1.实验7-1传染病模型2
传染病模型
个比例就不会改变。而当阈值提高时， 减小，于
是这个比例就会降低。
ห้องสมุดไป่ตู้
群体免疫和预防
根据对模型的分析，当 s0 1/时，传染病不会
蔓延，因而制止传染病蔓延的途径有两条
1．提高卫生和医疗水平（使阈值变大）；
2．通过预防接种使群体得到免疫（降低 s）0
r0
现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一 种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形(半径 为7．5厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)， 并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水．
但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现，于 是想请你用数学的方法给一个详细的分析，论证它这个方案 的可行性
疾病的传染高峰期
此时 d 2I 意义： dt2
0
ln( n 1)
计算高峰期得： t0
I0 kn
1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快
的来临，这与实际情况比较符合。
2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均
人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故
1
1
（＊）
只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例
（即免疫者比例）r0 满足（＊）式，就可以制
止传染病的蔓延．
课后任务
请各位同学进行一些调查，根据模型算一 算在广州，非典型肺炎爆发的高潮大概是在何 时，与实际情况相吻合吗？根据模型请给出你 的建议。
思考题1
设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目 的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化 程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信 这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相 信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人 数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相 信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣言 传播情况的微分方程模型。
传染病最简单模型
传染病最简单模型：已感染人数 (病人) x(t)，每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为λ 有()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ 又设()00x x =，得微分方程dxx dtλ= 解得0()t x t x e λ=SI 模型：区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)。
总人数N 不变，λ为日接触率，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)。
则有di si dt λ=，又有s(t)+i(t)=1。
所以有0(1),(0)dii i i i dtλ=-=。
求解出01()11(1)ti t e i λ-=+- ，传染速度最快时刻为101ln(1)mt i λ-=-SIS 模型：传染病无免疫性。
总人数N 不变，病人的日接触率为λ，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)，接触数σ(感染期内每个病人的有效接触人数)。
病人日治愈率为μ，所以有diN Nsi Ni dtλμ=- ， 0(0)i i =。
由s(t)+i(t)=1，/σλμ=，就推出1[(1)]di i i dt λσ=---。
SIR 模型：传染病有免疫性。
总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t)，s(t)，r(t) ，病人的日接触率为λ，病人日治愈率为μ，接触数/σλμ=。
且有s(t)+i(t)+r(t)=1。
则有r(0)=r0很小，故000i s +≈。
推出00d ,(0)d d ,(0)d i si i i i ts si s s t λμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ 经济增长模型；1 ）道格拉斯(Douglas)生产函数 Q(t)，K(t)，L(t)，0f 分别表示某地区在t 时刻的产值、资金、劳动力和技术。
静态模型令z=Q/L ，y=K/L ，则z 是每个劳动力产值，y 是每个劳动力投资。
