浙江省高一下学期期末数学试卷
浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。
如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（ ）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（ ） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （ ） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ， 则tan tan tan AB C的最大值为（ ）A 2−B ．3−C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（ ）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−+z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD 时，动点D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ． （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同． （i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题含解析
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]32．若0a b >>，则下列结论成立的是（ ） A ．22a b < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．a bb a+的最小值为2 D ．2a bb a+> 3．若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2sin 2y x =B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos2y x=D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π- B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联5．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣66．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．22-B ．22C ．55-D ．557．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值8．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．33C ．1D ．39．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江杭州地区重点中学2024届数学高一下期末统考试题含解析
浙江杭州地区重点中学2024届数学高一下期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 263f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭B ．()13sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()2sin 366f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭2．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>3．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( ) A ．12B ．24C ．48D ．964．一个球自高为6米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的13，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米 A ．16B ．18C ．9D ．125．为了得到函数y=sin （2x+π4）的图象，只需将函数y=sin2x 图象上所有的点( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知直线1:20l ax y a -+=,与2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A ．0B ．0或1C ．1D ．0或1-7．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ）①A C BD '⊥；②90BA C ∠='； ③CA '与平面A BD '所成的角为30； ④四面体A BCD '-的体积为13. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个8．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．309．若直线和直线互相垂直，则( ) A ．或B ．3或1C ．或1D ．或310．已知平面向量a ，b ，c ，e ，在下列命题中：①//a b 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=；②e 为单位向量，且a //e ，则a a e =±；③2a a a ⋅=；④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =.正确命题的序号是( ) A ．①④⑤B ．②③④C ．①⑤D ．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高中数学：2022-2023学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z 在复平面内对应的点是（0，1），则1+iz=（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（ ） A ．46B ．49C ．50D ．513．（3分）已知向量a →=(2，2)，b →=(1，−1)，则（ ） A ．a →=−2b →B ．a →=2b →C ．a →∥b →D ．a →⊥b →4．（3分）已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若m ∥β，m ∥α，则α∥β C ．若m ⊥n ，n ⊂β，则m ⊥βD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：A i ＝“正面向上的硬币数为i ”，其中i ＝0，1，2，3，B ＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 0与B 相互独立 B ．A 3与B 对立 C ．P （A 2）＝2P （B ）D ．A 1+A 2＝B6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P ﹣ABC 中，AB 为底面圆的直径，C 在底面圆周上且为弧AB̂的中点，则异面直线PB 与AC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列为定值的量是（ ）A．φB．ωC．φωD．ω+φ8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=√10，PD=√2，则三棱锥P﹣ABD外接球的表面积是（）A．144πB．36πC．9πD．6π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12°B．sin6°−cos6°=−√2sin39°C．4sin15°sin75°＝1D．√3−tan15°1+√3tan15°=1（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍B．今年商品B的营收是去年的2倍C．今年商品C的营收比去年减少D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A ．BE ⊥A ′NB ．MN ∥平面A ′DEC ．平面A ′BE ⊥平面A ′DED ．点C 到平面A ′DE 的距离为√303（多选）12．（3分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 满足BE →=2ED →．若∠BAE ＝∠DAE ＝20°，则（ ） A ．|AB →|=2|AD →| B ．AE →=13AB →+23AD →C ．∠ABC ＝20°D ．∠DAC ＝70°三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）函数f （x ）＝sin2x 的最小正周期为 ．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A 时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A 点走到点B ，当乙在点B 时，显示与甲之间的距离为600米，若A ，B 两点间的距离为500米，则乙从点A 走到点B 的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 米．15．（3分）已知一组样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为5，且满足x 1+x 2+x 3+x 4＝4x 5，则样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5+5的方差为 ．16．（3分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠B =π2，AB ＝BB 1＝BC ＝1，P 、Q 分别为线段AC 1、AA 1的动点，则△B 1PQ 周长的最小值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）记a →、b →、c →为平面单位向量，且|a →−b →|=1． （1）求〈a →，b →〉；（2）若a →⋅c →=12，求|2c →−a →|．18．（8分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为3，O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的一个动点．（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos2β．20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．21．（10分）如图，在平面四边形ABCD 中，点B 与点D 分别在直线AC 的两侧，BC ＝CD ＝2． （1）已知AB ＝2，且AC ＝AD ，（i ）当cos ∠CAD =23时，求△ABC 的面积；（ii ）若∠ABC =2∠ADC ＞π2，求∠ABC ．（2）已知AD =√2AB ，且∠BAD =π4，求AC 的最大值．22．（10分）如图，在正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2A 1B 1＝2AA 1，D ，E 分别为AA 1，B 1C 1的中点． （1）证明：DE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）设P ，Q 分别为棱AB ，BC 上的点，且C 1，D ，P ，Q 均在平面α上，若△PBQ 与△ABC 的面积比为3：8，（i ）证明：BP =34BA ；（ii ）求α与平面ABB 1A 1所成角的正弦值．附：参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z 在复平面内对应的点是（0，1），则1+iz=（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【解答】解：∵复数z 在复平面内对应的点是（0，1），∴z ＝i ， ∴1+i z=1+i i=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i 2−i 2=1﹣i ．故选：B ．2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（ ） A ．46B ．49C ．50D ．51【解答】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数， 因为10×0.8＝8，因此，该组数据的第80百分位数为49+512=50．故选：C ．3．（3分）已知向量a →=(2，2)，b →=(1，−1)，则（ ） A ．a →=−2b →B ．a →=2b →C ．a →∥b →D ．a →⊥b →【解答】解：向量a →=(2，2)，b →=(1，−1)， 对于A ，−2b →=(−2，2)，a →≠−2b →，A 错误； 对于B ，2b →=(2，−2)，a →≠2b →，B 错误；对于C ，由于2×（﹣1）≠2×1，即a →与b →不共线，C 错误； 对于D ，a →⋅b →=2×1+2×(−1)=0，因此a →⊥b →，D 正确． 故选：D ．4．（3分）已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若m ∥β，m ∥α，则α∥β C ．若m ⊥n ，n ⊂β，则m ⊥βD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n ⊂α，A 错误；对于B，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；对于C，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；对于D，若m∥α，则平面α存在直线l，满足l∥m，由于m⊥β，则有l⊥β，必有α⊥β，故D正确．故选：D．5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：A i＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A．A0与B相互独立B．A3与B对立C．P（A2）＝2P（B）D．A1+A2＝B【解答】解：总的可能有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），故P(A0)=18，P(A1)=38，P(A2)=38，P(A3)=18，P(B)=34，而P（A0∪B）＝0，P(A0)⋅P(B)=332，故选项A错误；P(A3)+P(B)=78≠1，故选项B错误；2P（A2）＝P（B），故选项C错误；A1＝{（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）}，A2＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，B＝{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）}，所以A1+A2＝B，故选项D正确．故选：D．6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB̂的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，∠ACB＝90°， 则PA =PB =√22AB =AC =BC ，过点B 作BD ∥AC 交底面圆于点D ，连接PD ，AD ，如图，则∠PBD 是异面直线PB 与AC 所成角或其补角， 显然BD =√22AB =PB =PD ，即△PBD 是正三角形，所以∠PBD ＝60°，即异面直线PB 与AC 所成角的大小为60°． 故选：C ．7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．φωD ．ω+φ【解答】解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ），ω＞0的周期为2πω，令f （x ）＝0，可得ωx +φ=kπ+π2，k ∈Z ，所以x =kπ+π2−φω，即x =2kπ+π−2φ2ω，k ∈Z ， 又ω＞0，|φ|＜π2，所以0＜φ＜π2，x 1=π−2φ2ω，x 2=3π−2φ2ω，又x 2＝4x 1，所以3π−2φ2ω=4×π−2φ2ω，所以φ=π6．故选：A ．8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=√10，PD=√2，则三棱锥P﹣ABD外接球的表面积是（）A．144πB．36πC．9πD．6π【解答】解：令长方体ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，PD1＝x，于是{x2+ℎ2=2(4−x)2+ℎ2=10，解得x＝h＝1，在△P AD中，∠PDA＝∠DPD1＝45°，则△P AD外接圆半径r=12×PAsin45°=√102=√5，显然AB⊥平面P AD，因此三棱锥P﹣ABD外接球的球心O在线段AB的中垂面上，球心O到平面P AD的距离为d=12AB=2，则球半径R=√r2+d2=√5+4=3，所以三棱锥P﹣ABD外接球的表面积S＝4πR2＝36π．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12°B．sin6°−cos6°=−√2sin39°C．4sin15°sin75°＝1D．√3−tan15°1+√3tan15°=1【解答】解：对于A，sin26°﹣cos26°＝﹣（cos26°﹣sin26°）＝﹣cos12°，故A错误；对于B，sin6°−cos6°=√2(√22sin6°−√22cos6°)=√2(sin6°cos45°−cos6°sin45°)=√2sin(−39°)=−√2sin39°，故B正确；对于C，4sin15°sin75°＝4sin15°cos15°＝2sin30°＝1，故C正确；对于D，tan60°−tan15°1+tan60°tan15°=tan(60°−15°)=tan45°=1，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍B．今年商品B的营收是去年的2倍C．今年商品C的营收比去年减少D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变【解答】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，由扇形图可得：A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确；B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确．故选：ABD．（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A．BE⊥A′NB．MN∥平面A′DEC．平面A′BE⊥平面A′DE D．点C到平面A′DE的距离为√30 3【解答】解：连接AN交BE于点O，连接A′O，取BE的中点F，连接FM、FN，对于A选项，在正方形ABCD中，因为AB＝DA，AE＝DN，∠BAE＝∠ADN＝90°，所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，则∠ABE＝∠DAN，所以，∠DAN+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，则∠AOE＝90°，即BE⊥AN，翻折后，则有BE⊥A′O，BE⊥ON，又因为A′O∩ON＝O，A′O、ON⊂平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，因为A′N⊂平面A′ON，所以，BE⊥A′N，A对；对于B选项，因为M、F分别为A′B、BE的中点，所以，MF∥A′E，因为MF⊄平面A′DE，A′E⊂平面A′DE，所以，MF∥平面A′DE，因为DE∥BC，BC＝2DE，则四边形BCDE为梯形，又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN∥DE，因为FN⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，则FN∥平面A′DE，因为MF∩FN＝F，MF、FN⊂平面FMN，则平面FMN∥平面A′DE，因为MN⊂平面FMN，故MN∥平面A′DE，B对；对于C选项，因为AO⊥BE，且AB＝2，AE＝1，∠BAE＝90°，所以，BE =√AB 2+AE 2=√22+12=√5，所以，AO =AB⋅AE BE =2×15=2√55， 则A ′O =2√55， 在Rt △ADN 中，cos ∠DAN =ADAN =AD √AD +DN =25=2√55，所以，OD =√OA 2+AD 2−2OA ⋅ADcos∠DAN =√45+4−2×2√55×2×2√55=2√105，因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，平面A ′BE ∩平面BCDE ＝BE ，A ′O ⊥BE ， A ′O ⊂平面A ′BE ，所以，A ′O ⊥平面BCDE ， 因为OD ⊂平面BCDE ，所以，A ′O ⊥OD ，所以，A ′D =√A′O 2+OD 2=√45+85=2√155，且BD =√BC 2+CD 2=√4+4=2√2，翻折前，AB ⊥AE ，翻折后，A ′B ⊥A ′E ，若平面A ′BE ⊥平面A ′DE ，且平面A ′BE ∩平面A ′DE ＝A ′E ，A ′B ⊂平面A ′BE ， 所以，A ′B ⊥平面A ′DE ，因为A ′D ⊂平面A ′DE ，则A ′B ⊥A ′D ， 事实上，A ′B ＝2，A ′D =2√155，BD =2√2，则A ′B 2+A ′D 2≠BD 2， 即A ′B 、A ′D 不垂直，假设不成立，故平面A ′BE 与平面A ′DE 不垂直，C 错； 对于D 选项，因为S △CDE =12CD ⋅DE =12×2×1=1，且A ′O ⊥平面BCDE ，所以，V A′−CDE =13S △CDE ⋅A′O =13×1×2√55=2√515，在△A ′DE 中，A ′E ＝DE ＝1，A ′D =2√155， 由余弦定理可得cos ∠A ′ED =A′E 2+DE 2−A′D 22A′E⋅DE =1+1−1252×12=−15， 所以，sin ∠A ′ED =√1−cos 2∠A′ED =√1−(−15)2=2√65，所以，S △A′ED =12A′E ⋅DEsin∠A′ED =12×12×2√65=√65，设点C 到平面A ′ED 的距离为d ，由V C ﹣A ′ED ＝V A ′﹣CDE ，即13S △A′ED ⋅d =2√515，所以，d =2√55S △A′ED=2√5556=√303，D 对． 故选：ABD ．（多选）12．（3分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 满足BE →=2ED →．若∠BAE ＝∠DAE ＝20°，则（ ） A ．|AB →|=2|AD →| B ．AE →=13AB →+23AD →C ．∠ABC ＝20°D ．∠DAC ＝70°【解答】解：在△ABC 中，D 为BC 的中点，BE →=2ED →，∠BAE ＝∠DAE ＝20°，如图，对于A ，AB AD=12AB⋅AEsin∠BAE 12AD⋅AEsin∠DAE =S △ABE S △ADE=BE DE=2，有|AB →|=2|AD →|，A 正确；对于B ，AE →=AB →+BE →=AB →+23BD →=AB →+23(AD →−AB →)=13AB →+23AD →，B 正确；对于D ，过C 作CF ∥AD 交BA 的延长线于F ，由D 为BC 的中点，得AD 是△BCF 的中位线， 则CF ＝2AD ＝AB ＝AF ，于是∠DAC =∠ACF =∠CAF =12∠DAF =12(180°−40°)=70°，D 正确；对于C ，由选项D 知，∠EAC ＝90°，假定∠ABC ＝20°，则∠AEC ＝40°，AE =BE =12CE ，cos40°=cos ∠AEC =AE CE =12，与cos40°＞cos60°=12矛盾，因此∠ABC ≠20°，C 错误． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）函数f （x ）＝sin2x 的最小正周期为 π ． 【解答】解：函数f （x ）＝sin2x 的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A 时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A 点走到点B ，当乙在点B 时，显示与甲之间的距离为600米，若A ，B 两点间的距离为500米，则乙从点A 走到点B 的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 150√7 米．【解答】解：令甲的位置为点C ，如图，在△ABC 中，AC ＝400，AB ＝500，BC ＝600，由余弦定理得cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=5002+4002−60022×500×400=18，sinA=√1−cos2A=3√78，过C作CD⊥AB于D，所以所求距离的最小值为CD=ACsinA=400×3√78=150√7（米）．故答案为：150√7．15．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为9．【解答】解：由题意可得，数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x=15(x1+x2+x3+x4+x5)=x5，方差s2=15[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+(x4−x)2+(x5−x)2]，又因为(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+(x4−x)2=25，数据x1，x2，x3，x4，x5+5的平均数x′=15(x1+x2+x3+x4+x5+5)=x5+1，所以方差s′2=15[(x1−x−1)2+(x2−x−1)2+(x3−x−1)2+(x4−x−1)2+(x5−x−4)2]=15[(x1−x)2−2(x1−x)+(x2−x)2−2(x2−x)+(x3−x)2−2(x3−x)+(x4−x)2−2(x4−x)+(x5−x)2−8(x5−x)+20]=15[45−2(x1+x2+x3+x4+x5)+10x]＝9．