人教版九年级上册数学教案：24.2点和圆、直线和圆的位置关系(第二课时)

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【人教版九年级数学上册教案】24.2点和圆、直线和圆的位置关系(第2课时)

24.2点和圆、直线和圆的位置关系第2课时教学目标(一)教学知识点1．了解圆与圆之间的几种位置关系．2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．(二)能力训练要求1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．(三)情感与价值观要求1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．教学重点探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．教学难点探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．教学方法教师讲解与学生合作交流探索法教具准备投影片三张第一张：(记作§3．6A)第二张：(记作§3．6B)第三张：(记作§3．6C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．Ⅱ．新课讲解一、想一想[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么．二、探索圆和圆的位置关系在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O 2上的点在⊙O 1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O 2上的点都在⊙O 1的内部．[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点．[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．经过大家的讨论我们可知：投影片(§3．6A)(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切三、例题讲解投影片(§3．6B)两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O ，O ＇是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线，TP 、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP ＝O ＇P ＝OO ＇，又TP 、NP 分别为两圆的切线，所以PT ⊥OP ，PN ⊥O ＇P ，即∠OPT ＝∠O ＇PN ＝90°，所以∠TPN 等于360°减去∠OPT ＋∠O ＇PN ＋∠OPO ＇即可．解：∵OP ＝OO ＇＝PO ＇，∴△PO ＇O 是一个等边三角形．⎧⎨⎩外离内含⎧⎨⎩外切内切．∴∠OPO＇＝60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°．∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．四、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙O1与⊙O2内切呢？〔如图(2)〕[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．证明：假设切点T不在O1O2上．因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T＇也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立．则T在O1O2上．由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．在图(2)中应有同样的结论．通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．五、议一议投影片(§3．6C)设两圆的半径分别为R和r．(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？(2)当两圆内切时(R ＞r )，圆心距d 与R 和r 具有怎样的关系？反之，当d 与R 和r 满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？[师]如图，请大家互相交流．[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A ．因为切点A 在连心线O 1O 2上，所以O 1O 2＝O 1A ＋O 2A ＝R ＋r ，即d ＝R ＋r ；反之，当d ＝R ＋r 时，说明圆心距等于两圆半径之和，O 1、A 、O 2在一条直线上，所以⊙O 1与⊙O 2只有一个交点A ，即⊙O 1与⊙O 2外切．在图(2)中，⊙O 1与⊙O 2相内切，切点是B ．因为切点B 在连心线O 1O 2上，所以O 1O 2＝O 1B －O 2B ，即d ＝R －r ；反之，当d ＝R －r 时，圆心距等于两半径之差，即O 1O 2＝O 1B －O 2B ，说明O 1、O 2、B 在一条直线上，B 既在⊙O 1上，又在⊙O 2上，所以⊙O 1与⊙O 2内切．[师]由此可知，当两圆相外切时，有d ＝R ＋r ，反过来，当d ＝R ＋r 时，两圆相外切，即两圆相外切d ＝R ＋r ．当两圆相内切时，有d ＝R －r ，反过来，当d ＝R －r 时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R －r ．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：1．探索圆和圆的五种位置关系；2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d 与R 和r 之间的关系．Ⅴ．课后作业习题3．9Ⅵ．活动与探究已知图中各圆两两相切，⊙O 的半径为2R ，⊙O 1、⊙O 2的半径为R ，求⊙O 3的半径．⇔⇔分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O 3的半径为r ，则O 1O 3＝O 2O 3＝R ＋r ，连接OO 3就有OO 3⊥O 1O 2，所以OO 2O 3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O 3的半径r ．解：连接O 2O 3、OO 3，∴∠O 2OO 3＝90°，OO 3＝2R －r ，O 2O 3＝R ＋r ，OO 2＝R ．∴(R ＋r )2＝(2R －r )2＋R 2．∴r ＝R ．板书设计§3．6 圆和圆的位置关系一、1．想一想 2．探索圆和圆的位置关系3．例题讲解 4．想一想 5．议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业23。

2022年人教版九年级数学上册第二十四章圆教案直线和圆的位置关系 (第2课时)

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）一、教学目标【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。

【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度与价值观】体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性.二、课型新授课三、课时第2课时,共3课时。

