(习题课1)--随机事件与概率
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一.基本概念
样本点
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个 试验的一个 样本点
样本空间 全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间记作 Ω．
基本事件 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．
含有多个样本点的随机事件称为复合ห้องสมุดไป่ตู้件．
事件 样本空间（必然事件） Ω 不可能事件 Φ 子事件 AB 和事件 A∪B 积事件 A∩B 差事件 A-B
U （6）P( n
Ai )
n
P(
Ai),
各A
i，A
互不相容
j
i 1
i 1
(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A U B UC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
注：考虑4个或四个以上并事件的概率公式？
3.对任意的随机事件A，B，C，试证: P(AB)+P(AC)-P(BC)≤P(A).
4. 设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事 件发生的概率.
5.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各 投了3次，求二人进球数相等的概率.
注：对于古典概率而言，“频率”=“概率”，其他类型应按照1中的解释。
3.概率的性质
（1）0 p 1
（2） P() 1, P() 0 （3） 若A，B互斥，则 P(AUB) P(A) P(B)
（4） P( A) 1 P( A)
（5）若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)
6. 一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试 求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.
（1） n件是同时取出的； （2） n （3） n件是有放回逐件取出的.
7.将线段[0，1]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形 的概率。
8.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人 半小时以上的概率.
三.概率模型
1.古典概型。
2.几何概型。
3.伯努利概型。
P( A)
事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数
m n
P( A)
A 的几何度量 S的几何度量
L( A) L(S )
Pn (k) Cnk pk qnk ( k＝ 0，1，2，...，n )
条件概率和全概率公式
1.条件概率公式 P( A | B) P( AB) P(B)
6.
7. 8.提示：（答案1/4）
9. 10.
11. 12.
13.
对立事件 A AC
事件A与事件B互斥(互不相容)
AB
二.随机事件的概率 事件A出现的次数m
fn (A) 试验总次数n
1.频率 fn ( A) 稳定于概率 P( A)
2.概率的公理化定义： （1）：非负性。 （2）：规范性。 （3）：对无穷个互斥事件具有可列可加性。
(另种说法为完全可加性)
12.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有 国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.
试问这只硬币是正品的概率是多少？
13.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发 现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么
参考解答（完成之后再参考！若解答有错误请自己悄悄更正）：
1.【解】 P（ ）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6
2.解：
3
5.
解：
3
P( Ai Bi ) (0.3)3(0.4)3 C31(0.7) (0.3)2C31(0.6) (0.4)2
i0
C32 (0.7)2 (0.3)C32 (0.6)2 (0.4) (0.7)3(0.6)3 0.32076
n
2.全概率公式 P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
3.贝叶斯公式
P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
P( Ai)P(B | Ai)
i 1
注：公式中B可看为结果，从而发现使用1式目的为知道结果求条件（后验概率）；2式从 等式右边出发，为知道条件求结果（先验概率）；3式联系两者，目的是为了确定某个因素 对结果的影响。
9.从（0，1）中随机地取两个数，求：
5
（1） 两个数之和小于 6 的概率；
（2）
两个数之积小于
1 4
的概率。.
10.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男 孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.
11.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2； 若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中， 飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
四.习题
注：习题内容安排包括，题(1-6)关于抽象事件概率的性质和运算；（7-9）为几何概率； （10）条件概率；（11）全概率公式；（12-13）贝叶斯公式。
1.设A，B__为__ 随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，
求P（ AB）。
__
2.证明：若 P(A | B) P(A | B) 则A，B相互独立.
样本点
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个 试验的一个 样本点
样本空间 全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间记作 Ω．
基本事件 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．
含有多个样本点的随机事件称为复合ห้องสมุดไป่ตู้件．
事件 样本空间（必然事件） Ω 不可能事件 Φ 子事件 AB 和事件 A∪B 积事件 A∩B 差事件 A-B
U （6）P( n
Ai )
n
P(
Ai),
各A
i，A
互不相容
j
i 1
i 1
(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A U B UC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
注：考虑4个或四个以上并事件的概率公式？
3.对任意的随机事件A，B，C，试证: P(AB)+P(AC)-P(BC)≤P(A).
4. 设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事 件发生的概率.
5.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各 投了3次，求二人进球数相等的概率.
注：对于古典概率而言，“频率”=“概率”，其他类型应按照1中的解释。
3.概率的性质
（1）0 p 1
（2） P() 1, P() 0 （3） 若A，B互斥，则 P(AUB) P(A) P(B)
（4） P( A) 1 P( A)
（5）若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)
6. 一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试 求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.
（1） n件是同时取出的； （2） n （3） n件是有放回逐件取出的.
7.将线段[0，1]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形 的概率。
8.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人 半小时以上的概率.
三.概率模型
1.古典概型。
2.几何概型。
3.伯努利概型。
P( A)
事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数
m n
P( A)
A 的几何度量 S的几何度量
L( A) L(S )
Pn (k) Cnk pk qnk ( k＝ 0，1，2，...，n )
条件概率和全概率公式
1.条件概率公式 P( A | B) P( AB) P(B)
6.
7. 8.提示：（答案1/4）
9. 10.
11. 12.
13.
对立事件 A AC
事件A与事件B互斥(互不相容)
AB
二.随机事件的概率 事件A出现的次数m
fn (A) 试验总次数n
1.频率 fn ( A) 稳定于概率 P( A)
2.概率的公理化定义： （1）：非负性。 （2）：规范性。 （3）：对无穷个互斥事件具有可列可加性。
(另种说法为完全可加性)
12.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有 国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.
试问这只硬币是正品的概率是多少？
13.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发 现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么
参考解答（完成之后再参考！若解答有错误请自己悄悄更正）：
1.【解】 P（ ）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6
2.解：
3
5.
解：
3
P( Ai Bi ) (0.3)3(0.4)3 C31(0.7) (0.3)2C31(0.6) (0.4)2
i0
C32 (0.7)2 (0.3)C32 (0.6)2 (0.4) (0.7)3(0.6)3 0.32076
n
2.全概率公式 P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
3.贝叶斯公式
P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
P( Ai)P(B | Ai)
i 1
注：公式中B可看为结果，从而发现使用1式目的为知道结果求条件（后验概率）；2式从 等式右边出发，为知道条件求结果（先验概率）；3式联系两者，目的是为了确定某个因素 对结果的影响。
9.从（0，1）中随机地取两个数，求：
5
（1） 两个数之和小于 6 的概率；
（2）
两个数之积小于
1 4
的概率。.
10.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男 孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.
11.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2； 若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中， 飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
四.习题
注：习题内容安排包括，题(1-6)关于抽象事件概率的性质和运算；（7-9）为几何概率； （10）条件概率；（11）全概率公式；（12-13）贝叶斯公式。
1.设A，B__为__ 随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，
求P（ AB）。
__
2.证明：若 P(A | B) P(A | B) 则A，B相互独立.