故答案为：9．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是√4+2√2．【解答】解：如下图所示：将面AB 1C 1、面AA 1C 1沿着AC 1延展为一个平面，将面AA 1B 1、面AA 1C 1沿着AA 1延展为一个平面，连接BB 1′， 此时，线段BB 1′的长即为△B 1PQ 周长的最小值，则AB 1=√AB 2+BB 12=√1+1=√2，AB ＝1，由于AB 1=AC =√2，B 1C 1＝CC 1，AC 1＝AC 1，则△AB 1C 1≌△ACC 1， 延展后，则四边形AA 1C 1B 1为矩形，因为AA 1＝A 1B 1′，AA 1⊥A 1B 1′，则△AA 1B 1′为等腰直角三角形，所以∠A 1AB 1'＝45°， 延展后，则∠B 1AB 1'＝135°，由余弦定理可得B 1B 1'=√AB 12+AB 1′2−2AB 1⋅AB 1′⋅cos135°=√2+2−2×√2×√2×(−√22)=√4+2√2．故答案为：√4+2√2．四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）记a →、b →、c →为平面单位向量，且|a →−b →|=1． （1）求〈a →，b →〉；（2）若a →⋅c →=12，求|2c →−a →|．【解答】解：（1）由已知|a →|=|b →|=1，且|a →−b →|=1，所以，|a →−b →|2=a →2−2a →⋅b →+b →2=2−2a →⋅b →=1，则a →⋅b →=12，所以，cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=12， 因为0≤〈a →，b →〉≤π，所以，〈a →，b →〉=π3；（2）由已知可得|a →|=|c →|=1，且a →⋅c →=12，所以|2c →−a →|=√(2c →−a →)2=√4c →2−4a →⋅c →+a →2=√4−4×12+1=√3．18．（8分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为3，O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的一个动点． （1）求三棱锥A ﹣O 1BC 的体积；（2）当O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的中心时，求AO 1与平面ABCD 所成角的余弦值．【解答】解：（1）如图所示，根据题意得： V A−O 1BC =V O 1−ABC =13⋅S △ABC ⋅ℎ=13×12×3×3×3=92．（2）如图所示，过点O 1做平面ABCD 的垂线，垂足为G ，易知G 为AC 中点， 故∠O 1AC 为AO 1与平面ABCD 所成线面角，又AG =12AC =12√AB 2+BC 2=3√22，AO 1=√AG 2+GO 12=3√62，所以AO 1与平面ABCD 所成角的余弦值为：cos ∠O 1AC =AGAO 1=3√22362=√33．19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AD ＝1，点E 为BC 上一点，且AE ⊥DE ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设∠BAE ＝α，∠DAE ＝β．（1）利用图中边长关系DF ＝BE +CE ，证明：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β； （2）若BE =CE =13，求sin2α+cos2β．【解答】（1）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝β，AD＝1，则DE＝sinβ，AE＝cosβ，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠DAF＝α+β，AD＝1，则DF＝sin（α+β），在Rt△ABE，Rt△ECD中，∠B＝∠C＝90°，∠CED＝∠BAE＝α，则BE＝sinαcosβ，CE＝cosαsinβ，依题意，四边形BCDF是矩形，则DF＝BC＝BE+CE，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．（2）解：由BE=CE=13及（1）知，sinαcosβ=cosαsinβ=13，则tanα＝tanβ，而α，β为锐角，即有α＝β，sin2α=23，又2α＝α+β＝∠BAD是锐角，于是cos2β=cos2α=√53，所以sin2α+cos2β=2+√5 3．20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知10（2a+0.025+0.045+0.020）＝1，解得a＝0.005，x=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5，众数为70，因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025＝0.3＜0.5，前3组的频率和为10×0.005+10×0.025+10×0.045＝0.75＞0.5，所以中位数在第3组，设中位数为m，则0.3+0.045（m﹣65）＝0.5，解得m≈69.4，所以中位数为69.4．（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为7 10．21．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）当cos∠CAD=23时，求△ABC的面积；（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠ABC．（2）已知AD=√2AB，且∠BAD=π4，求AC的最大值．【解答】解：（1）（i）设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=2x2−42x2=23，解得x=√6，在△ABC中，AB＝BC＝2，则底边AC上的高ℎ=√AB2−(12AC)2=√4−32=√102，所以△ABC的面积S△ABC=12AC⋅ℎ=12×√6×√102=√152．（ii）设∠ADC＝θ，依题意，∠BAC=∠BCA=π2−12∠ABC=π2−θ，则AD＝AC＝2AB cos∠BAC＝4sinθ，CD＝2AD cos∠ADC＝8sinθcosθ＝2，即sin2θ=12，而π2＜2θ＜π，所以∠ABC=2θ=5π6．（2）连接BD，△ABD中，AD=√2AB，∠BAD=π4，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos π4=AB2+2AB2−2AB⋅√2AB⋅√22=AB2，则BD＝AB，∠ABD=π2，设∠CBD=α(0＜α＜π2)，在△BCD中，BC＝CD＝2，于是AB＝BD＝2BC cos∠CBD＝4cosα，在△ABC中，∠ABC=π2+α，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC，则AC2=16cos2α+4−8cosα⋅2cos(π2+α)=16cos2α+4+16sinαcosα=8sin2α+8(cos2α+1)+4=8√2sin(2α+π4)+12≤8√2+12，当且仅当2α+π4=π2，即α=π8时取等号，所以当α=π8时，AC max=√4(1+√2)2=2+2√2，所以AC的最大值是2+2√2．22．（10分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，（i）证明：BP=34 BA；（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值．【解答】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点S，因为AB＝2A1B1＝2AA1，所以三棱锥S﹣ABC为正四面体，连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边△ABC的中心，连接AG，则AG⊥面SBC，所以SDSA=SESG=34，所以DE∥AG，所以DE⊥面SBC．（2）（i）证明：延长C1D，CA交于点H，若C1，D，P，Q均在平面α上，则H，P，Q共线，设AB＝2A1B1＝2AA1＝2，则AH＝1，过点A作AM∥BC，交PQ于点M，设BQ＝k，则CQ＝2﹣k，AM=2−k3，CQBC=k2，所以APBP=AMBQ=2−k3k，BPAB=3k2+2k，所以S△PBQ＝S△ABC•k2•3k2+2k，所以k2•3k2+2k=38，所以k＝1，所以点Q与点F重合，均为BC的中点，所以BPAB=3k2+2k=34，即BP=34AB．（ii）连接DP，C1Q，由题知DP∥C1Q，且DP=12，C1Q＝1，BC1＝HQ，21连接AB 1交DP 于点N ，易知B 1N ⊥DP ，且B 1N =34AB 1=3√34，DP ∥C 1Q ， V B 1−DPQ =V B ﹣DPQ ＝V Q ﹣BDP =316V Q ﹣ABS =332V S ﹣ABC =√216， HC 1＝HF =√254+34=√7， 所以d B−C 1Q =√7−14=3√32， 所以d Q ﹣DP =12d H−C 1Q =3√34， 所以S △DPQ =12•12•3√34=3√316， 所以13•3√316•d B 1−DPQ =√216， 所以d B 1−DPQ =√63，设平面α与平面ABB 1A 1所成角为θ，所以sin θ=√633√34=4√29， 所以平面α与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为4√29．。
浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则A B = （）A.{}|12x x << B.{}|03x x << C.{}|23<<x x D.{}3|1x x <<【答案】A 【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则{}|12A B x x ⋂=<<.故选：A.2.“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由π6θ=，可得1sin 2θ=成立，即充分性成立；反正：若1sin 2θ=，可得π2π6k θ=+或5π2π,6k k Z θ=+∈，即必要性不成立，所以π6θ=是1sin 2θ=的充分不必要条件.故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【解析】【分析】根据中位数的求解方法可得【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据，又最中间两个数的平均数为454.52+=，该组数据的中位数为4.5故选：C 4.复数13i1iz -=+，则z =（）A.5B.C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.【详解】因为()()()()2213i 1i 13i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z -----+--=====--++--,所以z ==故选：B.5.已知,OA a OB b == ，点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，则PQ =uu u r（）A.a b+ B.22a b + C.b a - D.22b a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量加、减法的法则可得【详解】因为点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，所以22,22OP OM OA a OQ OM OB b +==+==，两式相减可得所以PQ =uu u r OQ OP -= 22b a - ，故选：D6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A.20πB.30πC.60πD.90π【答案】C【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.【详解】如图所示，设球O 与圆锥底面相切于点N ，与母线BS 相切于点M ，根据已知得6,3BN OM ==，设母线长BS l =，则在直角△SBN 中SN ==因为SNB SMO △∽△，所以OS BSOM BN=即36336l =，化简得24600l l --=，解得10l =，或6l =-(舍去)，所以圆锥的侧面积为：ππ610=60πBN l ⋅⋅=⨯⨯.故选：C.7.若函数()()22e e 4e e 2xx x x f x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可判断()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，由函数有且只有一个零点，()f x 过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为R ，因为()()()22ee 4e e 2xx x x f x b f x ---=+-++=，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数()f x 过坐标原点，()024220f b =-⨯+=，解得3b =.故选：B .8.已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222224a b c ++=，则ABC 面积的最大值为（）A.8B.4C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用两次基本不等式得到2162ABC S ≤ ，从而得解.【详解】因为222224a b c ++=，则222122b c a +=-，24a <，即2222322b c a a +-=-，由余弦定理可得232cos 22bc A a =-，又2sin 4ABC bc A S = ，所以2222234cos 22b c A a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①，22224sin 16ABC b c A S = ②，①+②可得22222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又()22222221422b c b ca ⎛⎫≤+=- ⎪⎝⎭，即2222231216222ABC a S a ⎛⎫⎛⎫-+≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()22222221316222222ABCSa a a a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222a a ⎛⎫+-≤= ⎪⎝⎭，即2162ABC S ≤ ，即0ABC ABC S S ⎛+-≤ ⎝，解得04ABC S <≤=，当且仅当22222b c a a⎧=⎨=-⎩时，即21a =，2234b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为24.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，从而结合基本不等式即可得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.对于事件A 和事件B ，()0.4P A =，()0.5P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.4=P ABB.若A 与B 互斥，则()0.9P A B ⋃=C.若A B ⊂，则()0.1P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.2P AB =【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB ，由A B ⊂，则AB A =，即可判断C ，由相互独立事件的定义，即可判断D【详解】因为()0.4P A =，()0.5P B =，若A 与B 互斥，则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=，故A 错误，B 正确；若A B ⊂，则AB A =，所以()()0.4P AB P A ==，故C 错误；若A 与B 相互独立，则()()()0.40.50.2P AB P A P B ==⨯=，故D 正确；故选：BD10.已知,O A 与,B C 分别是异面直线a 与b 上的不同点，E ，F ，G ，H 分别是线段OA ，OB ，BC ，CA 上的点.以下命题正确的是（）A.直线OB 与直线AC 可以相交，不可以平行B.直线EH 与直线BC 可以异面，不可以平行C.直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交D.直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交【答案】BCD 【解析】【分析】A 可假设直线OB 与直线AC 相交，推出矛盾；B 先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C 根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D 由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.【详解】A 选项，若直线OB 与直线AC 相交，则,,,O B A C 四点共面，则直线a 与b 共面，与题目条件直线a 与b 异面矛盾，故直线OB 与直线AC 不可以相交，A 错误；B 选项，当,E H 分别和,O A 重合时，直线EH 与直线BC 异面，直线EH 与直线BC 不可以平行，假如直线EH 与直线BC 平行，EH ⊂平面OAH ，BC ⊄平面OAH ，故//BC 平面OAH ，但BC 与平面OAH 有交点C ，显然这是不可能的，假设不成立，B 正确；C 选项，当,E F 均与O 重合，此时直线EG 与直线FH 相交，当调整,E G 的位置，可能有EG ⊥OA ，且令,F H 分别与,O A 重合，此时满足直线EG 与直线FH 垂直，故直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交，C 正确；D 选项，当,E H 均与A 重合，或,GF 均与B 重合时，直线EF 与直线GH 相交，当OE OF OA OB =时，EF 与AB 平行，当CG CHCB CA=时，GH 与AB 平行，此时EF 与GH 平行，其他情况，直线EF 与直线GH 异面，故直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交，D 正确.故选：BCD11.小明在研究物理中某种粒子点(),P x y 的运动轨迹，想找到y 与x 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现y 和x 都与某个变量()t t ∈R 有关联，且有sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩.小明以此为依据去判断函数()y f x =的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于原点对称B.函数()y f x =是以2π为周期的函数C.函数()y f x =的图象存在多条对称轴D.函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据y 的取值情况判断A 选项，根据正弦余弦函数周期性判断B 选项，根据圆的特性判断C 选项，应用复合函数单调性判断D 选项.【详解】对于A ：由题意知1cos 0y t =-≥，故()f x 不可能关于原点对称，A 选项错误；对于B:sin ,cos y x y x ==周期为2π，则()y f x =是以2π为周期的函数，B 选项正确；对于C ：当π,Z t k k =∈时，πsin ππ,Z x k k k k =-=∈,此时1cos y t =-有多条对称轴，C 选项正确；对于D:sin ,x t t =-设()()()sin ,1cos 0,h t t t h t t h t =-=-≥'单调递增，()11cos ,0,2g t t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭单调递增，根据复合函数的单调性可得()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则()()1ff =_____________.【答案】2【解析】【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.【详解】因为()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以()211213f =+⨯=，()()()()2213log 31log42f f f ==+==.故答案为：2.13.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发向北偏东60 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.【答案】【解析】【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.【详解】如图所示，设甲船航行到点C ，同时乙船航行到点D ，由已知得10AB =，120ABD ∠=︒，设BD AC x ==，则10BC x =-，在△BCD 中，由余弦定理得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒，代入得222221(10)2(10)(10100(5)752CD x x x x x x x =-+---=-+=-+，所以当5x =时，CD =千米.故答案为：.14.在ABC 中，3AB =，6AC =，60BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到E ，使15AE =.若32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则BD =_____________.【答案】4【解析】【分析】建系标点，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的坐标运算解得3cos 5θ=，进而可得4tan 3θ=，结合图形即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()(0,0,3,0,3,33A B C ，可知AB BC ⊥，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()15cos ,15sin ,315cos ,15sin ,315cos ,3315sin EA EB EC θθθθθθ=--=--=--，因为32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()3315cos 315cos 15cos 2t t θθθ⎛⎫-+--=-⎪⎝⎭，解得3cos 5θ=，且π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4sin 5θ==，sin 4tan cos 3θθθ==，所以tan 4BD AB θ=⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：建系，根据15AE =可设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合题意运算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，()12122,2a e e b e e λλ=-=-∈R .（1）若,a b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；（2）若,a b垂直，求实数λ的值；（3）求b的最小值.【答案】（1）()(),44,-∞⋃+∞（2）0λ=（3【解析】【分析】（1）根据向量不平行，21,e e 的系数比值不相等可解；（2）根据0a b ⋅=，结合数量积运算性质即可得解；（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.【小问1详解】因为,a b 可以作为一组基底，所以,a b不平行，又21,e e 不共线，所以212λ≠--，即4λ≠，所以，实数λ的取值范围为()(),44,∞∞-⋃+.【小问2详解】因为,a b 垂直，所以()()1212220a b e e e e λ⋅=-⋅-=，即()2211222420e e e e λλ-+⋅+= ，又22121211,11cos 602e e e e ==⋅=⨯⨯︒= ，所以()124202λλ-++=，解得0λ=.【小问3详解】因为()()22222221211222442413be e e e e e λλλλλλ=-=-⋅+=-+=-+ ，所以，当1λ=时，2b 取得最小值3，所以b.16.已知函数()cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和其图象的对称中心；（2）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()f A =2a =，b =，求ABC 的面积S 的值.【答案】（1）值域为[]22-,，ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.（2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；（2）根据()f A =A ，利用余弦定理求出c ，然后由面积公式可得.【小问1详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以值域为[]22-,，令ππ6x k k +=∈Z ，，得ππ,6x k k =-+∈Z ，所以()f x 的对称中心坐标为ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.【小问2详解】由()π2sin 6f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πA << ，ππ7π666A ∴<+<，所以ππ63A +=或2π3，即π6A =或π2A =，2a b =<=，π6A ∴=，由余弦定理得2π4122cos 6c =+-⨯，即2680c c -+=，解得2c =或4.