四、教学重难点【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课教师问：转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．（二）探索新知探究一切线的判定方法教师问：如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4）学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．由d=r得到直线l是⊙O的切线．教师问：已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）教师作图,学生观察并思考：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？出示课件6：教师归纳:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式:∵OA为⊙O的半径,BC⊥OA于A,∴BC为⊙O的切线.教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是,请说明为什么？（出示课件7）学生观察交流后口答：(1)不是,因为没有垂直.(2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.教师强调：在切线的判定定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8）1.定义法：直线和圆只有一个公共点时,我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.出示课件9：例1 如图,∠ABC=45°,直线AB是☉O上的直径,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.教师分析：直线AC经过半径的一端,因此只要证OA垂直于AB即可.师生共同解答：证明：∵AB=AC,∠ABC＝45°,∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.∵AB是☉O的直径,∴AC是☉O的切线.巩固练习：（出示课件10）如图所示,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？学生独立思考后板演：解：BD是⊙O 的切线．连接OD,∵OD＝OA,∠A＝30°,∴∠DOB＝60°.∵∠B＝30°,∴∠ODB＝90°.∴BD是⊙O 的切线．出示课件11：例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.学生思考交流后师生共同解答.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.巩固练习：（出示课件12-13）如图,△ABC 中,AB ＝AC ,O 是BC的中点,⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．教师分析：根据切线的判定定理,要证明AC是⊙O的切线,只要证明由点O 向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了,而OE是⊙O的半径,因此只需要证明OF=OE.证明：连接OE,OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E,∴OE⊥AB.又∵△ABC中,AB＝AC,O是BC的中点．∴AO平分∠BAC,又OE⊥AB,OF⊥AC.∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径,OF＝OE,OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．出示课件14：学生对比思考.1.如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA＝OB,CA＝CB求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：连接OC.2.如图,OA＝OB=5,AB＝8,⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：作垂直.教师归纳：（出示课件15）证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点,连半径,证垂直;(2)无交点,作垂直,证半径.有切线时常用辅助线添加方法：见切点,连半径,得垂直.切线的其他重要结论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.探究二切线的性质定理教师问：如图,如果直线l是⊙O 的切线,点A为切点,那么OA与l垂直吗？（出示课件16）学生思考后教师总结：切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式：∵直线l是⊙O的切线,A是切点.∴直线l⊥OA.出示课件17-18,教师引导学生进行证明.证法1：反证法.证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O,CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理,则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．教师总结：利用切线的性质解题时,常需连接辅助线,一般连接圆心与切点,构造直角三角形,再利用直角三角形的相关性质解题.（出示课件19）出示课件20：例1 如图,PA为⊙O的切线,A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点,∠P＝30°,连接AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP求⊙O的半径．教师分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°,由∠P=30°可得出∠AOP=60°,则∠C=30°=∠P,即AC=AP；这样就凑齐了角边角,可证得△ACB≌△APO；(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形,因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.师生共同解答：（出示课件21-22）(1)证明：∵PA为⊙O的切线,A为切点,∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°,∴∠AOB＝60°,又∵OA＝OB,∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO,∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中,∠BAC＝∠OAP,AB＝AO,∠ABO＝∠AOB,∴△ACB≌△APO（ASA）.(2)解：在Rt△AOP中,∠P＝30°,∴AO＝1,∴CB＝OP＝2,∴OB＝1,即⊙O的半径为1.巩固练习：（出示课件23）如图所示,点A是⊙O外一点,OA交⊙O于点B,AC是⊙O的切线,切点是C,且∠A＝30°,BC＝1.求⊙O的半径．学生独立思考后自主解决.解：连接OC.∵AC是⊙O的切线,∴∠OCA＝90°.又∵∠A＝30°,∴∠COB＝60°,∴△OBC是等边三角形．∴OB＝BC＝1,即⊙O的半径为1.（三）课堂练习（出示课件24-33）1.如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦．过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF、CM．判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由.2.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）3.如下图所示,A是☉O上一点,且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的位置关系是.4.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°5.如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？6.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P,PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.7.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．8.已知：△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.（1）如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.（2）如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证：EF是☉O的切线.参考答案：1.解：CM与⊙O相切．理由如下：连接OC,如图,∵GD⊥AO于点D,∴∠G+∠GBD=90°,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵M点为GE的中点,∴MC=MG=ME,∴∠G=∠1,∵OB=OC,∴∠B=∠2,∴∠1+∠2=90°,∴∠OCM=90°,∴OC⊥CM,∴CM为⊙O的切线.2.⑴×⑵×⑶√⑷√⑸√3.相切4.C5.解：连接OB,则∠OBP=90°.设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中,OB2+PB2=PO2,即r2+42=(2+r)2. 解得r=3,即⊙O的半径为3.6.证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP,∴∠B=∠OPB.∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.7.证明：连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM＝ON,∴CD与⊙O相切．8.解：⑴①BA⊥EF；②∠CAE=∠B.证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90 °,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流. （五）课前预习预习下节课（24.2.2第3课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从常见的生活情况入手,引入切线的概念,能激发学生的求知欲,接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线,又从另一侧面利用反证法,证明了切线的性质定理,这样,既证明了定理又复习了反证法.。

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系2教案新人

四、例题的探究：
教师引导学生思考，分析，让学生知道，圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线．
教师再次引导学生讨论点A与直线l的位置关系，从而得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
学生：几何语言表示：
例如，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的．
教法学法
指导
合作探究法引导启发法练习法
教具
准备
课件
教学过程提要
环节
学生要解决的问
题或完成的任务
师生活动
设计意图
引
入
新
课
一、新课导入：
一、导入新课:
上节课我们学习了直线和圆的位置关系，那么，判断直线与圆的位置关系的方法有几种？
（1）看直线与圆的交点个数。
（2）把直线到圆心的距离与半径作比较。
二、新课教学：
学情分析：
2、九年级学生已具备一定知识储备和认知能力。但学生的基础较差，中等、差等生较多，优等生较少。课堂上，多数学生表现欲不强，发言不积极，怕回答错问题；学生应用知识灵活解决问题的能力较差，在几何证明题中，不会抓住已知条件进行论证推理。因此，在教学中，注重学生学习方法的培养，通过学生实践、探究、合作交流来完成本节课的教学。
业
设
计
绩优学案：p95页
1、必做题：1——7题
2、选做题：8题
教
学
反
思
∵ ⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB．
又 △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线．
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．
这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．

