人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案

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第三章第3课时 空间向量的数量积运算

学习目标：

1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

2、

掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。

课前预习案

一、 教材助读，知识归纳： 1、两个向量的夹角：

夹角的形成：角AOB ∠叫做向量→

a 与→

b 的夹角，记作：<→

a ,→

b >。

夹角的范围： ≤ <→

a ,→

b > ≤ 。

<→a ,→b >=0时，→a 与→

b 的方向 ；<→

a ,→

b >=π时，→

a 与→

b 的方向 。

特别地：如果<→

a ,→

b >= 则称→

a 与→

b 互相垂直，并记作 。

2、两个向量的数量积

（1）||,,→

=a a OA a OA 记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段

设 （2）已知空间两个非零向量→

a ,→

b ，则〉〈→

→

b a b a ,cos ||||叫做→a ,→

b 的数量积 记作b a ⋅，即：b a ⋅= 。变形式：cos<→

a ,→

b >= 。 特别地：①零向量与任何向量的数量积为0，即a ⋅0=0 ②a a ⋅=

=〉〈a a a a ,cos |→

a |2

③0=⋅⇔⊥b a b a

3、空间向量数量积的运算律：

①b a ⋅)(λ= （数乘的结合律） ②=⋅b a (交换律)

③

=+⋅)(c b a （分配率）

课堂探究案

一、 例题讲解，合作探究： 探究1，问题解决 垂直问题

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）

如图，已知PO ，PA 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PA 在平面α内的射影，α⊂l ，且OA l ⊥，求证：PA l ⊥。

变式练习1如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 a ，用向量法证明AB ⊥OC 。.

探究2，问题解决长度问题

已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60°，求对角线AC 1的长。

A

A 1

C D

B 1

C 1

D 1

A ⋅l

A αP ⋅

O a

b

B

O

a

b

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变式练习2在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， AB=4，AD=3，AA 1=5，BAD ∠=90o ，

1BAA ∠=1DAA ∠=60o ，求AC 1的长。

探究3，问题解决 夹角问题

已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB=2，CD=1，求a 、b 所成的角。

二、 知识再现，归纳总结

1空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质． 2两向量数量积的应用： ①利用|→

a |

2

＝→a ·→a （也就是|→

a |=→

→⋅a a ），求解有关线段的长度问题．

②利用→a ⊥→

b ⇔b a ⋅＝0判断两直线的垂直问题(→

a ,→

b 为非零向量)． ③利用cos<→

a ,→

b >=

|

|||→

→→

→⋅b a b

a ，求解有关两直线的夹角问题．

课后练习案

1、已知|a |=2，|b |=3，<→a ,→

b >=60o

，则b a ⋅= |→a -2→

b |= 。

2、已知|a |=22，|b |=2

2

，b a ⋅=-2，则a ，b 所夹的角为 。

3、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，

则AB 1与C 1B 所成角的大小为多少度？

4、线段AB ，BD 在平面

α内，BD ⊥AB ，线段AC ⊥

α，且AB=a,BD=b,AC=c,求C ，D 间的距离。

A C 1

C 1

B A A 1

B 1

C