当2c =时，11222S =⨯⨯=；当4c =时，11422S =⨯⨯=故所求ABC 的面积S 17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.【答案】（1）0.07a =，20.32小时（2）21.73小时（3）25【解析】【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a ，利用平均数的定义进行计算；（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为y ，从而得到方程，求出答案；（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.【小问1详解】由()0.020.060.0750.02541a ++++⨯=，解得0.07a =，因为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.【小问2详解】时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格，由题意知，即求60百分位数，又()0.020.0640.32+⨯=，()0.020.060.07540.62++⨯=，所以60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y ，则180.60.3222180.3y --=-，解得561821.7315y =+≈小时.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.【小问3详解】易知，5名学生中，优秀有452442⨯=++人，设为,A B ，良好有452442⨯=++人，设为,C D ，合格有251442⨯=++人，设为E .任选3人，总共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B E A C D A C E A D E ()()()(),,,,,,,,,,,B C D B C E B D E C D E ，10种情况，其中符合的有()()()(),,,,,,,,,,,A C E A D E B C E B D E ，共4种，故概率为42105p ==.18.在四棱台1111ABCD A B C D -中，BC AD ∥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，2AD =，CD =，1111AB BC AA A D ====，1120A AB ∠= .（1）求证：1//A B 平面11CDD C ；（2）求直线1AA 与直线CD 所成角的余弦值；（3）若Q 是1DD 的中点，求平面QAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24（3）75555.【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得11A B CD ∥，然后根据线面平行的判定可得（2）方法一，取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式1cos cos AA CD θ=，求出即可（3）利用二面角的定义找出QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角，求出平面QAC 的法向量()m x y z = ，，和平面ABCD 的法向量()001n = ，，，利用cos cos ,n m θ= 求解即可.【小问1详解】连接1CD ，111BC A D == ，11BC AD A D ∥∥，11A BCD ∴是平行四边形，11AB CD ∴∥.又1⊄A B 面11CDD C ，1CD ⊂面11CDD C ，故1//A B 平面11CDD C 【小问2详解】法一：取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角.在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥平面11ABB A ，BC ∴⊥平面1CED ，1BC CD ∴⊥，12BD ∴=，1cos 4BED ∠∴==-，所以，直线1AA 与直线CD所成角的余弦值为4.法二：在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥面11ABB A ，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，()020D ，，，11022AA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，()110CD =-，，1cos cos 4AA CD θ∴==，.【小问3详解】法一：过1D 作CE 延长线的垂线于O ，连接OD ，取OD 中点H ，连接QH ，过H 作HM AC ⊥，连接QM .易证QH ⊥面ABCD ，则QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角.11324QH OD ==，728MH =，所以1108MQ =，故cos 55MH QMH MQ ∠==.法二：()11010A D BC == ，，，11122D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，，13424Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，设()m x y z = ，，是平面QAC的法向量，则0130424x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，，令x =，得)m =-，又()001n =，，是平面ABCD 的法向量，所以cos cos ,55n m θ===.19.假设()G x 是定义在一个区间I 上的连续函数，且(){|}G x x I I ∈⊂.对0x I ∀∈，记()()1100x G x G x ==，()()()()22100x G x G G x G x ===，…，()()()100n n n x G G x G x -== .若某一个函数()G x 满足()()()21000n n n Gx pG x qG x ++=+，则有n n n x s t αβ=+（其中α，β为关于x 的方程2x px q =+的两个根，s ，t 是可以由0x ，1x 来确定的常数）.（1）若02x =，13x =且满足()()()212222n n n G G G ++=-+.（ⅰ）求2x ，3x 的值；（ⅱ）求n x 的表达式；（2）若函数()G x 的定义域为A ，值域为B ，且()0,A B ∞==+，且函数()G x 满足()()()216n n n G x G x G x ++=-+，求()G x 的解析式.【答案】（1）（ⅰ）21x =，35x =；（ⅱ）()71233n n x =-⋅-（2）()2G x x =【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，利用递推关系即可求解；（ⅱ）由题意知n nn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根可得()2nn x s t =+-，从而可得()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，求解即可；（2）由题意得()32nnn x s t =⋅-+⋅，又由值域为()0,B ∞=+可得0s =，从而可得0x t =，再由()10022x G x t x ===即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，又02x =，13x =，所以2102341x x x =-+=-+=，32121235x x x =-+=-+⨯=.（ⅱ）由题意知，nnn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根1，2-，()2n n x s t ∴=+-.又()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，所以7313s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()71233n n x ∴=-⋅-.【小问2详解】由题意知，α，β为关于x 的方程26x x =-+的两个根，所以3,2αβ=-=，则()32nnn x s t =⋅-+⋅，因为值域为()0,B ∞=+，易知0s =；2n n x t ∴=⋅，则002x t t =⋅=，()10022x G x t x ∴===，()2G x x ∴=.。
【新结构】浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题+答案解析
【新结构】浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，，则()A.1B.C.D.2.已知向量，若，则实数()A.3B.C.3或D.3.已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，()A.若，，则B.若，，，，则C.若，，，，则D.若，，，则4.已知，R，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，若，，，则()A. B. C. D.6.为了得到函数的图象，可以把的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过个小时才会“药物失效”．参考数据：A.4B.5C.6D.78.已知，是方程的两个实根，则()A.4B.3C.2D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则()A.B.C.D.10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则()A.每一个直角三角形的面积为1B.C. D.11.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义函数，则()A.是函数的一条对称轴B.函数是周期为的函数C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则实数__________.13.已知，则的最小值为__________.14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
浙江金华十校2024年高一下学期6月期末调研数学试题
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合AA={xx|0<xx<2}，BB={xx|1<xx<3}，则AA∩BB=A．{xx|1<xx<2}B．{xx|0<xx<3}C．{xx|2<xx<3}D．{xx|1<xx<3} 2．“αα=π6”是“sinαα=12”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为A．3.5 B．4 C．4.5 D．54．复数zz=1−3i1+i，则|zz|=A．5 B．�5C．4√2D．32�����⃗=aa，OOBB�����⃗=bb，点PP关于点AA的对称点为MM，点MM关于点BB的对称点为QQ，则PPQQ�����⃗=5．已知OOAAA．aa+bb B．2aa+2bb C．bb−aa D．2bb−2aa6．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为A．20πB．30πC．60πD．90π7．若函数ff(xx)=ee2xx+ee−2xx−4(ee xx+ee−xx)+2bb（bb是常数）有且只有一个零点，则bb的值为A．2 B．3 C．4 D．58．已知△AABBAA三个内角AA，BB，AA的对边分别是aa，bb，cc，且满足aa2+2bb2+2cc2=4，则△AABBAA面积的最大值为A．√28B．√24C．√22D．�2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．对于事件AA和事件BB，PP(AA)=0.4，PP(BB)=0.5，则下列说法正确的是A．若AA与BB互斥，则PP(AABB)=0.4B．若AA与BB互斥，则PP(AA∪BB)=0.9C．若AA⊂BB，则PP(AABB)=0.1D．若AA与BB相互独立，则PP(AABB)=0.210．已知OO，AA与BB，AA分别是异面直线aa与bb上的不同点，EE，FF，GG，HH分别是线段OOAA，OOBB，BBAA，AAAA上的点.以下命题正确的是A．直线OOBB与直线AAAA可以相交，不可以平行B．直线EEHH与直线BBAA可以异面，不可以平行C．直线EEGG与直线FFHH可以垂直，可以相交D．直线EEFF与直线GGHH可以异面，可以相交11．小明在研究物理中某种粒子点PP(xx,yy)的运动轨迹，想找到yy与xx的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现yy和xx都与某个变量tt(tt∈RR)有关联，且有�xx=tt−sin tt,yy=1−cos tt.小明以此为依据去判断函数yy=ff(xx)的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是A．函数yy=ff(xx)的图象关于原点对称B．函数yy=ff(xx)是以2π为周期的函数C．函数yy=ff(xx)的图象存在多条对称轴D．函数yy=ff(xx)在(0,12)上单调递增非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数ff(xx)=�log2(xx+1),xx>2,xx2+2xx,xx≤2.则ff(ff(1))= .13．甲船在BB岛的正南方向AA处，AABB=10千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自BB岛出发向北偏东60∘的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为千米.14．在△AABBAA中，AABB=3，AAAA=6，∠BBAAAA=60∘，DD在边BBAA上，延长AADD到EE，使AAEE=15.若EEAA�����⃗=ttEEBB�����⃗+ (32−tt)EEAA�����⃗，则BBDD= .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本题满分13分）已知ee1，ee2是夹角为60∘的两个单位向量，aa=2ee1−ee2，bb=λλee1−2ee2(λλ∈RR).（1）若aa，bb可以作为一组基底，求实数λλ的取值范围；（2）若aa，bb垂直，求实数λλ的值；（3）求|bb|的最小值.16．（本题满分15分）已知函数ff(xx)=√3sin xx+cos xx.（1）求函数ff(xx)的值域和其图象的对称中心；（2）在△AABBAA中，三个内角AA，BB，AA的对边分别是aa，bb，cc，满足ff(AA)=√3，aa=2，bb=2√3，求△AABBAA的面积SS的值.17．（本题满分15分）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求aa的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.18．（本题满分17分）在四棱台AABBAADD−AA1BB1AA1DD1中，BBAA//AADD，平面AABBBB1AA1⊥平面AABBAADD，AADD=2，AADD=√2，AABB=BBAA= AAAA1=AA1DD1=1，∠AA1AABB=120∘.（1）求证：AA1BB//平面AADDDD1AA1；（2）求直线AAAA1与直线AADD所成角的余弦值；（3）若QQ是DDDD1的中点，求平面QQAAAA与平面AABBAADD的夹角的余弦值.19．（本题满分17分）假设GG(xx)是定义在一个区间II上的连续函数，且{GG(xx)|xx∈II}⊂II.对∀xx0∈II，记xx1=GG(xx0)=GG1(xx0)，xx2= GG(xx1)=GG(GG(xx0))=GG2(xx0)，…，xx nn=GG(GG nn−1(xx0))=GG nn(xx0)⋯.若某一个函数GG(xx)满足GG nn+2(xx0)= ppGG nn+1(xx0)+qqGG nn(xx0)，则有xx nn=ssααnn+ttββnn（其中αα，ββ为关于xx的方程xx2=ppxx+qq的两个根，ss，tt是可以由xx0，xx1来确定的常数）.（1）若xx0=2，xx1=3且满足GG nn+2(2)=−GG nn+1(2)+2GG nn(2).（ⅰ）求xx2，xx3的值；（ⅱ）求xx nn的表达式；（2）若函数GG(xx)的定义域为AA，值域为BB，且AA=BB=(0,+∞)，且函数GG(xx)满足GG nn+2(xx)=−GG nn+1(xx)+ 6GG nn(xx)，求GG(xx)的解析式. 【参考答案】金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．B 8．B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．BD 10．BCD 11．BCD非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．213．5√314．4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（1）解：由题意得：aa，bb不平行，故2−1≠λλ−2，有λλ≠4.…………4分（2）aa⋅bb=2λλee12−(4+λλ)ee1⋅ee2+2ee22=0，∵ee12=ee22=1，ee1⋅ee2=12.∴2λλ−(4+λλ)12+2=0，解得λλ=0.…………9分（3）bb2=λλ2ee12−4λλee1⋅ee2+4ee22=λλ2−2λλ+4=(λλ−1)2+3当λλ=1时，(|bb|)min=√3.…………13分16．（1）解：ff(xx)=2sin(xx+π6)，所以值域为[−2,2]，…………2分令xx+π6=kkπ,kk∈ZZ，得xx=−π6+kkπ，所以其图象的对称中心坐标为(−π6+kkπ,0),kk∈ZZ.…………5分（2）由ff(AA)=2sin(AA+π6)=√3得sin(AA+π6)=√32，∵0<AA<π，∴π6<AA+π6<7π6，所以AA+π6=π3或2π3，即AA=π6或AA=π2，∵aa=2<bb=2√3，∴AA=π6，…………9分由余弦定理得4=12+cc2−2×2√3cc cos30∘，cc=2或4.…………12分当cc=2时，SS=12×2×2√3×12=√3；当cc=4时，SS=12×4×2√3×12=2√3.故所求△AABBAA的面积SS为√3或2√3.…………15分17．（1）解：由(0.02+0.06+0.075+aa+0.025)×4=1，解得aa=0.07，…………2分因为(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.…………5分（2）由题意可知，即求60百分位数，又∵(0.02+0.06)×4=0.32，(0.02+0.06+0.075)×4=0.62，∴60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为yy，则yy−1822−18=0.6−0.320.3，解得yy=18+5615≈21.73.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.…………10分（3）易知，5名学生中，优秀的2人，良好的2人，合格的1人.任选3人，总共有10种情况，其中符合的有4种，故pp=25.…………15分18．（1）解：连接AADD1，∵BBAA=AA1DD1=1，BBAA//AA1DD1，∴AA1BBAADD1是平行四边形，∴AA1BB//AADD1.又AA1BB⊄面AADDDD1AA1，AADD1⊂面AADDDD1AA1，故AA1BB//平面AADDDD1AA1.…………5分（2）法一：取AADD中点EE，连DD1EE，AAEE，BBDD1，则AAAA1//DD1EE，BBEE//AADD，所以∠BBEEDD1就是直线AAAA1与AADD所成的角.在梯形AABBAADD中，由已知可得AABB⊥AADD，又平面AABBBB1AA1⊥平面AABBAADD，AABB是交线，∴AADD⊥面AABBBB1AA1，∴BBAA⊥面AAEEDD1，∴BBAA⊥AADD1，∴BBDD1=2，∴cos∠BBEEDD1=1+2−42√2=−√24，所以，直线AAAA1与直线AADD所成角的余弦值为√24.…………11分法二：平面AABBBB1AA1⊥平面AABBAADD，AABB是交线，∴AADD⊥面AABBBB1AA1，如图，以AA为坐标原点，AABB所在直线为xx轴，AADD所在直线为yy轴，建立空间直角坐标系.则AA(0,0,0)，BB(1,0,0)，AA(1,1,0)，DD(0,2,0)，AAAA1�������⃗=(−12,0,√32)，AADD�����⃗=(−1,1,0)∴cosθθ=|cos⟨AAAA1�������⃗,AADD�����⃗⟩|=√24.…………11分（3）过DD1作AAEE延长线的垂线于OO，连接OODD，取OODD中点HH，连接QQHH，过HH作HHMM⊥AAAA，连接QQMM.易证QQHH⊥面AABBAADD，则∠QQMMHH就是二面角QQ−AAAA−DD的平面角.QQHH=12OODD1=√34，MMHH=7√28，所以MMQQ=√1108，故cos∠QQMMHH=MMMM MMMM=7√5555.…………17分AA1DD1����������⃗=BBAA�����⃗=(0,1,0)，∴DD1(−12,1,√32)，∴QQ(−14,32,√34)设mm =(xx ,yy ,zz )是面QQAAAA 的法向量，则�xx +yy =0,−14xx +32yy +√34zz =0, 令xx =√3，得mm =(√3,−√3,7)， 又nn =(0,0,1)是面AABBAADD 的法向量，所以cos θθ=|cos ⟨mm ,nn ⟩|=7√55=7√5555.…………17分 19．（1） （ⅰ） 解：由题意可知，xx nn+2=−xx nn+1+2xx nn ， 又xx 0=2，xx 1=3，∴xx 2=−xx 1+2xx 0=−3+4=1，…………2分xx 3=−xx 2+2xx 1=−1+2×3=5.…………4分 （ⅱ） 由题意可知，xx nn =ss ⋅ααnn +tt ⋅ββnn ，又αα，ββ为xx 2=−xx +2的两个根1，−2，∴xx nn =ss +tt (−2)nn .…………6分又�xx 0=ss +tt =2,xx 1=ss +tt ×(−2)=3,所以�ss =73,tt =−13, ∴xx nn =73−13⋅(−2)nn .…………8分（2） 由（ⅱ）可知，xx nn =ss ⋅(−3)nn +tt ⋅2nn ，…………10分 因为值域为BB =(0,+∞)，∴ss =0；…………12分 ∴xx nn =tt ⋅2nn ，又xx 0=tt ⋅20=tt ，…………14分 xx 1=GG (xx 0)=2tt =2xx 0，∴GG (xx )=2xx .…………17分。
浙江省2021-2021年高一下学期期末考试数学试题及答案