24.2.2直线和圆的位置关系第2课时教案

24.2.2 切线的性质和判定（第2课时）教学目标：1.知识与技能：掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题.2.过程与方法：通过切线的判定定理及性质定理的探究，培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想.3.情感态度：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯.教学重点：运用圆的切线的性质与判定定理解决数学问题.教学难点：运用圆的判定定理解决数学问题.教学过程：一、情境导入问题1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？问题2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？（下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．）二、探索新知思考1如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点，∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.∴直线l与⊙O相切.归纳总结切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵直线l⊥OA，且l 经过⊙O上的A点，∴直线l是⊙O的切线.在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线,下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：思考2将思考1中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？分析：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，∴圆心O到l的距离等与半径.∴OA是圆心到直线l的距离.∴OA⊥直线l.归纳总结切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥直线l.三、掌握新知例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O上相切与点D.求证：AC是⊙O的切线.分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了.而OD是的半径，因此需要证明OE=OD.证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．例2如图，AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？若相切，请证明，若不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．答案：（1）CD与⊙O相切.理由如下：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∴∠A+∠OBC=90°.∵∠DCB=∠A，∠OCB=∠OBC，∴∠DCB+∠OCB=90°，即∠OCD=90°.∵OC是半径，∴CD与⊙O相切.（2）在Rt△OCD中，∠D=30°，∴∠COD=60°.∴∠A=30°.∴∠BCD=30°.∴BC=BD=10.∴AB=20.∴⊙O的半径为10.四、巩固练习1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线.2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点.l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.3.已知，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.答案：1.证明：∵AB=AT，∴∠ATB=∠ABT=45°.∴∠BAT=90°，即AB⊥AT .∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.2.l1∥l2.证明如下：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.3.证明：过O作OE⊥AC，垂足为E.∵O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，∴OE=OD.∵OE⊥AC，∴⊙O与AC相切.五、归纳小结通过这堂课的学习你有什么收获？知道了哪些新知识？学到了哪些作辅助线的方法？。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章圆(教案) 点和圆的位置关系教案

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.【过程与方法】通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.【教学难点】点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？（出示课件2）解决这个问题要研究点和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一点和圆的位置关系教师问：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？（出示课件4）学生交流，回答问题.教师点评：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.教师问：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？（出示课件5）学生答：教师问：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？学生观察思考交流后，师生共同得到结论：（出示课件6）点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：边结论.读作“等价于”.⑵要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.出示课件7,8：例如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）学生独立思考后，师生共同解答.解：⑴AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3<r，故B点在⊙A内;AC=5>r，故C点在⊙A外.⑵3≤r≤5.巩固练习：（出示课件9）1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_______；点B在_______；点C在_______.2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若，则点P在（）A.大圆内B.小圆内C.小圆外D.大圆内，小圆外学生独立思考后口答：1.圆内；圆上；圆外 2.D探究二过不共线三点作圆教师问：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？（出示课件10）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？（出示课件11）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？（出示课件12）学生思考后师生共同解答：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.教师归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.（出示课件13）出示课件14：例已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：⊙O,使它经过点A、B、C.学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.教师问：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？（出示课件15）学生动手探究，交流，在教师指导下作图.作法:1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.巩固练习：（出示课件16）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．学生独立思考后口答：∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.探究三三角形的外接圆及外心已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.（出示课件17）学生复述作法.教师对照图形进行归纳：（出示课件18）1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的外接圆，△ABC叫做⊙O的内接三角形.2.三角形的外心定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.练一练：判断下列说法是否正确.（出示课件19）(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )学生口答：⑴√⑵×⑶×⑷√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.（出示课件20）学生动手探究，作图，交流后，教师总结.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.出示课件21,22:例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．学生独立思考后师生共同解答.解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；⑵∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝因此圆的半径为3．点A的坐标(0),∴△AOB外接圆的面积是9π.教师强调：解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．巩固练习：（出示课件23）如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.学生独立解答.解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径AM==线段DM所以点D在圆M内.出示课件24：例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．学生独立思考后师生共同解答.解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC.则OD ＝5cm ，112cm 2BD BC ==在Rt △OBD 中,13cm OB ==，即△ABC 的外接圆的半径为13cm.巩固练习：（出示课件25）在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C 的距离为( )A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm学生思考后口答：A探究四反证法教师问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（出示课件26）学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.如图，假设过同一条直线l 上三点A 、B 、C 可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l 1上，又在线段BC 的垂直平分线l 2上，即点P 为l 1与l 2的交点.而l 1⊥l ，l 2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以过同一条直线上的三点不能作圆．教师归纳：（出示课件27）1.反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．2.反证法的一般步骤⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.出示课件28：例求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.师生共同解答.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.因此∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.巩固练习：（出示课件29）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°学生口答：D（三）课堂练习（出示课件30-36）1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣，则△ABC的外接圆半径=______．2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．3.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?4.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A______；点C在⊙A______；点D在⊙A______.5.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外6.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=______.7.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.10.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．参考答案：1.2582.3.解:如图所示.4.上；外；上5.B6.57.70°8.B9.解：如图所示.10.解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材95页练习2.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.。

《直线与圆的位置关系》第二课时教学设计

24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）一、教与学目标1、探索切线的性质与判定。

2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。

二、教与学重点和难点重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。

难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。

三、教与学方法自主探究，合作交流四、教与学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系包括：、、。

2.直线与圆的位置关系的区别方法包括种：（a）根据________________的个数来判断；（b）根据_______ __的关系来判断。

若d r,则直线与圆相交；若d r,则直线与圆相切；若d r,则直线与圆相离。

下面，我们重点研究直线和圆相切的情况，观看课件问题导入。

（二）探究新知探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3、学以致用[例1]已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。

思路分析：如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边，AB上的中线.∴AB⊥OC又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.[例2]已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

思考：例1与例2的证法有何不同?探究二探索直线与圆相切的性质1、如图，直线ｌ与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线ｌ与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？一定垂直。

直线与圆的位置关系(第2课时) 教案说课稿课件教学反思

24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时）【教学任务分析】
【教学环节安排】
【当堂达标自测题】
一、填空题
1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．
2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．
3．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是二、选择题
4．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
6．下列直线是圆的切线的是（）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线
三、解答题
7.如图24.2.2.2-7，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．
图24.2.2.2-7
8．如图24.2.2.2-8，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
图24.2.2.2-8。

