3cm．故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边．2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据角的平分线的性质，得CE=EF，两直线平行，内错角相等，得∠AEF=∠CHE，用AAS判定△ACE≌△AEF，由全等三角形的性质，得∠CEH=∠AEF，用等角对等边判定边相等．【解答】解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE∴CH=CE=EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，又∵∠ACB=∠AFE=90°，AE=AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE=EF，∠CEA=∠AEF，AC=AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选D．【点评】本题是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．4．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】三角形的外角性质．【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．【解答】解：∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，∴这个三角形是等边三角形．故选D．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．5．如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等腰三角形的判定．【分析】首先根据∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，利用等角对等边可得到：AB=AC，AD=AE，再利用内角与外角的关系可得∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，从而进一步得到：AE=EC，AD=BD，从而得到答案．【解答】解；∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵∠ADE=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠AED=2∠C，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是根据角相等得到边相等．二、填空题6．由“△ABC中，∠A=∠B”提供的信息可知：不但△ABC是等腰三角形，而且知道它的底边是AB ，顶角是∠C ．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等角对等边解答．【解答】解：∵△ABC中，∠A=∠B，∴它的底边是AB，顶角是∠C．故答案为：AB，∠C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的形状是解题的关键，作出图形更形象直观．7．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC是锐角三角形．【考点】等腰三角形的判定．【分析】运用三角形的内角和定理求出∠C=36°，进而求出∠A=∠B=72°，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=∠B=2∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴5∠C=180°，∠C=36°，∴∠A=∠B=72°，∴△ABC是锐角等腰三角形．故答案为锐角．【点评】该题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键．8．在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是30°，60°．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，再根据等边对等角求出∠ACD=∠A，然后求出∠BCD即可．【解答】解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD=AD=BD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠BCD=90°﹣30°=60°．故答案为：30°，60°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．9．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC= 1：1 ．【考点】等腰三角形的判定．【分析】首先根据三角形的内角和定理求得：∠C的度数，再根据等角对等边得到，AB=BC，从而不难求得两者的比值．【解答】解：∵∠A=65°，∠B=50°∴∠C=65°=∠A∴AB=BC∴AB：BC=1：1．故填1：1．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定．由三角形的内角和求角度是正确解答本题的关键．10．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距30 海里．【考点】等腰三角形的判定；方向角．【专题】应用题．【分析】作出图形，利用角与角之间的关系求出△PBA为等腰三角形，从而得出PB=AB．【解答】如图，已知∠A=25°，∠DBP=50°，AB=30，求PB的长．解：延长AB∵∠DBP=50°∴∠PBA=130°∵∠A=25°∴∠P=25°∴PB=AB=30．故填30．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及方向角问题；正确画出图形，得到等腰三角形是解答本题的关键．三、解答题11．如图，已知：AD∥BC，∠EAC=2∠C，BD平分∠ABC，AC=4cm，求AD长．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAC=∠ABC+∠C，然后求出∠ABC=∠C，根据等角对等边可得AB=AC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠D，然后求出∠ABD=∠D，再利用等角对等边可得AD=AB，从而得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠ABC+∠C，∵∠EAC=2∠C，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC=4cm，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABD=∠D，∴AD=AB=4cm．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．12．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．BD、CE、DE之间存在怎样的关系？说明理由．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】探究型．【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可证得：BD=DF，EF=EC，结合图形即可得出结论．【解答】解：DE=BD+CE．理由：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC．∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB．∴DB=DF．同理EF=EC．∴DB+EC=DF+FE=DE．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等角对等边等知识．13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FB平分∠ABC交AD于E，交AC于F．求证：AE=AF．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC与FB平分∠ABC，根据等角的余角相等，易得∠AFE=∠BED，又由对顶角相等，可得∠AEF=∠AFE，则可证得AE=AF．【解答】证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠EBD+∠BED=90°，∵FB平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBD，∴∠BED=∠AFE，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．第11页（共11页）。

等腰三角形的轴对称性(2)