高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设a 、b 、R c ∈，0<<b a ，则下列不等式一定成立的是.A 22b a < .B 22bc ac < .C ba 11> .D ab a 11>-2.数列}{n a ：3-、3、33-、9、…的一个通项公式是.A n a n n 3)1(-=(*∈N n ) .B n n n a 3)1(-=(*∈N n ) .C n a n n 3)1(1+-= (*∈N n ) .D n n n a 3)1(1+-=(*∈N n )3.设、l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确．．．的是 .A 若α⊥l ，α⊂m ，则m l ⊥ .B 若α⊥l ，l ∥m ，则α⊥m .C 若l ⊥α，α⊥m ，则l ∥m .D 若l ∥α,m ∥α,则l ∥m4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若84=S ，48=S ，则=+++1211109a a a a.A 16- .B 12- .C 12 .D 165.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是.A 10=a ，8=b ， 30=A .B 8=a ，10=b ， 45=A .C 10=a ，8=b ， 150=A .D 8=a ，10=b ， 60=A6. 已知数列}{n a 满足21=a ，)(111*+∈+-=N n a a a n n n ，则=30a .A 2 .B 31 .C 21- .D 3- 7.当10<<a 时，关于x 的不等式12)1(>--x x a 的解集是 .A )12,2(--a a .B )2,12(--a a .C ),12()2,(+∞---∞a a .D ),2()12,(+∞---∞ a a8.已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线.A 65π=x .B 34π=x .C 3π=x .D 3π-=x 9.若不等式33922++≤≤+t t t t μ对任意的]2,0(∈t 上恒成立，则μ的取值范围是 .A ]2172,61[- .B ]2172,132[- .C ]22,61[ .D ]22,132[ 10.如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60，11B AA ∠为锐角，且侧面11A ABB ⊥底面ABC ，给出下列四个结论： ①601=∠ABB ； ②1BB AC ⊥；AA 1CBC 1B 1（第10题图）③直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45； ④11AC C B ⊥. 其中正确的结论是.A ①③ .B ②④ .C ①③④ .D ①②③④二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置11.求值：=+7cos 52cos 83cos 52sin ___________. 积为12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为23π，那么它的表面___________.13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.14.正数x 、y 满足8=++y x xy ，那么y x +的最小值等于___________.15.已知数列}{n a 是首项为3，公差为1的等差数列，数列}{n b 是首项为21，公比也为21的等比数列，其中*∈N n ，那么数 正视图侧视图俯视图（第13题图）列}{n n b a 的前n 项和=n S ________.16.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等差数列，则角B的取值范围是__________(角用弧度表示).17.在数列}{n a 中，11=a ，326=a ， 212++=n n n a a a （*∈N n ），把数列的各项按如下方法进行分组：(1a )、(432,,a a a )、(98765,,,,a a a a a )、……，记),(n m A 为第m 组的第n 个数（从前到后），若),(n m A ),(m n A ⋅=502，则=+n m ____________.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）(Ⅰ)已知πθ<<0，31cos sin =+θθ，求θ2cos 的值； (Ⅱ)已知202πβαπ<<<<-，53)cos(=-βa ，135sin =β，求αtan 的值.19.（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对的边，且C c B b a A a sin sin )(sin =++.(Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若1=c ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.20．（本题满分14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数)(x f 与时刻x（时）的关系为916|1|)(2++-+=a a x x a x f ，]24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且]41,0(∈a ，用每天)(x f 的最大值作为当天的污染指数，记作)(a M .(Ⅰ)令12+=x xt ，]24,0[∈x ，求t 的取值范围； (Ⅱ)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？21.（本题满分15分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为菱形，PA ⊥面ABCD ，且AB PA =，60=∠BAD ,F E 、分别是BC PA 、的中点.(Ⅰ)求证：BE ∥平面PDF ；(Ⅱ)过BD 作一平面交棱PC 于点M ，若二面角C BD M --的大小为60，求MPCM的值.PMFADEC B(第21题图)22.（本题满分15分）设数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，且12+n a 、n S 、2a -成等差数列，其中*∈N n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)数列}{n b 满足：)18)(18(21--=++n n nn a a a b ，记数列}{n b 的前n 项和为n T ,求n T 及数列}{n T 的最大项.第二学期八校联考高一数学参考答案三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）因为πθ<<0，0cos sin >+θθ，所以432πθπ<<，232πθπ<<, ……5分 917)98(12cos 2-=---=θ. ………………………………………………7分 （Ⅱ）因为20πβ<<且135sin =β，所以125tan =β， ……………………………9分因为202πβαπ<<<<-，所以0<-<-βαπ，又053)cos(>=-βα,所以02<-<-βαπ，所以34)tan(-=-βα，……11分所以563312534112534])tan[(tan -=⋅++-=+-=ββαα.……………………………14分因为 600<<A ，所以1206060<+<A ，1)60sin(23≤+< A ， 32)60sin(321≤+<A ，所以1322+≤<l ，即13322+≤<l . ………14分法2：由余弦定理得，ab b a ab b a c ++=-+=22222120cos 2， …………9分 而1=c ，故2222)(43)2()()(1b a b a b a ab b a +=+-+≥-+=，………………11分 所以332≤+b a ， …………………………………………………………………12分 又1=>+c b a ， ……………………………………………………………………13分所以13322+≤++<c b a ，即13322+≤<l . ………………………………14分20.（本题满分14分）(Ⅰ)(1)当0=x 时，0=t ；………………………………………………………………1分)(t g 在),0[a 上单调递减，在]21,[a 上单调递增，所以)(t g 的最大值只可能在0=t 或21=t21.（本题满分15分）(Ⅰ)取PD 的中点G ,连结EG 、FG ,PMDECG因为E 是PA 的中点，所以EG ∥AD ,且EG AD 21=，又F 是菱形ABCD 边BC 的中点，所以BF ∥AD ,且BF AD 21=， 所以EG ∥BC ,且EG BC =，四边形EGFB 是平行四边形，所以BE ∥FG ,……………………………………………5分而⊂FG 平面PDF ,⊄BE 平面PDF ，……………………………………………6分所以BE ∥平面PDF .…………………………………………………………………7分(Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结OM ，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA ⊥BD ，即BD ⊥PA ，又BD ⊥AC ，且A AC PA = ,所以BD ⊥平面PAC ，…………10分从而BD OM ⊥,BD OC ⊥,所以MOC ∠就是二面角C BD M --的平面角，60=∠MOC ，………………………………………………………………………12分设1=AB ,因为AB PA =，60=∠BAD ，所以1=PA ,3=AC ,2=PC ,30=∠PCA ,所以 90=∠OMC ,在OCM Rt ∆中,4330cos 23==CM ，…14分所以5343243=-=MP CM ……………………………………………………………15分22.（本题满分15分）(Ⅰ) 由12+n a 、n S 、2a -成等差数列知，2122a a S n n -=+，………………………1分当2≥n 时，2122a a S n n -=-，所以n n n n a a S S 222211-=-+-，n n a a 21=+ ……………………………………4分 当1=n 时，由22122a a a -=得122a a =， ……………………………………5分综上知，对任何*∈N n ,都有n n a a 21=+,又11=a ，所以0≠n a ，21=+nn a a .…6分 所以数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12-=n n a . ……………7分(Ⅱ))182)(182(2)18)(18(112!--=--=+-++n n n n n n n a a a b )18211821(211---=+n n ……10分)182118211821182118211821(2113221---++---+---=+n n n T)1821161(21)18211821(21111---=---=++n n ，……………………………12分 )182)(92(2)18211821(21111211--=---=-++-+++n n n n n n n T T ， 当2≤n 时，n n T T >+1，即3210T T T <<<；当4≥n 时，也有n n T T >+1，但0<n T ；当3=n 时，01<-+n n T T ，n n T T <+1，即34T T <.所以数列}{n T 的的最大项是3273T . ……………………………………………15分。
2020届浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)
浙江省杭州市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
浙江省温州市高一下学期期末考试数学试题
浙江省温州市高一(下）期末数学试卷一、选择题（共１8小题，每小题3分,满分54分）1．ｓin480°＝（)A． B. C. D.２．已知向量＝（﹣１,２)，=(２，m)，若∥,则ｍ=( )Ａ.﹣4 ﻩB．４ﻩ C.﹣１ﻩＤ．13.已知sｉｎ（3π﹣α)=，则siｎα＝（ )A． B.Ｃ.﹣Ｄ.４.已知正方形AＢCＤ的边长为１，＝a，＝b,则a＋b的模等于( ）Ａ.１ B．2ﻩＣ．ﻩＤ.５．下列函数中,最小正周期为的是( )Ａ.y＝|ｓiｎx| B.ｙ=sｉnxcosｘ C．y=｜tａnｘ|ﻩ D.y=cos4ｘ6．数列｛an ｝满足an+１＝,a１=1,则=( ）A.Ｂ．C．Ｄ.7.不等式<﹣1的解集为( ）Ａ．｛x｜﹣1＜x＜0} B.{x|x＜﹣1｝ C.{x|x＞﹣1} D．{x|x<0} 8.已知cosθ=﹣（<θ＜π),则cos（）=( )A． B.ﻩ C．﹣ﻩ D．９.已知x>ｙ＞z，且x+y+z=０,下列不等式中成立的是（ )A．y>0 B．xz＞yｚ C.xy>yｚﻩＤ．ｘｙ>xz１0．设△ＡBC的内角A，B，C所对的边分别是a，b,c，且（2ｂ﹣c)ｃosA=acｏsC，则角A的大小为( )Ａ．ﻩ B.Ｃ. D.11.函数y＝cｏs2x的图象向右平移φ(0<φ＜）个单位后,与函数y=sin(２x﹣)的图象重合，则φ=( ）Ａ. B． C.ﻩ D．12.已知tanα=2，ｔan（α﹣β)=﹣3,则tanβ＝（）Ａ．﹣1ﻩＢ.1 C．ﻩ D．５13.将函数y＝2cｏs(x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=ｇ(x)的图象,则函数y=g（ｘ)的图象（)A.关于点(﹣，０）对称 B．关于点(，0）对称C．关于直线ｘ＝﹣对称Ｄ．关于直线ｘ＝对称１4.等差数列｛an }的前n项和为Sn，若S9=４5，则３ａ4＋a8=( )Ａ.10ﻩB．20 C.３5ﻩ D．４５1５．设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝4x+5ｙ的最小值为（)A.6ﻩB.8C.10 D．12１6.已知x>0，y＞0,x+2y=１，若不等式>ｍ２+２m成立，则实数m的取值范围是（）A.m≥４或ｍ≤﹣2 Ｂ.m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4ﻩD．﹣4＜m＜２17．在△ABＣ中，已知AB=2，AC＝3,∠BＡC=,＝， =,=（ )A. B. C.ﻩ D.18．若存在x∈R,使不等式｜x﹣1｜+|x﹣ａ|≤a2﹣a成立,则实数ａ的取值范围( )A．a≥1ﻩＢ．a≤﹣1ﻩ C.ａ≤﹣1或a≥1 ﻩD．﹣1≤a≤１二、填空题(共4小题,每小题４分,满分16分)1９．设向量＝(２,１),＝(3,２)，则｜|= ．2０．角A为△ABC的一个内角，且sｉnA+cｏsA=，则coｓ2Ａ值为.2１.如图,定圆Ｃ半径为２,A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B,C不共线,且｜||对任意t∈(0，+∞）恒成立，则= .22.已知a,b∈R，若a2+ｂ2﹣aｂ=1,则ab的取值范围是.三、解答题（共3小题，满分３0分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)23．设函数f(x)=﹣sｉｎxｃosx＋1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若ｘ∈［0,],且f（x)=,求ｃosx的值．2４．在△ABＣ中，已知AB＝2,cosB=(Ⅰ）若AC=2,求sinC的值；(Ⅱ)若点Ｄ在边ＡC上,且AD＝2ＤＣ,BD=,求ＢC的长．２5．已知数列｛ａn ］的前ｎ项和记为Sn,且满足Sn＝2aｎ﹣n，n∈Ｎ＊（Ⅰ）求数列{an｝的通项公式;（Ⅱ）证明：+…（n∈Ｎ*）参考答案与试题解析一、选择题(共１8小题,每小题3分，满分54分)1．sin480°=( )Ａ．ﻩ B.C．ﻩＤ．【考点】GＯ：运用诱导公式化简求值.【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：sin4８０°＝ｓiｎ120°=．故选:B．２.已知向量＝（﹣1,2)，=(2，m)，若∥,则m＝( ）A．﹣４ﻩ B.４ﻩＣ.﹣1 Ｄ．1【考点】９6:平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的性质能求出m.【解答】解:∵向量=（﹣1,2)，=（２,m），∥，∴,解得m＝﹣4．故选:A．3．已知sin(3π﹣α）＝,则sｉnα=（)A．ﻩB．ﻩ C.﹣ﻩD．【考点】GＯ:运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解:sin（3π﹣α）＝，可得ｓｉn(３π﹣α)＝ｓｉn(π﹣α)=sｉnα=，故选:Ｂ.４．已知正方形ABCD的边长为1，＝a,＝b,则a+b的模等于（ )A．1ﻩ B.2ﻩC．ﻩD．【考点】93:向量的模.【分析】推导出=，从而|｜=||,由此能求出结果.【解答】解：∵正方形AＢCD的边长为1，＝， =,∴=，∴||=||===.故选:Ｃ.5．下列函数中，最小正周期为的是( ）A．ｙ=|sinx｜ﻩB．ｙ=sinxｃｏsx Ｃ.y=|tanx| D．y＝cｏs4x【考点】Ｈ1:三角函数的周期性及其求法.【分析】利用函数y=｜Asin（ωx＋φ)|的周期为、y=Ａｃｏs（ωx＋φ)的周期为、ｙ=|ｔanｘ｜的周期为,得出结论．【解答】解:由于y=|ｓｉnx|的最小正周期为π，故排除Ａ;由于y=sinｘcｏsｘ=sin2x的最小正周期为=π,故排除Ｂ;由于y=|tａnx｜的最小正周期为π，故排除Ｃ；由于y=ｃoｓ4x的最小正周期为=，故D满足条件,故选：Ｄ.6．数列｛an ｝满足an＋1=，a１=１，则=( )Ａ．Ｂ.ﻩＣ．ﻩ D.【考点】８H:数列递推式．【分析】利用递推公式依次求出该数列的前５项，由此能求出的值．【解答】解：∵数列{ａn }满足an+1＝，a1=１,∴,＝,=，=，∴===.故选:Ｂ．7．不等式＜﹣1的解集为( )A.{x｜﹣１＜x＜0｝Ｂ．{ｘ|ｘ<﹣1} C．｛x|ｘ>﹣1｝ﻩD．{x|x＜０}【考点】7E:其他不等式的解法．【分析】首先移项通分,等价变形为整式不等式解之．【解答】解：原不等式等价于＜0,即x(x+１)<0，所以不等式的解集是（﹣1,0)；故选:A.8．已知cosθ=﹣（＜θ＜π)，则cｏｓ(）＝（)Ａ．ﻩB．Ｃ.﹣ﻩ D.【考点】GＰ：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解:∵coｓθ=﹣(＜θ<π）,∴siｎθ==,∴cos(）=cosθcos+sinθsin＝(﹣)×=.故选：B.9.已知x＞y>z,且x+y+z＝0,下列不等式中成立的是( )Ａ.y＞0ﻩB．ｘz＞yｚﻩＣ．xｙ>yｚ D.ｘｙ>ｘz【考点】71:不等关系与不等式．【分析】根据ｘ＞y>z和ｘ+ｙ+ｚ=0,有3x>ｘ+y＋z=０,3ｚ<ｘ+y＋z＝0,从而得到ｘ>0，ｚ<０．再不等式的基本性质，可得到结论.【解答】解x>y>z,且x＋y+z=0,∴ｘ＞0,ｚ<0，y∈R,故A错误∴xz<yｚ,故B错误,当y≤0时，C不成立，∵ｘ＞ｙ>ｚ∴3x＞ｘ+y+z＝0,3z<x+y+z＝0,∴ｘ＞0,z<0.由得：xy>xz，故D正确故选D10.设△AＢC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且（２b﹣ｃ)cosA=ａｃosＣ，则角A的大小为（)A. B.ﻩC． D．【考点】HＰ：正弦定理．【分析】利用正弦定理、和差公式、三角形内角和定理即可得出．【解答】解：∵（2b﹣c）coｓA=acｏsC,∴(2sinＢ﹣siｎＣ)ｃoｓA=sinAｃoｓC,∴２sinBｃosA＝(siｎＣcosA＋ｓiｎAｃosＣ)=ｓin(A+C)=sinB,∵sinB≠０，∴cｏｓA＝，A∈（0,π),∴Ａ=.故选:Ｂ.11．函数y=ｃos2x的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位后，与函数y＝ｓin(2x﹣）的图象重合，则φ＝（）Ａ.ﻩＢ.ﻩC．D．【考点】ＨJ：函数y=Asin(ωx＋φ)的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asiｎ(ωx+φ)的图象变换规律，诱导公式,求得φ的值．【解答】解:函数y=cｏs2x的图象向右平移φ（0＜φ＜)个单位后,可得y=cｏs2(x﹣φ）＝cｏs（2x﹣２φ)=siｎ（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象与函数y=sin(2x﹣)的图象重合，则﹣2φ＋＝2kπ﹣,k∈Z,求得φ=,故选：Ｃ．12.已知tanα＝２，tan（α﹣β)=﹣3，则tanβ=( )Ａ.﹣１ﻩB．1 Ｃ． D.5【考点】GR:两角和与差的正切函数．【分析】由已知及两角差的正切函数公式即可计算得解.【解答】解：∵tanα=２，tan(α﹣β）===﹣3，∴tａnβ=﹣1．故选：A.13．将函数y＝2coｓ（x﹣)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变)，得到函数y=g（ｘ）的图象,则函数y＝ｇ(ｘ)的图象( )Ａ.关于点(﹣,0）对称B．关于点(，０）对称C．关于直线ｘ=﹣对称 D.关于直线x＝对称【考点】HJ:函数ｙ＝Asｉn（ωｘ+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性,得出结论．【解答】解:将函数y＝2ｃｏｓ(x﹣)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),可得y＝g(ｘ）=2ｃｏs(2x﹣)的图象，令x=﹣，可得g(ｘ）=﹣，故函数y=g(x）的图象不关于点(﹣，0）对称，也不关于于直线x＝﹣对称,故排除A、C；令x=时,求得ｇ(ｘ)＝０,可得函数y=g（x)的图象关于点（,０）对称，不关于直线x=对称，故Ｂ正确、D不正确，故选：B.14．等差数列｛an ｝的前ｎ项和为Ｓｎ,若S９=45，则3ａ4+a８=（ )A．１0 B.２0 C．35 Ｄ．4５【考点】85：等差数列的前n项和；84:等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和前n项和公式得a5＝5,由此利用等差数列通项公式能求出3a4+a8．【解答】解:∵等差数列{an }的前n项和为Ｓn，S9=４５,∴=4５,解得a5=5，∴3a4+a8＝3(a1+3d）+a１+7ｄ＝4（a１+4d）=4ａ5=２０.故选：B.１5.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=４x＋5y的最小值为( )A.6ﻩB.8 C．１0 Ｄ．12【考点】7C:简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0:４x+5ｙ=0，平移直线ｌ,可得经过点(3,0)时,z=4ｘ+5ｙ取得最小值10.【解答】解：作出不等式组约束条件表示的可行域,如右图中三角形的区域,作出直线l：2x+5y=0,图中的虚线，平移直线l,可得经过点C(0,2)时，ｚ=4x+5y取得最小值10.故选：Ｃ.1６.已知ｘ>0,ｙ＞０,ｘ＋２y=１，若不等式＞ｍ2+2m成立,则实数m的取值范围是（) A.m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或ｍ≤﹣4 C．﹣2＜m<４ﻩＤ．﹣４<m＜2【考点】7G:基本不等式在最值问题中的应用.【分析】=（x＋2y）（）＝++4=８.不等式>m2＋2ｍ成立⇔ｍ２+2m ＜,即可求得实数m的取值范围【解答】解：∵ｘ＞０,ｙ＞０,ｘ+２y＝１，∴ =（x+2ｙ）（）=＋+４=８.(当∵不等式＞m２＋2m成立,∴m2+2m＜8，求得﹣4＜ｍ<2故选:Ｄ１7．在△AＢC中，已知ＡB=２,AＣ=3,∠BAＣ=，=,＝,=( ) A．ﻩB．C．ﻩ D.【考点】9R：平面向量数量积的运算.【分析】根据平面向量数量积的定义进行转化求解即可．【解答】解: =+=﹣=（﹣）﹣(＋）=﹣+ =+＝﹣﹣=﹣(﹣)﹣(＋)=﹣,∴=(﹣＋）(﹣）=﹣﹣+=﹣(4+９)+×2×3×=﹣，故选：A18．若存在x∈R,使不等式｜x﹣1|+|x﹣a|≤ａ2﹣a成立,则实数a的取值范围（ )Ａ．a≥1ﻩB．ａ≤﹣１ﻩ C.a≤﹣1或a≥1 D.﹣1≤a≤1【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值的意义得到关于ａ的不等式｜1﹣ａ|≤a2﹣a，通过讨论ａ的范围,求出a 的范围即可.【解答】解:｜x﹣a|+|x﹣１|在数轴上表示到a和１的距离之和，显然最小距离和就是ａ到1的距离，∴|１﹣a|≤a2﹣a,①a≥1时，a﹣１≤a2﹣a，即a2﹣2a＋１≥0，成立;②a<１时，1﹣ａ≤ａ2﹣a，解得：a≥1（舍）或ａ≤﹣1，综上，a≤﹣1或a≥1,故选：C．二、填空题(共4小题,每小题４分,满分１６分）19.设向量=(2，1)，=（3,2)，则||= .【考点】93：向量的模.【分析】利用平面向量运算法则求出，由此能求出|｜.【解答】解:∵向量=（2，1),=（3,2）,∴=（５,３）,∴｜｜==.故答案为:．2０．角A为△ABC的一个内角，且sinA+ｃosA=,则cos2Ａ值为﹣ .【考点】GＩ:三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得siｎＡ和cosA的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2A的值．【解答】解:角Ａ为△ABC的一个内角,且ｓinA+cｏｓA=①,∴1+２sｉnAcosA=，∴sｉnＡcosA=﹣,∴A为钝角，∴siｎＡ﹣cosＡ===②，由①②求得sｉnA=,cosA=，则cos2Ａ=2ｃos2A﹣1=﹣,故答案为：．２1．如图,定圆C半径为2,A为圆C上的一个定点,Ｂ为圆Ｃ上的动点,若点A,B,Ｃ不共线,且||｜对任意t∈（0，+∞)恒成立，则= 4 ．【考点】９V:向量在几何中的应用.【分析】对|｜≥｜|＝|﹣｜两边平方，并设•=m，整理可得关于t的一元二次不等式，再由不等式恒成立思想,运用判别式小于等于0,求得m的值.【解答】解：|｜≥||＝|﹣｜,两边平方可得,﹣2t•+t2≥﹣２•+,设•=m，则22t2﹣2ｔm﹣(2２﹣2ｍ)≥0，又|||对任意t∈(０,+∞)恒成立，则判别式△=4m2+4×4(4﹣2m）≤0,化简可得(m﹣４)2≤０,由于（m﹣4）２≥0，则ｍ＝4，即•=4．故答案为:4.22．已知ａ，b∈R,若a2＋b2﹣aｂ=1,则ab的取值范围是［，１］.【考点】7Ｆ：基本不等式．【分析】灵活应用基本不等式ａ２+b2≥2ａb，即可求出ab的取值范围．【解答】解:当ab>0时,∵ａ,b∈R,且a2+ｂ2﹣ab＝１,∴a2+b2=aｂ+1,又a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立;∴ａb+1≥2ab,∴ab≤1，当且仅当a=ｂ=±1时“＝”成立;即0＜ab≤１；当ab=0时，不妨设ａ=0,则b=±1,满足题意；当ａb＜0时,又∵ａ2+ｂ2≥﹣２ab,∴aｂ+1≥﹣2ab，∴﹣3ａb≤1，∴ab≥﹣，当且仅当a＝,b=﹣,或ａ=﹣、b=时“=”成立;即0＞aｂ≥﹣;综上，ab的取值范围是[﹣，1］．故答案为[,1]．三、解答题(共3小题，满分３０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23.设函数f（x)＝﹣sｉnｘcosx+1(１）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间;（Ⅱ)若ｘ∈［0,],且ｆ(x)=,求ｃosx的值.【考点】Ｈ1：三角函数的周期性及其求法;H５:正弦函数的单调性.【分析】(１)利用两角和的正弦公式化简函数ｆ（x）的解析式,再利用正弦函数的周期性和单调性,求得函数f(x）的最小正周期和单调递增区间.(Ⅱ)若x∈［0，］,利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式,求得ｃosx的值．【解答】解:（1）函数f（x）=﹣sinx cｏsx+１＝﹣ｓiｎ(x＋)＋1,故该函数的最小正周期为2π,令2kπ+≤x＋≤２kπ＋,求得2kπ＋≤x≤2kπ+,可得函数的增区间为[２k π+，2ｋπ＋]，ｋ∈Z.（Ⅱ）若x∈[0,］，则x+∈［,］，又ｆ（x）=,即﹣ｓin（x+)+1=,即ｓin(ｘ+）=,∴coｓ(ｘ+)=±=±.若cｏs(x+）=﹣，则coｓｘ＝coｓ[（x+)﹣］=ｃｏｓ（ｘ+）cｏs+ｓin(x+） sin＝﹣•+=＜０,不合题意,舍去．若coｓ(x+）=，则ｃoｓx=coｓ［(x＋)﹣]=cos(x＋） cos+ｓｉn(x+)sin=•+=．综上可得,cosx=.24．在△ABC中,已知AB=2，cosB＝(Ⅰ）若AC＝２,求sinC的值；(Ⅱ)若点D在边AC上,且AD=2ＤＣ，BＤ=,求ＢC的长．【考点】HP:正弦定理;HＲ：余弦定理.【分析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求ｓinＢ，利用正弦定理即可解得ｓinC 的值．（Ⅱ)在△ＡBC中，设BC=a，AC＝b，由余弦定理可得:ｂ２=a２+４﹣,①,由于cos∠ＡDB＝﹣coｓ∠BDＣ,利用余弦定理可得﹣ａ２＝﹣6，②,联立即可得解ＢC的值.【解答】（本题满分为１０分）解:（Ⅰ)∵ｃosB=,∴siｎB＝=，…2分∵,且ＡC=2,AB=2,∴ｓｉnＣ==…4分(Ⅱ)在△ABＣ中，设BC=a，AC=ｂ，∵AB=2,ｃosB=，∴由余弦定理可得:b2=ａ2＋４﹣,①…6分在△ABD和△BCＤ中，由余弦定理可得:cos∠ＡDB=，cｏs∠ＢDＣ=,…7分∵cos∠ＡDB=﹣coｓ∠BDC，∴＝﹣，解得：﹣ａ2=﹣６,②…9分∴由①②可得：a=3,b=３,即ＢＣ的值为3…10分2５.已知数列{an ］的前n项和记为Ｓn,且满足Sn＝２aｎ﹣n，ｎ∈N*(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式;（Ⅱ）证明：+…(n∈N＊)【考点】8E:数列的求和；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过Sn ＝２an﹣n(n∈N+）与Sｎ﹣1=2aｎ﹣１﹣(n﹣1)（n≥２)作差、变形可知ａｎ+1=2(aｎ﹣1+1)，进而计算即得结论.（Ⅱ)利用，（k=1,2,…n),=﹣（k=１,2，…ｎ)，可证明,＋…（n∈N＊）．【解答】解:（Ⅰ)∵Sn =2an﹣ｎ（n∈Ｎ+)，∴Sn﹣１=2ａn﹣1﹣ｎ＋1=0（n≥2),两式相减得:an ＝２aｎ﹣1＋１，变形可得:an +1＝2(an﹣1+1)，又∵ａ1＝2ａ1﹣1,即a１=1，∴数列{an+1}是首项为２、公比为2的等比数列，∴ａn +１=2•2n﹣1=2n,an=2n﹣1．（Ⅱ)由,(k＝１,2,…n）,∴＝,由＝﹣，(ｋ=1，2，…ｎ）,得﹣=,综上，+…（n∈Ｎ＊).。