人教版数学九年级上册24.2《点和圆的位置关系》教学设计

人教版数学九年级上册24.2《点和圆的位置关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《点和圆的位置关系》是中学数学中重要的一部分，主要介绍了点与圆的位置关系，包括点在圆内、点在圆上和点在圆外三种情况。

本节内容是学生学习圆的性质和应用的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于点和圆的位置关系的理解还需要通过具体的实例和操作来进一步引导和培养。

三. 教学目标1.让学生理解点和圆的位置关系，并能运用所学知识解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.培养学生合作学习的意识和能力。

四. 教学重难点1.重点：点和圆的位置关系的理解和运用。

2.难点：对于点在圆内、点在圆上和点在圆外三种情况的深入理解和区分。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题和解决问题的方式引导学生思考和学习。

2.利用多媒体辅助教学，通过动画和图形展示点与圆的位置关系，增强学生的空间想象能力。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中深入理解和掌握知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.点和圆的位置关系的教学课件。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出点和圆的位置关系，例如：“在平面上有三个点，其中一个点在圆内，另外两个点在圆外，请问这三个点的位置关系有什么特点？”2.呈现（15分钟）利用多媒体展示点和圆的位置关系，包括点在圆内、点在圆上和点在圆外三种情况。

通过动画和图形的展示，让学生直观地感受和理解点与圆的位置关系。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作来进一步理解和掌握点和圆的位置关系。

可以让学生在纸上画出不同位置的点，并标明它们与圆的位置关系。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题来巩固学生对点和圆的位置关系的理解和掌握。

人教版九年级数学上册《点和圆、直线和圆的位置关系(第2课时)》示范教学设计

点和圆、直线和圆的位置关系（第2课时）教学目标1．理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．2．理解三角形的外接圆和外心的概念，会画三角形的外接圆．3．经历探索过点画圆的过程，体会数形结合、分类讨论的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力．教学重点理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；掌握三角形的外接圆和外心的概念．教学难点经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．教学过程知识回顾1．几个点确定一条直线？【师生活动】学生独立思考后回答．【答案】两点确定一条直线．2．如何确定一个圆？【师生活动】教师出示题目，学生独立思考后回答．【答案】如果确定了圆心和半径，那么这个圆的位置和大小就被确定了．【设计意图】带领学生先复习“两点确定一条直线”的基本事实，巩固基础，在此基础上提出：类似两点确定一条直线，对于圆来说，是否也有几点确定的问题呢？由此引出本节课的学习内容．新知探究一、探究学习【问题】我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生独立思考得出答案．【答案】经过已知点A作圆，当圆心确定后，半径也就随之确定，这时作圆的问题就转化为确定圆心的问题．因此，经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出．这样的圆有无数个．【问题】经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生独立思考进行填空．【分析】经过两点A，B作圆，因为圆心到A，B的距离相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上．线段AB的垂直平分线上有无数个点，所以这样的圆心有无数个，这样的圆也可以作出无数个．【设计意图】从过一点、过两点作圆开始探究，引导学生知道：过已知点作圆，关键是确定圆心，能作多少个圆，取决于圆心的位置和圆心的个数．为后面过三点作圆做好准备．【问题】经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生小组讨论：如何确定所作圆的圆心．【分析】经过不在同一条直线上的A，B，C三点作圆，这就需要确定一个点作为圆心，使它到A，B，C三点的距离相等，因此圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC（或AC）的垂直平分线上．【答案】连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O，则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径，便可作出经过A，B，C三点的圆．因为两条垂直平分线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即这样的圆只有一个．【新知】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．提醒：（1）三个点确定一个圆的前提是“三个点不在同一条直线上”．（2）“确定”的含义是“有且只有”的意思，即经过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆．【设计意图】通过探索，让学生知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆，帮助学生实现直观感知、操作实验和逻辑推理三者的有机结合．【新知】由图可以看出，经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．如图，⊙O是△ABC的外接圆，或者说△ABC内接于圆O．点O是△ABC的外心．【练习】请作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位置？【师生活动】学生独立完成，一名学生展示答案．【答案】如图．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．【归纳】（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．因此可由外心的位置判断三角形的形状．（2）三角形外心到三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．（3）因为任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以任意一个三角形有且只有一个外接圆；顺次连接圆上任意三点，都可以得到圆内接三角形，也就是说，一个圆有无数个内接三角形．【设计意图】让学生初步掌握画三角形的外接圆的方法，加深对三角形的外接圆和外心的概念的理解．二、典例精讲【例1】如图是一块破损的圆形模板，木工师傅想要将它修复为原来的模样，你有办法复原吗？（保留作图痕迹）【师生活动】学生根据分析完成解答，教师给予指导．【分析】对于已知圆上的某段弧，作出全部圆的问题，实质上属于确定圆心的问题，解决此类问题的方法是在圆弧上任意找三点，形成两条线段，这两条线段垂直平分线的交点就是圆心，圆心到圆弧上任意点的距离就是半径．【答案】解：在圆弧上任取三点A，B，C，连接AB，BC．分别作出AB，BC的垂直平分线，其交点为O．连接AO，以O为圆心，AO为半径，画出这个圆．【归纳】确定圆心的方法（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆，三点所连线段的垂直平分线的交点即为圆心；（2）先确定直径，两条直径的交点或一条直径的中点即为圆心．【设计意图】通过例题，帮助学生巩固过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．【例2】在△ABC中，BC＝24 cm，外心O到BC的距离为6 cm，求△ABC的外接圆半径．【师生活动】学生独立完成解答，一名学生板书解答，教师给予指导．【答案】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝6 cm．∵外心O是△ABC三条边的垂直平分线的交点．∴BD＝12BC＝12 cm．∵在Rt△OBD中，OD＝6 cm，BD＝12 cm，∴OB cm．即△ABC的外接圆的半径为cm．【归纳】巧作辅助线求解与三角形外接圆有关的计算在与三角形的外接圆有关的计算中，经常连接圆心与三角形的顶点，这样作辅助线可出现圆心角、半径等，为利用圆心角定理、垂径定理、勾股定理等进行解题创造了条件．三、拓展提升【思考】过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？【师生活动】教师提出问题，学生思考，回答问题．【分析】要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上．【设计意图】由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向，为后续的探究做好准备．【问题】过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示动画．【答案】如图．【思考】分别测量上面各四边形的内角，你发现四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点可以作一个圆？能再找几个四边形验证吗？【师生活动】学生先自己动手测量，小组交流，师生一起总结．【新知】过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆．【设计意图】让学生学会利用特例去对问题进行研究，从特殊到一般情形，一步一步地向探究的目标靠近，学生通过动手画图、度量，知道过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆．帮助学生在“做”数学的过程中思考、积淀，从而积累数学活动的经验．课堂小结板书设计一、不在同一条直线上的三个点确定一个圆二、三角形的外接圆课后任务完成教材第95页练习第3题．。

