第2章 机器人静力分析与动力学
工业机器人的力学分析
第!!卷!第"期#$%&!!!’$&"!!!!!平!原!大!学!学!报()*+’,-)./0’12*,’*’0#3+4052!!!!!667年8月!(9:;&!667工业机器人的力学分析姬清华!平原大学机电工程学院"河南新乡<7"66"#!!摘!要!随着机电一体化技术的迅速发展!工业机器人在工业生产中的地位越来越重要!本文从工业机器人的力学分析入手!分别作了静力学和动力学的分析研究!为工业机器人手部及运动各构件提供了力学的分析原理及方法"关键词!工业机器人#静力学#动力学#力矩中图分类号!5/!<!W !!!文献标识码!,!!文章编号!=66>?"@<<!!667#6"?6==8?6!!!收稿日期!!667?6"?6>作者简介!姬清华$=@A 8%&!男!河南新乡人!主要从事机电一体化及数控加工方面的研究"!!随着工业机器人技术的发展"工业机器人的力学分析变得至关重要$工业机器人力学分析主要包括静力学分析和动力学分析"它们是工业机器人操作机设计%控制器设计和动态仿真的基础$P 静力学分析静力学分析是研究操作机在静态工作条件下"手臂的受力情况$P &P 静力平衡方程如图=所示"为开式链手臂中单个杆件的受力情况$杆件)通过关节)和)N =分别与杆件)U =和)N =相连接"以)关节的回转轴线和)N =关节回转轴线为2)U =和2)坐标分别建立两个坐标系)U =和)$令5)U =")表示)U =杆作用在杆上的力"5)")N =表示)杆作用在)N =杆上的力"则U 5)")N =表示)N =杆作用在)杆上的力"*)为)杆的重心"重力<1作用在*)上"于是杆件)的力平衡方程为&5)U =")N 5)N =")N <)1K 6)K ="!"’"#若以5)")N =代替5)N =")"则有&5)U =")U 5)")N=N <)1K 6!=#!!又令;)U =为)U =杆作用于)杆上的力矩"U ;)")N =为)N =杆作用于)杆的力矩"则力矩平衡方程为;)U =")U ;)")N=U !&)")N =N &)"*)#V 5)U =")N !U &)"*)#V U 5)")N =K 6!!)K ="!"’"!!#式中"第三项为5)U =")对重心取矩"第四项为U 5)")N =对重心取矩$若工业机器人操作机由#个杆件构成"则由式图=!杆件的受力分析!=#和式!!#可列出!#个方程"两式共涉及力和力矩!#g !个"因此"一般需结出两个初始条件方程才能有解$在工业机器人作业过程中"最直接受影响的是操作机手部与环境之间的作用力和力矩"故通常假设这两个量为已知"以使方程有解$从施加在操作机手部的力和力矩开始"依次从末杆件到机座求出所施加的力和力矩"将式!=#和式!!#合并并变成从前杆到后杆的递推公式"即5)U =")K 5)")N=U <)1;)U =")K ;)")N =N !&)U =")N &)"*)#V 5)U =")U !&)"*)V 5)")N =#!!)K ="!"’"#P &N 关节力和关节力矩为了使操作机保持静力平衡"需要确定驱动器对相应杆件的输入力和力短与其所引起的操作机(8==( 万方数据手部力和力矩之间的关系!令*)为驱动元件)的第)个驱动器的驱动力或驱动力矩"并假设关节处无摩擦"则有当关节是移动副时"如图!所示"*)应与该关节的作用力5)U =")在2)U =上的分量平衡"即*)K -O)U =5)U=")式中-)U =为)U =关节轴的单位向量!上式表明驱动器的输入力只与5)U =")在2)U =轴上的分量平衡"其他方向的分量由约束力平衡"约束力不作功!当关节是转动副时"*)表示驱动力距"它与作用力矩;)U =")在2)U =轴上的分量相平衡"即*)K -O)U =;)U=")图!!移动关节上的关节力N 动力学分析动力学分析是研究操作机各主动关节驱动力与手臂运动的关系"从而得出工业机器人动力学方程!目前已提出了多种动力学分析方法"这里仅就用牛顿欧拉方程建立工业机器人动力学方程作简要介绍!图"!杆件动力学方程的建立!!动力学方程可以用两个方程表达#一个用以描述质心的移动"另一个描述质心的转动!前者称为牛顿运动方程"后者称为欧拉运动方程!取工业机器人手臂的单个杆件作为自由体"其受力分析如图"所示!图中(*)为杆件)相对于固定坐标系的质心速度"+)为杆件)的转动角速度!因为固定坐标系是惯性参考系"所以将杆件)的惯性力加入到静力学方程式$=%中"于是有牛顿运动方程#5)U =")U 5)")N=N <)1U <)W (*)K 6)K ="!"&"#$"%作用在杆件)上的惯性矩是该杆件的瞬时角动量对时间的变化率!令+)为角速度向量"B )为杆件)质心处的惯量"于是角动量为B )+)!因为惯量随杆件方位的变化而变化"所以角动量对时间的导数不仅包含B )W +)"而且包含因B )的变化而引起的变化+)V B )+)"即陀螺力矩"上述两项加到静力学力矩平衡式$!