浙江省高一下学期期末数学考试试卷
浙江省高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·江门月考) 已知数列是等比数列，且，，则（）A . 15B . 24C . 32D . 643. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 阅读如图的程序框图，输出结果S的值为（）A . ﹣1008B . 1C . ﹣1D . 04. （2分）某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的体积是（）A .B .C . 25. （2分）在△ABC中，分别是，的中点，且，若恒成立，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则a，b的值为（）A . a=﹣1，b=﹣2B . a=﹣2，b=﹣1C . a=b=﹣D . a=1，b=27. （2分）(2020·榆林模拟) 《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：记为每个序列中最后一列数之和，则为（）B . 294C . 882D . 17648. （2分） (2016高二上·河北开学考) 若 {an}是等比数列，a4a7=﹣512，a3+a8=124，且公比q为整数，则a10=（）A . 256B . ﹣256C . 512D . ﹣5129. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A . 1B . -1C . -2D . 010. （2分） (2019高三上·景德镇月考) 某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分）(2017·淮安模拟) 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为________万元．12. （2分）(2020·绍兴模拟) 已知函数，若，则实数a=________；若存在最小值，则实数a的取值范围为________.13. （1分）(2020·徐州模拟) 若一组样本数据21，19，x ， 20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________.14. （1分） (2017高一下·南京期末) 已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为________．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．15. （1分） (2016高二上·吉林期中) 如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC=120°，BD=CD=10米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=________．16. （1分） (2016高三上·苏州期中) 数列{an}满足an+1=an（1﹣an+1），a1=1，数列{bn}满足：bn=anan+1 ，则数列{bn}的前10项和S10=________．三、解答题 (共4题；共35分)17. （10分） (2019高三上·成都月考) 在中，角所对的边分别为，.（1）求证：是等腰三角形；（2）若，且的周长为5，求的面积.18. （5分） (2020高一下·常熟期中) 某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．（Ⅰ）求总人数N和分数在110～115分的人数n;（Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n名学生（女生占）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．19. （10分） (2020高二上·舟山期末) 如图，在三棱台中，面平面，，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求证： .20. （10分） (2018高二上·莆田月考) 已知数列满足 .（1）证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共35分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
2022-2023学年浙江省嘉兴市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省嘉兴市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝i （i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．√22C ．1D ．√22．已知向量a →=(3，1)，b →=(2，λ)，若a →∥b →，则实数λ的值为（ ） A ．23B ．−23C ．32D ．−323．如图，某四边形ABCD 的直观图是正方形A ′B ′C ′D ′，且A ′（1，0），C ′（﹣1，0），则原四边形ABCD 的面积等于（ ）A ．2B ．2√2C ．4D ．4√24．如图，在△AOD 中，|OA →|＞|OD →|，B ，C 分别在AD 上，且AB ＝BC ＝CD ，点P 为AD 的中点，则下列各值中最小的为（ ）A ．OP →⋅OA →B ．OP →⋅OB →C ．OP →⋅OC →D ．OP →⋅OD →5．下列命题中，正确的是（ ） A ．平行于同一直线的两个平面平行 B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一直线的两个平面平行6．有6本不同的书，其中工具类、人物传记类和现代文学类各2本，现从中随机抽取2本，则恰好抽到2本不同种类书的概率为（ ） A ．56B ．45C ．34D ．237．已知在△ABC 中，∠BAC =π3，点D 满足2BD →=DC →，且AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．32B ．3√32C ．2D ．2√38．如图，棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点G 在线段AC 上且|AG|=√3，点E ，F ，H 分别为线段A 1B ，A 1G ，A 1A 上的动点，则空间四边形AFHE 周长的最小值为（ ）A ．32(1+√3)B ．32(1+√6)C ．32(√2+√6)D ．32(√3+√6)二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．若一组数据x i （i ＝1，2，⋯，10）的方差为2，则2x i ﹣1（i ＝1，2，…，10）的方差为3B ．给定五个数据5，4，3，1，3，则这组数据的70%分位数是4C ．若事件A 与事件B 是相互独立事件，则有P （AB ）＝P （A ）P （B ）D ．若事件A 与事件B 是对立事件，则有P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 10．在△ABC 中，A =π6，AB =2，下列结论正确的是（ ） A ．若BC =√2，则C =π4B ．若AC =√3，则BC ＝1C ．若△ABC 的面积S =√33，则该三角形为直角三角形 D ．若△ABC 为锐角三角形，则BC ∈(1，23√3)11．如图，棱长为1的正方体中ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ）A ．异面直线B 1D 1与BC 1所成的角为60° B ．直线A 1C 与平面C 1CDD 1所成的角为45° C ．二面角B ﹣C 1D ﹣D 1平面角的正切值为−√2 D ．点A 1到平面BDC 1的距离为2√3312．在△ABC 中，|BC →|=2，则下列结论正确的是（ ） A ．若AB →⋅AC →=1，则BC 边上的中线长|AD →|=√2 B ．若AB →⋅AC →＜0，则|AB →|2+|AC →|2＜4C ．若tanA =34，则△ABC 面积的最大值为2 D ．若|AB →|=2|AC →|，则△ABC 面积的最大值为43三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数（a 2﹣3a +2）+（a ﹣1）i 是纯虚数，则实数a ＝ ．14．甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为 ．15．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)（其中p =12(a +b +c)），a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则该三角形内切圆的半径为 ．16．如图，在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，CD ＝2，将△ABD 沿BD 翻折成△A 'BD ，使二面角A '﹣BD ﹣C 为60°，则三棱锥A '﹣BCD 外接球的表面积为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，且b →⋅(a →−b →)=0． （1）求a →与b →的夹角θ的值；（2）当|b →−λa →|取得最小值时，求实数λ的值．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，请在①（sin A ﹣sin C ）2＝sin 2B ﹣sin A sin C ；②bcosC +12c =2；这两个条件中任选一个，完成下列问题： （1）求角B ；（2）若b ＝2，点D 在BC 的延长线上，且BC ＝2CD ，求AD 的长．19．（12分）已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ，AC ∩BD =O ，AB =√3，BC =1，AD =2，PA =1． （1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）若CQ →=λCP →，且P A ∥平面BDQ ，求实数λ的值．20．（12分）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（CMO ）暨全国中学生数学冬令营”（每年11月），已知某地区有50人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数a 和中位数b 的值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲根据上表在此地区100分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取3份进行审阅，已知A 同学的成绩是105分，E 同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．21．（12分）如图，已知等腰梯形ABCD 与矩形BDEF 所在平面互相垂直，AB ＝AD ＝CD ＝1，∠ABC =π3． （1）求证：平面CDE ⊥平面BDEF ；（2）设二面角B ﹣CE ﹣D 的大小为α，AF 与平面BDEF 所成的角为β，若α与β满足tan α•tan β=√427，求BF 的长．22．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，满足√3CA →⋅CB →+2S =√3ab ． （1）若c ＝2，求√2|CA →+CB →|−CA →⋅CB →的最大值； （2）若5b 2﹣3a 2＝6，求c 的最小值．2022-2023学年浙江省嘉兴市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝i （i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．√22C ．1D ．√2解：∵z （1﹣i ）＝i ，∴z =i 1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i ， ∴|z |=√(−12)2+(12)2=√22．故选：B ．2．已知向量a →=(3，1)，b →=(2，λ)，若a →∥b →，则实数λ的值为（ ） A ．23B ．−23C ．32D ．−32解：a →∥b →⇔3λ﹣2＝0⇔λ=23， 故选：A ．3．如图，某四边形ABCD 的直观图是正方形A ′B ′C ′D ′，且A ′（1，0），C ′（﹣1，0），则原四边形ABCD 的面积等于（ ）A ．2B ．2√2C ．4D ．4√2解：由题意可知A ′（1，0），C ′（﹣1，0），即A ′C ′＝2， 故A ′B ′=√2，所以S 正方形A ′B ′C ′D ′＝2， 则原四边形ABCD 的面积为√24=4√2，故选：D ．4．如图，在△AOD 中，|OA →|＞|OD →|，B ，C 分别在AD 上，且AB ＝BC ＝CD ，点P 为AD 的中点，则下列各值中最小的为（ ）A ．OP →⋅OA →B ．OP →⋅OB →C ．OP →⋅OC →D ．OP →⋅OD →解：∵点P 为AD 的中点，∴OP →=12(OA →+OD →)，∵B ，C 分别在AD 上，且AB ＝BC ＝CD ，∴OB →=OA →+AB →=OA →+13AD →=OA →+13(OD →−OA →)=23OA →+13OD →， OC →=OA →+AC →=OA →+23AD →=OA →+23(OD →−OA →)=13OA →+23OD →，对于A ，OP →⋅OA →=12(OA →+OD →)⋅OA →=12OA →2+12OD →⋅OA →，对于B ，由题意可知，OD →2＜OA →2，OP →⋅OB →=12(OA →+OD →)⋅(23OA →+13OD →)=13OA →2+12OD →⋅OA →+16OD→2＜12OA →2+12OD →⋅OA →=OP →⋅OA →，选项C ，由题意可知，OD →2＜OA →2，OP →⋅OC →=12(OA →+OD →)⋅(13OA →+23OD →)=16OA →2+12OD →⋅OA →+13OD→2＜13OA →2+12OD →⋅OA →+16OD →2=OP →⋅OB →，选项D ，由题意可知，OD →2＜OA →2，OP →⋅OD →=12(OA →+OD →)⋅OD →=12OD →⋅OA →+12OD →2＜12OD →⋅OA →+13OD →2+16OA →2=OP →⋅OC →， 综上可知，OP →⋅OD →最小． 故选：D ．5．下列命题中，正确的是（ ） A ．平行于同一直线的两个平面平行 B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一直线的两个平面平行解：对A ，平行于同一直线的两个平面，位置关系是相交或平行，故A 错误； 对B ，平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，故B 错误； 对C ，垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交，故C 错误； 对D ，垂直于同一直线的两个平面平行，故D 正确． 故选：D ．6．有6本不同的书，其中工具类、人物传记类和现代文学类各2本，现从中随机抽取2本，则恰好抽到2本不同种类书的概率为（ ） A ．56B ．45C ．34D ．23解：从6本不同的书中随机抽取2本，抽法有：C 62=6×52=15种， 恰好抽到2本为相同种类书有：3C 22=3种，故恰好抽到2本不同种类书的概率为：15−315=45．故选：B ．7．已知在△ABC 中，∠BAC =π3，点D 满足2BD →=DC →，且AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．32B ．3√32C ．2D ．2√3解：设AB ＝c ，AC ＝b ，如图所示：因为在△ABC 中，∠BAC =π3，点D 满足2BD →=DC →，且AD ＝2，所以AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=23AB →+13AC →，则AD →2=(23AB →+13AC →)2=49AB →2+19AC →2+49AB →⋅AC →， 则4=49c 2+19b 2+29bc ≥2√49c 2⋅19b 2+29bc =23bc ， 所以bc ≤6，当且仅当b ＝c 时，等号成立， 所以S △ABC =12bcsinA ≤3√32． 故选：B ．8．如图，棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点G 在线段AC 上且|AG|=√3，点E ，F ，H 分别为线段A 1B ，A 1G ，A 1A 上的动点，则空间四边形AFHE 周长的最小值为（ ）A ．32(1+√3)B ．32(1+√6)C ．32(√2+√6)D ．32(√3+√6)解：把平面A 1ACC 1与平面A 1ABB 1展开在同一平面B 1BCC 1上，作点A 关于A 1G 的对称点M ，因为|AG|=√3，且正方体棱长为3， 易得△A 1AM 为正三角形，由对称性可得：|AE |＝|B 1E |，|AF |＝|MF |， 所以周长|AE |+|EH |+|HF |+|F A |＝|B 1E |+|EH |+|HF |+|FM |≥|B 1M |， 作MN ⊥B 1C 1，可得△A 1AG ∽△A 1NM 易得|MN|=32，|B 1N|=3+32√3，|B 1M|=√|B 1N|2+|MN|2=√(3+32√3)2+94=3√2+√3=32(√2+√6)，故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．若一组数据x i （i ＝1，2，⋯，10）的方差为2，则2x i ﹣1（i ＝1，2，…，10）的方差为3B ．给定五个数据5，4，3，1，3，则这组数据的70%分位数是4C ．若事件A 与事件B 是相互独立事件，则有P （AB ）＝P （A ）P （B ）D ．若事件A 与事件B 是对立事件，则有P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 解：对选项A ，若一组数据x i （i ＝1，2，⋯，10）的方差为2， 则2x i ﹣1（i ＝1，2，…，10）的方差为22×2＝8，故A 错误；对选项B ，给定五个数据5，4，3，1，3，由小到大排列为1，3，3，4，5， 5×0.7＝3.5，则这组数据的70%分位数是第4个数为4，故B 正确；对选项C ，若事件A 与事件B 是相互独立事件，则有P （AB ）＝P （A ）P （B ），故C 正确； 对选项D ，若事件A 与事件B 是对立事件，则P （AB ）＝0，则有P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝P （A ）+P （B ），故D 正确． 故选：BCD ．10．在△ABC中，A=π6，AB=2，下列结论正确的是（）A．若BC=√2，则C=π4B．若AC=√3，则BC＝1C．若△ABC的面积S=√33，则该三角形为直角三角形D．若△ABC为锐角三角形，则BC∈(1，23√3)解：A选项，在△ABC中，由正弦定理得BCsinA =ABsinC=√212，所以sinC=√22，所以C=π4或C=3π4，因为BC=√2＜AB=2，所以C＞A，即C=π4或C=3π4符合题意，错误；B选项，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=4+3−2×2×√3×√32=1，所以BC＝1，正确；C选项，因为S△ABC=12×AB×AC×sinA=12×2×AC×12=√33，所以AC=2√33，所以BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=4+43−2×2×2√33×√32=43，所以BC=2√33，则AC=BC=2√33＜AB=2，所以cosC=AC2+BC2−AB22AC×BC=43+43−42×43=−12＜0，所以该三角形为钝角三角形，错误；D选项，由正弦定理得BCsinA =ABsinC，所以BC=2sinC×12=1sinC，因为△ABC为锐角三角形，所以{0＜C＜π20＜5π6−C＜π2，所以π3＜C＜π2，因为函数y＝sin x在(0，π2)上单调递增，所以√32＜sinC＜1，所以1＜1sinC＜2√33，所以BC∈(1，23√3)，正确．故选：BD．11．如图，棱长为1的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A ．异面直线B 1D 1与BC 1所成的角为60° B ．直线A 1C 与平面C 1CDD 1所成的角为45° C ．二面角B ﹣C 1D ﹣D 1平面角的正切值为−√2 D ．点A 1到平面BDC 1的距离为2√33解：对于A ，连接AD 1，AB 1，∵AB ∥CD ∥C 1D 1，AB ＝CD ＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴BC 1∥AD 1， ∴异面直线B 1D 1与BC 1所成角即为直线B 1D 1与AD 1所成角，即∠AD 1B 1（或其补角）， ∵AB 1=AD 1=B 1D 1=√2，∴△AB 1D 1为等边三角形，∴∠AD 1B 1＝60°， 即异面直线B 1D 1与BC 1所成角为60°，A 正确； 对于B ，连接CD 1，∵A 1D 1⊥平面C 1CDD 1，∴∠A 1CD 1即为直线A 1C 与平面C 1CDD 1所成角，∵A 1D 1＝1，CD 1=√2，A 1D 1⊥CD 1，∴tan ∠A 1CD 1=A 1D 1CD 1=√22，∴∠A 1CD 1≠45°，即直线A 1C 与平面C 1CDD 1所成角不是45°，B 错误； 对于C ，连接CD 1，交C 1D 于点O ，连接OB ，BD 1，∵四边形C 1CDD 1为正方形，∴CD 1⊥C 1D ，O 为C 1D ，CD 1中点， ∵BC 1=BD =√2，∴OB ⊥C 1D ，∴二面角B ﹣C 1D ﹣D 1的平面角为∠BOD 1，∵BC ⊥平面C 1CDD 1，OC ⊂平面C 1CDD 1，∴BC ⊥OC ， 又OC =12CD 1=√22，BC ＝1，∴tan ∠BOC =BCOC =√2， ∴tan ∠BOD 1=tan(180°−∠BOC)=−tan∠BOC =−√2， 即二面角B ﹣C 1D ﹣D 1的正切值为−√2，C 正确； 对于D ，连接A 1C 1，A 1B ，A 1D ，∵V B−B 1A 1C 1=V D−A 1C 1D 1=V C 1−BCD =V A 1−ABD =13×12×1×1×1=16，V ABCD−A 1B 1C 1D 1=1， ∴V A 1−BC 1D =1−4×16=13， 又BC 1=C 1D =BD =√2，∴S △BC 1D =12×√2×√2×√32=√32， 设点A 1到平面BC 1D 的距离为d ，则V A 1−BC 1D =13S △BC 1D ⋅d =√36d =13，解得：d =2√33， 即点A 1到平面BC 1D 的距离为2√33，D 正确． 故选：ACD ．12．在△ABC 中，|BC →|=2，则下列结论正确的是（ ） A ．若AB →⋅AC →=1，则BC 边上的中线长|AD →|=√2 B ．若AB →⋅AC →＜0，则|AB →|2+|AC →|2＜4C ．若tanA =34，则△ABC 面积的最大值为2 D ．若|AB →|=2|AC →|，则△ABC 面积的最大值为43解：设D 为BC 中点， AC →=AD →+DC →=AD →+BD →，AB →=AD →−BD →，所以AB →⋅AC →=AD →2−BD →2=AD →2−(12BC →)2=AD →2−1=1，解得|AD →|=√2，故A 正确；对于选项B ，因为AB →⋅AC →＜0，所以A ＞90°，所以cos A ＜0，即|AB →|2+|AC →|2＜|BC →|2=4，正确； 对于选项C ，由于tanA =34，所以sinA =35，cosA =45，由余弦定理可知4=b 2+c 2−2bc ×45≥25bc ，故bc ≤10，当且仅当b ＝c 时，等号成立， 所以S =12bc ×35≤3，此时面积的最大值为3，所以C 错误； 对于选项D ，设|AC →|=m ，则|AB →|=2|AC →|=2m ，由余弦定理cosA =4m 2+m 2−42⋅2m⋅m =5m 2−44m 2，则sinA =√1−(5m 2−44m 2)2=√−9(m 2−209)2+25694m 2，故S =12bcsinA =12×m ×2m ×√−9(m 2−209)2+25694m 2=√−9(m 2−209)2+25694≤1634=43，当且仅当m 2=209即m =2√53时，等号成立，正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数（a 2﹣3a +2）+（a ﹣1）i 是纯虚数，则实数a ＝ 2 ． 解：∵复数（a 2﹣3a +2）+（a ﹣1）i 是纯虚数，所以 {a 2−3a +2=0a −1≠0即{a =2，a =1a ≠1得a ＝2 故答案为：214．甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为 0.648 ．解：根据题意，甲获胜一种是前两局赢，另一种是前两局赢一局，第三局赢这两种情况， 故分别计算这两种情况的概率，前两局赢的概率为0.6×0.6＝0.36， 前两局赢一局，第三局赢的概率为0.6×0.4×0.6+0.4×0.6×0.6＝0.288， 则甲获胜的概率为0.36+0.288＝0.648． 故答案为：0.648．15．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)（其中p =12(a +b +c)），a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则该三角形内切圆的半径为 √156． 解：∵p =12(a +b +c)，且a +b +c ＝9， ∴p =92，∴S =√92×(92−2)(92−3)(92−4)=3√154， ∴r =2S a+b+c =3√1518=√156．故答案为：√156． 16．如图，在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，CD ＝2，将△ABD 沿BD 翻折成△A 'BD ，使二面角A '﹣BD ﹣C 为60°，则三棱锥A '﹣BCD 外接球的表面积为14π3．