点集拓扑学-拓扑空间和连续映射1

3) 若 y B( x, ) ,则存在 B( y, ) B( x, ) .
定义2.3. 设A是度量空间X的一个子集．如果A中 的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每 一个a∈A，存在实数ε＞0使得B(a,ε)
)，则称A A
是度量空间X中的一个开集．
例2.4 实数空间R中的开区间 (a,b)为开集. 例2.5 度量空间 X 中的开球为开集. 例2.6 [a,b]={x∈R|a≤x≤b} (a.b]={x∈R|a＜x≤b}，[a,b)＝{x∈R|a≤x＜b} 都不是R中的开集．
称为一个以x为中心以 为半径的球形邻域.
定理2.1. 度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质： 1) 对任意x∈X,至少有一个 B ( x ) .且 x B ( x ) 2) 对x∈X的任意两个B1 ( x), B 2 ( x) ,
B ( x), s.t x B ( x) B1 ( x) B 2 ( x)
现 代 工 程 数 学
第二章 拓扑空间与连续映射
本章教学基本要求
掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映
射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与
邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌 握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关
空间 ( X , ) 诱导的拓扑空间.
常见的拓扑 例2.1 平庸空间．
设X是一个集合．令 ( X , ) ,则 ( X , ) 是拓扑 空间,称为平庸拓扑空间.
例2.2 离散空间． 集构成的族．容易验证， 是X的一个拓扑，称之 为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X,）中， X的每一个子集都是开集．
三. 拓扑空间中的连续映射和同胚映射 定义2.7 设X和Y是两个拓扑空间，f : X→Y，以及 x0 X 如果对于 f ( x0 ) 的任意一个邻域 U U f ( x0 ) , 有: f 1 (U ) U x ,则称 f 在点 x0 处是连续的.
0
如果映射f 在X的每一个点x∈X处连续，则 称f 是拓扑空间X上的一个连续映射． 定理2.6 f 是连续的 充分必要条件是Y中开集的 原象是X中的开集
定理2.7
设X，Y和Z都是拓扑空间．则
(1)恒同映射： X : X→X是一个连续映射； i (2)如果f : X→Y和g:Y→Z都是连续映射， 则 gof : X→Z也是连续映射． (3)常值映射： : X y0 Y 是一个连续映射； C (4)从离散空间到任何空间的映射都是连续的 (5)从X到平凡空间的任何映射都是连续的
则 gof : X→Z也是同胚映射．
定义2.9
设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个
同胚f ：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，
或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．
定理2.9 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
（1）X与X同胚；
（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；
（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，
则X与Z同胚．
二. 邻域与邻域系 定义2.6
U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈
使得 x V U , 则称U是点x的一个邻域． 说明 点x的所有邻域构成的x的子集族称为 点x的邻域系,记为U x 如果U是包含着点x的一个开集，那么 它一定是x的一个邻域，于是我们称U 是点x的一个开邻域．
设(X， )是一个拓扑空间，x∈X．如果
四. 子空间的概念
设(X， )是一个拓扑空间， X A 令 A {V AV } ,则 A 是A上的拓扑,拓扑空间 定义2.10
( A, A )称为 ( X , ) 的子空间.
说明
拓扑空间 ( X , ) 的任何子集都可以看作拓扑
空间,即子空间 ( X , A )
间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间 所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换 言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有 的性质． 拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．
定理2.10 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的 一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个 子空间．
定理2.11 设 ( X , ) 是拓扑空间, B A X
(1) 若B是X中的开集,则B也是A中的开集. (2) 若A是X的开集,B是A的开集,则B也是X中的开集 关于拓扑性质
拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空
0, x y ; ( x, y ) 是一个离散度量 1, x y.