人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系(教案)

4.应用实例：解决实际问题时，如何确定直线与圆的位置关系，并运用相关知识解决问题。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学符号和几何图形表达现实世界问题的能力，增强对直线和圆位置关系的直观理解。
2.提升学生运用坐标法和综合几何法分析解决问题，掌握判定直线与圆位置关系的方法，培养逻辑推理和数学运算素养。
3.培养学生将理论知识与实际情境相结合，提高解决实际问题的能力，增强数学应用的意识。
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系：
1.直线和圆的三种位置关系：相离、相切、相交。
2.判定直线和圆的位置关系的方法：
a.通过直线与圆的方程联立求解。
b.利用点到直线的距离公式判断。
3.分析位置关系对应的圆的半径与点到直线的距离之间的关系。
-在实际问题中，提取有效信息，建立数学模型，运用所学知识解决问题。
举例解释：
-对于点到直线的距离公式，通过几何图形和代数推导相结合的方式，帮助学生理解公式的来源和意义，减少记忆负担。
-在解决实际问题时，指导学生如何从题目描述中抽象出数学模型，例如在建筑设计、地理测量等场景中，识别直线和圆的位置关系，并运用所学知识进行计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直线和圆位置关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
实践活动环节，学生分组讨论的气氛很活跃，大家能够积极投入到解决问题的过程中。不过，我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题，这时我需要及时介入，引导他们回到直线和圆位置关系这个核心问题上。

人教版数学九年级上册教学设计24.2.1《点和圆的位置关系》

人教版数学九年级上册教学设计24.2.1《点和圆的位置关系》一. 教材分析《点和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第2节的内容，本节课主要探讨点与圆的位置关系，包括点在圆内、点在圆上和点在圆外三种情况。

通过本节课的学习，学生能够理解点与圆的位置关系，并能运用其解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质和位置关系有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对点与圆的位置关系的理解存在一定的困难，因此需要通过实例和操作，帮助学生加深对知识点的理解。

三. 教学目标1.知识与技能：理解点与圆的位置关系，并能运用其解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：点与圆的位置关系的理解和运用。

2.难点：对点与圆的位置关系的深入理解和灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.直观教学法：利用图形和模型，帮助学生直观地理解点与圆的位置关系。

3.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关的图形和模型，以便于教学演示和学生的操作。

2.准备练习题，以便于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，引出点与圆的位置关系的问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示点与圆的位置关系的图形，引导学生观察和描述各种情况。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个点，通过移动点的位置，观察点与圆的位置关系的变化，并记录下来。

4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导，帮助学生巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：在实际生活中，点与圆的位置关系有哪些应用？学生分组讨论，展示自己的思考成果。

