选修2-3计数原理
高二数学(选修2-3人教B版)-计数原理全章总结
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和. 解：（2）由通项可知，展开式的第三项是
T3 C52 13 (2x)2 40x2
所以，第三项的系数为40.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
表示？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n个a b
Tr1 Cnr anr br
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
解：首先将A、B、C、D排成一排，共有 A44 种排法，每一种
排法都会产生五个“空”，在这五个“空”中任选一个，将E
放入，共有 C51 种方法；其次，E中的两个元素可以交换，有 A22
种方法.
所以，共有 A44 C51 A22 240 种不同的排法.
问题4 (a b)n 的展开式中的系数为什么可以用组合数的形式
（
Cm n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cmn
Cm1 n
）？
作业： 1.一个集合由8个元素组成，这个集合含有3个元素的子集有多 少个？ 2.将6名应届大学毕业生分配到两个用人单位，每个单位至少 两人，一共有多少种不同的分配方案？ 3.求 (9x 1 )18 展开式的常数项，并说明它是展开式的第几项.
3x
入，共有 A43 种排法. 所以，一共有A33 A43 144 种不同的排法.
例5、有6位同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法有多 少种？ （2）甲、乙相邻. 解：（2） 设除甲、乙之外的另外四个同学为A、B、C、D. 因为甲、乙要相邻，所以可以把甲、乙“绑”在一起看作一个 元素(记为E).
选修2-3第一章计数原理归纳整合
别属于不同类的两种方法是不同的方法．分步乘法计数原理的
关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标 准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续
完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才
能用分步乘法计数原理．
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【例1】 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种
专题二
排列组合的应用
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结 合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组 合的相关公式与方法解题．
(1)在求解排列与组合应用问题时，应注意：
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题； ②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④列出式子计算并作答． (2)处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组 合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程 “分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过
网络构建 专题归纳 解读高考
解题训练注意积累分类和分步的基本技能． (3)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类和准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略；
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专题归纳
解读高考
要点归纳
1．两个计数原理
分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决
问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原 理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题 时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目 的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一 件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原 理的关键．注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分 类中有分步，两个原理往往交错使用．
高二年级数学选修2-3《计数原理》优质课件
4、用0，1，2，…，9这十个数字可以组成无重复数字 的三位数的个数为
布置作业：课本习题1.1 A组（必做）
B组（选做）
本节课结束 同学们，再见！
分步乘法计数原理：
完成一件事情需要两个步骤，做第1步有m种不 同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 成这件事共有N=m ×n种不同的方法。
推广
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做 第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这 件事共有多少种不同的方法？
完成这件事总共有几种方法？
给座位编号
2个步骤：确定字母、 确定数字 不能
第1步：6种 第2步：9种 6×9=54种
练习2.设某班有男生30名，女生24名．现要 从中选出男、女各一名代表班级参加比赛， 共有多少种不同的选法?