A
E
D
O
1 B
2 C
如图，在△ABC中，BC=5cm，BP，CP分别是∠ABC 和∠ ACB的角平分线 ,PD∥AB, PE ∥ AC ，则△PDE的周长是_____cm
A
P
21
B
3
D
E
C
1、任意剪一张直角三角形纸片
2、剪得的纸片是否能折成如图的形状？
3、把纸片展开如图，连接CD，你有什么发现？
C
E N
D
A
M
B
1、如果一个三角形一边上的中
线等于这边的一半,这个三角形是否
为直角三角形?
A
D
C
B
2、直角三角形三边垂直平分线交点为什么是斜边的中点？
如图，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过F作DE//BC，交AB于D、交AC于E，线段BD、 EC、DE有何数量的关系?说明理由.
A
D B
N
M
C
A
B
那么你能从理论上说明AB=AC吗？
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相 ( 简称“等角对等边”)
符号语言
∵∠B=∠C ∴AB=AC (等角对等边)
图形
A
B
C
在△ABC中, ∠A=800∠B=500 ,那么 △ ABC是什么三角形？
A
B
C
如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD与CE相交于点O，OB与 OC相等吗？请说明理由。
FE C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说明BD=CF
A 过D作DH∥AF交BC于H

2021年公开课《等腰三角形的轴对称性》精品公开课一等奖教案(12)