%中"得;)U =")U ;)")N =N &)"*)V 5)")N =U &)U ="*)V 5)U =")U B W +)U +)V B )+)K 6)K ="!"&"#$<%公式$"%和$<%是单个杆件的动力学特性关系式"若将工业机器人的:个杆件均列出相应的上述两个方程"即得到工业机器人完整的动力学方程组的基本形式#牛顿’欧拉方程!!!参考文献!!="徐元昌#陶学恒&工业机器人!["&北京$中国轻工业出版社#=@@@&!!"陈小川#刘晓冰&虚拟制造体系及其关键技术!("&计算机辅助设计与制造#=@@@#%=6&&!""盛晓敏#邓朝晖&先进制造技术!["&北京$机械工业出版社#!66<&!<"邱士安&机电一体化技术!["&西安$西安电子科技出版社#!66<&【责任编校!李东风】@"@"’-.()(45B %*$’")*(!"U 474#_K +)"2?$,’$C "*0$#)*$+$#DX +"*8&)*$+X #1)""&)#1H "I $&8<"#8’5%)#1.3$#6#)("&7)8."9)#:)$#1"!"#$#<7"66"40)#$%@7(#1’*##_C G BG B ;F E J C II ;T ;%$J M ;:G$O [;H B E G F E :C H D "G B ;F $K $GE J J %C ;IC :C :I 9D G F L BE T ;K ;H $M ;M $F ;E :IM $F ;C M J $FG E :G &5B C D E F G CH %;E :E %L c ;D O F $M M ;H B E :C H D "I C D H 9D D ;D O F $MG B ;D G E G C H D E :II L :E M C H D D ;J E F E G ;%L E :I$O O ;F D G B ;G B ;$F C ;D $O E :E %L c C :Q E F M M $T ;M ;:G E :I H $M J$:;:G $O F $K $G D &A %.:41/(#F $K $G (D G E G C H D (I L :E M C H D (M $T ;M ;:G )A ==) 万方数据工业机器人的力学分析作者：姬清华， JI Qing-hua作者单位：平原大学,机电工程学院,河南,新乡,453003刊名：平原大学学报英文刊名：JOURNAL OF PINGYUAN UNIVERSITY年，卷(期)：2005,22(3)被引用次数：2次1.邱士安机电一体化技术 20042.盛晓敏;邓朝晖先进制造技术 20043.陈小川;刘晓冰虚拟制造体系及其关键技术 1999(10)4.徐元昌;陶学恒工业机器人 19991.陈登瑞六自由度机械手本体结构关键技术研究[学位论文]硕士 20062.张烈霞工业机器人运动及仿真研究[学位论文]硕士 2006本文链接：/Periodical_pydxxb200503036.aspx。
试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
静力学、动力学和运动学是机器人学中的三大重要分支，也是机器人机械系统设计和分析的基础。
它们之间具有千丝万缕的联系，彼此间互相依赖。
首先，让我们来看一下静力学。
静力学是研究机器人静止物体，尤其是机器人结构的运动学性质的一门学科，是分析机器人结构内力、力矩、力矩惯性矩阵并确定机器人所处的动力学状态的研究对象。
它主要研究包括机械系统的结构分析、运动学分析、力学模型建立、力学计算等，并在此基础上为动力学分析和机械动力学分析提供有力的依据。
其次，动力学是研究机器人在实际环境中的运动过程的一门学科。
动力学研究的基础是静力学，它考察机器人结构在其运动过程中会受到的外力和内力；不同类型的外力会造成机器人总体运动有所不同，但机械系统本质上也具有力学性质，所以运动特性的研究依赖于动力学以及机器人结构的力学属性。
最后，运动学可以被定义为研究在静力学的基础上运动物体末端相对位姿和状态的研究。
它主要是分析机器人结构的全局位置变换、及其所服从的动力学控制。
它通过对机器人运动路径及时间建模和控制，从而实现相应的机器人系统功能。
机器人运动学与动力学分析
机器人运动学与动力学分析引言：机器人技术是当今世界的热门话题之一。
从生产领域到服务领域，机器人的应用越来越广泛。
而要实现机器人的精确控制和高效运动，机器人运动学与动力学分析是必不可少的基础工作。
本文将介绍机器人运动学与动力学分析的概念、方法和应用，并探讨其在现代机器人技术中的重要性。
一、机器人运动学分析机器人运动学分析是研究机器人运动的位置、速度和加速度等基本特性的过程。
运动学分析主要考虑的是机器人的几何特征和相对运动关系，旨在通过建立数学模型来描述机器人的运动路径和姿态。
运动学分析通常可以分为正逆解两个方面。
1. 正解正解是指根据机器人关节位置和机构参数等已知信息，计算出机器人末端执行器的位置和姿态。