解：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选择；
第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选择． 共有30×24=720种不同的选法．
A8
9
A9
1
2
3
4
5
…
F
6
7
8
9
1 2
树
3 4
形
5 6
图
7
8
9
所以，共有9+9+9+9+9+9=6×9=54种不同号码
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》
第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班 ：高二（）班学号：姓名：一．知识点整理价：1、两个基本 数原理：（ 1）分 数原理：达成一件事，有n 法 , 达成 件事共有 N=m +m+⋯+m种不一样的方法。
12n（ 2）分步 数原理：达成一件事，需要分红n 个步 ，达成 件事有N=m × m ×⋯× m 种不一样的方法。
12n2、摆列（ 1）摆列：一般地，从n 个不一样的元素中拿出m （ m n ）个元素，并按必定的 序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列。
（ 2）摆列数公式：A n mn (n1) (n 2) (n m 1)n! ，(n m)!3、 合（ 1） 合：一般地，从n 个不一样元素中拿出 m 个不一样元素并成一 ，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个不同元素的一个 合。
m（ 2） 合数公式：C mn ( n 1)( n2)(nm 1) ,Cmn !nnmm !nm !( nm ) !（ 3） 合数公式性 ：m性 1: C n mC n n m性 2:C n k C n k 1 C n k 11推 1: C k 0 C k 1 1C k 2 2 C n t C n t 1推 2:C k kC k k 1 C k k 2C n k C n k 114、二 式定理：（ 1）二 式定理： (a b)nC n 0a n C n 1a n 1 b C n 2a n2b 2C n r a n r b rC n n b n（ 2）通 是睁开式的第，即：2、二 睁开式的特色:（ 1） 数：共 n ＋ 1 ；（ 2）指数： a 按降 摆列， b 按升 摆列，每一 中a 、b 的指数和 n（ 3）系数 : 第 r ＋ 1 的二 式系数 Cr(r ＝0,1,2, ⋯， n )n二．稳固练习价： 1.( 西安 )4 个男生与 3 个女生站成一排，假如两头不站女生且3 个女生必 相 的排法有( ) 。
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
(完整版)高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号 表示。
6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质： m n A m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且mn n m nC C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式：2、性质：02413512n n n n n n nC C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C 求值：。
高二数学(选修2-3人教B版)-基本计数原理
原理初悟
2019年北京“世园会”举世瞩目，李华同学一家打
算去参观“世园会”，在计划出行的方案中有自驾出行，
乘坐“世园会”公交专线出行.自驾去“世园会”有2条
路线可以选择，乘坐“世园会”公交专线出行有4条路
线可以选择，请问李华一家去参观“世园会”共有多少
种出行方案？
2+4=6（种）
例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3
根据分类加法计数原理从甲地到丁地共有6+8=14
种不同的走法.
甲地
乙地
丙地
丁地
先分类、再分步
练习：某学校的一天的课程表要求如下，每天上午有4节课，
下午有2节课，安排5门不同的课程，其中安排某一门课两
节连在一起上，那么一天不同的课程表安排方案有多少种？
节数 课程
1
2
3
4
5
6
练习：某学校的一天的课程表要求如下，每天上午有4节课，
法……在第n类办法中，有 mn 种不同的方法，
则完成这件事共有N m1 m2 +mn 种不同的方法.
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做
第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2 种不同的方
法……做第n步有 mn 种不同的方法，则完成这
件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
出公园.只考虑游玩路线的选择，该游客有多少种不同的走
法？
西门
景点A
东门
3×2=6（种）
情境创设
a1
西门
a1
1
a2
a3
b1
景点A
b2
a2
2
1
东门
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高中数学选修2-3知识点
高中数学选修2-3知识点高中数学选修2-3知识点第一章：计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事情，有N类方法，第一类方法有M1种不同的方法，第二类方法有M2种不同的方法，以此类推，第N类方法有MN种不同的方法。
那么完成这件事情共有M1+M2+。
+MN种不同的方法。
2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成N个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有M2种不同的方法，以此类推，第N步有MN种不同的方法。
那么完成这件事情共有XXX种不同的方法。
3.排列：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
4.排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的m个排列。
从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示。
An=m!/(n-m)!(m≤n，n，m∈N)。
5.公式：A(n+m)=An+Am*m!(m≤n，n，m∈N)；An=m*(m-1)*。
*(n-m+1)=n!/(n-m)。
6.组合：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
7.公式：C(m,n)=C(n,n-m)=m!/[(n-m)!*m!]；C(m,n)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)；C(n,m)=C(n-1,m-1)*(n-m+1)/m。
8.二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+。