人教版九年级数学上册《点与圆的位置关系(第2课时)——反证法》》教学设计

人民教育出版社.数学.九年级（上册）24.2.1点与圆的位置关系（第2课时）——反证法一、内容和内容解析1.内容通过实例体会反证法的含义．2.内容解析《义务教育数学课程标准（2011版）》要求：通过实例体会反证法的含义.学生对于反证法的思想在前面的学习中已经有所接触，在反证法的教学中，要使学生了解用反证法证明的基本思路和一般步骤，对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一种间接证法.用反证法证明命题时，要假设待证命题的结论不成立，必须考虑结论反面的所有可能情况.如果只有一种，否定这一种就可以了，如果有多种，必须一一否定.基于以上分析，确定本节课的教学重点：在简单的实例中体会反证法的含义.二、目标和目标解析1．目标（1）在简单的实例中体会反证法的含义；（2）在反证法证明命题的实例中，掌握用反证法证明命题的方法与步骤..2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能判断一个需使用反证法证明的命题特征，能判断出反证法证明命题的过程、步骤特征.达成目标（2）的标志是：能判断并写出反证法证明命题的步骤中的矛盾点.三、教学问题诊断分析学生虽然已经对于反证法的思想在前面的学习中已经有所接触，但是对反证法的含义及证明步骤还不熟悉，因此需要结合具体的实例让学生体会反证法的含义及使用反证法证明命题的过程及步骤.对于反证法的教学，教科书只是让学生结合具体例子了解.在分析“由假设出发，经过推理论证得出矛盾”时，要注意推理的严密性，必须步步有据，并且一定要真正理解矛盾在哪里，这也是学生感到困难的地方，教学时要帮助学生克服这个难点.本课的教学难点是：理解反证法逻辑推理的矛盾点.四、教学流程设计五、教学过程设计环节一：了解反证法引例：路边苦李的故事（动漫微视频（2分钟）相传，古代有位叫王戎的孩子，有次与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？问题1：你猜王戎怎么回答？请同学猜猜看？（请2个学生表达看看，然后再将视频看完）师生活动：教师让学生讲述该故事，让学生说说自己的猜想.王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李”.小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.追问：这是一种怎样的推理方式？（老师梳理表达，PPT呈现）假如不是苦李，那么在路边李树上的李子必被摘光，这与“李树上结满果子”矛盾，所以必是苦李.【设计意图】：通过学生耳熟能详的寓言故事，引导学生初次体会反证法的证明方式.导入：目前已学的数学命题的证明方法（老师梳理，PPT呈现）（1）直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法（2）间接证明：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法.反证法就是最常用的间接证明方法之一.环节二：阅读反证法——【数学阅读】问题2：数学史料介绍——数学家眼中的反证法（1）德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法就像禁止拳击运动员使用拳头.（2）英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让与对方！”【设计意图】：数学文化渗透——数学家眼中的反证法，为了激发学生反证法的学习兴趣，了解反证法数学家证明命题的重要性.给学生准备阅读材料，主要内容如下：教材中的《反证法》阅读材料（一）——九年级（上册）课本94页教材中的《反证法》阅读材料（二）——七年级（下册）课本58页【设计意图】：在前面通过学生耳熟能详的寓言故事，初步体会反证法证明过程的基础上；充分挖掘和利用教材素材，引导学生通过数学阅读的方式，阅读反证法的相关资料，更深入体会反证法的证明过程.环节三：提炼反证法问题3：通过刚才的数学素材的阅读，能否总结提炼一下我们要研究的对象（反证法）的定义与步骤？1．反证法的定义（是什么？）反证法：假设原命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立.这种证明方法叫做反证法.2. 反证法的步骤：（怎么做？）第一步：假设命题结论的反面正确;（反设）第二步：从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；（归谬）第三步：说明假设不成立，从而得出原命题正确.（结论）【设计意图】：引导学生的数学阅读，从阅读材料中提炼反证法的定义及证明步骤，培养数学阅读素养的同时，再次引导学生深入体会反证法的证明过程.环节四：体会反证法体会一：体会反证法的第一步：反设（反设命题结论）例1．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设．【设计意图】：通过例子，了解反证法的第一步——该如何对原命题的结论进行反设.练习1．试判断下列结论的反面：1.a＜0 反面：．2.a≠0 反面：．3.a∥b 反面：．练习2．用反证法证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是应假设．练习3．用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，第一个步骤是应假设．练习4．（2016杭州质检）用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C 是△ABC的三个内角求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（）A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°练习5．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°【设计意图】：通过丰富练习和例子，体会反证法的第一步——该如何对原命题进行反设.问题3：使用反证法证明命题的第一步是什么？【师生活动】：反证法证明命题的第一步：假设命题结论的反面正确追问：从哪些题设信息可以判断出，要用反证法证明该命题？当命题的结论设计“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法.【设计意图】：总结归纳，了解反证法的第一步——该如何对原命题进行反设？体会二. 体会反证法的第二步：归谬（寻找归谬点）例2．【切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.】 (用反证法证明) 问题：如图，已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，求证：半径OA 与直线l 垂直. (用反证法证明)证明：假设，过点O 作OM ⊥l ，垂足为M根据垂线段最短的性质，有 ,这说明圆心O 到直线l 的距离小于半径OA ，于是直线l 与圆相交，而这与“ ”矛盾因此，半径OA 与直线l 垂直练习6．已知直线a ∥c ，b ∥c ，求证：a ∥b ．（用反证法证明）证明：假设直线a 与直线b 不平行，即直线a 与直线b 相交，则过M 点有两条直线平行于直线c ，这与“ ”矛盾，所以假设不成立反设词不大于不小于不都是至少有一个全都不至少2个相交所以a∥b．练习7．用反证法证明命题：“等腰三角形的底角必为锐角．”证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与“”矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C ＞“180°，而∠A+∠B+∠C＞180°，这与“”矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角.练习8．（2017•山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2=（）2=2，所以，q2=2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以（2m）2=2p2，p2=2m2，于是可得p也是偶数．这与“”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．（1）这种证明“是无理数”的方法是（）A．综合法 B．反证法C．举反例法D．数学归纳法（2）请在划线部分填空，完成证明.练习9．求证：经过同一直线l的三点不能作出一个圆.证明：假设经过同一直线l的三点能作出一个圆，圆心为O则O应在AB的垂直平分线l1上，l1⊥l且O也在BC所以，l1、l2同时垂直于l12这与“”矛盾问题4：在用反证法证明命题的过程中矛盾点会在哪？有哪些特征？【师生活动】：总结归纳出矛盾的类型（1）与已知条件相矛盾；（2）与已知定义、定理、公理相矛盾；（3）推出自相矛盾的结果.【设计意图】：从多个例题中，引导学生总结归纳矛盾点的类型练习10．已知△ABC中，∠A=90°，求证：∠B必定是锐角书写证明过程：假设则所以这与“”矛盾所以【设计意图】：引导学生尝试自己写出证明过程，深刻体会简单命题用反证法的证明过程.环节五：总结反证法教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生总结归纳：（1）命题具有哪些特征词想到使用反证法证明？当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法.（2）使用反证法证明命题，关键是什么？能否归纳一下矛盾点的类型？与已知条件相矛盾；与已知定义、定理、公理相矛盾；推出自相矛盾的结果.（3）用反证法证明命题的难点在哪里？总之，“反证法”的智慧：正难则反，逆向思维.【设计意图】：引导学生总结回顾本节课所学的反证法的重点、难点与关键点数学文化渗透——数学家眼中的反证法（1）德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法就像禁止拳击运动员使用拳头.（2）英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让与对方！”【设计意图】：数学文化渗透，结合数学家眼中的反证法说明反证法在证明数学问题中的特殊意义.。