正解问题可以通过利用坐标变换和关节运动学链式法则来求解。
一般而言，机器人的正解问题是一个多解问题，因为机器人通常有多个位置和姿态可以实现。
2. 逆解逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，计算出机器人关节位置和机构参数等未知信息。
逆解问题通常比正解问题更为复杂，因为存在多个解或者无解的情况。
解决逆解问题可以采用迭代法、几何法或者数值优化方法。
二、机器人动力学分析机器人动力学分析是研究机器人运动的力学特性和运动控制的基本原理的过程。
动力学分析主要考虑机器人的力学平衡、力学约束和运动方程等问题，旨在实现机器人的动态建模和控制。
1. 动态建模动态建模是研究机器人在外力作用下的力学平衡和运动约束的数学描述。
通过建立机器人的运动方程，可以分析机器人的惯性特性、静力学特性和动力学特性。
机器人的动态建模是复杂的，需要考虑关节惯性、关节力矩、摩擦因素等多个因素。
2. 控制策略机器人动力学分析的另一个重要应用是运动控制。
根据机器人的动态模型，可以设计控制策略来实现机器人的精确运动。
常见的控制方法包括PID控制、模糊控制、自适应控制等。
通过合理选择控制策略和调节参数，可以实现机器人的平滑运动和高精度定位。
三、机器人运动学与动力学分析的应用机器人运动学与动力学分析在现代机器人技术中具有重要的应用价值。
机器人静力分析与动力学课件
平衡状态
机器人在静力分析中处于静止或匀速 运动状态，此时力和力矩的平衡使得 机器人的位置和姿态保持不变。
机器人在工作过程中需要承受的外部 负载，包括重力、外部作用力等。
机器人静力分析方法
有限元分析（FEA）
边界元分析（BEM）
刚体动力学
静力分析在机器人设计中的应用
01
02
03
结构优化
负载能力评估
正运动学模型
根据机器人关节参数，计算机器人末端执行器的位置和姿态。
逆运动学模型
已知机器人末端执行器的位置和姿态，反求机器人关节参数。
雅可比矩阵
描述机器人末端执行器速度与关节速度之间的映射关系。
运动学在机器人设计中的应用
机器人的工作空间分析
1
机器人的运动规划
2
机器人的控制策略
3
04
机器人轨迹规划
CHAPTER
机器人静力分析与 动 力学课件
contents
目录
• 机器人静力分析 • 机器人动力学 • 机器人运动学 • 机器人轨迹规划 • 机器人传感器与感知
01
机器人静力分析
CHAPTER
静力分析基本概念
静力分析
在机器人设计中，静力分析是评估机 器人在静态负载下的性能，主要关注 力和力矩的平衡。
静态负载
轨迹规划基本概念
轨迹
轨迹规划
根据任务需求和机器人运动学、动力 学等约束条件，规划出机器人从起始 点到目标点的最优或次优运动轨迹。
机器人轨迹规划方法
基于运动学的方法 基于动力学的方法 基于人工智能的方法
轨迹规划在机器人控制中的应用
工业机器人
01
服务机器人
02
机器人静力分析与动力分析
dx1
f 2 x2
dx2
f 2 x6
dx6
(2.2)
dy6
f6 x1
dx1
f6 x2
dx2F dx X
式中, (6×6)矩阵 F 称为雅可比矩阵。 X
对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我 们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。
以二自由度平面关节机器人为例,如图2.1所示,端点位置X、
y1 f1(x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
y2
f
2
(
x1
,
x2 ,
x3
,
x4
,
x5
,
x6
)
(2.1)
y6 f6 (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
可写成
Y=F(X)
将其微分, 得
dy1
f1 x1
dx1
f1 x2
dx2
f1 x6
dx6
dy2
f 2 x1
Y与关节θ1、θ2的关系为
X Y
l1c1 l2c12 l1s1 l2s12
(2.3)
其中 c12 cos1 2
s12 sin1 2
即
x y
x(1,2 ) y(1,2 )
(2.4)
图2.1 二自由度平面关节机器人
dx dy
x
1
y
1
d1 d1
x
2
y
2
d2 d2
x x
Z
Z
q1 q2
X
qn
Y
qn
Z
qn
X
qn
Y
qn
第2章机器人机械系统2概要
大臂 机身
基座
小臂
腕部
连接手部
第二页，编辑于星期二：二十三点 二十三分。
回转与升降机身
回转运动在 下，升降运 动在上
（a）单杆活塞气缸
（b）双杆活塞气缸
链条链轮传动实现机身回转的原理图
第三页，编辑于星期二：二十三点 二十三分。
回转与俯仰机身
第四页，编辑于星期二：二十三点 二十三分。
机身设计时要注意下列问题
第十五页，编辑于星期二：二十三点 二十三分。