解：如图所示E ，F 分别为CD ，BD 的中点，由题意知BC ＝BD =√2，由于BC 2+BD 2＝CD 2＝4，所以∠CBD ＝90°，即BC ⊥BD ， 又EF ∥BC ，所以EF ⊥BD ，由于F 是BD 的中点，A ′B ＝A ′D ，所以A ′F ⊥BD ， 所以结合题意∠A ′FE ＝60°，作EO ⊥平面BCD ，使∠A ′FO ＝90°，则∠EFO ＝30°， 由于EO ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以EO ⊥BD ，又EF ⊥BD ，EO ∩EF ＝E ， 所以BD ⊥平面EFO ，又OF ⊂平面EFO ，所以BD ⊥OF ，又OF ⊥A ′F ，A ′F ∩BD ＝F ，所以OF ⊥平面A ′BD ， 由于E ，F 分别为Rt △BCD ，Rt △A ′BD 斜边中点， 且EO 平面BCD ，OF ⊥平面A ′BD ， 又EB ＝EC ＝ED ，F A ′＝FB ＝FD ，所以OB ＝OC ＝OD =√OE 2+EB 2，OA ′＝OB ＝OD =√OF 2+FA′2， 即OB ＝OC ＝OD ＝OA ′，O 为三棱锥A '﹣BCD 外接球心， 由于EO ⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，OD ⊂平面BCD ， 所以EO ⊥EF ，EO ⊥ED ， 又EF =12BC =√22，因为EO ⊥EF ，∠EFO ＝30°，所以EO ＝EF tan30°=√22×√33=√66，又EO ⊥ED ，ED =CD 2=1，所以OD 2＝EO 2+ED 2＝（√66）2+12=76， 所以三棱锥A '﹣BCD 外接球表面积为4πOD 2＝4π×76=14π3． 故答案为：14π3．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，且b →⋅(a →−b →)=0． （1）求a →与b →的夹角θ的值；（2）当|b →−λa →|取得最小值时，求实数λ的值．解：（1）由b →⋅(a →−b →)=0，|b →|=√3，可得a →⋅b →=b →2=3， 又|a →|=2，所以cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√32，又0≤θ≤π，所以θ=π6；（2）因为a →⋅b →=b →2=3，|a →|=2，所以|b →−λa →|=√b →2+(λa →)2−2λa →⋅b →=√4λ2−6λ+3=√4(λ−34)2+34≥√32，所以|b →−λa →|的最小值为√32， 此时λ=34．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，请在①（sin A ﹣sin C ）2＝sin 2B ﹣sin A sin C ；②bcosC +12c =2；这两个条件中任选一个，完成下列问题： （1）求角B ；（2）若b ＝2，点D 在BC 的延长线上，且BC ＝2CD ，求AD 的长． 解：（1）若选①，由（sin A ﹣sin C ）2＝sin 2B ﹣sin A sin C ，可得sin 2A +sin 2C ﹣sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理可得：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，又由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，又0＜B ＜π，故B =π3； 若选②，bcosC +12c =2，a =2，即bcosC +12c =a ， 由正弦定理可得：sinBcosC +12sinC =sinA =sin(B +C)，可得sinBcosC +12sinC =sinBcosC +cosBsinC ，即12sinC =cosBsinC ，又sin C ≠0，所以cosB =12，又0＜B ＜π，故B =π3；（2）由（1）知B =π3及a ＝2，b ＝2，所以△ABC 为正三角形， 由BC ＝2CD ，所以BD ＝3，由余弦定理得AD 2=BA 2+BD 2−2BA ⋅BD ⋅cosB =22+32−2×2×3×12=7， 所以AD =√7．19．（12分）已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ，AC ∩BD =O ，AB =√3，BC =1，AD =2，PA =1． （1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）若CQ →=λCP →，且P A ∥平面BDQ ，求实数λ的值．解：（1）作AH ⊥PB 于H ，因为P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ，而P A ∩AB ＝A ，P A 、AB ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB ，AH ⊂平面P AB ，所以BC ⊥AH ， 而BC ∩PB ＝B ，BC 、PB ⊂平面PBC ，所以AH ⊥平面PBC ，即AH 即为点A 到平面PBC 的距离， 在直角△P AB 中，AB =√3，PA =1，所以PB ＝2，故AH =AB⋅APPB =√32，即点A 到平面PBC 的距离为√32；（2）由题意，P A ∥平面BDQ ，P A ⊂平面P AC ， 平面P AC ∩平面BDQ ＝OQ ，所以P A ∥OQ ， 底面ABCD 为直角梯形，由BC ＝1，AD ＝2，可知CQ PQ=CO OA=BC AD=12，所以λ=CQ CP =13． 20．（12分）1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（CMO ）暨全国中学生数学冬令营”（每年11月），已知某地区有50人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数a 和中位数b 的值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲根据上表在此地区100分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取3份进行审阅，已知A 同学的成绩是105分，E 同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．解：（1）因为10（0.012+0.024+0.032+m +0.008+0.004）＝1， 解得m ＝0.02，则平均数a ＝10（65×0.012+75×0.024+85×0.032+95×0.02+105×0.008+115×0.004）＝85， 易知在区间[60，80）内的频率为10（0.012+0.024）＝0.36＜0.5，在区间[60，90）内的频率为10（0.012+0.024+0.032）＝0.68＞0.5，所以学生成绩的平均数在区间[80，90）内中位数， 则0.36+（b ﹣80）×0.032＝0.5， 解得b ＝84.375，故平均数a ＝85，中位数b ＝84.375；（2）由图可知，成绩在[100，110）有50×0.08＝4人，成绩在[110，120]有50×0.04＝2人， 若评审员甲根据上表在此地区100分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取3份进行审阅， 则成绩在[100，110）抽2份，成绩在[110，120]抽1份，设A ，B ，C ，D 四位同学的成绩在[100，110），E ，F 两位同学的成绩在[110，120]，此时共有ABE ，ABF ，ACE ，ACF ，ADE ，ADF ，BCE ，BCF ，BDE ，BDF ，CDE ，CDF 这12个样本， 其中A 同学和E 同学被抽中共有ABE ，ACE ，ADE 这3种情况， 所以符合条件的概率为P =312=14， 故A ，E 两位同学的试卷都被抽到的概率为14．21．（12分）如图，已知等腰梯形ABCD 与矩形BDEF 所在平面互相垂直，AB ＝AD ＝CD ＝1，∠ABC =π3． （1）求证：平面CDE ⊥平面BDEF ；（2）设二面角B ﹣CE ﹣D 的大小为α，AF 与平面BDEF 所成的角为β，若α与β满足tan α•tan β=√427，求BF 的长．解：（1）证明：由题意在等腰梯形ABCD 中， AB ＝AD ＝CD ＝1，∠ABC =π3， 所以∠BAD ＝∠CDA =2π3，所以△ABD 为等腰三角形，且∠ABD ＝∠ADB =π6， 所以∠BDC ＝∠ADC ﹣∠ADB =π2， 所以BD ⊥CD ，同时可得BD =√3，BC ＝2， 由题意可得四边形BDEF 为矩形， 所以BD ⊥DE ，且CD ∩DE ＝D ， 所以BD ⊥平面CDE ，又BD ⊂面BDEF ， 所以平面CDE ⊥平面BDEF ． （2）设BF ＝t ，由（1）知BD ⊥平面CDE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，连接BH ， 则∠BHD 即为二面角B ﹣CE ﹣D 的平面角，即α＝∠BHD ， 因为平面ABCD ⊥平面BDEF ，且BD ⊥CD ， 所以CD ⊥平面BDEF ，即CD ⊥DE ， 在Rt △CDE 中，CD ＝1，DE ＝t ， 所以CE =√t 2+1， 所以DH =CD⋅DE CE =t√t +1， 所以tan α=BD DH =√3⋅√t 2+1t， 过A 作AG ⊥BD 于G ，连接FG ， 由于平面ABCD ⊥平面BDEF ，所以AG ⊥平面BDEF ，所以∠AFG 即AF 与平面BDEF 所成的角为β，即β＝tan ∠AFG ， 由于AG =12，FG =√BF 2+BG 2=√t 2+34，所以tan β=AGFG =12√t 2+34=√4t +3，由题意可得tan α•tan β=√3t 2+3t•√4t 2+3=√427， 解得t ＝1，即BF 的长为1．22．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，满足√3CA →⋅CB →+2S =√3ab ． （1）若c ＝2，求√2|CA →+CB →|−CA →⋅CB →的最大值； （2）若5b 2﹣3a 2＝6，求c 的最小值．解：（1）由√3CA →⋅CB →+2S =√3abcosC +absinC =2absin(C +π3)， 故2absin(C +π3)=√3ab ，化简得：sin(C +π3)=√32，所以C +π3=2π3或C +π3=π3（舍去）， 解得C =π3，设AB 的中点为D ，令|CD |＝t ，由于c =2，C =π3， 故△ABC 的外接圆半径2r =csinC =432，当△ABC 为正三角形（C 在C 1处）时，|CD|max =√3，故t ∈(0，√3]， 由于CA →=CD →+DA →=CD →−DB →，CB →=CD →+DB →，第21页（共21页） 所以√2|CA →+CB →|−CA →⋅CB →=2√2|CD →|−(|CD →|2−|DB →|2)=2√2t −(t 2−1) =−(t −√2)2+3≤3，所以√2|CA →+CB →|−CA →⋅CB →的最大值为3；（2）方法一：由C =π3，可得c 2＝a 2+b 2﹣ab ，又ab =13⋅(3a)⋅b ≤13⋅9a 2+b 22=9a 2+b 26，当且仅当3a ＝b 时，等号成立， 故c 2=a 2+b 2−ab ≥a 2+b 2−9a 2+b 26=5b 2−3a 26=1， 当且仅当{5b 2−3a 2=6b =3a ，即{a =√77b =3√77时取“＝”号，所以c 的最小值为1． 方法二：由C =π3，可得c 2＝a 2+b 2﹣ab ，又5b 2﹣3a 2＝6， 所以（5b 2﹣3a 2）c 2＝6（a 2+b 2﹣ab ），故（5c 2﹣6）b 2+6ab ﹣（3c 2+6）a 2＝0，即(5c 2−6)(b a )2+6b a −(3c 2+6)=0， 则Δ＝36+4（5c 2﹣6）（3c 2+6）≥0，整理得5c 4+4c 2﹣9≥0，解得c ≥1，当且仅当{5b 2−3a 2=6b =3a ，即{a =√77b =3√77时取“＝”号，所以c 的最小值为1．。
2024届浙江省新高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析
2024届浙江省新高一数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -=（ ） A ．5B ．3C ．23D ．72．已知函数41()x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+ 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．3 B ．33-C ．3-D ．334．运行如图程序，若输入的是2-，则输出的结果是（ ）A ．3B ．9C ．0D ．3-5．若变量,x y 满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y +的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．66．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C．2D7．已知tan 3α=，则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ). A ．38B ．916C ．1112D ．798．如果直线a 平行于平面α，则（ ） A ．平面α内有且只有一直线与a 平行 B ．平面α内有无数条直线与a 平行 C ．平面α内不存在与a 平行的直线 D ．平面α内的任意直线与直线a 都平行 9．下列命题中正确的是（ ）A ．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D ．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．4B ．5CD．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}2．若z •i ＝2+3i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．√13D ．3√23．军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π124．已知平面α⊥平面β，直线l ⊄α，则“l ⊥β”是“l ∥α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得∠ABC 、∠ADC 的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC ＝（ ）A ．dsinαsinβsin(β−α)B ．dsinαsinβcos(β−α) C ．dtanαtanβtan(β−α)D ．dsinαcosβsin(β−α)7．已知函数f(x)=ex +π，g(x)=(πe )x （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），f （x ）＞g （x ）B ．∃x 0∈(eπ，eπ)，当x ＝x 0时，f （x ）＝g （x ）C ．∀x ∈(e π，eπ)，f(x)＜g(x)D ．∃x 0∈(e 2π，+∞)，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ） 8．设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f （x ）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．已知函数f(x)=2x−12x +1，则（ ）A ．函数f （x ）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于y 轴对称C ．函数f （x ）的值域为（﹣1，1）D ．函数f （x ）是减函数10．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →11．如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为1212．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ ．14．将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 ．15．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 ．16．对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)． （1）求sin α的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cos β的值．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间th 间的关系为P =P 0e −kt （其中P 0，k 是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． （1）求k 的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）． 参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．20．（12分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC．（1）求证：BC＝2CD．（2）若AB＝3CD＝3，且AD•sin∠ADB＝AB•sin60°，求四边形ABCD的面积．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？22．（12分）已知函数f(x)=x+1(x＞0)，g(x)=x(x＞0)．x（1）直接写出|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集；（2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3），其中x1＜x2，求f（x1+x2）+g（x3）的取值范围；（3）已知x为正整数，求h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x（m∈N*）的最小值（用m表示）．2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}解：集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x [x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，A ∩B ＝{1，2，3}． 故选：C ．2．若z •i ＝2+3i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．2 B ．3 C ．√13 D ．3√2解：因为z =2+3i i =(2+3i)(−i)i(−i)=3−2i ，所以|z|=√32+(−2)2=√13． 故选：C ．3．军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12解：因为1密位等于圆周角的16000，所以角α＝1000密位时，α=10006000×2π=π3．故选：C ．4．已知平面α⊥平面β，直线l ⊄α，则“l ⊥β”是“l ∥α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设α∩β＝m ，在平面α内作a ⊥m ， 因为平面α⊥平面β，所以a ⊥β， 因为l ⊥β，所以a ∥l ， 因为l ⊄α，a ⊂α， 所以l ∥α，而当平面α⊥平面β，直线l ⊄α，l ∥α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以“l⊥β”是“l∥α”的充分而不必要条件．故选：A．5．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．解：由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A选项较为合适．故选：A．6．雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得∠ABC、∠ADC的度数分别为α、β，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC＝（）A ．dsinαsinβsin(β−α)B ．dsinαsinβcos(β−α) C ．dtanαtanβtan(β−α)D ．dsinαcosβsin(β−α)解：在△ABD 中，∠BAD ＝∠ADC ﹣∠ABC ＝β﹣α， 由正弦定理可得BD sin∠BAD=AD sin∠ABC，即dsin(β−α)=AD sinα，得AD =dsinαsin(β−α)，由题意可知，AC ⊥BC ，所以AC =ADsin ∠ADC =dsinαsinβsin(β−α)．故选：A ．7．已知函数f(x)=ex +π，g(x)=(πe)x （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），f （x ）＞g （x ）B ．∃x 0∈(e π，eπ)，当x ＝x 0时，f （x ）＝g （x ）C ．∀x ∈(eπ，eπ)，f(x)＜g(x)D ．∃x 0∈(e 2π，+∞)，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）解：由指数函数的增长速度最快可知，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立，故A 错误； 画出两个函数图象：f （e π）＝e 2π+π＞25，g （e π）＝（πe ）e π＜（√2）9＜25，所以f （x ）＝g （x ）的零点x 0＞e π，故BC 错误；由指数函数的增长速度最快可知，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立，故D 正确． 故选：D ．8．设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f （x ）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（）A．1B．3C．5D．7解：由f(−π8)=0，得−π8ω+φ=k1π(k1∈Z)，由|f(3π8)|=1，得3π8ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，两式作差，得ω＝2（k2﹣k1）+1（k1，k2∈Z），因为f（x）在区间(−π12，π24)上单调，所以π24+π12≤12⋅2πω，得ω≤8．当ω＝7时，−7π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−π8，所以f(x)=sin(7x−π8 )．x∈(−π12，π24)，7x−π8∈(−1724π，π6)，因为−1724π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝5时，−5π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−3π8，所以f(x)=sin(5x−3π8)．x∈(−π12，π24)，5x−3π8∈(−1924π，−π6)，因为−1924π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝3时，−3π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=3π8，所以f(x)=sin(3x+3π8)．x∈(−π12，π24)，3x+3π8∈(π8，π2)，所以f（x）在区间(−π12，π24)上单调，符合题意，所以ω的最大值是3．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．已知函数f(x)=2x−12x+1，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于y轴对称C．函数f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数f（x）是减函数解：f（x）的定义域为R，f(x)=2x−1 2x+1，则f(−x)=2−x −12−x +1=−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）为奇函数，f （x ）的图象关于原点对称，A 正确，B 错误；f(x)=2x−12x +1=1−22x +1，因为2x +1＞1，所以0＜12x +1＜1，0＜22x +1＜2，所以−1＜1−22x+1＜1，故f （x ）的值域为（﹣1，1），C 正确； 设x 2＞x 1，则f(x 2)−f(x 1)=(1−22x 2+1)−(1−22x1+1) 22x 1+1−22x 2+1=2(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 2＞x 1，所以2x 2−2x 1＞0，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， 所以函数f （x ）是增函数，故D 错误， 故选：AC ．10．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →解：对于A 中，由AB →−AF →=FB →≠AO →，所以A 不正确；对于B 中，由AC →+AE →=AO →+OC →+AO →+OE →=2AO →+OC →+OE →=2AO →+OD →=3AO →，所以B 不正确； 对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得OA →⋅OC →=1×1×cos120°=−12，OB →⋅OD →=1×1×cos120°=−12，所以OA →⋅OC →=OB →⋅OD →，所以C 正确；对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD ⊥AB ，可得|AD →|cos∠DAB =|AB →|，所以AD →在向量AB →上的投影向量为|AB →|⋅AB →|AB →|=AB →，所以D 正确．故选：CD ．11．如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为12解：在1s 末，点B 的坐标为（cos2，sin2），故A 错误；点A 的坐标为(cos(π3+1)，sin(π3+1))；∠AOB =π3−1，扇形AOB 的弧长为π3−1，故B 正确；设在ts 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，则2t −t =t =2π+π3=7π3，故在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，故C 正确；S △AOB =12sin∠AOB ，经过5π6s 后，可得∠AOB =π2，△AOB 面积的可取得最大值12，故D 正确．故选：BCD ．12．