+C(n,n)*a^0*b^n。
9.二项式通项公式展开式的通项公式：T=C(n,r)*a^(n-r)*b^r (r=0,1.n)，其中C(n,r)为二项式系数。
10.二项式系数Cn：C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(r!(n-r)!)，其中r为从n个元素中取出的元素个数。
11.杨辉三角：杨辉三角是一种数学图形，由二项式系数构成，XXX的数为C(n,0)，C(n,1)。
人教A版数学选修2—3《计数原理》简介
一
原理 得 出排 列 数 公 式 ：应 用 分 步计 数原 理 和 排列 数公 式推 出组 合 数 公 式 。 于排 列 与组 合 ， 要 根 据 一 类 问 对 一 题 的特 点 和 规 律寻 找简 便 的计 数 方 法 ，就 像 乘 法做 为
加法 的简 便 运 算 一样 ：二 要 注 意 应 用两 个 计 数原 理 思
考 和 解 决 问题 。
、
内容安排及说明
４二 项 式 定 理 的 学 习 过程 是 应 用 两 个 计 数 原 理 解 ． 决 问题 的 典 型过 程 ， 基 本 思 路 是 “ 其 先猜 后证 ” 与 以往 。
教 材 比较 ，新 教 材 中的 猜 想 不 是 通过 对 （ ＋ 呻 ｎ ａ ｂ） 取 １ ２ ３ ４的展 开 式 的 形式 特 征 的 分析 、 归纳 后 得 出 ， ，， ， 而 是 直 接 应 用 两 个计 数原 理 对 （ ＋ ： 开 式 的 项 的 特征 ａ ｂ） 展 进 行 分析 。这 个 分 析 过 程 不仅 使 学 生 获 得 二项 式 的 展 开 式 与两 个 计 数 原 理 之 间 的 内在 联 系 ，也 为证 明 猜 想
的两 种 基 本 思 想 方法 。 对 一 个 复 杂 的计 数 问题 时 ， 面 人
们 往 往 通 过 分 类或 分 步 将 它 分解 为若 干 个 简 单计 数 问 题， 在解 决 这 些 简 单 问题 的基 础 上 ， 它 们 整 合起 来 而 将 得 到 原 问题 的答 案 ，这 是 在 日常生 活 中 经 常使 用 的思 想 方 法 。 过 对 复 杂计 数 问 题 的 分解 ， 综合 问题 化 解 通 将 为 单 ～ 问题 的组 合 ， 对 单 一 问题 各 个 击 破 ， 以达 到 再 可
高中数学选修23计数原理概率知识点总结
选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A mn用于计算， 或m nA )!(!m n n -=()n m N m n ≤∈*,, 用于证明。
nnA =!n =()1231⨯⨯⨯⨯-Λn n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用mn C 表示（2）组合数公式: (1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算，或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理
一、两个计数原理
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1、排列：
叫做从n 2n
3其中 4出m 5从n 取出m 6、组合数公式：
其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
7、性质： .,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1
1+-=+
三、二项式定理
如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：
2、性质：
注意事项：
相邻问题，常用“捆绑法”
1、有4
（1
（2
（3
（4
2
3、(1)
(2)?
4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?
8、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
9、求值与化简：。
数学高中选修2-3第一章 计数原理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理
制作 冯健璇
问题1 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车。若一天中火车有3列,汽车有2辆。那么一天中乘坐 这些交通工具从温州到杭州有多少种不同的走法?
变式： 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车，还可以乘飞机。若一天中火车有3列,汽车有2辆， 飞机有４架。那么一天中乘坐这些交通工具从温州到 杭州有多少种不同的走法?
分类计数原理
(加法原理)
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，
则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
在1,2,3,…,200中，能够被5整除的数共有 多少个？ 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5， 因此，我们把1,2,3,…,200中，能够被5整除的 数分成两类来计数： 第一类：末位数字是0的数，一共有20个． 第二类：末位数字是5的数，一共有20个． 根据加法原理，在1,2,3,…,200中，能够被5整 除的数共有20+20=40个．
一个商店销售某种型号的电视机， 其中本地的产品有4种，外地的产 品有7种，要买1台这种型号的电视 机，有多少种不同的选法？
N= 4 + 7 =11
分类计数原理
针对的是“分类”问题
(加法原理)
各类方法相互独立
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
完成一件工作，有两种方法，有5个人只会 用第一种方法，另外有4个人只会用第二种 方法，从这9个人中选1人完成这件工作， 一共有多少种选法？ 分类计数原理： 针对的是“分类”问题
高中数学选修2-3 第1章 计数原理第一章1.1(一)
研一研·问题探究、课堂更高效
解
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这名同学可以选择 A、B 两所大学中的一所．在 A 大学中
有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由 于两所大学没有共同的强项专业， 因此根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 5＋4＝9.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所．在 A
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大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方 法，在 C 大学中有 3 种专业选择方法．又由于三所大学没有 共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可 能的专业选择种数为 5＋4＋3＝12.
