利用等腰三角形的对称性解题 (优质)

利用等腰三角形的对称性解题

已知:在△ABC中,BA=BC,∠ABC=80°,点P在△ABC内,并且

∠PAC=40°,∠PCA=30°．求∠BPC的度数。

这道题的条件与结论均不繁复,但解决它却决非一件轻而易举的事．读者不妨先试一试．

如果你能解出这道难题,值得高兴．

如果你的解法简单自然,更值得高兴．

如果解不出来,也不必悲痛．因为这道题确实很难,解法不易想到．不过,想到了却也不难．关键不过两步．

首先,画一个图,AC是等腰三角形的底边,所以将它放在水平位置,顶点B放在中间位置,这样便于利用等腰三角形的对称性（画图大有讲究,如果按照大凡习惯,将A画在中间,不是不可以,但没有上面的画法清撤）．

作高BD（也就是△ABC的对称轴）,交PC于E,连EA．易知

EA=EC,∠EAC=∠ECA=30°,

所以∠PAE=40°－30°=10°=∠BAP．

又易知∠PEA=∠EAC+∠ECA=60°

=40°＋20°=∠PEB．

因此,AP、PE是△ABE的角平分线,P是△ABE的内心．从而PB平分∠ABE,于是

∠BPC=∠BAC＋∠ABP＋∠PCA

=50°＋20°+30°=100°．

总结：本题有两个关键:作出△ABC的对称轴,充分利用对称性；发现P是△ABE的内心．