由于z 随y 增加而增长，但增速递减。
)(/0y g f L Q z ==，10,)(<<=ααy y g ，α)/(0L K L f Q =αα-=10),(L K f L K Q 此为Douglas 生产函数。
数学建模例题题
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
传染病模型——精选推荐
3.12传染病模型摘要：本文是一个对传染病的研究问题。
通过把一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
建立数学模型用极限和微积分等数学方法对传染病传播规律进行研究。
关键词：传染病极限和微积分正文1 传染病〔Infectious Diseases〕是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。
病原体中大部分是微生物，小部分为寄生虫，寄生虫引起者又称寄生虫病。
有些传染病，防疫部门必须及时掌握其发病情况，及时采取对策，因此发现后应按规定时间及时向当地防疫部门报告，称为法定传染病。
中国目前的法定传染病有甲、乙、丙3类，共37种医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制。
但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；即使在发达国家，一些常见的传染病也未绝迹，而新的传染病还会出现，如爱滋病（AIDS）等。
有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。
传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人群中实验的方式获得科学数据。
事实上，在人群中作传染病实验是极不人道的。
所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取。
这些数据往往不够全面，难以根据这些数据来准确地确定某些参数，只能大概估计其范围。
基于上述原因，利用数学建模与计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。
2问题提出上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？3 模型分析社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。
传染病模型
模型2（SI模型） 假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人 数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。 人群分为易感染者（Susceptible）和已感 染者（Infective）两类（取两个词的第一 个字母，称之为SI模型），以下简称健康 者和病人。时刻t这两类人在总人数中所 占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数 是常数，称为日接触率。当病人与健康 者接触时，使健康者受感染变为病人。
再设t 0时有x0有个病人，即得微分方程
dx x , dt x ( 0) x
0
(1)
方程（1）的解为
x(t ) x e
0
t
(2)
结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无 限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
不同类型传染病的传播过程有其各自 不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病人有效 接触(足使人致病) 的人数为常数 考察 t到 t t 病人人数的 增加，就有 x(t t ) x(t ) x(t )t
传染病模型
随着卫生设施的改善、医疗水平的提 高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得 到有效的控制。但是一些新的、不断变异 着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪 80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球， 至今带来极大的危害。长期以来，建立制 止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关 专家和官员关注的课题。
传染病模型在不同场景下的应用(2)
传染病模型在不同场景下的应用在过去的几十年里，传染病模型在许多不同的场景中都得到了广泛的应用。
从疫情爆发的防控，到公共卫生政策的制定，再到疫苗的研发，传染病模型都发挥了重要的作用。
让我们来看一下传染病模型在疫情爆发时的应用。
当一种新的传染病爆发时，政府和卫生部门需要迅速采取措施来控制疫情的蔓延。
传染病模型可以帮助他们预测疫情的发展趋势，确定疫情的热点地区，以及评估不同防控措施的效果。
通过这些信息，政府可以制定出更加科学合理的防控策略，从而有效地控制疫情的蔓延。
除了在疫情爆发时的应用，传染病模型还在公共卫生政策的制定中扮演着重要的角色。
