(浙江专用)201X高考数学二轮复习 阶段质量检测(四)专题一-四“综合检测”

阶段质量检测（四） 专题一~四“综合检测”

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．椭圆x 28＋y 2

6＝1的焦距是( )

A

．2 2 B ．4 C ．214

D ．20

解析：选A 由椭圆的方程x 28＋y 2

6＝1，知a 2＝8，b 2＝6，故c ＝a 2－b 2＝2，所以焦距

2c ＝2 2.故选A.

2．已知角α为第三象限角，且tan α＝3

4，则sin α＋cos α＝( )

A ．－75

B ．－1

5

C ．15

D ．75

解析：选A

由题可得⎩⎨

⎧

sin α＝34cos α，

sin 2

α＋cos 2

α＝1，

因为α是第三象限角，所以

⎩⎪⎨⎪⎧

sin α＝－3

5，

cos α＝－45，

故sin α＋cos α＝－7

5

.选A.

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A.223 B ．6

C.163

D ．4

解析：选A 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的体积V ＝23－13×12×2×2×1＝22

3

.故选A.

4．已知{a n }是公差为d 的等差数列，则“a 1a 80”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B 因为a 1a 8－a 4a 5＝a 1(a 1＋7d )－(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝－12d 2≤0，所以a 1a 8

d ≠0，即“a 1a 80”的必要不充分条件．所以选B.

5．已知双曲线mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的离心率为52

，此双曲线上的点(x 0，y 0)满足y 20>4x 20，则该双曲线的一条渐近线方程为( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝1

2x

C ．y ＝3x

D ．y ＝

32

x 解析：选A 因为双曲线上的点(x 0，y 0)满足y 20>4x 2

0，所以焦点在y 轴上．设双曲线方程

为y 2a 2－x 2

b

2＝1(a >0，b >0)，则e ＝1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2＝

52，得b a ＝1

2

，所以渐近线方程为y ＝±2x . 6．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原

点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k PA ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( )

A ．2

B ．4 C.10

D ．10

解析：选A 设A (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)(|x 0|≠|x 1|)，则B (－x 1，－y 1)，则k PA ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·

y 0＋y 1

x 0＋x 1

＝y 20－y 2

1

x 20－x 21.因为点P ，A 在双曲线C 上，所以b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2

，两式相减可得y 20－y 21

x 20－x 21＝b 2a 2，故b 2a

2＝3，于是b 2＝3a 2.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b a 2

＝2.故选A.

7．已知AD 与BC 是三棱锥A ­BCD 中相互垂直的棱，若AD ＝BC ＝6，且∠ABD ＝ ∠ACD ＝60°，则三棱锥A ­BCD 的体积的最大值是( )

A ．36

B ．362

C ．18

D ．182

解析：选D 如图，过C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，连接BF ，

∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF＝C，BC⊂平面BCF，CF⊂平面

BCF ，

∴AD ⊥平面BCF ， ∴V 三棱锥A ­BCD

＝V 三棱锥A ­BCF ＋V 三棱锥D ­BCF ＝13S △BCF ·AF ＋1

3S △BCF ·FD ＝13S △BCF ·(AF ＋FD )＝1

3S △BCF ·AD . ∵AD ＝BC ＝6，∴V 三棱锥A ­BCD ＝2S △BCF ，

∴当△BCF 的面积最大时，V 三棱锥A ­BCD 取得最大值，

易知当△BCF 为等腰三角形时，S △BCF 取得最大值，即V 三棱锥A ­BCD 取得最大值． 取BC 的中点E ，连接EF ，当△BCF 为等腰三角形时，EF ⊥BC ， ∴2S △BCF ＝2×1

2×BC ×EF ＝6EF ，

又∵EF ＝CF 2－CE 2＝CF 2－9， ∴当CF 最长时，V 三棱锥A ­BCD 最大， ∵∠ACD ＝60°，AD ＝6，AD ⊥CF ， ∴当AC ＝CD 时，CF 取得最大值， 此时CF ＝33，∴EF ＝32，∴6EF ＝18 2. ∴三棱锥A ­BCD 体积的最大值为18 2.故选D.

8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭

圆交于A ，B 两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是( )

A ．(2－1，＋∞)

B ．(0，2－1)

C ．(2－1,1)

D ．(2－1，2＋1)

解析：选C 由题意可知，A ，B 的横坐标均为c ，且A ，B 都在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2

b

2＝1，

从而可得y ＝±b 2a ，不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2

a ，B ⎝

⎛

⎭⎪⎫c ，－b 2a .

由△ABF 1是锐角三角形知∠AF 1F 2<45°， 所以tan ∠AF 1F 2<1，

所以tan ∠AF 1F 2＝AF 2F 1F 2＝b 2

a 2c <1，故a 2－c 2

2ac

<1，即e 2＋2e －1>0，解得e >2－1或e <－2