X射线衍射的几何原理

二、布拉格定律的推证 1、一层原子面上散射X射线的干涉：
当 K Q PR a(cosco)sn,方向衍
当 , 0,X射线衍射满足反射律。
2、相邻原子面的散射X射线的干涉：
干涉加强的条件(布拉格方程)：
λ：入射线波长；d: 晶面间距；
2d
Sin
Ɵ：掠入射角、布拉格角或半衍射角；
2Ɵ：衍射角： n: 为整数，称反射级数。
105
110
105
110
3,0,13,1,0 115
120
3,03,1,0 115
120
4,0,0 (117.71,3.8)
115
120
图3- X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系
§3.2衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
一、任意两个阵点相干散射的示意图及简单推导方法
取O为坐标原点，A点的位置矢量r=ma+nb+pc，S0和S 分别为入射线和散射线的单位矢量，散射波之间的光 程差为:
§3.1布拉格定律
一、干涉加强与布拉格实验
A AM M (n2 n 或 1 ) 22 或 2 2 n,干 (2n 涉 1 );,干 加强 涉 ; 相消
X射线沿NaCl晶体（001）方向平行入射，将晶体绕O 轴转动角度Ɵ，同时转动计数管2Ɵ：
实验结构： 当Ɵ=300、640时，计数管有脉冲产生。
三、布拉格方程的讨论
1、选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之 间的干涉结果。由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入 射线的反射。
一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，
而原子面对X射线的反射并不是任意的，只有当、、d三 者之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这
种反射称为选择反射。
35
1,0,1
1,1,0
40
45
0,1,1 1,0,1
1,1,0
40
45
Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
35
wk.baidu.com
1,1,1 (43.51,100.0)
40
45
(c) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
0,0,2
2,0,0
1,1,2
3,1,0
20
(65.03,14.9)
2,2,0
(116.40,16.6)
(98.96,9.3) 10
0
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
Intensity (%)
1,1,0 100
90
80
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
70
60
50
第三章 X射线衍射的几何原理（I）
§3.0 序言 §3.1布拉格定律 §3.2衍射矢量方程和厄尔瓦德图解 §3.3 劳埃方程组
§3.0 序言
一、产生衍射线的原因：
X射线
晶体
衍射现象
电子散射
周期性散射中 心发出的相干 散射波相互干 涉
电磁波
干涉作用
不同衍射花样
测定晶体结构
研究与结构相 关的一系列问 题
cL22）
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形
状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种和位置。
Intensity (%)
1,1,0
(44.68,100.0) 100
90 80
(a) 体心立方 aFe
70
a=b=c=0.2866 nm
60
50
40
2,1,1
30
2,0,0
(82.35,28.1)
O N - M r S A - r S 0 r ( S S 0 )
相差为：
2 2S S0r2S S0•(m anbpc)
当 2S S0•(m anbpc)2N （ ， N 为整数
或S S0•(manbpc)N， 干涉加强
将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程：
2dhklSi n
n
,令dHKLdnhkl
则有2d： HKSL in
把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间 距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。面间距为dHKL的晶面并 不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引
入的反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干涉面的
2,1,1
2,0,2
2,2,01,0,3
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm
0,0,2 0,2,0 2,0,0
1,1,2 1,2,12,1,1
0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,11,,03,3
50
55
40
2,1,1
30
20
2,0,0
10
0
2,2,0
3,1,0
2,2,2
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
35 Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
面指数称为干涉指数。
4、衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的
方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程，
可得： 立方晶系：
si2n2 (H2K2L2）
4a2
正方晶系：
si2n42(H2a2K2 cL22）
斜方晶系：
si2n42(H a22
K2 b2
60
65
70
75
80
85
90
95
100
(e) 面心立方：gFe
a=b=c=0.360nm
2,0,0 (50.67,44.6)
2,2,0 (74.49,21.4)
3,1,1
(90.41,22.7) 2,2,2
(95.67,6.6)
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
0,3,11,3,0
二、X射线衍射理论：
在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系 ➢ 衍射线束的方向：由晶胞的形状和大小决定 ➢ 衍射线束的强度：由晶胞中原子的位置和种类决定 ➢ 衍射线束的形状、大小：由晶体的形状和大小决定
三、衍射线束的四种表示形式：
➢布拉格定律 ➢衍射矢量方程 ➢厄瓦尔德图解 ➢劳埃方程
即衍射方向与晶体结构关系的四种表示形式
2、产生衍射的极限条件
根据布拉格方程，sin 不能大于1，
因此： nsin1，n即 2d
2d
对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观测的衍射角 下，产生衍射的条件为<2d，这也就是说，能够被晶体衍 射的电磁波的波长必须小于参加反射的晶面中最大面间距 的二倍，否则不能产生衍射现象。
3、干涉面和干涉指数