人教版九年级数学上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系优秀教学案例

（一）导入新课
1.利用生活实际问题，如确定篮球场上的罚球线是否公平，引出点和圆、直线和圆的位置关系；
2.展示实物模型或图形软件，让学生直观地感受到点和圆、直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣；
3.引导学生提出问题，如“如何判断一个点是否在圆上？”、“直线与圆的位置关系有哪些？”；
4.创设情境，引导学生思考，为新课的学习做好铺垫。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活实际问题，如篮球场上的罚球线问题，引出本节课的学习内容，使学生能够直观地感受到数学与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.直观展示和操作：利用实物模型、图形软件等教学工具，直观地展示点和圆、直线和圆的位置关系，帮助学生建立正确的空间观念，使抽象的数学概念变得具体形象，有利于学生理解和掌握。
1.引导学生对学习过程进行反思，总结经验，提高学生的思维品质；
2.设计具有针对性和指导性的评价指标，对学生的学习过程和结果进行评价，帮助学生找到不足，促进学生的全面发展；
3.鼓励学生自我评价，培养学生的自我监控和自我调整能力；
4.对学生的评价结果进行反馈，引导学生正确对待评价，培养学生的自信心。
四、教学内容与过程
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，培养学生的提问能力和思维能力；
2.设计具有逻辑性和连贯性的问题链，引导学生进行层层递进的思考，提高学生的思维深度；
3.鼓励学生通过讨论、交流等方式，解决问题，培养学生的合作意识和沟通能力；
4.引导学生对解决问题的过程进行反思，总结经验，提高学生的思维品质。
（三）小组合作
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的实用性和魅力，激发学生学习数学的内在动机；

人教版九年级上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系教学设计

人教版九年级上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系教学设计教学目标1.了解圆与直线的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况；2.能够根据直线和圆的相对位置，用正确的方法解决几何问题；3.培养学生观察能力和思维能力。

教学内容知识点1.圆心角和圆周角2.切线的定义和性质3.直线与圆的位置关系学习重点1.圆与直线的位置关系2.切线的定义和性质学习难点1.圆心角和圆周角的判定和计算；2.圆与直线的位置关系的判定和计算。

教学过程活动1 圆头鱼游泳池1.给学生看一张图片，图片上是一个圆形的游泳池，里面有很多小圆头鱼。

2.让学生观察图片，分析小鱼的位置关系，引导学生判断小鱼与圆的位置关系（在圆内、圆上、圆外）。

3.让学生画出圆的位置和每只小鱼的位置，并圈出每只小鱼所在的位置区域。

4.通过这个活动，让学生初步了解圆与点的位置关系。

活动2 作图求解1.给学生发放一份练习题，要求学生根据已知条件画出图形。

2.通过导师在黑板上完成的解题过程，让学生在图形中标出圆、直线、角等重要元素。

3.辅导学生计算未知元素的长度、角度，逐步解题。

活动3 切线实验1.学生以小组形式进行活动。

2.每组学生分别取一张纸板，画一个圆和一个点，使用直线工具和圆规工具实验圆的切线。

3.学生用数学表达式和文字解释实验过程，并记录下实验过程和结果。

4.学生提交实验报告，分析圆的性质和切线的性质，并总结出结论。

教学评估1.利用小测验检测学生对圆与直线的位置关系的掌握程度；2.对学生的活动及实验报告进行评分；3.进行课程总结，回顾教学内容，提出亟待解决的问题，并勉励学生进一步探究。

总结本节课将围绕圆和直线的位置关系，推动学生从观察图形的知觉认知，到解决实际问题的具体方法。

我们采用了多种教学方式，包括观察演示、练习作图、实验探究等，希望通过这些多元化的教学方法，为学生的学习创造一个愉快、轻松的环境，并帮助他们自主、快速地掌握圆和直线的关系及解题方法。

九年级数学上册-24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时教案

24.2.2 直线和圆的位置关系教案一、【教材分析】二、【教学流程】究点作⊙O的切线L.请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？引导学生总结出：①经过关径外端，②垂直于这条半径.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.请同学们思考一下，该判定定理的两个条件缺少一个可以吗？①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OCA B分析：已知直线AB和⊙O有一个公共点C，要证AB是⊙O的切线，只需连结这个公共点C和圆心O，得到半径OC，再证这条半径和直线AB垂直即可. 它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理）从以上两个反例可看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.经过学生讨论后，师生小结以下三种方法（板书）.逆向思维讨论总结关键在于辅助线的做法尝试应用1：已知：⊙O的直径长6cm，OA=OB=5cm，AB=8cm.OCA B求证：AB与⊙O相切.分析：题目中不明确直线和圆有公共点，故证明相切，宣用方法2，因此只要证点O到直线AB的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥AB于C.2、如图D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°.求证：P A=PD.3小结与反思①已明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是连结圆心和公共点，即得“半径”，再证“直线与半径垂直”.②不明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线，再证“圆心到直线的距离等于半径”.注意：当题目中不明确直线和圆有公共点时，不能将圆上任意一点当作公共点而连结出半径.教师提出问题学生独立思考解答证明略让学生根据以上例题总结一下，证明直线与圆相切时，作辅助线的一般规律，以及证明方法的一般规律.经学生讨论后得出：思路分析：欲证P A=PD，只要证明∠A=∠D=30°即可.切线的证明方式关键点和常用辅助线做法对教材知识的加固强化辅助线总结补偿提高1、梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径求证：⊙O与CD相切.2、已知：在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2=CE·CA.3、在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m，0)，半径是2，如果⊙M与y轴所在的直线相切，那m等于______，若⊙M与y轴所在的直线相交，那么m的取值范围是__________.欲证⊙O与CD相切只需证明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径即可.思路分析：本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线做法是解题关键，即连接圆心和切点的半径，根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线。