公共卫生政策的制定需要考虑到许多不同的因素，如人群的流动性，医疗资源的分布，以及人们的行为习惯等。
传染病模型可以帮助政策制定者更好地理解这些因素对疫情的影响，从而制定出更加有效的公共卫生政策。
另外，传染病模型还在疫苗的研发中发挥着重要的作用。
疫苗的研发需要进行大量的实验和临床试验，而这些实验和临床试验需要依据一定的理论模型来进行。
传染病模型可以帮助研究人员更好地理解疫苗的效果和安全性，从而为疫苗的研发提供有力的理论支持。
传染病模型在许多不同的场景中都得到了广泛的应用。
从疫情爆发的防控，到公共卫生政策的制定，再到疫苗的研发，传染病模型都发挥了重要的作用。
我相信，在未来的发展中，传染病模型将继续发挥其重要的作用，为人类的健康事业做出更大的贡献。
在处理疫情爆发时，传染病模型的应用是至关重要的。
以2003年非典型肺炎（SARS）为例，当时的疫情迅速蔓延至全球多个国家和地区。
通过建立传染病模型，研究人员和公共卫生官员能够预测疫情的发展趋势，评估防控措施的效果，从而指导政府和卫生部门采取有效的应对措施。
例如，模型可以帮助确定隔离措施和疫苗接种策略的重点地区，确保资源的有效分配。
在疫情期间，我和我的团队也参与了传染病模型的构建和应用，通过不断优化模型参数，我们能够更准确地预测疫情走势，为决策者提供关键信息。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
传染病模型精选推荐(一)2024
传染病模型精选推荐（一）引言：传染病模型是研究传染病传播方式和防控策略的重要工具。
本文将介绍5个精选的传染病模型，并探讨它们的特点和应用领域。
大点一：SIR模型1. SIR模型是传染病模型中最基本的一种，包括易感者(Susceptible)、感染者(Infected)和康复人群(Recovered)。
2. SIR模型适用于研究人群中的疾病传播情况，可以预测传染病的爆发和蔓延趋势。
3. SIR模型假设人群中没有出生死亡和迁移，并且感染后具有免疫力。
4. SIR模型可以通过改变参数来研究不同防控措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
大点二：SEIR模型1. SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏期(Exposed)的状态，即潜伏期内已经感染但还未展现症状的人群。
2. SEIR模型适用于研究传染病的潜伏期和潜伏期内的传播方式。
3. SEIR模型可以更准确地描述疾病的传播过程，并提供更精确的防控策略。
4. SEIR模型可以通过添加接触率和潜伏期的参数来模拟不同传染性和潜伏期的疾病。
大点三：SEIRD模型1. SEIRD模型在SEIR模型的基础上增加了死亡者(Death)的状态，用于研究传染病的死亡率和致死风险。
2. SEIRD模型适用于研究死亡率高的传染病，如高致病性禽流感等。
3. SEIRD模型可以通过改变死亡率和康复率的参数来预测传染病的死亡数量和康复情况。
4. SEIRD模型有助于评估不同防控策略对死亡率的影响，如加强医疗资源、提高疫苗接种率等。
大点四：Agent-based模型1. Agent-based模型是一种基于个体行为和交互的传染病模型。
2. Agent-based模型可以模拟个体之间的接触和传播过程，更加现实和细致。
3. Agent-based模型适用于研究人口密集区域的传染病传播，如城市、机场等。
4. Agent-based模型能够考虑到不同个体的行为差异和健康状态，有助于制定个体化的防控策略。
传染病模型研究
传染病模型研究总结传染病一直危害着人类的健康，历史上传染病的一次次流行给人类生存和国计民生都带来了巨大的灾难。
人类面临着传染病长期而严峻的威胁，因此对传染病的发病机理、传染规律和控制策略的研究尤为重要。
传染病研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。
在建立传染病模型的过程当中，需要考虑到相当多的关键性因素，例如：传染率，传播的群体（感染者，未感染者，已痊愈者等），传播的途径（空气，体液等），传播的环境等等。
传播模型最开始是用于解决传染病的防控问题，这就要求建立能反映传染病传播特性的数学模型。
通过对其模型的动力学行态特征的定性、定量分析和数值模拟，来反映疾病的发展过程，揭示传染病的流行规律，并预测其变化发展的趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略。
而如今传染病模型作为一个重要的研究模型被广泛的应用到了社会学，工程学，计算机科学，系统工程等众多领域当中，对研究分析行业发展趋势，刨析问题找到最优模型解，具有重要意义。
经典的传染病模型建立在解微分方程的基础之上，有四个模型： 模型1（基础模型）：设时刻t 的病人人数)(t x 是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数λ，考察t 到t t ∆+病人人数的增加，就有t t x t x t t ∆=-∆+)()()(x λ模型2（SI 模型）：假设条件为：1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。
人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人。