ABB的IRB4400
ABB的IRB 4600
采用优化设计，开链结构
第十六页，编辑于星期二：二十三点 二十三分。
机器人机械结构设计的发展方向
采用有限元、模态分析和仿真设计等现代设计方法； 采用新的高强度轻质材料，进一步提高机器人结构的负载/自重比， 使机器人机构进一步紧凑，速度和范围指标进一步提高；
动部分的质量；②使臂部的重心与立柱中心尽量靠近；③采取“配重” 的方法来减小和消除偏重力矩。
➢ 运动要平稳、定位精度要高。影响因素：①惯性冲击的
影响；②定位方法的影响；③结构刚性的影响；④控制及驱动 系统的影响等。
第七页，编辑于星期二：二十三点 二十三分。
平衡机器人手臂的重力矩优点如下：
如果是喷漆机器人，则便于人工手把手示教。
Euler腕关节的特色在于给定第四轴和第五轴一定角度后(J4，J5)，可将安装腕关节上 之手指向任意方向，再给定第六轴角度可调整手的姿态，如Fig- 所示。
第二十二页，编辑于星期二：二十三点 二十三 分。
經由特殊設定，可進一步將Owc_s 與Owc 點重合（Fig-8）。如此，Fig-8 便形成理
臂部的作用是引导手指准确地抓住工件，并运送到所需要的位 置上。 在运动时，直接承受腕部、手部和工件（或工具）的静、动载荷， 尤其高速运动时，将产生较大的惯性力（或惯性力矩），引起冲 击，影响定位的准确性。
第2章 机器人静力分析与动力学
起相互作用的力和力矩。机器人各关节的
驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传
递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。
关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力
和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制
的基础。
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2.2.1 操作臂力和力矩的平衡
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如图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i–1和 i+1相连接，建立两个坐标系{i–1}和{i }。
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2.3 机器人动力学方程
• 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(NewtonEuler) 法、拉格朗日(Langrange)法、高 斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯逊-魏 登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。本节介 绍动力学研究常用的牛顿-欧拉方程和拉格 朗日方程。
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2.3.1 欧拉方程
• 欧拉方程又称为牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器 人机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛顿 方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方 程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
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2.3.2 拉格朗日方程
•
在机器人的动力学研究中，主要应用
拉格朗日方程建立起机器人的动力学方程。
这类方程可直接表示为系统控制输入的函
数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方
程也可建立比较方便而有效的动力学方程。
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2.3.3 平面关节机器人动力学分析
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机械工程中的机器人运动学与动力学分析
机械工程中的机器人运动学与动力学分析导言机器人在现代社会中扮演着越来越重要的角色，其用途广泛涉及到制造业、医疗保健、航空航天等领域。