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【学习要求】 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
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2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 【学法指导】 两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基 本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与 分步.
填一填·知识要点、记下疑难点
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两个计数原理 1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法， 那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法. 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法.
高三数学选修2-3_高考计数原理考点大盘点
高考计数原理考点大盘点计数原理与实际生活联系紧密，思考方法和解题方法与其它内容有很大不同，具有“四强”特点，即概念性强、抽象性强、实用性强、灵活性强，在每年高考中是必考内容．本文归纳总结了高考常见考查方式，以供参考．考点1 考查两个原理的直接应用问题例1 将3种作物种植在如下图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_______种．（以数字作答）解析：分别用a ，b ，c 代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设种a ，再安排第二块田种b 或c 有2种方法，不妨设种b ，第三块田也有2种方法种a 或c ．（1）若第三块田种c ： a bc则第四、五块田分别有2种方法，共有2×2种方法．（2）若第三块田种a ：a b a第四块田仍有2种方法．①若第四块田种c ：a b a c第五块田仍有2种方法．②若第四块田种b ：a b a b则第五块田只能种c ，共有3种方法．综上，共有32(223)42⨯⨯⨯+=种方法．评注：两个原理是解决排列、组合应用题的基础，应用两个原理时，关键是根据自己对问题的分析，先分类再分步．考点2考查特殊元素或特殊位置的优先考虑问题例2 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个． 解析：符合条件的四位数的个位必须是0，5，但不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被5整除的四位数有11231443()144A C C A =·个； ②0排在十、百位，但5必须排在个位有1111221432()48A A C C A =·个； ③不含0，但5必须排在个位有11231343108A C C A =个． 由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．评注：若排列中有特殊元素或特殊位置时，一般既可先处理特殊元素，也可先处理特殊位置，依据具体情况而定，在本题中0，5是特殊元素，首位和末位是特殊位置．考点3 考查相邻排列计算问题例3 有()n n *∈N 件不同的产品排成一排，若其中A B ，两件不同的产品排在一起的排法有48种，则n =________．解析：将A B ，两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有11n n A --种排法；对于上述的每种排法，A B ，两件产品之间又有22A 种排法，由分步乘法计数原理得满足条件的不同排法有121248n n A A --=种，故5n =．评注：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个元素，与其他元素一起进行全排列，然后再对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”法．考点4 考查互不相邻排列计算问题例4 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）A ．234B ．346C ．350D ．363解析：∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个．（1）两人一个前排，一个后排方法数为1128122192C C A =． （2）两人均在后排，安排2人的座位插入10个座位之间的空隙及两边，共有2111110110A =⨯=种排法． （3）两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，有11244232C C A =种排法； ②两人同左或同右时，有23212A =种排法．综上，不同排法的种数为1122112281221144232346C C A A C C A A +++=．故选答案B ． 评注：对于含有某几个元素互不相邻的排列问题，可先将其他元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最为奏效的“插空”法．考点5 考查排列、组合混合计算问题例5 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）A ．234B ．346C ．350D ．363解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有22442212C C A =种，把这两组人安排到6个班中的某2个中去，有26A 种方法，故不同的安排种数为336412A C ，故选答案B ． 评注：对于排列组合混合问题，可运用先分组后排列的策略求解．无次序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型．计数时常有下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再除以均匀组数的全排列数．考点6 考查排列、组合有关的几何计算问题例6 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）A ．56B ．52C ．48D ．40解法一：从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成38C 个三角形，其中非直角三角形的有两类：①上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共构成4个非直角三角形；②下底面的4个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的对角线构成4个非直角三角形．故所求直角三角形共有384448C --=个．故选答案C ．解法二：正方体的6个表面及6个对角面都是矩形，而每个矩形可构成34C 个直角三角形，故共有直角三角形34(66)48C ⨯+=个．故选答案C ． 评注：求解几何图形问题时，一要熟悉几何图形的性质及点、线、面的位置关系；二要按同一标准分类，避免重漏；三若直接求解困难或头绪繁多时，可从其反面去考虑，将其转化为简单的问题去解决．考点7 考查二项式定理指定项的求法问题例7 若33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．12 解析：32n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第1r +项是335612()2r n r r n r r r r n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭··． 若存在常数项，则3506n r -=，即35n r =，当10n =时，6r =，所以n 可以是10，故选答案C ． 评注：求二项式定理的指定项，关键是抓住展开式中的通项公式，就可由题设确定通项公式中的指数或项数，进而求出r ，从而求出其指定项． 