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以△P AB 为等边三角形， 又PB ＝2a ，所以OP =√PB 2−OB 2=√3a ，设球心为G （即为△P AB 的重心）， 所以PG =23PO =2√33a ，OG =13PO =√33a ， 即内切球的半径为r 1=OG =√33a ，外接球的半径为r 2=PG =2√33a ， 所以r 2＝2r 1，故A 正确；设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 2＝4S 1，故B 错误； 设圆锥的体积为V 1，则V 1=13πa 2×√3a =√33πa 3，内切球的体积V 2，则V 2=43π（√33a ）3=4√327πa 3， 所以V 1V 2=94，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则ST 所对的圆心角为π3（在圆O 上）， 设ST 的中点为D ，则OD ＝a sin π3=√32a ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ， 则PD =√PO 2+OD 2=√15a2，过点G 作GE ⊥PD 交PD 于点E ，则△PEG ∽△POD ，所以GEOD=PG PD，即√32a =2√33a √152a ，解得GE =2√1515a ，所以平面PST 截内切球截面圆的半径r =√r 12−GE 2=√115a 2， 所以截面圆的面积为πr 2=πa 215，故D 正确．故选：ACD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ 14 ．解：当a ＞0时，a 12=12，∴a =14，当a ＜0时，(12)a =12，∴a ＝1（舍）．∴a =14． 故答案为：14．14．将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 π ．解：将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y ＝sin （x +φ）， 因为y ＝sin （x +φ）与y ＝﹣sin x 的图象相同， 所以φ＝π+2k π，k ∈Z ，因为φ＞0，所以φ的最小值为π． 故答案为：π．15．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 √155；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14．解：空1：取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D ， 因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ， 因为BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥CD ，因为BB 1∩AB ＝B ，BB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CD ⊥平面AA 1B 1B ，所以∠CB 1D 为直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角， 因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2， 所以CD =√32×2=√3，DB 1=√22+12=√5， 所以tan ∠CB 1D =CD DB 1=35=√155， 所以直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为√155，空2：分别取BC ，BB 1，A 1B 1的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，EG ，则EF ∥B 1C ，EF =12B 1C =12×2√2=√2， FG ∥A 1B ，FG =12A 1B =12×2√2=√2，所以∠EFG （或其补角）为直线CB 1与直线A 1B 所成角， 连接DG ，DE ，则EG =√DG 2+DE 2=√22+12=√5， 在△EFG 中，由余弦定理得：cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =2+2−52×2×2=−14， 因为异面直线所成的角的范围为(0，π2]， 所以直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14．故答案为：√155；14．16．对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 [0，14] ．解：因为f(x)=√x −a(a ∈R)是增函数，所以f （f （b ））＝b 等价于f （b ）＝b ，即√b −a =b ， 所以a ＝b ﹣b 2，而a ＝b ﹣b 2在[0，12)上单调递增，在(12，1]上单调递减， 所以a max =14，而当b ＝0时，a ＝0；当b ＝1时，a ＝0，即a min ＝0， 所以a 的取值范围为[0，14]．故答案为：[0，14 ]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)．（1）求sinα的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cosβ的值．解：（1）由角α的终边过点P(35，−45)，得sinα=yr=−45√(35)2+(−45)2=−45．（2）由角α的终边过点P(35，−45)，得cosα=xr=35，由sin(α+β)=√32，得cos(α+β)=√1−sin2(α+β)=±12，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，当cos(α+β)=12时，cosβ=12×35+√32×(−45)=3−4√310；当cos(α+β)=−12时，cosβ=−12×35+√32×(−45)=−3−4√310，综上所述，cosβ=3−4√310或−3−4√310．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物．（1）求k的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h）．参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609．解：（1）由P=P0e−kt知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝（1﹣10%）P0；即0.9P0=P0e−5k，所以k=−15ln0.9，即k=−15ln910=−15×(2ln3−ln10)=−15×(2ln3−ln2−ln5)≈0.02；（2）当P＝0.5P0时，0.5P0=P0e−0.02t，即0.5＝e﹣0.02t，则t＝50ln2≈34.7．故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．（1）证明：因为a →=x 1e 1→+y 1e 2→={x 1，y 1}，b →=x 2e 1→+y 2e 2→={x 2，y 2}，所以a →+b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）+（x 2e 1→+y 2e 2→）＝（x 1+x 2）e 1→+（y 1+y 2）e 2→={x 1+x 2，y 1+y 2}， 所以{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}． （2）解：因为a →={1，2}=e 1→+2e 2→，b→={2，1}＝2e 1→+e 2→，所以a →•b→=（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+e 2→）＝2e 1→2+5e 1→•e 2→+2e 2→2=2+5×cos60°+2=132，|a →|＝|b →|=√1+4+2×2×1×cos60°=√7， 所以向量a →，b →夹角的余弦值为： cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=132√7×√7=1314． 20．（12分）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD •sin ∠ADC ＝2CD •sin ∠ABC ． （1）求证：BC ＝2CD ．（2）若AB ＝3CD ＝3，且AD •sin ∠ADB ＝AB •sin60°，求四边形ABCD 的面积．（1）证明：在△ACD 中，由正弦定理得AD •sin ∠ADC ＝AC •sin ∠ACD ，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∴AD•sin∠ADC＝AC•sin∠CAB，在△ABC中，由正弦定理得，即AC•sin∠CAB＝BC•sin∠ABC，∴AD•sin∠ADC＝BC•sin∠ABC．又AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC，∴BC•sin∠ABC＝2CD•sin∠ABC，∴BC＝2CD．（2）解：在△ABD中，由正弦定理得AD•sin∠ADB＝AB•sin∠ABD＝AB•sin60°，∴sin∠ABD＝sin60°，∴∠ABD＝60°或120°，①当∠ABD＝60°时，则∠BDC＝60°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2﹣BD﹣3＝0，又BD＞0，解得BD=1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin60°=√39+√32，②当∠ABD＝120°时，则∠BDC＝120°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD﹣3＝0，解得BD=−1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin120°=√39−√32．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？解：（1）证明：连接LI，EH，在长方体中，LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，则B1H＝LD1＝10cm，B1E＝ID1＝20cm，所以LE=√102+102=10√2，IH=√102+102=10√2，LI=√202+102=10√5，EH=√202+102=10√5，所以LE＝IH，LI＝EH，所以四边形LEHI是平行四边形，∴LE∥IH，又∵LE⊄平面IHG，LE⊂平面LEF，∴LE∥平面IHG；又∵LE⊂平面LEF，平面LEF∩平面GHI＝1，∴LE∥l；又∵l⊄平面A1B1C1D1，LE⊂平面A1B1C1D1，∴l∥平面A1B1C1D1，又∵l⊄平面ABCD，∴l∥平面ABCD；（2）方案1中，绳长为（30+10）×2+（20+10）×2＝140cm；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF ′长度， 因为FB ＝F ′B ″，所以FF ′=BB ″=√(60+20)2+(40+20)2=100cm ， 所以彩绳的最短长度为100cm ．22．（12分）已知函数f(x)=x +1x (x ＞0)，g(x)=x(x ＞0)． （1）直接写出|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|的解集；（2）若f （x 1）＝f （x 2）＝g （x 3），其中x 1＜x 2，求f （x 1+x 2）+g （x 3）的取值范围；（3）已知x 为正整数，求h （x ）＝（m +1）x 2﹣2（m 2+1）x （m ∈N *）的最小值（用m 表示）． 解：（1）∵f(x)=x +1x (x ＞0)，g(x)=x(x ＞0)， ∴|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|，即为|1x |＜|1−1x|，又因为x ＞0，所以有1x＜|1−1x |，当0＜x ≤1时，1−1x ≤0，故1x＜1x −1，显然不成立；当x ＞1时，1−1x＞0，故1x＜1−1x，即2x＜1，解得x ＞2，综上所述，|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|的解集为（2，+∞）； （2）设f （x 1）＝f （x 2）＝g （x 3）＝t ，则x 3＝t ， 令x +1x=t ，整理得：x 2﹣tx +1＝0， 故x 1+x 2＝t ，且Δ＝t 2﹣4＞0，得t ＞2，∴f （x 1+x 2）+g （x 3）＝2t +1t 在（2，+∞） 上单调递增， 所以2t +1t ＞2×2+12=92， 即f （x 1+x 2）+g （x 3）∈（92，+∞）；（3）因为h （x ）＝（m +1）x 2﹣2（m 2+1）x ＝（m +1）（x −m 2+1m+1）−(m 2+1)2m+1，因为m 2+1m+1=m ﹣1+2m+1， m ∈N *，m ﹣1∈N *，2m+1≤1，①当m ＝1时，m ﹣1+2m+1=1，所以h （x ）min ＝h （1）＝﹣2；②当m ＝2时，m ﹣1+2m+1=53，所以h （x ）min ＝h （2）＝﹣8；③当m ＝3时，m ﹣1+2m+1=52，所以h （x ）min ＝h （2）＝h （3）＝﹣24；④当m ＞3时，2m+1＜12，m ﹣1＜m ﹣1+2m+1＜m ﹣1+12，所以h （x ）min ＝h （m ﹣1）＝﹣m 3+m 2﹣3m +3；综上所述，h （x ）min ={−2，m =1−8，m =2−24，m =3−m 3+m 2−3m +3，m ＞3．。
2020-2021学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A. {x|−2<x<1}B. {x|−2<x<2}C. {x|1<x<2}D. {x|x<2}2.设复数z满足zi=1−2i(i是虚数单位)，则z=()A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i3.已知a=log20.2,b=20.2,c=sin2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼，记鳙鱼在湖中的游速为vm/s，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为x，已知鳙鱼的游速v与log2x100(x≥100)成正比，当鳙鱼的耗氧量为200单位时，其游速为12m/s.若某条鳙鱼的游速提高了1m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的()A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5.两个体积分别为V1，V2的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为S1，S2，则“V1=V2“是“S1=S2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，一个半径为2的水轮，圆心O距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足y=Asin(ωx+φ)+k(A>0)，则()A. ω=2π15B. A=3C. k=2D. φ=07.如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形ABCD的边长为1，∠DAE=θ，则小正方形EFGH的面积为()A. 1−sin2θB. 1−cos2θC. 1−2sinθD. 1−2cosθ8.设x0∈R，△x>0，函数f(x)满足f(x0+△x)f(x0)=f(x0+2△x)f(x0+△x)=f(x0+3△x)f(x0+2△x)=⋯=f(x0+n△x)f(x0+(n−1)△x)，n∈N∗，则函数y=f(x)可能是(其中a>0且a≠1)()A. f(x)=axB. f(x)=x aC. f(x)=a xD. f(x)=log a x二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|−1≤x≤2}，则()A. b<0B. a+b+c>0C. c>0D. a+b=010.已知平面向量a⃗，b⃗ ，若|a⃗|=3，|a⃗−b⃗ |=√13，a⃗⋅b⃗ =6，则()A. |b⃗ |=4B. 向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为2π3C. |a⃗+b⃗ |=7D. 向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为π311.已知某湖泊蓝藻面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)满足y=a t.若第1个月的蓝藻面积为2m2，则()A. 蓝藻面积每个月的增长率为100%B. 蓝藻每个月增加的面积都相等C. 第6个月时，蓝藻面积就会超过60m2D. 若蓝藻面积到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t312.某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成(如图①).已知球的体积为4π3，金属底座是由边长为4的正三角形ABC沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体(如图②)，则()A. A，B，D，F四点共面B. 经过A，B，C三点的球的截面圆的面积为π4C. 直线AD与平面DEF所成的角为π3D. 奖杯整体高度为√3+√6+13三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知lg2=a，lg3=b，则log212=______(用a，b表示)．14.半正多面体亦称为“阿基米德多面体“，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为20√2cm，则此石积的体积是______cm3．15.已知区间(0,1)中的实数m在数轴上的对应点为M，如图1，将线段AB围成一个圆(端点A，B重合)，如图2，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，如图3，直线AM与x轴交于点N(n,0)，把m与n的函数关系记作n=f(m)，则方程f(x)=−1的解是x=______．16.已知|m⃗⃗⃗ |=1，向量n⃗满足|n⃗−m⃗⃗⃗ |=n⃗⋅m⃗⃗⃗ ，当向量m⃗⃗⃗ ，n⃗夹角最大时，|n⃗|=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①a =√2，②S =c2cosB ，③C =π3这三个条件中任选−一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，√3bcosA =acosC +ccosA ，b =1，_____，求c 的值．18. 如图，在△OAB 中，P 为边AB 上的一点BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°． (1)设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值； (2)求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19. 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，∠A 1AB =∠A 1AD =∠BAD =60°．(1)求证：AA 1⊥BD ；(2)求直线A 1B 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值．20.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象，f(0)=f(5π6)，f(π6)=0．(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象向右平移π3，得函数g(x)，记ℎ(x)=f(x)+g(x)，求ℎ(x)的单调递减区间．21.将一张长8cm，宽6cm的长方形纸片沿着直线MN折叠，折痕MN将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2.设MN=lcm.若S1：S2=1：2，求l的取值范围．22.设函数f(x)=x|x−a|+a|x−2|(a>0)，方程f(x)=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1<x2<x3．(1)当a=2时，求实数t的取值范围；(2)当t=2时，求正数a的取值范围；>λ恒成立，求实数λ的取值范围．(3)在(2)的条件下，若x2x3x1答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤−2}N={x|1<x<3}∵阴影部分表示集合(C u N)∩M，∴阴影部分表示的集合是(1,2)．故选C解不等式求得集合M、N，根据Venn图阴影表示集合(C u N)∩M，再进行集合运算．本题考查Venn图表达集合的关系及集合运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为复数z满足zi=1−2i，所以z=1−2ii =(1−2i)(−i)i⋅(−i)=−2−i．故选：D．直接利用复数的除法运算法则求解即可．本题考查了复数的除法运算法，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵log20.2<log21=0<sin2<1=20<20.2，∴a<c<b，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.【答案】B【解析】解：∵鳙鱼的游速v与log2x100(x≥100)成正比，∴v=klog2x100，∵当x=200时，v=12，∴12=klog2200100，解得k=12，∴v=12log2x100(x≥100)，设鳙鱼开始的速度为v0，耗氧的单位数为x0，提速后的速度为v1，提速后的耗氧的单位数为x1，∵v1=v0+1=12log2x0100+1=12(log2x0100+2)=12(log24x0100)又∵v1=12log2x1100，∴x1=4x0，故选：B．由鳙鱼的游速v与log2x100(x≥100)成正比，可得v=klog2x100，当x=200时，v=12，解得k=12，可得v=12log2x100(x≥100)，设鳙鱼开始的速度为v0，耗氧的单位数为x0，提速后的速度为v1，提速后的耗氧的单位数为x1，v1=v0+1=12log2x0100+1=12(log2x0100+2)=12(log24x0100)，即可求解．本题考查对数函数模型的实际运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：根据祖暅原理，①由S1=S2，得到V1=V2，∴必要性成立，②由V1=V2，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，∴充分性不成立，∴V1=V2是S1=S2的必要不充分条件，故选：B．由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解．本题考查充分条件，必要条件的判断，考查祖暅原理等基础知识，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵水轮的半径为2，水轮圆心O 距离水面1m ，由题意可得{3=A +k−1=−A +k ，∴解得A =2，k =1，可得B ，C 选项错误， 又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒， ∴T =15=2πω，∴ω=2π15，可得A 正确，又由题意，未指明初始位置φ的值无法确定，故D 错误． 故选：A ．先根据h 的最大和最小值求得A 和k ，利用周期求得ω，由题意φ的值无法确定由此得解．本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求得，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：正方形ABCD 中，AD =1，∠DAE =θ， 所以DH =ADsin∠DAE =sinθ， AH =ADcos∠DAE =cosθ，又因为Rt △ADH≌Rt △BAE≌Rt △CBF≌Rt △DCG ， 所以GH =DH −AH =sinθ−cosθ， 所以小正方形EFGH 的面积为：S =GH 2=(sinθ−cosθ)2=sin 2θ−2sinθcosθ+cos 2θ=1−sin2θ． 故选：A ．根据直角三角形的边角关系和全等三角形求出小正方形的边长，再计算它的面积． 本题考查了三角形的几何运算问题，也考查了正方形面积计算问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为函数f(x)满足f(x 0+△x)f(x 0)=f(x 0+2△x)f(x 0+△x)=f(x 0+3△x)f(x 0+2△x)=⋯=f(x 0+n△x)f(x0+(n−1)△x)，n ∈N ∗，当f(x)=a x 时，f(x 0+△x)f(x 0)=f(x 0+2△x)f(x 0+△x)=f(x 0+3△x)f(x 0+2△x)=⋯=f(x 0+n△x)f(x0+(n−1)△x)=a △x ．故选：C ．利用已知的等式，对照四个选项中的函数解析式，验证即可判断得到答案．本题考查了函数的应用，解题的关键是将掌握指数函数的运算性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|−1≤x≤2}，所以a<0且{−1+2=−ba −1×2=ca，解得b=−a，c=−2a；所以a+b=0，选项D正确；设二次函数f(x)=ax2+bx+c，且a<0，且函数的零点是−1和2，所以f(1)=a+b+c>0，选项B正确；因为c=−2a>0，所以选项C正确；因为b=−a>0，所以选项A错误．故选：BCD．根据不等式ax2+bx+c≥0的解集判断a<0，求出a、b、c的关系，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了一元二次不等式与对应方程和二次函数的关系应用问题，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵|a⃗−b⃗ |=√13，∴|a⃗−b⃗ |2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=13，∵|a⃗|=3，a⃗⋅b⃗ =6，∴|b⃗ |=4，故A选项正确，cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=63×4=12，∴向量a⃗与b⃗ 的夹角为π3，故选项B错误，选项D正确，|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=9+12+16=37，故选项C错误，故正确的选项为AD．