时刻t 这两类人在总人数中所占的比例分别记作)(t s 和)(t i ；2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。
根据假设，每个病人每天可使)(t s λ个健康者变为病人，因为病人数为)(t Ni ，所以每天共有个)()(t i t Ns λ健康者被感染，于是Nsi λ就是病人数Ni 的增加率，即有si N dt di N λ= ，)1(i i dt di -=λ模型3（SIS 模型）：假设条件为：1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。
传染病数学模型-
• 模型参数定义如下：λ(a,t)为感染力；为从潜隐 期到短期HBV病毒血症的转变率；β(a)为从病毒血症 转变成HBV慢性携带的风险度；ε为从短期HBV病毒血 症到免疫者的单位时间转变率；υ(a)为HBV慢性携带 者的HBV清除率；τ(a)为HBV相关疾病的死亡率； μ(a)为与HBV无关疾病的年龄别死亡率；Vc(a,t)为 乙型肝炎疫苗免疫效果。按年龄构建的HBV房室模型 可写为 ：
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五、西昌市静脉吸毒人群HIV/AIDS流行趋势
• 连续型HIV/AIDS传播动力学模型
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25
• 变量和参数的含义
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• 参数及初始值的确定
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• 基本再生数
R 0 kbD
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• 数值模拟结果
初始时间选为2002年，终止时间选为2010 年。数值模拟结果见图（在图2.1中，30％ 或70％的干预表示传染性系数降低30％或 70％；在图2.2中，30％或70％的干预表示 共用注射器比例降低30％或70％。同时， 干预的时间定为2003年底）。
22
在前面所讨论的传染性系数、共用注射器吸毒者所 占比例、吸毒人群的移入率等与行为因素有关的参数中， 无论是数值的确定还是变化规律的确定，都隐含着这样 一些前提条件：随着时间的推移，影响这些参数的社会 因素的变化是不大的。如果影响这些参数的社会因素在 未来几年变化较大，我们所确定的这些参数的数值或变 化规律将不再适用。 在参数的确定过程中，由于参考资料的缺乏，有些 参数的取值与实际情况相比会存在一定的差异。今后， 随着参考资料的不断充实和一些统计结果的出现，我们 将会对一些参数做必要的调整和完善。 在本模型中，我们仅仅考虑了共用注射器，而没有 考虑其他途径（如经性），这样做将会使得预测的结果 存在一定的偏差。
传染病的基本模型及其研究
传染病的基本模型及其研究传染病的基本模型是用数学和统计学的方法来描述和研究传染病的传播规律。
其基本原理是将人群分为不同的群体，研究人群之间传染病的传播过程，并使用数学模型进行建模，进行预测和分析。
从而为防控疾病提供科学依据。
传染病的基本模型常用的有两种，分别是SIR模型和SEIR模型。
一、SIR模型SIR模型将人群分为三个大类，即易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）。
1.易感者（S）：人群中尚未感染病毒的人群，但是可能会受到病毒的传播。
2.感染者（I）：已经感染病毒的人，可以将病毒传染给易感者。
3.康复者（R）: 感染者在康复后，不再传染病毒，成为了免疫者。
在该模型中，易感者（S）-感染者（I）-康复者（R）之间对照有以下三种传播途径：1.直接传播：突出表现为密切接触传播。
常见于空气传播的疾病。
2.矢量传播：通过中介媒介的传播。
某些传染病需要昆虫或其他动物（自然界或人类）的基因“媒介”，传播到人类或其他动物。
3.污染源：通过共同使用某些场所、水源、食品等而传播。
二、SEIR模型SEIR模型在SIR模型基础上增加了暴露这一类人群，即将易感者（S）分为了暴露者（E）和未暴露者（S）。
暴露者（E）指的是已经接触到传染病，但还未感染。
SEIR模型的模型结构如下所示：1.暴露者（E）：人群中已经经过暴露，但尚未成为感染者，对人群从易感态到感染态的接触进行了描述。
2.易感者（S）：人群中尚未感染病毒的人群，但是可能会受到病毒的传播。
3.感染者（I）：已经感染病毒的人，可以将病毒传染给易感者。
4.康复者（R）: 感染者在康复后，不再传染病毒，成为了免疫者。
在SEIR模型中，除了SIR模型中的三种途径之外，又增加了S到E的转换，表示暴露情况会影响到感染的率。
因此，SEIR模型适用于一些更详细描述疾病传播的场景，如 COVID-19 等病毒感染。
总之，基本传染病模型对了解疾病传播机制以及预测和控制传染病的发病规律和趋势都有着很好的作用。
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
传染病模型建模
对传染病的传播的研究摘要本文以常见传染病的传播为研究方向，并结合微分方程的知识建立传染病的传播与控制模型。
