电磁场课后答案5

aw .
co
45° 45° k2 (1) (2)
m
Ei
kt 30°
2）由图所示，该平面波为 TM 波，
μ1 ≠ μ 2 , ε 1 ≠ ε 2 ，求入射波平行极化、垂直极化两种情形下的布儒斯特角θB。
B
解：对于 TE 模
课
5.10 两 个 各 向 同 性 媒 质 组 成 的 交 界 面 ， 两 边 的 磁 导 率 、 介 电 常 数 均 不 相 等 ，
5.6 若要求光波以任何角度入射到玻璃板的一端，都在板内发生全反射，从而将光波约束在 板内传至另一端，求玻璃的介电常数最小应为多少？ 答：要在玻璃板侧面永远都是全反射，则在内部投射到交界面的入射角应该大于临界角， 那么有： sin θ =
课
1
ε
，
π
2
网
εr = 3
2
− θ > a sin(
1
ε
) ，即： ε > 2
所以
ε 1 ε 1 μ1 − ε 2 μ 2 2 μ1 ε 12 − ε 2
θ B = arccos
ε 1 ε 1 μ1 − ε 2 μ 2 2 μ1 ε 12 − ε 2
co
m
μ1 μ1ε 1 − μ 2ε 2 2 ε 1 μ12 − μ 2
当
μ1 = μ 2 ,θ B = arccos
ε1 + ε 2
图 P5.9
−
ωμ1
由(1)
cos θ 2 =
μ 2 k1 μ 2 k12 cosθ B , sin θ 2 = 1 − cos 2 θ 2 = 1 − 2 cos 2 θ B 2 2 μ1 k 2 μ1 k 2
2 2 μ2 k1 cos 2 θ B 2 2 μ1 k 2
(3)
（3）代入（2）
k1 sin θ B = k 2 1 −
ε0 2.3 μ 0
2
6 3 + 11.73
反射系数为： ΓTM =
Y水 − Ya Y水 + Ya
，透射系数为： TTE = 1 + ΓTE =
解：1）
ε r1 sin 45o = ε r 2 sin 30 o
.k hd
5.9 均匀平面波由介质 I（空气）以 45°角投射到无损介质 II，已知折射角为 30°，如图 P5.9， 频率为 300MHz。求 II I (1) ε2=？ kr (2) 反射系数Γ
5.1 完纯导体表面Ht=3x0+4z0 A/m, 求表面电流Js。
ˆ × (H1 − H 2 ) = J s 答： n
由于完纯导体内部磁场为 0， 则Js= Ht=3x0+4z0 A/m 。
5.2
两无限大平板间有电场 E = x 0 A sin ⎜
⎛π ⎝d
⎞ y ⎟e j (ωt − kz ) ，式中 A ⎠
m
ε0，磁导率μ=μ0，空气的εa=ε0，μa=μ0，给出x方向传输线模型（给出级连传输线的特 征参数）并用传输线模型求反射系数与折射系数。 （图略） 答： k a = ω
5.1 1 .7 ε 0 μ 0 ， k 水 = ω ε 0 μ 0 (1 − )1 / 2 2 4 k水 k 5.1 ε 0 2.3 = ， Y水 = 对于 TE 波， Ya = a = ωμ 0 2 μ0 ωμ 0 2
2 2 μ2 k1 k 2 1 − cos θ B = 1 − 2 12 cos 2 θ B k2 μ1 k 2
两边平方，均整理后得到
cos 2 θ B =
所以
μ1 μ1ε 1 − μ 2ε 2 2 ε 1 μ12 − μ 2
θ B = arccos
k z2 ΓTM =
要使 ΓTM 即 由相位匹配条件： 由(1)
ρs
同理
y =0
课
= D⋅n = 0
5.3 有 一 均 匀 平 面 波 垂 直 入 射 到 z = 0 处 的 理 想 导 电 平 面 ， 其 电 场 强 度 为 ，确定 (1) 入射波和反射波的极化方式； (2) 导电平面上面电流密度； (3) 写出 z ≤ 0 区域合成电场强度的瞬时值。
E = E 0 (x 0 − jy 0 )e − jkz
ε 1 = 4ε 0 , ε 2 = ε 0 ， θ c = sin −1
ε2 ⎛1⎞ = sin −1 ⎜ ⎟ = 30 o ε1 ⎝ 2⎠
α2
2k 0
(5)
Γ=
案
入射波的多少功率（以百分比表示）为铜板吸收？
网
5.12 平面波从空气垂直投射到一块铜板，铜的电导率σ=5.8 × 107S/m，求频率 500MHz时，
aபைடு நூலகம் .