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

等腰三角形的轴对称性（3）教学目标：1．探索并掌握直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，不断积累数学活动的经验；3．在交流过程中，引导学生体会推理的思考方法，进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力；4. 引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性．教学重点：探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题．教学难点：引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．教学过程：情境创设：提问：1．等腰三角形有哪些性质？（等边对等角；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合．）2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？判定一个三角形是等腰三角形的方法：（1）根据定义，证明三角形有两边相等；（2）根据“等角对等边”，只要证明一个三角形有两个角相等．（设计思路：复习回顾等腰三角形的性质及判定方法，为下面解决问题作铺垫，同时也明确无论是证明线段相等还是折出等腰三角形，都只要证（寻）得相等的角即可．）应用反馈：根据你所掌握的方法独立解决下列问题：已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC．学生独立思考分析，代表发言．解：△ABC是等腰三角形．∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．∵∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C．∴AB＝AC（等角对等边）．（设计思路：对等腰三角形的判定方法的直接应用，同时也为下面折纸活动作铺垫．）思考：（1）上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？试证明你的结论．学生板演．∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角）．∴∠EAD＝∠DAC．∴AD平分∠EAC．思考：（2）上图中，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？通过这一系列问题的解决，你有什么发现？学生交流想法，代表发言．归纳结论：①AB＝AC；②AD平分∠EAC；③AD∥BC三个论断中，其中任意两个成立，第三个一定也成立．（设计思路：“思考”两题是第1题的变式，同时也是“等边对等角”性质的应用．培养学生积极思考，举一反三的思维习惯，也培养学生的归纳概括能力．）活动一：操作·探索1．提问：你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？学生思考，操作，小组内交流．学生代表发言，说明折纸的方法，指出△ACD与△BCD是等腰三角形；A A ADDB C CB BC B2．提问：△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2）（3）折叠，标出点D，连接CD．3．提问：观察图形，你还有哪些发现？观察图形，小组内交流自己的发现，代表发言．有4个直角三角形全等；BD＝CD＝AD；……（设计思路：激发学生的学习兴趣，也明确操作活动的目的，为在折纸过程中发现直角三角形的性质作铺垫．通过折纸，让学生亲历操作——观察——发现——归纳的过程，体验“做数学”，发展空间观念，提高动手能力．设计这个活动的目的是通过观察线段CD把直角三角形ABC分成的2个三角形，进一步获得直角三角形与斜边的关系．实质是从中引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动经验．相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯，同时也培养学生合作交流精神和发散思维能力.）活动二：探索·说理1．提问．（1）D是斜边AB的中点吗？（2）斜边AB上的中线CD与斜边AB有何数量关系？在刚才讨论交流的基础上，学生回答，得出结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．（设计思路：在相互交流的过程中，培养学生的归纳概括能力．）2．刚才我们通过折纸活动发现“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，你能说明理由吗？（1）你能根据题中的已知条件和要说明的结论画出图形来表示吗？画出Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD为斜边上的中线．DB（设计思路：巩固证明文字命题的一般步骤．引导学生进行严格的证明，使学生进一步体会证明的必要性．提供学生充分讨论和交流的机会，鼓励学生进行不同证明思路的交流和讨论．）（2）思考：怎样说明CD ＝12AB ？分析：在折纸活动中，你怎样找出斜边上的中线？假设已知CD ＝12AB ，那么我们可以得出怎样的结论？这对于你说明结论有启发吗？（2）首先独立思考，尝试证明，再小组讨论交流，代表发言，说明如何想到证明思路的？①通过折叠，使∠BCD ＝∠B ，从而确定斜边AB 的中点D ，并发现结论，所以说理时也可以在∠ACB 内作∠B ＝∠BCD ，在证明CD 是斜边上的中线时也能证明结论； ②如果CD ＝21AB ，那么CD ＝BD ＝AD ，∠A ＝∠ACD ，∠B ＝∠BCD ，那么首先需作CD 使∠A ＝∠ACD 或∠B ＝∠BCD ，再证CD 为斜边AB 上的中线，且CD ＝BD ＝AD 即可；（设计思路：）引导学生回顾折纸过程，从而明确像折叠那样使∠BCD ＝∠B ，就能逐步证得结论，目的是使学生感受合情推理有助于发现证明思路和方法．让学生了解“分析法”，逐步学会自己进行分析寻找解题思路．展现学生的思路，并通过讨论，引导学生体会推理的思考方法，并由学生自己逐步完善证明的思路．使学生认识将探索和证明有机的结合起来和演绎推理都是人们正确的认识事物的重要途径．同时，培养学生“言之有理，落笔有据”的习惯． ③阅读课本．（设计思路：回归教材，阅读课本，培养学生的阅读理解能力．） 3．小结．（1）定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，并用符号语言表述；（2）证明中常用的一种思考方法：即分析法从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件．学生口答，板书．∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴ CD ＝21AB ． 4．尝试练习．（1）Rt △ABC 中，如果斜边AB 为4cm ，那么斜边上的中线CD ＝_______cm ．（2）如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，DE ⊥AC ，垂足为E ． ①如果CD ＝2.4cm ，那么AB ＝ cm ．②写出图中相等的线段和角．（3）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，如果斜边AB ＝5cm ，那么斜边上的高CD ＝ cm ．学生口答，并说明理由．（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，CD ＝21AB ＝2cm ． DCBA D C（2）①根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB ＝2CD ＝4.8cm ． ②CD ＝BD ＝AD ，CE ＝AE ，∠A ＝∠ACD ，∠B ＝∠BCD ，∠ACB ＝∠DEA ＝∠DEC ＝90°．（3）因为CA ＝CB ，CD ⊥AB ，根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”得AD ＝BD ，又因为∠ACB ＝90°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD ＝12AB ＝2.5cm ．（设计思路：通过尝试练习，及时巩固定理的应用．（1）已知斜边上的中线长，应用定理求出斜边长．（2）综合应用等腰三角形“三线合一”的性质和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．学生回答时，要求他们说明理由，及时巩固等腰三角形的性质和直角三角形的这一性质，同时也锻炼学生有条理的表达能力．）例题讲解：1．如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，如果∠A ＝30°，那么BC 与AB 有怎样的数量关系？试证明你的结论．A提问引导：（1）对于BC 与AB 的数量关系，你有何猜想？你为什么作这样的猜想？猜想：BC ＝21AB ；（设计思路：学生猜想后追问为什么这样猜想，引导学生认识到可以通过度量或叠合等操作获得线段（或角）之间的数量关系的感性认识，以便作出合理猜想. ）（2）我们猜想BC ＝21AB ，根据我们学过的知识，什么与21AB 相等？这对于你证明结论有启发吗？联想：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，也有21AB ，作斜边上的中线CD ，则CD ＝BD ，如果结论成立，则△BCD 为等边三角形，∠B ＝60°，由已知条件易得；ADC（设计思路：引导学生采用分析法推理证明思路.师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力.）（3）指导学生完成证明过程（投影）．学生口答，说明自己的思考过程．书写证明过程．解：BC ＝21AB ．作斜边上的中线CD ，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°．∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边上的中线，∴CD ＝12AB ＝BD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∴△BCD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC ＝CD ＝12AB ．（设计思路：指导学生进一步规范证明的书写格式.）2．已知：如图，点C 为线段AB 的中点， ∠AMB ＝∠ANB ＝90°.CM 与CN 是否相等？为什么？O CBANM指导学生完成证明过程，对板演点评．独立思考，完成证明过程，学生板演．解：CM ＝CN ．∵点C 为线段AB 的中点，∠AMB ＝∠ANB ＝90°，∴CM ＝12AB ，CN ＝12AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∴CM ＝CN ．（设计思路：第2题也是巩固“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的应用.）完成练习：1．课本P66练习2．2．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，试说明：（1）MD ＝MB ；（2）MN ⊥BD ．NAMCDB（设计思路：课本练习第2题是角平分线、等腰三角形性质和判定的综合应用，学生通过“分析法”分析证明思路．练习2是例2的变式，也有助于了解学生对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和等腰三角形性质的掌握情况．）课堂小结这节课你有哪些收获？说一说自己的收获．1．知道直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并会应用性质定理解决问题．2．通过折纸等操作活动能发现结论，用分析法也可以帮助我们寻找证明思路.（设计思路：及时对所学进行反思和小结，便于知识内化．）课堂作业：（见附页）课后作业：课本PT补充习题P伴你学P本节课仍存在着一些不足：学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