在模型的基础上，运用MATLAB软件拟合出患者人数与时间的关系曲线，从而能够从图中直观地对该病的传播作出分析并提出应对措施。
在问题一，我们把该地区人群分为五类：患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。
在对该传染病扩散与传播的控制模型的建立中，我们将疑似患者看作是潜伏期患者，主要考虑各项人数的增减情况，通过单位时间内正常人数的变化、单位时间内潜伏期患者人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单位时间内非参与者人数的变化联系建立微分方程模型。
在问题二、三中，利用所建立的微分方程模型代入给出的数据，从而用MATLAB拟合出各项人数随时间的变化曲线，分析所得图形及其合理性，得到有关该传染病的信息。
在问题四中，根据以上所建立的模型，提出相应的应对措施：一旦发现患病情况就及时去医院就诊；加大隔离措施强度；个人应养成良好的卫生习惯，勤洗手，多通风，减少与病菌的接触可能，适当锻炼来防止被传染。
关键词：传染病微分方程模型MATLAB 曲线拟合应对措施目录对传染病的传播的研究 (2)摘要 (2)一、问题重述 (4)1.1. 相关情况 (4)1.2. 问题的提出 (4)二、模型假设 (4)三、符号的约定和说明 (5)四、对问题一的解答 (5)4.1. 问题分析 (5)4.2. 模型准备 (6)4.3. 模型的建立 (7)五、对问题二的解答 (8)5.1. 问题分析 (8)5.2. 模型的建立 (8)5.3. 结果分析 (9)六、对问题三的解答 (9)6.1. 问题分析 (9)6.2. 模型的建立 (9)6.3. 结果分析 (10)6.4. 对隔离强度p的灵敏度分析 (11)七、对问题四的解答 (11)八、模型的评价及推广 (12)8.1. 模型的优缺点 (12)8.2. 模型的推广 (13)九、附录： (14)一、问题重述1.1. 相关情况2013年，某种传染病的出现成为热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，这种传染病有变异的可能．现在假设有一种未知的病毒潜伏期为1a --2a 天，患病者的治愈时间为3a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为λ (λ为感染率) ．为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人．潜伏期内的患者被隔离的比例为p （为潜伏期内患者被隔离的百分数）。
传染病数学模型
传染病数学模型传染病是一种严重的公共卫生问题，它可以通过空气、水和食物等媒介传播，对人类社会造成极大的危害。
为了有效地控制传染病的传播，需要对传染病进行数学建模，以便更好地预测和控制其传播。
一、引言传染病数学模型是一种利用数学工具来模拟传染病的传播和扩散的模型。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
二、传染病数学模型的建立1、确定模型的基本假设和参数建立传染病数学模型需要先确定模型的基本假设和参数。
这些假设和参数包括：传染病的传播途径、潜伏期、感染期、易感人群的数量、人口的流动等。
2、建立数学方程基于上述假设和参数，可以建立传染病传播的数学方程。
常用的方程包括：SIR（易感者-感染者-康复者）模型、SEIR（易感者-暴露者-感染者-康复者）模型、SEIRD（易感者-暴露者-感染者-康复者-死亡者）模型等。
这些模型可以描述传染病的传播过程，并预测其未来的发展趋势。
三、传染病数学模型的应用1、预测和控制传染病的传播通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
例如，通过模拟不同防控措施的效果，可以找到最有效的防控策略，减少传染病的传播。
2、评估疫苗接种的效果通过建立数学模型，可以评估疫苗接种的效果。
例如，通过比较接种疫苗和不接种疫苗的传播情况，可以得出疫苗接种对控制传染病传播的作用。
四、结论传染病数学模型是一种有效的工具，可以帮助我们更好地理解和控制传染病的传播。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
通过评估疫苗接种的效果，可以为制定合理的疫苗接种策略提供支持。
标题：数学模型在数学论文指导传染病模型1中的应用在当今世界，传染病的爆发和传播已经成为全球面临的共同挑战。
为了有效控制疾病的传播，我们需要对传染病模型进行深入研究。
传染病数学模型.ppt
二、自然史模型
• 疾病自然史指在没有干预的情况下疾病的演变 过程。 • 自然史研究的终点变量可以是二值结果（如是 否死亡、是否复发或HIV感染后是否患AIDS 等）、事件发生所需时间、或可重复测量的生 物标记物（如AIDS病人的CD4+细胞计数或HIV RNA计数）。可用标准的统计方法研究这些终 点变量与预测因子间的关系，如Logistic回 归或树状结构回归法、Kaplan-Meier曲线或 乘积极限估计法（寿命表）、比例风险模型或 Cox回归。由于HIV感染时间和AIDS发病时间 都不能准确观察到，此时应考虑双重删失或区 6 间删失数据。