人教版九年级数学上册24.2.2《直线和圆的位置关系》教学设计

人教版九年级数学上册24.2.2《直线和圆的位置关系》教学设计一. 教材分析《直线和圆的位置关系》是人教版九年级数学上册第24章第2节的内容。

本节课主要学习了直线和圆的位置关系，包括相交、相切和相离三种情况，以及判断直线和圆位置关系的方法。

这部分内容是学生进一步学习圆的性质和几何图形的对称性的基础，对于提高学生的空间想象能力和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于直线和圆的位置关系的理解还需要进一步引导和培养。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握直线和圆的位置关系。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直线和圆的位置关系，学会判断直线和圆位置关系的方法。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等活动，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作意识和交流沟通能力。

四. 教学重难点1.重点：直线和圆的位置关系，判断直线和圆位置关系的方法。

2.难点：理解直线和圆相交、相切、相离的内在联系，以及应用到实际问题中。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生主动探索直线和圆的位置关系。

2.互动法：教师学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作意识和交流沟通能力。

3.实践法：教师引导学生进行实际操作，通过观察、操作、思考等活动，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作直观、生动的课件，帮助学生更好地理解直线和圆的位置关系。

2.教学素材：准备一些实际的例子，让学生能够将所学知识应用到实际问题中。

3.课堂练习：设计一些有关直线和圆位置关系的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际的例子，让学生观察直线和圆的位置关系，引发学生的思考，引出本节课的主题。

人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系教学设计 (2)

人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系教学设计一、教学目标知识目标1.了解直线和圆的定义。

2.掌握直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。

3.能够判断直线与圆的位置关系。

能力目标1.学会将理论知识运用到实际问题中。

2.培养分析问题、解决问题的能力。

情感目标1.激发学生的数学兴趣。

2.培养学生的合作与交流能力。

二、教学重难点教学重点掌握直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。

教学难点能够判断直线与圆的位置关系。

三、教学过程1. 导入新课通过讲解直线和圆的定义，引出本节课的主题：直线和圆的位置关系。

2. 练习题解析1.画出一条直线和一个圆，分析它们的位置关系。

通过解析这道题，引导学生了解直线与圆的位置关系，包括相离、相切、相交等三种情况。

2.画出两条直线和一个圆，分析它们的位置关系。

通过解析这道题，让学生了解直线与圆的位置关系并加以运用，同时培养学生的分析问题和解决问题的能力。

3. 探究性学习让学生自己设计几道问题，并在小组内相互交流，让学生通过彼此的讨论来加深对直线和圆的位置关系的理解和掌握。

4. 作业布置布置有关直线和圆的位置关系的作业，以检测学生掌握情况。

四、教学评估1. 测试出一份测验，测试学生掌握直线和圆的位置关系的能力。

2. 课堂表现通过学生的课堂表现，如回答问题、举手发言等，来了解学生对直线和圆的位置关系的掌握情况。

3. 作业评查通过检查学生的作业情况，来了解学生是否掌握了直线和圆的位置关系的理论知识并能够应用于实际问题中。

五、教学体会本节课通过设计练习题解析、探究性学习等多种形式，使得学生更加深入地理解和掌握了直线和圆的位置关系，同时培养了学生的分析问题、解决问题的能力和合作交流能力。

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(第2课时) 教案新部编本(人教版九年级上)

点 P 在圆上 d=r，如图（b）所示；点 P 在圆内 d<r，如图（c）所示．
二、探索新知
固定一个圆，把三角尺的边缘运动，如果把这个边缘看成一条直线，
那么这条直线和圆有几种位置关系？直线和圆有三种位置关系：相交、相
切和相离．
l 相交 (a)
l 相切 (b)
l 相离 (c)
如图（a），直线 L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，•这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
三、课堂练习
四、小结（指导学生共同小结）
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
五、作业：教学反思
精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
教学重点切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
教学难点
由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
教学过程
一、复习引入个性修改：Fra bibliotek同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O 的半径为
r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外 d>r，如图（a）所示；
设⊙O 的半径为 r，圆心到直线 L 的距离为 d，•请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？
老师点评直线 L 和⊙O 相交 d<r，如图（a）所示；
l (a)
l (b)
l (c)
直线 L 和⊙O 相切 d=r，如图（b）所示；直线 L 和⊙O 相离 d>r，如图（c）所示．

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第2课时
教学内容 24.2.1点和圆的位置关系（2）．
教学目标
1．了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
2．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．3．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学过程
一、导入新课
我们知道经过一点、两点可以作无数个圆，那么，经过三点可以作多少个圆？本节课我们将进行有关探索．
二、新课教学
1．思考：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
教师指导学生分析、作图．
对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离要相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上．
（1）连结AB、BC．
（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设交点为O，则OA＝OB＝OC．（3）以O为圆心，OA（或OB，OC）为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆．
因为过A，B，C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．有关定义．
由右上图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角
形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角
形的外心．
3．思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如右图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆．设这个圆
的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆．
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法．
反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．
三、巩固练习
1．已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．O为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
锐角三角形直角三角形钝角三角形
2．（教材第95页练习3）如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．
四、课堂小结
本节课应该掌握
1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
五、布置作业
习题24.2 第2题．。