考点8 考查与二项式系数和有关问题例8 若(31)()n x n *+∈N 的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数是 ．解析：令1x =，得展开式各项系数之和为4256n =．解得4n =，所以2x 的系数是224354C =·． 评注：转换视角，把展开式看作一个代数恒等式，通过令变量取不同的值得到所需结果，是解决这一类问题的通法．考点9 考查应用二项式定理进行估值或对不等式进行放缩问题例9 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6％的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）A ．4200元～4400元B ．4400元～4600元C ．4600元～4800元D ．4800元～5000元解析：2008年农民工资性人均收入为5122551800(10.06)1800(10.060.06)C C ⨯+≈⨯+⨯+⨯1800(10.30.036)2405=⨯++≈元．又2008年农民其它人均收入为135016052150+⨯=元，故2008年农民人均总收入为240521504555+=元，故选答案Ｂ．评注：应用二项式定理进行估计或对不等式进行放缩在近年高考题中屡见不鲜，其中的难点在于不知舍去多少项就满足要求，这需要根据所给数据大小来仔细确定．。
【选修2-3】计数原理一
㈤ 小结：
1. 本节课学习了那些主要内容？
答:分类记数原理和分步记数原理。
2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？
不同点什么？ 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不 同的方法。
不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类 记 数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一 个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成 ”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步 都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。
根据分步乘法计数原理,不同挂法种数是 N 3 2 6.
6种 挂 法 可 以 表 示 如 下:
左边
右边
得到的挂法
甲
乙
左甲右乙
丙
左甲右丙
乙
甲
左乙右甲
丙
左乙右丙
丙
甲
左丙右甲
乙
左丙右乙
例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共 十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首 位数字是0的号码数又是多少？
㈣ 课堂练习
1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
问: 若用2色、3色、4色、5色等, 结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数分别是 0, 3×2×1×1=6 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180种等。
在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用 题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分 类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程 中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。
高考数学冲刺讲义选修2-3 计数原理
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办 法:
①四位奇数的个位取数字为1:N1=3×3×2=18(个)；
②四位奇数的个位取数字为3:N2=3×3×2=18(个)；
最后，由分类加法计数原理得，N=N +N =18+18=36(个)
选修2-3
练习:一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3
插空法
由分步乘法计数原理，甲，乙，丙三人两两不相邻的排法共有:
A A 3!4 3 2 144 (种)
3 3 3 4
练习:用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的:
(1)三位数？(2)四位偶数？
答案:(1)分两步解得: A A 9 9 8 648 (个)
选修2-3
我们把被取的对象(如上面问题中的三个小球中的任何一个)叫 做元素。于是上述问题就抽象为:从3个不同元素中，任取2个 分别占据两个位置中的一个位置，其中，选定的“位置”也可 以理解成已知的“顺序”。
一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 根据一个排列的定义，两个排列相同的含义为:组成排列的元 素相同，并且元素的排列顺序也相同。 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做 m 从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 An 表示。
7 6 5 7 6 5 4 C C 35 35 70 3 2 1 4 3 2 1
选修2-3
例5:平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个 点为端点的
(1)线段有多少条？ (2)有向线段有多少条？
解: (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合， 共有
高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）一、学习任务掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．二、知识清单数字组成模型 条件排列模型 分组分配模型染色模型计数杂题三、知识讲解1.数字组成模型与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由 、、、、 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？解：首位不能是 ，有 种，后四位数有 种排列，所以这五个数可以组成 个无重复的五位数．012340C 14A 44=96C 14A 44用数字 、 组成四位数，且数字 、 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 或 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 个．23231423−2=1424从 ， 中选一个数字，从 、、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A． B． C． D．解：B当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，剩余 个数字排在首位，共有 种方法；当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，其余 个数字全排列，共有 种方法．依分类加法计数原理知共有 个奇数．02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用 ， ，， ， ， 这 个数字，可以组成______个大于 且小于 的012345630005421描述：例题：2.条件排列模型计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：①千位数字为 ， 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 （个）；②千位数字为 ，百位数字为 ，，， 之一时，共有 （个）；③千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ， 之一时，共有 （个）；④最后还有 也满足条件．