机器人的精确控制是实现其高效工作的关键，而机器人运动学与动力学分析则是实现这一目标的重要基础。
本文将介绍机器人运动学与动力学分析的基本概念、方法以及应用。
一、机器人运动学分析1. 运动学基础概念机器人的运动学分析研究的是机器人末端执行器的位置、速度和加速度之间的关系。
其中，位置由笛卡尔坐标系或关节坐标系表示，速度和加速度则是位置随时间的变化率。
为了进行运动学分析，我们需要定义机器人的关节坐标系以及各个关节之间的相对位置和方向关系。
2. 正解与逆解机器人运动学分析中，正解和逆解是两个重要的概念。
正解是指根据机器人各个关节的位置和方向关系，求解末端执行器的位置、速度和加速度。
逆解则是根据末端执行器的位置、速度和加速度，求解各个关节的位置和方向关系。
3. 运动学分析方法运动学分析方法主要有几何法和代数法两种。
几何法通过几何图形和三角学原理，求解机器人的运动学问题。
代数法则依赖于符号表示和运算，通过建立关节变量和末端执行器之间的方程组，求解运动学问题。
二、机器人动力学分析1. 动力学基础概念机器人的动力学分析研究的是机器人运动时所受到的力和力矩，以及这些力和力矩对机器人运动的影响。
力和力矩是机器人在进行任务时所受到的外部作用，也可能是机器人自身组件之间的相互作用。
2. 动力学建模机器人动力学分析中，需要对机器人进行建模。
建立机器人的动力学模型是研究机器人运动的关键环节。
通常，我们使用拉格朗日方程对机器人进行建模，该方程能够描述机器人系统的动力学行为。
3. 动力学分析方法动力学分析方法主要有牛顿-欧拉法和拉格朗日法两种。
牛顿-欧拉法通过牛顿定律和欧拉角动量定理，推导出机器人各个关节的力和力矩。
而拉格朗日法则通过计算机器人系统的动能和势能，得到机器人的运动方程。
三、机器人运动学与动力学分析的应用1. 机器人轨迹规划机器人的轨迹规划是指根据任务要求，确定机器人末端执行器的运动轨迹。
第二章 机器人静力分析与动力学
假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可 以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出 每个连杆上的受力情况。
2.2.2 机器人力雅可比
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力F )，可 将 fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量
Jli和J ai分别表示关节i的单位关节速度引起末端的线速度和角速度。
v J11 033 qu x w J 21 J 22 ql
v J11qu w J 21qu J 22 ql qu [q1 q2 q3 ] ql [q4 q5 q6 ]
定义如下变量： f i–1，I 及 ni–1，i ——i–1杆通过关节 i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1 及 ni，i+1——i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； –fi，i+1 及 –ni，i+1——i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作 用力矩； fn，n+1及 nn，n+1——机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； –fn，n+1 及 –nn，n+1——外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f0，1及n0，1——机器人机座对杆1的作用力和力矩； m g——连杆i的重量，作用在质心C 上。
Y 1 Y 2
dX dq J (q ) dt dt
第1列矢量和第2列矢量，则有 v J11 J 22 式中：右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第 ， 二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两 个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节 ， 不动而某一关节运动产生的端点速度。 2 f 2 (t ) 则可 1 f1 (t ) ， 假如已知的某一时刻的速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。 反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为 q J 1 v 式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
机器人静力学动力学
• 质心速度
.
.
