2.振动和波考试重点和习题答案

第八章 振动和波

下面重点要考试内容：

1.掌握简谐振动的基本概念、简谐振动的余弦表达式

2.掌握旋转矢量表示法、振幅、相位概念、掌握振动能量的公式

3.掌握同方向同频率谐振动的合成

4.掌握平面简谐波的表达式及其意义、掌握波的能流密度和波的干涉

5.理解机械波的产生和传播、惠更斯原理、波的衰减;；理解拍、相互垂直谐振动的合成

8-1 试解释下列名词:简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波阵面、波的强度。

答: ①简谐振动:质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与离开平衡位置的位移成正比，且方向相反。②振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。

③频谱分析:将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。

④基频:一个复杂的振动可以分解为若干个频率不同的简谐振动之和，这些分振动频率中最低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。

⑤频谱图:将组成一个复杂振动的各分振动的频率和振幅找出来，按振幅与频率关系列出谱线，这种图称为频谱图。

⑥波动:振动在介质中的传播现象叫波动，它也是一种重要的能量传播过程。其中简谐振动在介质中传播所形成的波叫简谐波。

⑦横波:波在介质中传播时，如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向垂直，则该波叫做横波。

⑧纵波:如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。 ⑨波阵面:在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。

⑩波的强度:单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。

8-2 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向:①平衡位置，向正方向运动;②平衡位置，向负方向运动;③正方向的端点;④负方向的端点。 解: 设该质点的振动方程为:)cos(ϕω+=t A x

将它对时间t 分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度v 和加速度a 的表达式:

)2

cos()sin(π

ϕωωϕωω++=+-==

t A t A dt dx v

)cos()cos(222

2πϕωωϕωω++=+-==

t A t A dt

x

d a 由此可以看出，速度的相位超前位移2π，加速度与位移的相位相反。下面根据上面三式来

回答本题中的四个问题。

①质点在平衡位置，向正方向运动时: x=0， v=A ω， a =0

②质点在平衡位置，向负方向运动时: x=0， v=-A ω， a =0

③质点在正方向的端点时: x=A ， v =0， a=-A ω2 ④质点在负方向的端点时: x=-A ， v =0， a=A ω2

8-3 一个作简谐振动的质点，在t=0时，离开平衡位置6cm 处，速度为零，振动周期为2s ，求该简谐振动的位移、速度、加速度的表达式。

解:根据题意，t=0时，质点速度为零，离开平衡位置6cm ，这说明该振动的振幅为A=6cm ，这时质点可能位于平衡点右侧6cm 处，或位于平衡点左侧6cm 处。下面分这两种情况进行讨论，设该振动方程为:

)cos(ϕω+=t A x （a ）

①第一种情况:位于平衡点右侧6cm 处，这时位移x=6cm ，将t =0，A =6cm ，x=6cm 代

入（a ）式得

ϕcos 66= 6

解之得，ϕ =0。已知T =2秒，则ππ

ω==2

2，将A 、ω、ϕ值代入（a ）式可得第一种情况的位移表达式为

t x πcos 6=（cm ） （b ）

再将（b ）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第一种情况的速度、加速度表达式

t dt

dx

v ππsin 6-==

（cm ·s -1 ） t dt

x d a ππcos 62

2

2-==（cm ·s -2 ） ②第二种情况:位于平衡点左侧6cm 处，这时位移x=-6cm ，将t =0，A =6cm ，x=-6cm 代入（a ）式得

-6=6cos φ

解之得，ϕ =π。已知ϕ=π，ω=π，A=6cm ，代入（a ）式可得第二种情况的位移表达式

t t x πππcos 6)cos(6-=+= （c ）

再将（c ）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第二种情况的速度、加速度表达式

t dt

dx

v ππsin 6==

（cm ·s -1 ） t dt x d a ππ

cos 62

2

2==（cm ·s -2 ）

8-4 两个物体作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，分别是0.1m 和2s ，当t=0时，一物体的位移为0.1m ，另一物体的位移为-0.1m ，问两者的相位差是多少?当t=1s 时，它们的位移各是多少?

解: ①已知A =0.1m ，T =2s ，则ω=2πT =πrad ·s -1 ，设它们的振动方程分别为

)cos(11ϕω+=t A x （a ）

)cos(22ϕω+=t A x （b ）

已知t=0时，x 1 =0.1m ，x 2 =-0.1m ，则由（a ）式和（b ）式可得

x 1 =0.1cos φ 1 =0.1 x 2 =0.1cos φ 2 =-0.1

分别解上面两式得φ 1 =0，φ 2 =π，因此两者的相位差φ 2 -φ 1 =π。两振动的方程分别为

x 1 =0.1cos （πt ） （c ） x 2 =0.1cos （πt +π） （d ）

②当t=1s ，由上面的（c ）式和（d ）式可得到它们的位移分别为

x 1 =0.1cos （π+0）m=-0.1m x 2 =0.1cos （π+π）m=0.1m

8-5 两个同频率、同方向的简谐振动，周期为20ms ，振幅分别为1.0cm 和3.0cm ，求:①两者合振动的圆频率;②当两者的相位差分别为0、π3、π2、π时，合振动的振幅各是多少? 解: ①由于是两个同频率、同方向的振动合成，所以合振动的频率不变，即其圆频率为

02

.014

.32221⨯=

=

==T πωωωrad·s -1 =100πrad ·s -1 ≈314rad ·s -1

②已知分振动的振幅A 1 =1.0cm ，A 2 =3.0cm ，合振动的振幅A 与两个分振动的振幅A 1 、A 2 及相位差φ 1 -φ 2 有以下关系:

)cos(221212

221ϕϕ-++=A A A A A

当相位差φ 2 -φ 1 =0时，两个分振动同相位，合振动的振幅为 A =A 1 +A 2 =（1.0+3.0）cm=4.0cm 当相位差3

12π

ϕϕ=

-时，合振动的振幅为

)3

cos(312312

2

π

⨯⨯⨯++=A cm=13cm ≈3.6cm

当相位差φ 2 -φ 1 =

2

π

时，合振动的振幅为 )2

cos(3123122π

⨯⨯⨯++=A cm=10cm ≈3.2cm

当相位差φ 2 -φ 1 =π时，两个分振动相位相反，合振动的振幅为

A =|A 1 -A 2 |=|1.0-3.0|cm=2.0cm

8-6 有三个同方向的简谐振动，它们的频率分别为100Hz 、200Hz 、300Hz ，问:①三者合成后是否仍为简谐振动?②合振动的周期是多少? 解: ①由于分振动的频率不同，所以它们合成后将不是简谐振动。②合振动的频率为100Hz ，周期T=

100

1

s=0.01s 。

8-7 弹簧振子作简谐振动时，若其振幅增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，它们的能