等腰三角形的轴对称性(解析版)

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =．求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形知识点+经典例题本文介绍了等腰三角形的定义、作法、对称性、性质和判定定理。

首先定义了等腰三角形是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

然后介绍了作法，即以已知的线段a,b作等腰三角形ABC，使AB=AC=b,BC=a。

接着讲解了等腰三角形的对称性，包括轴对称、底角相等、底边上的中线等长、底边上的高线垂直于底边等。

其次，介绍了等边三角形与等腰三角形的关系，即等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

接下来，讲解了等腰三角形的性质，包括底角相等、顶角平分线、底边上中线和高线互相重合等。

最后，介绍了等腰三角形的判定定理，即若一条角平分线同时是等腰三角形的两边之一，则该三角形是等腰三角形。

同时，还给出了等腰三角形中重要线段的性质，包括两底角的平分线相等、底边上的高上任一点到两腰的距离相等等。

1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

简单来说，等角对等边。

要点解释：要明确判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。

判定定理得到的结论是等腰三角形，而性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角的关系。

此外，不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。

2.等边三角形的判定定理如果三个角相等，那么这个三角形就是等边三角形。

另外，一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。

3.含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

要点解释：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后通过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明命题的方法叫做反证法，也称归谬法，适用于直接证明有困难的命题。

典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题例1、（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数。

等腰三角形的轴对称性(3)