..
x2 l1 cos1 1 l2 cos(1 2 )(12 )
.
.
..
y2 l1 sin1 1 l2 sin(1 2 )(12 )
• 质心速度:
v22
.
y
2
2
.
x22
.
.
..
.
.
..
l12 12 l22 (12 21 2 22 ) 2l1l2 cos2 (12 1 2 )
JT
例题 二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重
力，求关节力矩。 1 0 2 90 F [FX , FY ]T
解：
J
l1s1 l2 s12
l1c1
l2c12
l2 s12
l 2 c12
JT
l1s1 l2 s12 l2 s12
l1c1 l2c12
l 2 c12
1
关节虚位移
q1
q
2
q
qq43
q5
q6
虚位移原理：
W 1q1 2q2 F1 x F2 y F3 z F4
W Tq F TP
W 0
W Tq F TP Tq F T Jq ( J T F )T q 0
( J T F )T 0
JTF
雅可比转置矩阵
• 三、静力学两类问题： • 1、 正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求手部
端点能输出的力（力矩） 。
• 2、 逆向静力学—知手部端点作用力（力矩），求关 节需施加的力（力矩）。
• 机器人通常是逆向力学问题。
• §4—2 机器人动力学
• 一、动力学两类问题： • 1、 正向动力学—知各关节驱动力（力矩），求末端
第2章 机器人静力分析与动力学-雅可比
dx − l1 s1 − l 2 s12 dy = l c + l c 1 1 2 12
− l 2 s12 dθ 1 l 2 c12 dθ 2
15:03:57
13
当机器人的两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动 相互抵消，不产生操作运动；此时处于内部奇异状态。
15:03:56
10
θɺ 假如已知的 θɺ1、 θɺ2是时间的函数，即 θɺ1 =f1(t )，2 = f 2(t ) ，则可 求出该机器人手部在某一时刻的速度 v = f (t ) ，即手部瞬 时速度。
dX dθ = J (q) dt dt
广泛意义
dX dq = J (q ) dt dt
广义关节变量
每一列则代表相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比。 每一列则代表相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比。
15:03:56
手部与关节的速度关系
两边同除以dt， 对dx=Jdθ两边同除以 ，得 两边同除以 假设关节速度为
dX dθ = J (q) dt dt
，手爪速度为
。
∂x1 x1 = ∂θ1 • x ∂x 2 2 ∂θ 1
q
：
q 关节为转动关节时， → θ
q 关节为移动关节时， → d
因此
ɺ v = Jθ
ɺ v = Jq
反之，当给定机器人手 部速度时，若机械手的雅 可比J是满秩的矩阵，可解 出相应的关节速度为 ：
15:03:57
ɺ = J −1v ɺ θ
ɺ q = J v
−1
小结
介绍了动力学 动力学的研究内容和目的 动力学 学习了机器人的速度雅可比矩阵 速度雅可比矩阵的求解方法 速度雅可比矩阵 分析了手部（操作空间）与关节（关节空间） 手部（操作空间）与关节（关节空间） 手部 的速度关系 速度关系
第二章 机器人静力分析与动力学
图2.3 杆i上的力和力矩
连杆的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力 和力矩平衡方程式为
式中：ri–1，i —坐标系{i}的原点相对于坐标系{i+1}的位置矢量；
ri，Ci —质心相对于坐标系{i}的位置矢量。
假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可以 由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出每个连杆 上的受力情况。
δ W = τ 1δ q1 + τ 2δ q2 + ⋯ + τ nδ qn − f n,n +1d − nn,n +1δ
或写成 根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意符 合几何约束的虚位移有δW=0，并注意到虚位移δq和δX之间符合杆件的 几何约束条件。利用式δX=Jδq
式中：δq表示从几何结构上允许位移的关节独立变量。对任意的 δq，欲使δ W =0成立，必有 上式表示了在静态平衡状态下，手部端点力F和广义关节力矩τ之间的 线性映射关系。JT与手部端点力F和广义关节力矩τ之间的力传递有关，称 为机器人力雅可比。显然，机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。
∂X ∂q 1 ∂Y ∂q 1 ∂Z ∂X ∂q1 J (q) = T = ∂ϕ X ∂q ∂q1 ∂ϕY ∂q1 ∂ϕ Z ∂q1 ∂X ∂q2 ∂Y ∂q2 ∂Z ∂q2 ∂ϕ X ∂q2 ∂ϕY ∂q2 ∂ϕ Z ∂q2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∂X ∂qn ∂Y ∂qn ∂Z ∂qn ∂ϕ X ∂qn ∂ϕY ∂qn ∂ϕ Z ∂qn
反之，假如给定机器人手部速度，可由式(2.10)解出 相应的关节速度为
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2.2.1 操作臂力和力矩的平衡