故选：AD．根据已知条件，运用向量的模长公式，可得|b⃗ |=4，再结合向量的夹角公式，即可分别求解．本题考查了向量的模长公式，向量的夹角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由题意可知，函数y=a t图象经过(1,2)，即a1=2，∴a=2，∴y=2t，∵2t+1−2t=2t，∴蓝藻每个月的面积时上个月的2倍，∴每个月的增长率为100%，故A选项正确，∵2t+1−2t=2t，即每个月增长量为2t，非常数，故B选项错误，当t=6时，y=26=64>60，故C选项正确，∵若蓝藻面积到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，∴2t1=2,2t2=3,2t3=6，∴t1=log22，t2=log23，t3=log26，∴t1+t2=log22+log23=log26=t3，故D选项正确．故选：ACD．由题意可知，函数y=a t图象经过(1,2)，可得函数的解析式，再根据选项分别求解．本题考查了指数函数和对数函数的性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：根据图形的形成可知，点A，B，C三点在底面DEF上的射影分别是△DEF三边的中点，如图所示，则△ABC与△MNP全等且所在的面平行，平面ABNM∩平面ABC=AB，平面ABNM∩平面DEF=MN，所以MN//AB，又MN//DF，所以AB//DF，故A，B，D，F四点共面，故选项A正确；因为△ABC 与△MNP 全等且所在的面平行，所以截面圆就是△ABC 的外接圆与△MNP 的外接圆相同， 由题意可知，△MNP 的边长为1，其外接圆的半径为r =√33×1=√33，则经过A ，B ，C 三点的球的截面圆的面积为S =π⋅(√33)2=π3，故选项B 错误；由平面ADE 与平面DEF 垂直可知，AE 在平面AEF 内的射影是DE ， 所以∠AED 为直线AD 与平面DEF 所成的角，则∠AED =π3， 所以直线AD 与平面DEF 所成的角为π3， 故选项C 正确；因为AB =BC =CA =1，设O 为球心，半径为R ， 则43πR 3=43π，解得R =1，所以O −ABC 是正四面体，棱长为1， 设H 为△ABC 的外心，则OH ⊥平面ABC ， 又CH ⊂平面ABC ， 所以OH ⊥CH ，又CH =√33，则OH =(√33)=√63，又AM =√3，所以奖杯整体高度为√3+√63−1，故选项D 正确． 故选：ACD ．利用翻折的特点以及面面垂直的性质定理可知，△ABC 与△MNP 全等且所在的面平行，从而可证明AB//DF ，即可判断选项A ；将问题转化为求解△MNP 的外接圆面积，即可判断选项B ；利用线面角的定义即可判断选项C ；设H 为△ABC 的外心，求出球的半径，AM 的长度以及OH 的长度，即可得到答案．本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何的综合应用，涉及四点共面的证明，三角形外接圆面积的求解，线面角的求解，综合性强，对掌握知识的深度和广度都有一定的要求，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．13.【答案】2a+b a【解析】解：∵lg2=a ，lg3=b ， ∴log 212=lg12lg2=2lg2+lg3lg2=2a+b a．故答案为：2a+b a．利用对数的运算法则知log 212=lg12lg2=2lg2+lg3lg2，由此能求出结果．本题考查对数的运算，考查对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】1600003【解析】解：如图所示，该石凳是由棱长为40cm 的正方体 沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该石凳的体积为：V =40×40×40−8×13×12×20×20×20=1600003cm 3．故答案为：1600003cm 3．由题意可得，该正多面体是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，再由正方体的体积减去八个三棱锥的体积求解．本题考查正方体的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．15.【答案】14【解析】解：由题意知，N(−1,0)，A(0,1)， 故△NOA 为等腰直角三角形，故∠NAO =π4，故弦AM 对应的圆心角为π2， 故AM ⏜是圆周长的14，即m =14， 故方程f(x)=−1的解是x =14， 故答案为：14．由题意知N(−1,0)，从而可得△NOA 为等腰直角三角形，从而可得弦AM 对应的圆心角为π2，从而求得． 本题考查了函数的性质应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．16.【答案】√2【解析】解：设m⃗⃗⃗ =(1,0)，n⃗=(x,y)，∵|n⃗−m⃗⃗⃗ |=n⃗⋅m⃗⃗⃗ ，∴√(x−1)2+y2=x(x>0)，化简后可得y2=2x−1，x≥12，∴|n⃗|=√x2+y2=√(x+1)2−2，cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=√x2+y2=√x2+2x−1=√x2x2+2x−1=√11+2x−1x2，设t=1x ，即0<t≤2，则cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=√11+2t−t2=√1−(t−1)2+2，当t=1，即x=1，cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>取得最小值，即向量m⃗⃗⃗ ，n⃗夹角最大时，∴|n⃗|=√22−2=√2．故答案为：√2．根据已知条件，设m⃗⃗⃗ =(1,0)，n⃗=(x,y)，由于|n⃗−m⃗⃗⃗ |=n⃗⋅m⃗⃗⃗ ，可得√(x−1)2+y2=x(x>0)，化简后可得y2=2x−1，x≥12，即|n⃗|=√x2+y2=√(x+1)2−2，再结合向量的夹角公式，即可求解．本题考查向量的数量积公式的应用，以及向量模长公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．17.【答案】解：在△ABC中，因为√3bcosA=acosC+ccosA，所以根据正弦定理得√3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，所以√3sinBcosA=sinB，因为sinB≠0，所以cosA=√33，选择①，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得c2−2√33c−1=0，解得c=√3，选择②，S=c2cosB=12bcsinA，所以cosB=sinA=cos(π2−A)所以B=π2−A，即C=π2，解得c=√3，选择③，C=π3，因为sinB=sin(A+π3)=sinAcosπ3+cosAsinπ3=3+√66，所以由c sinC =b sinB ，得c =b⋅sinC sinB=3√3−3√2．【解析】根据正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB ≠0，可得cosA =√33，选择①，由余弦定理得c 2−2√33c −1=0，即可解得c 的值．选择②，利用三角形的面积公式化简已知等式可得cosB =sinA =cos(π2−A)，可求C 的值，即可求c 的值．选择③，由已知利用两角和的正弦公式可求sin B 的值，进而根据正弦定理可求c 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =23，y =13． (2)∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6×2×cos60°=6， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−24+43+2=−623．【解析】(1)用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出x ，y 的值； (2)OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取BD 的中点O ，连结OA ，OA 1，因为ABCD 为菱形，则BD ⊥AO ，因为∠A 1AB =∠A 1AD ，四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等， 则A 1D =A 1B ，O 为BD 的中点，则BD ⊥A 1O ， 又A 1O ∩AO =O ，A 1O ，AO ⊂平面A 1AO ， 所以BD ⊥平面A 1AO ， 又A 1A ⊂平面A 1AO ， 所以BD ⊥A 1A ；(2)解：由题意可知，B−A1AD为正四面体，在正四面体B−A1AD中，设顶点B在底面正三角形A1AD中的射影为O′，连结A1O′，则∠BA1O′即为直线A1B与平面AA1D1D所成的角，设A1B=1，则A1O′=23×√32=√33，则BO′=√A1B2−A1O′2=√63，在Rt△BA1O′中，sin∠BA1O′=BO′A1B =√63，所以直线A1B与平面AA1D1D所成角的正弦值为√63．【解析】(1)取BD的中点O，连结OA，OA1，利用菱形的性质证明BD⊥AO，由A1D=A1B，证明BD⊥A1O，从而可证明BD⊥平面A1AO，即可证明BD⊥A1A；(2)在正四面体B−A1AD中，设顶点B在底面正三角形A1AD中的射影为O′，连结A1O′，利用线面角的定义得到∠BA1O′即为直线A1B与平面AA1D1D所成的角，利用三角形的边角关系求解即可．本题考查了线面垂直的判定定理以及性质定理的应用，线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．20.【答案】解：(1)由函数的图象顶点可得A=2，∵f(0)=f(5π6)，∴f(x)关于x=5π12称轴，那么周期14T=5π12−π6，可得T=π，则ω=2πT=2，∴y=2sin(2x+φ)，图象过点(5π12,−2)，可得−2=2sin(5π6+φ)，∵|φ|<π，∴φ=2π3．故得f(x)的解析式为；f(x)=2sin(2x+2π3).(2)f(x)的图象向右平移π3，得y=2sin[2(x−π3)+2π3]=2sin2x．∴函数g(x)=2sin2x，ℎ(x)=f(x)+g(x)=f(x)=2sin(2x+2π3)+2sin2x=2sin2xcos2π3+2cos2xsin2π3+2sin2x=√3cos2x+sin2x =2sin(2x+π3)令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，可得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，∴ℎ(x)单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z．【解析】(1)由函数的图象顶点可得A=2，对称轴x=5π12，周期14T=5π12−π6，即可求出ω，图象过点(5π12,−2)，可得函数的解析式．(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，从而可得ℎ(x)=f(x)+g(x)，利用三角恒等式化简，结合正弦函数的性质即可求单调递减区间．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律属于基础题．21.【答案】解：∵长方形的长为8，宽为6，∴长方形的面积为S=6×8=48，∵S1：S2=1：2，∴S1=16，S2=32，当折痕为情形①时，设AM=x，AN=y，∴12xy=16，即xy=32，可得y=32x，∵0≤x≤8，且0≤32x≤6，∴163≤x≤8，由勾股定理可得，l2=x2+y2=x2+322x2，设g(x)=x2+322x2，163≤x≤8，观察可知g(x)为对勾函数，当x2=322x2时，即x=4√2，满足定义域，即g(x)min=32+32=64，当x=8时，g(x)max=64+16=80，∴l的取值范围为[8,4√5]，当折痕为情形②时，设AM=x，DN=y，∴12(x+y)×6=16，即y=163−x，∵0≤x≤8，且0≤163−x≤8，∴0≤x≤163，∵l2=62+(x−y)2=62+4(x−83)2，当x=83时，l2为最小值36，当x=163时，l2为最大值5809，∴l的取值范围为[6,2√1453]，当折痕是情形③时，设BN=x，AM=y，12(x+y)×8=16，即y=4−x，∵0≤x≤6，且0≤4−x≤6，∴0≤x≤4，∵l2=82+(x−y)2=82+4(x−2)2，当x=2时，l2为最小值64，当x=4时，l2为最大值80，∴l的取值范围为[8,4√5]，综上所述，l的取值范围为[6,4√5].【解析】根据已知条件，可得S1=16，S2=32，对三种折痕的情形，分别找到对应的函数，结合各自函数性质，分别求解．本题考查了函数的实际应用，需要学生熟练掌握均值不等式、二次函数求最值的方法，难度系数大，属于难题．22.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x|x−2|+2|x−2|={x 2−4,x≥2−x2+4,x<2，如图所示，易知f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增， ∴f(2)<t <f(0)，则0<t <4；(2)①当0<a ≤2时，f(x)={−x 2+2a,x <ax 2−2ax +2a,a ≤x ≤2x 2−2a,x >2，如图所示，f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增， ∴f(a)<2<f(0)，则2a −a 2<2<2a ，解得1<a ≤2； ②当a >2时，f(x)={−x 2+2a,x <2−x 2+2ax −2a,2≤x ≤a x 2−2a,x >a ，如图所示，f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增， ∴f(2)<2<f(0)，则2a −4<2<2a ，解得2<a <3；综上，正数a的取值范围为(1,3)；(3)由(2)可知，①当1<a≤2时，f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,a)单调递减，在(a,2)单调递增，在(2,+∞)单调递增，∵f(2)=4−2a<2，∴x1，x2为方程−x2+2a=2的两根，则x1+x2=0，x3是方程x2−2a=2的正根，则x3=√2(a+1)，=−√2(a+1)≥−√6，则λ<−√6；∴x2x3x1②当2<a<3时，同理，x1，x2为方程−x2+2a=2的两根，则x1+x2=0，f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,2)单调递减，在(2,a)单调递增，在(a,+∞)单调递增，f(a)=a2−2a=(a−1)2−1，(i)当f(a)≥2，即√3+1≤a<3时，x3是方程−x2+2ax−2a=2的较小根，1在a∈[√3+1,3)单调递减，则x3=a−√a2−2a−2=(a−1)−√(a−1)2−3+1=(a−1)+√(a−1)2−3x3∈(2,√3+1],∴λ<(x2x3)min=−(x3)min=−√3−1；x1(ii)当f(a)<2，即2<a<√3+1时，x3是方程x2−2a=2的正根，故x3=√2(a+1)，∴x2x3=−√2(a+1)≥−√3−1，则λ<−√3−1，x1综上，λ<−√3−1．【解析】(1)将a=2代入，把函数f(x)化为分段函数的形式，作出图象，观察图象即可得解；(2)结合图象，分0<a≤2及a>2讨论即可；(3)分1<a≤2及2<a<3讨论，求得x2x3的最小值即可得解．x1本题考查绝对值函数的图象及性质，考查不等式的恒成立问题，考查数形结合思想及分类讨论思想，属于难题．。
浙江省高一下学期期末数学试卷
浙江省高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）若tanα=﹣2，α是直线y=kx+b的倾斜角，则α=________．（用α的反正切表示）2. （1分） (2018高一上·上海期中) 已知关于的一元二次不等式的解集为 .则关于的不等式的解集为________.3. （1分） (2020高一下·扬州期中) 在中，，的平分线交于D，，则 ________.4. （1分） (2020高二下·上海期中) 若，，，，则直线l与平面有________个公共点；5. （1分） (2017高三上·漳州开学考) 曲线y= x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________．6. （1分）等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．7. （1分）如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为________ km．8. （1分） (2016高三上·连城期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为________．9. （1分） (2017高二上·阜宁月考) 设满足则的最小值是________10. （1分） (2020高二上·南昌月考) 两圆和的公共弦长为________．11. （1分）从P点出发的三条射线PA，PB，PC两两所成的角均为600 ，且分别与球O相切于点A，B，C，若球O的表面积为32π，则OP的长为________．12. （1分）若正数a，b满足a+b=2，则的最大值是________．13. （1分）已知，，在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是________14. （1分）(2017·深圳模拟) 已知数列{an}满足nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若an ＜an+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共55分)15. （5分） (2017高一下·安平期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值范围．16. （5分）(2017·息县模拟) 如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠ABD=，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面BDEF⊥平面ADE；（Ⅱ）若ED=BD，求AF与平面AEC所成角的正弦值．17. （15分）(2019·长宁模拟) 已知数列的前项和为，且， .（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；（2）若数列满足（），且，求证：是等差数列；（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的（），都存在，使得，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数的集合.18. （10分） (2016高二上·鹤岗期中) 已知两直线l1：x+8y+7=0和l2：2x+y﹣1=0．（1）求l1与l2交点坐标；（2）求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程．19. （5分） (2019高一上·辽宁月考) 如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.20. （15分） (2019高三上·上海月考) 已知数列的前项和为，且满足:（1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式.（2）设，若数列是等差数列，求实数的值；（3）在(2)的条件下，设记数列的前项和为，若对任意的存在实数 ,使得 ,求实数的最大值.参考答案一、填空题 (共14题；共14分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共55分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。
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浙江省高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、一.选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）设集合则“”是“”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
2. （2分） (2020高三上·宁海月考) 已知，是平面上的点，，是平面上的点，且有
，则是的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 在中，，，，则
的值等于（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x﹣2y+1=0和l2：3x﹣y﹣2=0，此四边形两条对
角线的交点是（2，3），则平行四边形另外两边所在直线的方程是（）
A . 2x﹣y+7=0和x﹣3y﹣4=0
B . x﹣2y+7=0和3x﹣y﹣4=0
C . x﹣2y+7=0和x﹣3y﹣4=0
D . 2x﹣y+7=0和3x﹣y﹣4=0
5. （2分） (2016高二上·和平期中) 已知正实数a，b满足a+2b=1，则的最小值为（）
A .
B . 4
C .
D .
6. （2分） (2016高一下·双流期中) 已知等差数列{an}中，且a4+a12=10，则前15项和S15=（）
A . 15
B . 20
C . 21
D . 75
7. （2分）如图，A1B1C1-ABC是直棱柱，，点D1 ， F1分别是A1B1 ， A1C1的中点. 若BC=CA=CC1 ，则BD1与AF1所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）直线x=1的倾斜角是（）
A .
B .
C .
D . 不存在
9. （2分） (2019高三上·西湖期中) 已知变量x, y满足约束条件，则的最小值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 6
10. （2分） (2019高二上·榆林期中) 在中，角，，所对的边分别是，， .若
，则的形状是（）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰三角形或直角三角形
11. （2分） (2015高一上·福建期末) 直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则
实数k的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 式子2lg5+lg12﹣lg3=（）
A . 2
B . 1
C . 0
D . ﹣2
二、二.填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+ ）=________．
14. （1分） (2020高一下·开鲁期末) 在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有________个．
15. （1分） (2019高二上·安徽月考) 已知等比数列满足，，则公比
________.
16. （1分）(2019·凌源模拟) 四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为________．
三、三.解答题 (共6题；共55分)
17. （15分） (2019高三上·武清月考) 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间；
（3）若求函数的值域．
18. （10分）(2017·大连模拟) 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+ b=c．
（1）求∠A的大小；
（2）若等差数列{an}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{ }的前n项和为Sn ，求证：Sn＜．
19. （5分） (2016高二上·江北期中) 是否存在过点（﹣5，﹣4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程（化成直线方程的一般式）；若不存在，说明理由．
20. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2 ，AP=AD=AB=
．
（Ⅰ）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明BC∥l；
（Ⅱ）试在棱PA上确定一点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值．
21. （15分）(2020·茂名模拟) 已知数列满足， .
（1）求，的值
（2）求数列的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，求证：， .
22. （5分）如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切．
（1）求圆C的一般方程；
（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．
参考答案一、一.选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、二.填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、
考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、三.解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、
答案：17-2、
答案：17-3、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、
考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、
答案：21-3、考点：
解析：
答案：22-1、考点：
解析：。