自主探索任意剪出一张直角三角形纸片, 任意剪出一张直角三角形纸片,然后根据下图顺序先折叠再展开,猜想AD AD、根据下图顺序先折叠再展开,猜想AD、 BD、CD有什么关系有什么关系？ BD、CD有什么关系？
A D
⑴
⑵
⑶
B
⑷
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 的一半.
A D
C
B
在△ABC中，∠ACB=90° ∵AD=BD ∴CD= 1/2 AB
A
B
Eபைடு நூலகம்
D
C
例1如图,在△ABC中,∠BAC=1200 AD⊥AB 如图, ABC中 AE⊥AC. ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ADE是等边三角形吗 ⑶在Rt△ABD中, ∠B=_____,AD=_____BD; Rt△ABD中 Rt△ACE中有类似结论吗? 在Rt△ACE中,有类似结论吗?
A
B
D
C
E
书P26/练习 P26/练习
试一试
1.如图,在四边形ABCD中 1.如图,在四边形ABCD中, 如图 ABCD ∠ABC=∠ADC=900，M、N分别 AC、BD的中点试说明：的中点. 是AC、BD的中点.试说明： D MN⊥BD.
A N M
B
C
拓展提高如图在△ABC中 M,N分如图在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC, M,N分别是BC EF的中点试说明： BC与的中点, 别是BC与EF的中点, 试说明：MN ⊥EF.
A
B
E
D
C
如图, BAC中例2 ⑴如图,在△BAC中,∠BAC=900 AB=AC,点 AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的 BC上 BD=BA,点 BC的延长线上, CE=CA.试求 DAE的度数试求∠ 的度数. 延长线上,且CE=CA.试求∠DAE的度数.

2.5等腰三角形的轴对称性(1)(分层练习)解析版

2.5　等腰三角形的轴对称性（1）分层练习考查题型一等腰三角形的性质1“等边对等角”1．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（）A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSSC．垂直平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL【答案】C【解析】解：A、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），即添加方法和对应全等判定依据正确；B、∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），即添加方法和对应全等判定依据正确；C、作辅助线时，不能直接说BC的垂直平分线经过了点A，即添加方法和对应全等判定依据错误；D、∵AD是BC边上的高线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，∴在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（HL），即添加方法和对应全等判定依据正确；故选：C．2．（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）在解答“若等腰三角形的一个内角为70°，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是（）A．函数思想B．整体思想C．公理化思想D．分类讨论思想【答案】D【解析】解：70°的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70°或40°，所以涉及的数学思想是分类思想，故选：D．3. (2023·福建省三明市·期末考试)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。

等腰三角形解题技巧

等腰三角形解题技巧等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形，其两边长度相等，两个底角相等。

在解题时，我们可以根据等腰三角形的性质，采用不同的技巧来解决问题。

1. 边相等对于边相等的等腰三角形，可以根据三边长度确定三个内角的大小，从而得到等腰三角形的所有性质。

例如，可以根据三角形内角和公式计算出三角形第三个角的大小，或者根据等腰三角形的对称性，得到底角的大小。

2. 角相等对于角相等的等腰三角形，可以通过角边夹角和圆周角等知识点得到等腰三角形的所有性质。

例如，可以根据角边夹角公式，计算出三角形另外两个角的大小，或者根据圆周角公式，得到三角形三个内角大小的关系。

3. 轴对称对于轴对称的等腰三角形，可以根据对称轴将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，从而得到等腰三角形的所有性质。

例如，可以根据轴对称的性质，得到等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半。

4. 运用定理对于一般的等腰三角形，可以根据一些定理来解题，例如“等边对等角”和“等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半”等。

这些定理可以直接应用于解题中，帮助我们快速得到问题的答案。

5. 构造等腰三角形对于一些难以直接解决的题目，可以构造出等腰三角形，从而将题目转化为比较简单的形式。

例如，在证明两个角相等时，可以构造一个等腰三角形，利用其对称性得到两个角相等。

6. 分类讨论对于一些比较复杂的题目，可以将题目进行分类讨论，从而得到解决。

例如，在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时，可以分别讨论该点在等腰三角形内部的位置，从而得到不同的答案。

7. 转化为线段或角度问题对于一些仍然难以解决的题目，可以将其转化为线段或角度问题，从而找到解决的方法。

例如，在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时，可以将问题转化为证明两边之和大于第三边的问题，从而利用三角形三边的关系来解决该问题。

2.5 等腰三角形的轴对称性(2)