如图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i–1和i+1 相连接，建立两个坐标系{i–1}和{i }。
2.3 机器人动力学方程
• 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(NewtonEuler) 法、拉格朗日(Langrange)法、高斯 (Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯逊-魏登堡 (Roberon-Wittenburg) 法等。本节介绍动力 学研究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方 程。
2.4 机器人的动态特性
• 静态特性：主要是反映静止状态或者是 低速状态下的机器人特性，如静力分析， 定位精度，重复定位精度等； • 动态特性：值在较高速运动状态下体现 出来的特性，如快速响应性、跟随误差、 稳定性等。取决与机构的刚度、驱动的力 和力矩、控制器的运算速度和精度、控制 算法的计算效率等。
2.1 机器人雅可比矩阵
• 机器人雅可比矩阵(简称雅可比)揭示了 操作空间与关节空间的映射关系。雅可比 不仅表示操作空间与关节空间的速度映射 关系，也表示二者之间力的传递关系，为 确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标 系间速度、加速度和静力的变换提供了便 捷的方法。
2.1.1 机器人雅可比的定义
二、关节空间和操作空间动力学
• 1．关节空间和操作空间 • n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量所决定， 这n个关节变量也叫做n维关节矢量q，所有关节矢量q 构成了关节空间。末端执行器的作业是在直角坐标空间 中进行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐标空间中描 述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程 X=X(q)就是关节空间向操作空间 的映射；而运动学逆 解则是由映射求其在关节空间中的原象。在关节空间和 操作空间操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两 者之间存在着一定的对应关系。
习
题
• 2.1 简述欧拉方程的基本原理。 • 2.2 简述用拉格朗日方法建立机器人动力学方程 的步骤。 • 2.3 动力学方程的简化条件有哪些？ • 2.4 简述空间分辨率的基本概念。 • 2.5 机器人的稳态负荷的研究包括哪些内容？ • 2.6 简述计算机控制机器人获得良好的重复性的 处理步骤。
• 2.7 分别用拉格朗日动力学及牛顿力学推导 题2.7图所示单自由度系统力和加速度的关 系。假设车轮的惯量可忽略不计，X轴表示 小车的运动方向。
第2章 机器人静力分析与动力学
机器人运动学分析只限于静态位置问题的讨论，未涉 及机器人运动的力、速度、加速度等动态过程。 除了机器人的运动学之外，在机器人的设计和控制过 程中还需要涉及到机器人的静力学分析与运动学计算。 机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系， 目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。 机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类问 题：动力学逆问题是已知机器人关节的位移、速度和加速 度，求解所需要的关节力(或力矩)，是实时控制的需要。
2.1.3 机器人雅可比讨论
2.2 机器人静力分析
• 机器人在工作状态下会与环境之间引起 相互作用的力和力矩。机器人各关节的驱 动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递 到末端执行器，克服外界作用力和力矩。 关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力 和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制 的基础。
2.3.3 平面关节机器人动力学分析
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节型 机器人的动力学方程已经很复杂，包含了很多因素， 这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于比较复 杂的多自由度机器人，其动力学方程更庞杂，推导过ห้องสมุดไป่ตู้程更为复杂，不利于机器人的实时控制。故进行动力 学分析时，通常进行下列简化：
2.3.1 欧拉方程
• 欧拉方程又称为牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器 人机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛顿 方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方 程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
2.3.2 拉格朗日方程
• 在机器人的动力学研究中，主要应用拉 格朗日方程建立起机器人的动力学方程。 这类方程可直接表示为系统控制输入的函 数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方 程也可建立比较方便而有效的动力学方程。