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• 模型参数定义如下：λ(a,t)为感染力；为从潜隐 期到短期HBV病毒血症的转变率；β(a)为从病毒血症 转变成HBV慢性携带的风险度；ε为从短期HBV病毒血 症到免疫者的单位时间转变率；υ(a)为HBV慢性携带 者的HBV清除率；τ(a)为HBV相关疾病的死亡率； μ(a)为与HBV无关疾病的年龄别死亡率；Vc(a,t)为 乙型肝炎疫苗免疫效果。按年龄构建的HBV房室模型 可写为 ： S ( a , t ) S ( a , t ) [ ( a , t ) V ( a , t ) ( a )] S ( a , t )
在早期，CD4细胞计数是最重要的研究HIV感染自然 史和评价治疗效果的生物标记物，近来 HIV 病毒负荷成 为研究中新的焦点，但经过小的修正后，CD4T细胞计数 的建模方法学即可应用于病毒负荷的建模。一种考虑变 量误差的线性混合效应模型来拟合CD4细胞轨迹，即
i = 1,…,n, 其中，矩阵Xi和Zi由于依赖各时间观察测量值而受测量 误差的影响，为总体参数，βi为服从独立同正态分布 的个体随机效应，它与同样服从独立同正态分布的i相
传染病模型 (2)
传染病模型
传染病模型是一种用数学和计算机模拟来研究传染病传播过程和预测未来发展趋势的方法。
常用的传染病模型包括SIR模型、SEIR模型、SI模型等。
1. SIR模型：SIR模型划分人群为三个组成部分，分别是易感者(Susceptible, S)、感染者(Infected, I)和恢复者(Recovered, R)。
模型假设人群之间的转移是通过直接接触传播的，且感染后会产生免疫力。
该模型用于研究传染病的基本传播过程。
2. SEIR模型：SEIR模型在SIR模型的基础上加入了暴露者(Exposed, E)的概念。
暴露者是指已经感染病毒但尚未出现症状的人群。
该模型考虑了传染病的潜伏期，在研究疫情的初期或具有显著潜伏期的传染病时较为常用。
3. SI模型：SI模型是最简单的传染病模型，只考虑了易感者(S)和感染者(I)两个组成部分。
该模型没有考虑恢复者和
免疫力的概念，适用于一些无法恢复或无法获得免疫的传
染病。
传染病模型的建立需要依赖大量的数据和参数，如传染率、恢复率、潜伏期等，可以利用已有的疫情数据对模型进行
参数估计。
基于模型的分析可以帮助政府和卫生机构制定
合适的控制措施，预测疫情的发展趋势，并进行防控策略
的优化。
然而，传染病模型仍有其局限性，如对人群行为
的假设较为简单，无法精确模拟复杂的社交网络。
因此，
模型的结果需要结合实际情况进行综合分析。
传染病的数学模型
For personal use only in study and research; not for commercial use传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。
S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tti e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。
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河北大学《数学模型》实验实验报告一、实验目的二、实验要求1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图（参考教材 p137-138）传染病模型 2（ SI 模型）：;di/dt=ki(1-i),i(0)=i其中， i(t)是第 t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（ t=0）病人的比例。
取 k=0.1，画出 di/dt~ i 曲线图，求 i 为何值时di/dt达到最大值，并在曲线图上标注。
试编写一个 m 文件来实现。
参考程序运行结果（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）：[提示]1）画曲线图用 fplot 函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
若 lims 取[xmin xmax]，则 x 轴被限制在此区间上。
若 lims 取[xmin xmax ymin ymax]，则 y 轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数 fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd(‘fun’,x1,x2)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
返回自变量 x 在区间 x1<x<x2 上函数取最小值时的 x 值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)4）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1,’颜色线型数据点图标’, x2,y2,’颜色线型数据点图标’,…) 说明参见《数学实验》 p225本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');3）图形的标注使用文本标注函数 text，调用格式如下：格式 1text(x,y,文本标识内容,’HorizontalAlignment’,’字符串 1’)x,y 给定标注文本在图中添加的位置。