(1) (2) (3)
当
ε 1 = ε 2 ,θ B = arccos
μ1 + μ 2
μ1
（3）代入（2）
课
k1 sin θ B = k 2 1 −
k1 ε 2 k12 1 − cos 2 θ B = 1 − 2 cos 2 θ B 2 2 k2 ε1 k 2
两边平方，均整理后得到
cos 2 θ B =
后 答
答： 由 5.4.10 式， 铜的纵向传播常数为 k c ≈
5.4.12 式，铜的波阻抗为Zm=R(1+j)= 0.583379 × 10-2 (1+j)
ww w
k z1 − k z 2 k 0 − j 2 k 0 = = 1e − jψ (0 ) , k z1 + k z 2 k 0 + j 2 k 0
后 答
ΓTE =
kz k z1 μ 2 k z1 − μ1 k z2 Z 2 − Z1 = 2 = Z 2 + Z 1 ωμ 2 ωμ 1 μ 2 k z1 + μ 1 k z2 + k z2 k z1
ωμ 2
要使 即
ΓTE = 0, μ 2 k z1 − μ 1 k z 2 = 0
μ 2 k1 cosθ B = μ1 k 2 cosθ 2
（1） E = E 0 (x 0 − jy 0 )e − jkz ，所以入射波是右手圆极化 解：
后 答
Js
y =0
⎡ π 1 kA ⎛π ⎞ ⎛π sin⎜ y ⎟e j (ωt − kz ) + z 0 = y 0 × ⎢y 0 A cos⎜ d jωμ 0 ⎝d ⎠ ⎝d ⎣ ωμ 0 π 1 = x0 Ae j (ωt − kz ) d jωμ 0 π 1 J s y =d = −x 0 Ae j (ωt − kz ) d jωμ 0
∇ × E = y0
π 1 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ y ⎟e j (ωt − kz ) + z 0 A cos⎜ y ⎟e j (ωt − kz ) ωμ 0 ⎝ d ⎠ d jωμ 0 ⎝d ⎠
kA
⎤ ⎞ y ⎟e j (ωt − kz ) ⎥ ⎠ ⎦
（4） J s = n × A
同理
ρs = D ⋅ n
k
y0 ∂ ∂y − jE 0 e − jkz
E 0 e − jkz
ωμ
z0 ∂ k = ( jx 0 + y 0 ) E 0 e − jkz ωμ ∂z 0 k = (− jy 0 + x 0 ) E 0 e − jkz
ωμ
（3） 此入射波可看成是两个平面波的叠加。 E1 = E 0 e 个坐标系下两个均为 TEM 波，
d
y
为常数，平行板外空间电磁场为零，坐标如图 P5.2 所示。 试求： (1) ∇ ⋅ E, ∇ × E ； (2) E 能否用一位置的标量函数的负梯度表示，为什么？ (3) 求与 E 相联系的 H； (4) 确定两板面上面电流密度和面电荷密度.
ε0μ0 x 图 P5.2
（3） H = −
1 jωμ 0
k z1
=
k z2 ε 1 − k z1 ε 2
ωε 1
k z2 ε 1 + k z1 ε 2
后 答
ε 2 k1 ε 2 k12 cos θ B , sin θ 2 = 1 − cos 2 θ 2 = 1 − 2 cos 2 θ B 2 2 ε 1k 2 ε1 k 2
2 2 k1 ε2 cos 2 θ B 2 2 ε1 k 2
θ b = tg −1 ε r ε r = 60 o ,
2 1
后 答
解： 将该圆极化波分解为TE、TM，如果θb = 60°，则反射波只有TE，由θb = 60°，得到
案
5.5 一圆极化均匀平面波自空气投射到非磁性媒质表面z = 0，入射角θi = 60°，入射面为x-z 面。要求反射波电场在y方向，求媒质的相对介电系数εr。
5.8 光从水以θ=30°角投射到与空间交界面（见图P5.8） ，设光频时水的介电常数为ε=1.7
.k hd
εr
1
1
1
= 11.35°
εr
aw .