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过
的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．
2. 度量空间的其他概念
定义2.2. 设(X,ρ)是一个度量空间，x∈X．
对于任意给定的实数 ＞0，集合:
B( x, ) { y X | ( x, y) }
设X是一个集合．令 =P (X)，即由X的所有子
练习2.1 设X＝{a，b，c}． 1 {, (a ),(a, b),(a, b, c)}
1是否X的拓扑
例2.3 有限补空间．可数补空间．
{U X U 是X的一个有限子集 } { }
C
{U X U C 是X的一个可数子集 } { }
定义2.8 设X和Y是两个拓扑空间．如果 f ：X→Y 是一个一一映射，并且 f 和 f 1 ：Y→X都是连续的， 则称 f 是一个同胚映射或同胚． 定理2.8 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
i (1)恒同映射： X : X→X是一个同胚映射；
(2)如果f ：X→Y是一个同胚，则 f 1： Y→X 也是一个同胚； (3)如果f : X→Y和g:Y→Z都是同胚映射，
定理2.4
拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必
要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便
是x的一个邻域． 定理2.5 设X是一个拓扑空间．x∈X, U x 为x的
邻域系,则:
U (1) 对于任何x∈X， x ,如果 U U x ,则x∈U
(2) 如果U ,V U x ,则U∩V∈ U x . (3) 如果 U U x ,并且 U V , 则: V U x . (4) 如果 U U x ,则存在 V U x .满足: (a) V U , (b) 对于任何y∈V,有V U y
1 . 则
称 中的元素为拓扑空间(X, ) 中的开集.

是X的一个拓扑 ,称(X, )为拓扑空间.
A 1
A ∈
说明 拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别 设 ( X , ) 是一个度量空间, {V X V是( X , )} 则称 为由度量 诱导的拓扑,( X , )是由度量
概念. 重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射
§2.1 度量空间与连续映射 一. 度量空间 1. 度量空间的定义 定义2.1. 设 X 为集合, : X X R 为一映射,如果 对于任何x，y，z∈X，有:
1) ( x, y ) 0, ( x, y ) 0 x y
ρ是R的一个度量，因此偶对(R，ρ)是一个度
量空间,通常称为实数空间. 例2.2 n维欧氏空间,对于实数集合R的n重笛卡儿积, 定义ρ： R n R n R ,对于任意的
x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn ) Rn
定义: ( x , y )
定理2.2. 度量空间(X,ρ)的开集具有以下性质： (1)集合X本身和空集 都是开集. (2) 有限个开集的交是一个开集 . (3)任意一个开集族（即由开集构成的族） 的并是一个开集 定义2.4. 设x是度量空间X中的一个点，U是度量 空间X的一个子集．如果存在一个开集V满足:
x V U ,则称U是点x的一个邻域.
二. 度量空间中的连续映射 定义2.4. 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 x0 X 如果对于 f ( x0 )的任意一个球形邻域 B( f ( x0 ), ) , 存在 x0 的某一球形邻域 B( x0 , ) ,使得:
f ( B( x0 , ) B( f ( x0 ), )
n ( xi yi )2 则ρ是 R上的一个度量
n
i 1
例2.3 离散的度量空间． 设(X,ρ)是一个度量空间．如果对于每一个x∈X， 存在一个实数 , 使得 0 x
( x, y ) x ,对
任意的 x , y X , x y 都成立, 称(X,ρ)是离散的， 或者称ρ是X的一个离散度量. 例如:
则称映射f 在点 x0处是连续的. 如果映射f 在X的每一个点x∈X处连续，则 称f 是一个连续映射．
定理2.3 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 x0 X
则下述条件(1)和(2)分别等价于条件 (1 )和 (2 ) ： (1) f 在点 x0 处是连续的.
(1 ) f ( x0 ) 的每一个邻域的原象是 x0的一个邻域.
2) ( x, y ) ( y, x )
对于任意两点x，y∈X，实数 3) ( x, z ) ( x, y ) ( y, z ) ρ(x，y)称
为从点x到点y的距离． 则称ρ是集合X的一个度量． 并称 ( X , ) 为度量空间.
例2.1 对于实数集合R ,定义ρ：R×R→R如下： 对于任意x，y∈R，令ρ(x，y)=|x-y|．
(2) f 是连续的
(2 ) Y中每一个开集的原象是X中的一个 映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续
的,本质上只与度量空间中的开集有关
§2.2 拓 扑 空 间 与 连 续 映 射 一. 拓扑空间的定义 如果 满足: 定义2.5 设X是一个集合 是X的幂集P(X)的子集 (1) X , (2) 若A, B∈ . 则A∩B∈ (3) 若 则称