A
E
F
B
D
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【课内演练】
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且BE=CD,BD=CF,G为EF中点.求证：DG垂直平分EF
A
EG F
BD
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【课堂小结】
本节课你的收获是什么？
初中数学八年级(上册)
2.5 等腰三角形的轴对称性(2)
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【旧知回顾】
（1）若等腰三角形的一个内角等于88°，则
另外两个角的度数分别为
.
（2）等腰三角形的一个外角等于140°，则
与它不相邻的两个内角的度数分别为
.
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【探究归纳】
定理：等腰三角形底边上的高线、中线、及顶角平分线重合。（简称“ 三线合一”）
几何语言：在△ABC中, AB=AC,点D在BC上. 因为∠BAD=∠CAD, 所以AD⊥BC,BD=CD; 因为BD=CD, 所以∠_____=∠____, ____⊥___; 因为AD⊥BC, 所以____________, __________.
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【操作】
用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,高AD=h.
D A
E
Байду номын сангаас
B
F
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【课内演练】
1.在如图的房屋人字梁架中AB=AC, ∠BAC＝110°,AD⊥BC. 求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）

中考数学试卷精练：等腰三角形的轴对称性

中考数学试卷精练：等腰三角形的轴对称性中考数学试题精练：等腰三角形的轴对称性1、(1)等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是(2)等腰三角形的一个角是30度，则它的另外两个角分别为(3)等腰三角形的一个角是100度，则它的另外两个角分别为(4)等腰三角形的周长是10cm，腰长是4cm，则底边为;(5)等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为。

2、假如△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是( )A.某一条边上的高B.某一条边上的中线C.平分一角和那个角的对边的直线D.某一个角的平分线3、如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且AD = BD。

(1)找出相等的角并说明理由;(2)若ADC=70 ，求BAC的度数。

4、如图，已知A=150，AB=BC=CD=DE=EF，求FEN的度数。

八. 【课后作业】及时巩固、查漏补缺1、假如等腰三角形的一个外角为1350，那么底角为( )A、450B、720C、67.50D、450或67.502、等腰三角形一腰上的中线分此三角形为两个三角形，若这两个三角形的周长相差2，且等腰三角形底边长是8，则它的腰长是( )A、3或5B、5或6C、5或10D、6或103、RtABC中，C=90，A=30，若要在直线BC或者直线AC上取一点P，使PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则那个等腰三角形的周长是( )A.12B.17C.17或19D.195、如图，在△ABC中，A=100 ，BD=BE，CD=CF，求EDF的度数。

6、已知ABC中BAC=140，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E 、F ，你能求出EA F的度数吗?7、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DEAB，垂足为E，DFAC，要练说，先练胆。

说话胆小是幼儿语言进展的障碍。

许多幼儿当众说话时显得可怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。

等腰三角形的轴对称性练习题

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知：如图，经过线段AB一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使ABC为等腰三角形，这样的点C有（）个．A．2 B．3 C．4 D．54．下列判断正确的是（）（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形（4）三边都相等的三角形是等边三角形（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4）D．（2）（3）5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝2，则BC的长是（）A．4B．5C．6D．76．△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（）A．36°B．60°C．72°D．80°8．如图，在等边△ABC中，延长AB到点D，使得BD＝AB，延长BC到点E，使得CE＝2BC，连接DE、AE，若S△ADE＝18，则S△ABC为（）A．1.8B．2C．3D．4.59．如图的网格中，点A、B在格点上，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C共有（）A．8个B．9个C．10个D．11个10.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE 交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD ＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题。

利用等腰三角形的对称性解题

利用等腰三角形的对称性解题
利用等腰三角形的对称性解题
已知 : 在△ ABC中 ,B A=BC,∠ ABC=80°,点 P在△ABC内 , 而且
∠PAC=40°, ∠PCA=30°．求∠ BPC的度数。