’HorizontalAlignment’为水平控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一水平线上。
’字符串 1’为水平控制属性值，取三个值之一：‘left’，点(x,y)位于文本标识的左边。
‘center’，点(x,y)位于文本标识的中心点。
‘right’，点(x,y)位于文本标识的右边。
格式 2text(x,y, 文本标识内容,’VerticalAlignment’,’字符串 2’)x,y 给定标注文本在图中添加的位置。
’VerticalAlignment’为垂直控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一垂直线上。
’字符串 1’为垂直控制属性值，取四个值之一：‘middle’，’top’，’cap’，’baseline’，’bottom’。
（对应位置可在命令窗口应用确定）本题可用text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center');4）坐标轴标注调用函数 xlabel， ylabel 和 title本题可用title('SI模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');2.实验7-2 传染病模型2（ SI模型）——画i~t曲线图（参考教材 p137-138）传染病模型 2（ SI 模型）：di/dt=ki(1-i),i(0)=i;其中，i(t)是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（t=0）病人的比例求出微分方程的解析解 i(t)，画出如下所示的 i~t 曲线（ i(0)=0.15, k=0.2,t=0~30）。
试编写一个 m 文件来实现。
（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）[提示]1）求解微分方程常微分方程符号解用函数 dsolve,调用格式如下：dsolve(‘equ1’,’equ2’,…,’变量名’)以代表微分方程及初始条件的符号方程为输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入变量内联立输入，且以逗号分隔。
默认的独立变量为 t，也可把 t 变为其他的符号变量。
字符 D 代表对独立变量的微分，通常指 d/dt。
本题可用x=dsolve(‘Dx=k*x*(1-x)’,’x(0)=x0’)2) 画出 i~t 曲线（ i(0)=0.15, λ=0.2, t=0~30）用 for 循环，函数 length, eval, plot, axis, title, xlabel, ylabel3.实验7-3 传染病模型3（ SIS模型）——画di/dt~ i曲线图（参考教材 p138-139）已知传染病模型 3（ SIS 模型）：di/dt=- i[i-(1-1/ )],i(0)=i其中，i(t)是第t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（t=0）病人的比例。
σ是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。
取λ=0.1，σ =1.5，画出如下所示的di/dt~ i曲线图。
试编写一个 m 文件来实现。
（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）[提示]用fplot函数画出di/dt~ i曲线图；在上图上用plot函数画一条过原点的水平用title, xlabel, ylabel标注。
4.实验7-4 传染病模型3（ SIS模型）——画i~t曲线图（参考教材 p138-139）已知传染病模型 3（ SIS 模型）：di/dt=- i[i-(1-1/ )],i(0)=i其中，i(t)是第t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（t=0）病人的比例。
σ是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。
实验要求 :求出微分方程的解析解 i(t)。
取λ=0.2, σ =3, t=0~40，画出如下所示的图形。
试编写一个 m 文件来实现。
其中蓝色实线为 i(0)=0.2 时的 i~t 曲线（第 1 条）；黑色虚点线为过点（ 0, 1-1/σ）的水平线（第 2 条）；红色虚线为 i(0)=0.9 时的 i~t 曲线（第 3 条）。
[提示]图例标注可用legend('i(0)=0.2','1-1/¦σ','i(0)=0.9');5.实验7-5 传染病模型4（ SIR模型）（参考教材 p140-141）SIR 模型的方程 :di/dt= si- i i(0)=i0ds/dt=- si s(0)=s实验要求：1．设λ =1，μ =0.3， i(0)=0.02， s(0)=0.98。