=24.09°
5.4 计算从下列各种介质斜入射到它与空气的平面分界面时的临界角。
（4）云母εr= 6；
co
所以 z ≤ 0 区域合成电场强度的瞬时值 E = 2 E 0 sin kz sin wtx 0 − 2 E 0 sin kz cos wty 0
ρs
y =d
=0
案
网
ww w
（2） ∇ × E ≠ 0 ，是有旋场，不能用标量函数的负梯度表示
.k hd
aw .
co
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
解： （1） ∇ ⋅ E =
∂E x ∂E y ∂E z + + =0 ∂x ∂y ∂z ⎛ ∂E y ∂E x ⎛ ∂E z ∂E y ⎞ ⎛ ∂E x ∂E z ⎞ ∇ × E = x0 ⎜ ⎜ ∂x − ∂y ⎜ ∂y − ∂z ⎟ ⎟ + y 0 ⎜ ∂z − ∂x ⎟ + z 0 ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = −y 0 jkA sin⎜ y ⎟e j (ωt − kz ) − z 0 A cos⎜ y ⎟e j (ωt −kz ) d ⎝d ⎠ ⎝d ⎠
k1 sin θ B = k 2 sin θ 2
由相位匹配条件：
案
Γ=
ε r 1 k z 2 − ε r 2 k z1 ε r 1 k z 2 + ε r 2 k z1
6 2 k0 − 2 k0 2 2 = = −0.0718 6 2 k0 + 2 k0 2 2
网
ww w
ε r 2 = 2, ε r2 = 2
ε0 μ0
2 2.3 2.3 + 5.1
反射系数为： ΓTE = 对于 TM 波， Ya =
Y水 − Ya Y水 + Ya =
=
2.3 − 5.1 2.3 + 5.1
，透射系数为：TTE = 1 + ΓTE =
ωε
ka
ωε 0 2 5.1 ε 0 = ， Y水 = 3 μ0 k水
= 3 − 11.73 3 + 11.73
− jkz
x 0 ， E 2 = − jE 0 e − jkz y 0 ，在这
对平面波 1，在 z ≤ 0 区域合成电场强度 E x ( z ) = E 0 (e − jkz − e jkz ) = −2 jE 0 sin kz 对平面波 2，在 z ≤ 0 区域合成电场强度 E y ( z ) = − jE0 (e
ε1
5.11 垂直极化平面波由媒质I倾斜投射到媒质II，如图P5.11，ε1=4ε0，ε2=ε0，求 (1) 产生全反射时的临界角； (2) 当θ=60°时，求kx，kz1(用k0=ω
μ 0 ε 0 表示)；
(3) 求kz2(用k0表示)； (4) 在媒质 II，求场衰减到 1/e 时离开交界面的距离； (4) 求反射系数Γ。 解： (1) (2)
5.7 如图P5.7 所示三介质系统，k1,k2,k3分别为介质 1,2,3 中波矢，求用θ1表示的θ3，θ1为 （图略） 入射角，θ3为透射角。 答：由相位匹配，可以得到： k1 sin θ1 = k 2 sin θ 2 = k 3 sin θ 3 所以 θ 3 = arcsin(
k1 sin θ1 ) k3
m
E x , E y 与 E x , E y 都有 180°相移,且波传播方向相反， 反射波， 为满足导体表面边界条件，
所以 E r = E 0 (− x 0 + jy 0 )e jkz ，所以是左手圆极化。
r
r
i
i
x0 1 ∇×E ∂ =− （2） H = − jωμ jωμ ∂x E 0 e − jkz J s = n × H = − z 0 × ( jx 0 + y 0 )
k1 sin θ B = k 2 sin θ 2
案
ε 2 k1 cosθ B = ε 1k 2 cosθ 2
cos θ 2 =
网
= 0, k z2 ε 1 − k z1 ε 2 = 0
ww w
Z 2 − Z 1 ωε 2 = k z2 Z 2 + Z1
− +
ωε 2
.k hd
k z1
对于 TM 模
ωε 1
− jkz
− e jkz ) = −2 E0 sin kz
（1）蒸馏水εr=81.1 答：(1)
（2）酒精εr= 25.8
（3）玻璃εr=9
θ c = sin −1 θ c = sin −1
εr
1
=6.37° (2)
θ c = sin −1
εr
ww w
(3)
= 19.47 °(4)
θ c = sin −1