河北高频考点专题：切线证明的常用方法.ppt

《切线的判定》课件

切线与过切点的半径所在的直线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质，证明割线与圆只有一个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理，如果一条割线满足上述性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定定理来判断流体是否沿着流线流动。

切线证明的常用方法

证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°，而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．
变式练习
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
②．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证：直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一：有切点，连半径，证垂直
无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA，又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
课堂小结
切线证明的常用方法
有切点，连半径，证垂直
初中数学知识点精讲
切线证明的常用方法
1、圆的切线的判定方法有三种： ①．定义法：直线l 与圆只有唯一的公共点 ②．距离法：圆心O与直线l 的距离d=r ③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的证明方法： ①．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。简记为：作垂直，证半径。

专题切线证明的常用方法

7．(2018·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD ⊥CD，垂足为 D，连接 BC，BC 平分∠ABD.求证：CD 为⊙O 的切线．
l
dr l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的
B
直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
45°
O
有半径，证垂直
45°
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
5．(2018·内江改编)如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 于点 D，
过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，连接 DE.判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．
解：DE 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接 OD，BD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，OE 为△ABC 的中位线．∴BE＝CE，∴DE＝BE ＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点 D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线
3.(2018·阿坝州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点
D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：(1)直线 DE 与⊙O 相切，理由如下：连接 OD，∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ODA. ∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB. ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ODA＋∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝180°－90°＝90°， ∴直线 DE 与⊙O 相切

冀教版九年级下册切线的性质和判定PPT精品课件

▪
9.能准确、有感情的朗读诗歌，领会丰富的内涵，体会诗作蕴涵的思想感情。
条件：
(1)经过圆上的一点； (2)垂直于该点半径；推理格式
∵OA⊥l
∴直线l是⊙ O 的切线
.O
l A
由此，你知道如何画圆的切线吗？
知识探究
思考：如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
●
O
A
l
知识归纳切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径. 你能证明这个定理吗？
切线的性质和判定
直线与圆的位置关系
一、用公共点的个数来区分
特点：直线和圆有两个公共点，叫直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线
特点：直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切
这时的直线叫切线，
唯一的公共点叫切点特点：直线和圆没有公共点，
叫做直线和圆相离
.O .. A Bl
.O
.
l
切点 A
.O l
⊙O. 求证： ⊙O与AC相切
B D
A
O
EC
证明一条直线是圆的切线时:
直线与圆的交点不明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.（d=r)
方法归纳：
证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：
（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”. (2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”.
▪
3.本题运用说明文限制性词语能否删除四步法。不能。极大的一词表程度，说明绘画的题材范围较过去有了很大的变化，删去之后其程度就会减轻，不符合实际情况，这体现了说明文语言的准确性和严密性。

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你能证明这个定理吗？
推理格式 ∵直线l是⊙ O 的切线 ∴ OA⊥l
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.O
l A
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直线AB经过圆O上的C，并且OA=OB， AC=BC，求证：直线AB是圆O 的切线
O
A
B
C
证明一条直线是圆的切线时:
直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直.
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●
O┐ A
l
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知识归纳
切线的判定定理
经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
条件：
(1)经过圆上的一点； (2)垂直于该点半径；推理格式
∵OA⊥l
∴直线l是⊙ O 的切线
.O
l A
由此，你知道如何画圆的切线吗？
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1、判断题： (1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的 × 切线
(2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的
切线
×
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