输入 p139 的程序，并修改程序中的[t,x]，使得输出的数据格式如下（提示：取 4 位小数，使用四舍五入取整函数 round，矩阵剪裁和拼接）：ans =Columns 1 through 60 1 2 3 4 50.02 0.039 0.0732 0.1285 0.2033 0.27950.98 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438Columns 7 through 126 7 8 9 10 150.3312 0.3444 0.3247 0.2863 0.2418 0.07870.3995 0.2839 0.2027 0.1493 0.1145 0.0543Columns 13 through 1820 25 30 35 40 45三、实验内容1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图在matlab中建立M文件fun1.m代码如下：function y=fun(x)k=0.1;y=k*x*[1-x];Fun2.m代码如下：function y=fun(x)k=0.1;y=-k*x*[1-x];在命令行输入以下代码：fplot('fun1',[0 1.1 0 0.03]);x=fminbnd('fun2',0,1);y=0.1*x*(1-x);hold on;plot([0,x],[y,y],'-',[x,x],[0,y],'-');text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center'); title('SI模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');hold off2.实验7-2 传染病模型2（ SI模型）——画i~t曲线图在matlab中建立M文件fun22.m代码如下：k=0.2;x0=0.15;x=dsolve('Dx=k*x*(1-x)','x(0)=x0');tt=linspace(0,31,1001);for i=1:1001t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx)axis([0,31,0,1.1]);title('图1 SI模型i~t曲线');xlabel('t(天)');ylabel('i（病人所占比例）');在命令行输入以下代码：fun22;3.实验7-3 传染病模型3（ SIS模型）——画di/dt~ i曲线图在matlab中建立M文件fun3.m代码如下：function y=fun(x)a=0.1;b=1.5;y=-a*x*[x-(1-1/b)];在命令行输入以下代码：fplot('fun3',[0 0.4 -0.0005 0.003]);x=fminbnd('fun3',0,1);title('SIS模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');>> hold on>> plot([0,0.4],[0,0])4.实验7-4 传染病模型3（ SIS模型）——画i~t曲线图在matlab中建立M文件fun4.m代码如下：function y=fun(x)x=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=0.2');tt=linspace(0,41,1001);for i=1:1001t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx);hold on;plot([0,40],[1-1/3,1-1/3],'-k');x=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=0.9');tt=linspace(0,41,1001);for i=1:1001t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx,'-r');axis([0,40,0,1]);title('图1 SI模型i~t曲线(λ =0.2, σ =3)');xlabel('t(天)');ylabel('i（病人所占比例）');legend('i(0)=0.2','1-1/σ ','i(0)=0.9');在命令行输入以下代码：fun4;5.实验7-5 传染病模型4（ SIR模型）在matlab中建立M文件fun5.m代码如下：function y=fun(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';在命令行输入以下代码：>> ts=0:50;>> x0=[0.02,0.98];>> [t,x]=ode45('fun5',ts,x0);>> plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause>> plot(x(:,2),x(:,1)),grid,四、实验结果及其分析1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图分析：,这时病人增加得在最快，可以认为是医院的门诊当i=1/2时di/dt达到最大值(di/dt)m量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。