这道题的条件与结论均不复杂 , 但解决它却决非一件易如反掌的事．读者不
如先试一试．
假如你能解出这道难题 , 值得快乐．
假如你的解法简单自然 , 更值得快乐．
假如解不出来 , 也不用丧气．由于这道题的确很难 , 解法不易想到．可是 , 想到
了结也不难．重点可是两步．
第一 , 画一个图 ,AC是等腰三角形的底边 , 所以将它放在水平地点 , 极点 B放在中间地点, 这样便于利用等腰三角形的对称性（绘图大有讲究, 假如依据平时习惯, 将 A 画在中间 , 不是不能够 , 但没有上边的画法清楚）．
作高 BD（也就是△ ABC的对称轴） , 交 PC于 E, 连 EA．易知
EA=EC,∠EAC=∠ECA=30°,
所以∠PAE=40°－ 30°=10°=∠BAP．
又易知∠PEA=∠EAC+∠ECA=60°
=40°＋ 20°=∠PEB．
所以 ,AP、PE是△ ABE的角均分线 ,P 是△ ABE的心里．进而 PB均分∠ ABE,于是
∠BPC=∠BAC＋∠ ABP ＋∠ PCA
=50°＋ 20°+30°=100°．
总结：此题有两个重点 : 作出△ ABC的对称轴 , 充足利用对称性；发现 P是△ ABE 的心里．。

八年级数学上册2.5《等腰三角形的轴对称性》巧用轴对称构等腰三角形解题素材苏科版

巧用轴对称构等腰三角形解题在几何解题中，若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线，可根据图形的轴对称性，巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径，直观易懂，简捷明快.这样不仅能使问题化难为易，迎刃而解，而且有助于同学们创新思维的培养。

现略举几例析解如下，供同学们参考：一、图形含有垂线(或高线），以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形例1。

如图,已知AD⊥BC于点D,且∠B=2∠C，试说明AB+BD=DC。

分析：因为AD⊥BC，以AD为对称轴进行变换,点B的对称点E必落在BC上,连AE,则△ABE为等腰三角形，根据等腰三角形的性质使问题迎刃而解.解:因为AD⊥BC,以AD为对称轴进行变换,点E为点B的对称点。

连AE,则△ABE为等腰三角形，所以∠AEB=∠B=2∠C，且DB=DE.因为∠AEB=∠C+∠CAE，而∠AEB=2∠C,所以∠C=∠CAE，从而AE=CE。

因此AB=AE=EC所以AB+BD=EC+DE=DC。

二、图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角形例2。

如图,等腰Rt△ABC中，∠A=900,∠B的平分线交AC于D,过C作BD的垂线交BD的延长线于E，试说明:BD=2CE.分析:因为BE 是∠ABC 的平分线,且BE⊥CE,以BE 为对称轴进行变换，点C 的对称点必是BA 和CE 的延长线的交点F ，则△BCF 为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可使问题巧妙获解.解：因为BE 是∠ABC 的平分线,且BE⊥CE，以BE 为对称轴进行变换，点C 的对称点则为BA 和CE 的延长线的交点F ，则△BCF 为等腰三角形。

所以CE=EF ，即CF=2CE ，在△ABD 和△ACF 中，因为∠BAD=∠CAF=Rt∠， AB=AC ， ∠ABD=900-∠F=∠ACF所以△ABD≌△ACF（ASA)，所以BD=CF=2CE （全等三角形的对应边相等）三、图形含有线段的垂直平分线，以垂直平分线为对称轴构等腰三角形例3。

等腰三角形——对称及三线合一的常见题型及分析方法

等腰三角形最常见的考试要点就是对称性和三线合一高线中线角平分线因此对于我们的等腰三角形下面的图形要牢记
等腰三角形——对称及三线合一的常见题型及分析方法
等腰三角形最常见的考试要点就是——对称性和“三线合一”（高线、中线、角平分线），因此对于我们的等腰的身影，一定要注意底角相等、腰相等、三线合一。
部分教材中 “四心”的性质已经不考，但是要想得高分，还得记忆和理解。
最后一题，是典型的从特殊到一般，而且还涉及分类讨论，具体的步骤此处省略，要多加思考。