(浙江专用)201X高考数学二轮复习 阶段质量检测(四)专题一-四“综合检测”
阶段质量检测（四） 专题一~四“综合检测”
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆x 28＋y 2
6＝1的焦距是( )
A
．2 2 B ．4 C ．214
D ．20
解析：选A 由椭圆的方程x 28＋y 2
6＝1，知a 2＝8，b 2＝6，故c ＝a 2－b 2＝2，所以焦距
2c ＝2 2.故选A.
2．已知角α为第三象限角，且tan α＝3
4，则sin α＋cos α＝( )
A ．－75
B ．－1
5
C ．15
D ．75
解析：选A
由题可得??
?
sin α＝34cos α，
sin 2
α＋cos 2
α＝1，
因为α是第三象限角，所以
?????
sin α＝－3
5，
cos α＝－45，
故sin α＋cos α＝－7
5
.选A.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A.223 B ．6
C.163
D ．4
解析：选A 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的体积V ＝23－13×12×2×2×1＝22
3
.故选A.
4．已知{a n }是公差为d 的等差数列，则“a 1a 80”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为a 1a 8－a 4a 5＝a 1(a 1＋7d )－(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝－12d 2≤0，所以a 1a 8 d ≠0，即“a 1a 80”的必要不充分条件．所以选B. 5．已知双曲线mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的离心率为52 ，此双曲线上的点(x 0，y 0)满足y 20>4x 20，则该双曲线的一条渐近线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝1 2x C ．y ＝3x D ．y ＝ 32 x 解析：选A 因为双曲线上的点(x 0，y 0)满足y 20>4x 2 0，所以焦点在y 轴上．设双曲线方程 为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)，则e ＝1＋? ?? ??b a 2＝ 52，得b a ＝1 2 ，所以渐近线方程为y ＝±2x . 6．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原 点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k PA ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．10 解析：选A 设A (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)(|x 0|≠|x 1|)，则B (－x 1，－y 1)，则k PA ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1· y 0＋y 1 x 0＋x 1 ＝y 20－y 2 1 x 20－x 21.因为点P ，A 在双曲线C 上，所以b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2 ，两式相减可得y 20－y 21 x 20－x 21＝b 2a 2，故b 2a 2＝3，于是b 2＝3a 2.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以双曲线C 的离心率e ＝ 1＋? ?? ?? b a 2 ＝2.故选A. 7．已知AD 与BC 是三棱锥A -BCD 中相互垂直的棱，若AD ＝BC ＝6，且∠ABD ＝ ∠ACD ＝60°，则三棱锥A -BCD 的体积的最大值是( ) A ．36 B ．362 C ．18 D ．182 解析：选D 如图，过C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，连接BF ， ∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF＝C，BC?平面BCF，CF?平面 BCF ， ∴AD ⊥平面BCF ， ∴V 三棱锥A -BCD ＝V 三棱锥A -BCF ＋V 三棱锥D -BCF ＝13S △BCF ·AF ＋1 3S △BCF ·FD ＝13S △BCF ·(AF ＋FD )＝1 3S △BCF ·AD . ∵AD ＝BC ＝6，∴V 三棱锥A -BCD ＝2S △BCF ， ∴当△BCF 的面积最大时，V 三棱锥A -BCD 取得最大值， 易知当△BCF 为等腰三角形时，S △BCF 取得最大值，即V 三棱锥A -BCD 取得最大值． 取BC 的中点E ，连接EF ，当△BCF 为等腰三角形时，EF ⊥BC ， ∴2S △BCF ＝2×1 2×BC ×EF ＝6EF ， 又∵EF ＝CF 2－CE 2＝CF 2－9， ∴当CF 最长时，V 三棱锥A -BCD 最大， ∵∠ACD ＝60°，AD ＝6，AD ⊥CF ， ∴当AC ＝CD 时，CF 取得最大值， 此时CF ＝33，∴EF ＝32，∴6EF ＝18 2. ∴三棱锥A -BCD 体积的最大值为18 2.故选D. 8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭 圆交于A ，B 两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是( ) A ．(2－1，＋∞) B ．(0，2－1) C ．(2－1,1) D ．(2－1，2＋1) 解析：选C 由题意可知，A ，B 的横坐标均为c ，且A ，B 都在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2 b 2＝1， 从而可得y ＝±b 2a ，不妨令A ? ????c ，b 2 a ，B ? ? ???c ，－b 2a . 由△ABF 1是锐角三角形知∠AF 1F 2<45°， 所以tan ∠AF 1F 2<1， 所以tan ∠AF 1F 2＝AF 2F 1F 2＝b 2 a 2c <1，故a 2－c 2 2ac <1，即e 2＋2e －1>0，解得e >2－1或e <－2 －1，又因为椭圆中，0< e <1，所以2－1 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝( ) A ．22 019－1 B ．21 009－3 C ．3×21 009－3 D ．21 008－3 解析：选C ∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a n ＋2a n ＋1＝2 n ＋1 ，∴a n ＋2 a n ＝2，∴ 数列{a n }的奇数项与偶数 项分别成等比数列，公比均为2.又∵a 1a 2＝2，a 1＝1，∴a 2＝2，∴S 2 018＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋21－21 009 1－2 ＝3×21 009－3. 10．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( ) A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－1 解析：选A 直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝ 12a 2＋b 2 ＝22，即2a 2＋b 2＝2，∴a 2＝2－b 2 2 (－ 2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋b －12 ＝ b 2 2 －2b ＋2＝ 2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2| 2 ＝2＋1. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．已知抛物线y 2＝2px 过点A (1,2)，则p ＝________，准线方程是________． 解析：由题可得，4＝2p ，解得p ＝2，所以准线方程为x ＝－p 2＝－1. 答案：2 x ＝－1 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若满足2b cos A cos C ＝c －2a cos B cos C ，则角C ＝________，sin A ＋sin B 的最大值是________． 解析：由已知得2b cos A cos C ＋2a cos B cos C ＝c ， 由正弦定理得2cos C (sin B cos A ＋sin A cos B )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， ∵A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π)， ∴sin(A ＋B )＝sin C >0， ∴2cos C ＝1，cos C ＝12，∴C ＝π 3 . ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(A ＋C )＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝3sin ? ???? A ＋π6，