鲁教版八年级数学5.4多边形的内角和与外角和能力提升练习题(附答案)

鲁教版八年级数学5.4多边形的内角和与外角和能力提升练习题（附答案）一．选择题（共10小题）
1．如图，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝n•90°，则n为（）
A．4B．5C．6D．7
2．内角和与外角和恰好相等的多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．十二边形
3．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
4．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，则∠BOD的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）
A．10°B．15°C．30°D．40°
6．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）
A．360°B．540°C．630°D．720°
7．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）
A．141°B．144°C．147°D．150°
8．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）
A．6B．7C．8D．9
9．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°
C．180°或360°D．540°或360°或180°
10．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是（）A．3B．4C．6D．12
二．填空题（共10小题）
11．从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是个．
12．七边形一共有条对角线．
13．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则n＝．
14．八边形的对角线共有条．
15．若一个多边形的对角线条数为9，则这个多边形的边数为．
16．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为．
17．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是．
18．如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是．
19．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为．
20．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为．
三．解答题（共8小题）
21．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．
22．一个多边形有9条对角线，求这个多边形的边数？
23．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
24．观察下面图形，并回答问题．
①四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你从中得到了什么规律？（用n表示）
②根据规律求十边形的对角线的数量．
25．一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和？
26．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
27．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它是几边形？
28．若一个凸n边形A1A2A3……A n的每个内角的度数都是30°的整数倍，且∠A1＝∠A2＝∠A3＝90°，写出n的所有可能取值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝n•90°，则n为（）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：设AG与DE交于点M，与DC交于点N，
则∠5+∠6+∠7＝360°﹣∠ANC，∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠EMG，
则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+（360°﹣∠ANC）+（360°﹣∠EMG）＝720°+∠1﹣∠ANC﹣∠EMG＝720°+∠1﹣（180°﹣∠DMN）﹣（180°﹣∠DNM）＝360°+（∠1+∠DMN+∠DNM）＝360°+180°＝540°．
又因∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540°＝n•90°，
所以n＝6．
故选：C．
2．内角和与外角和恰好相等的多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．十二边形
【解答】解；设这个多边形是n边形，由题意，得
（n﹣2）×180°＝360°，
解得n＝4，
故选：A．
3．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝510°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣510°＝30°，
故选：A．
4．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，则∠BOD的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【解答】解：∵五边形AOEFG的外角和为360°，且∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，
∴∠AOE的邻补角为360°﹣225°＝135°，
∴∠BOD＝180°﹣135°＝45°，
故选：C．
5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠P AB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠P AB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
6．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）
A．360°B．540°C．630°D．720°
【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．
故选：C．
7．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）
A．141°B．144°C．147°D．150°
【解答】解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，
（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠APG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°．
故选：B．
8．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
9．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°
C．180°或360°D．540°或360°或180°
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故选：D．
10．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是（）A．3B．4C．6D．12
【解答】解：360°×2÷180°+2
＝720°÷180°+2
＝4+2
＝6
∴该正多边形的边数是6．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是7个．
【解答】解：从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是7个，
故答案为：7．
12．七边形一共有14条对角线．
【解答】解：七边形的对角线总共有：＝14条．
故答案为：14．
13．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则n＝15．【解答】解：根据题意得n﹣3＝12，
所以n＝15．
故答案为15．
14．八边形的对角线共有20条．
【解答】解：八边形的对角线条数应该是：＝20，
故答案为：20．
15．若一个多边形的对角线条数为9，则这个多边形的边数为6．
【解答】解：设多边形的边数为n，则
＝9，
整理得n2﹣3n﹣18＝0，
解得n1＝6，n2＝﹣3（舍去）．
所以这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
16．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数
为420°．
【解答】解：∵∠1＝60°，
∴∠AED＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝540°﹣∠AED＝420°．
故答案为：420°．
17．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形内角和与外角和共1080°，
∴多边形内角和＝1080°﹣360°＝720°，
设多边形的边数是n，
∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6．
故答案为：6．
18．如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是8．【解答】解：多边形的边数是：＝8，
故答案为：8．
19．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为八．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
20．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为4．【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共8小题）
21．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．
【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得
n﹣2＝，
整理得：n2﹣5n+4＝0，
即（n﹣1）（n﹣4）＝0，
解得：n1＝4，n2＝1（不合题意舍去），
所以内角和为（4﹣2）×180°＝360°．
22．一个多边形有9条对角线，求这个多边形的边数？
【解答】解：设多边形有n条边，
则＝9，
解得n1＝6，n2＝﹣3（舍去）．
答：这个多边形有6条边．
23．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．
理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，
∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；
∵n边形共有n个顶点，
∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，
∴能引条．
∴凸八边形的对角线条数应该是：＝20．
24．观察下面图形，并回答问题．
①四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你从中得到了什么规律？（用n表示）
②根据规律求十边形的对角线的数量．
【解答】解：①四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，从中得到的规律是：n边形每增加一条边，对角线增加（n﹣2）条；
②由①得：从多边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，
n个顶点共有n（n﹣3）条对角线，但一半是重复的，所以n边形对角线数目为，故十边形的对角线的数量为：＝35．
25．一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和？
【解答】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，
由x＝（180°﹣x）
解得：x＝36°，
360÷36＝10，
（10﹣2）×180°＝1440°，
此多边形为十边形，内角和为1440°．
26．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
【解答】解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20＝18，18×10＝180（米）；
答：小明一共走了180米；
（2）根据题意得：
（18﹣2）×180°＝2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
27．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它是几边形？
【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n﹣2）×180°﹣360°×3＝180°，
解得：n＝9．
答：它是九边形．
28．若一个凸n边形A1A2A3……A n的每个内角的度数都是30°的整数倍，且∠A1＝∠A2＝∠A3＝90°，写出n的所有可能取值．
【解答】解：设这个n边形的一个内角为α，与它相邻的外角为β……（2分）
则β＝180°﹣α，
∵α是30°的整数倍数，
∴β也是30°的整数倍数，
从而这个多边形的每个内角的度数都是30°的整数倍数……（4分）
又∵∠A1＝∠A2＝∠A3＝90°，
∴其余n﹣3个外角的度数和为：360°﹣3×90°＝90°，……（6分）
又每个外角都是30°的整数倍，
故（n﹣3）×30°≤90°解得：n≤6，……（8分）
∵n为正整数且n＞3，
∴n的所有可能取值为4，5，6……（10分）。