所以，所求四位数共有 （个）．175342=120A 3550123=48A 14A 245401=6A 12A 135420120+48+6+1=175 名男生， 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．解：（1）先考虑甲的位置，有 种方法，再考虑其余 人的位置，有 种方法．故有种方法；（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 名男生进行全排列，有 种排法，与 名女生组成 个元素全排列，故有 种不同的排法；（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 名同学全排列，有 种排法，然后将甲、乙分别插到 个空中，有 种排法，故有 种不同的排法．34A 136A 66=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 555A 556A 26=3600A 55A 26有甲、乙、丙在内的 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有 种方法；最后甲、乙两人的排法有 种方法．综上，总共有 种排法．6144A 44A 13A 22=144A 44A 13A 22 把椅子摆成一排， 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A． B． C． D．解：D“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 种不同坐法．6314412072244=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？解：法一： 门课程总的排法是 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 种排法，数学排在最后一节有 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： 种．法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 种排法；② 数学6A 66A 55A 55A 44−2+=504A 66A 55A 44⋅A 24A 44⋅144种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72种花，且相邻的96高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教版高数选修2-3第1讲：计数原理(学生版)
计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.1.分类计数原理与分步计数原理(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有___________________种不同的方法注意：○1分类计数原理又称为加法原理；○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有____________________种不同的方法.注意：○1分步计数原理又称为乘法原理；○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.2.分类计数原理和分步计数原理的区别辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是__________的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是___________的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。
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命制人： 审核人： 使用时间： 2014.3.23 高二数学学案选修2-3(理科）
班级： 姓名：
课题：1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标：
1、进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
2、能根据具体问题的特征，选择两种技术原理解决一些实际问题.
重点：分类做到不重不漏，分步做到步骤完整；
难点：用两个计数原理解决计数问题时，区分需要分类还是需要分步．
一、典例分析：
例1、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母G A ~或Z U ~，后两个要求用数字9~1，
最多可以给多少个程序命名？
例2、核糖核酸)(RNA 分子是在生物细胞中发现的化学成分。
一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。
总共有4种不同的碱基，分别用U G C A ,,,表示。
在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序发现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。
假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？
例3、电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。
因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。
为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。
问：
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
只有比别人更勤奋，才能品尝成功的滋味
例4、计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试。
程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据。
一般地，一个程序模块由许多个子模块组成。
如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块。
问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数。
你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？
例5、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。
交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。
那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
思考1：你能归纳一下用分类加法计数原理、分步乘法计数原理解决计数问题的方法吗？
思考2：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗？
当堂检测：
1.乘积))()((54321321321C C C C C b b b a a a ++++++++展开后共有多少项？
2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
3.甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A.6中
B.12种
C.24种
D.30种
4．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有多少种？
课后作业：
A 组
1.设B A ,是两个非空集合，定义{},,|),(B b A a b a B A ∈∈=*若{}{},4,3,2,1,2,1,0==Q P 则Q P *中元素的个数是( )
A ．4
B ．7
C ．12
D ．16
2.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是（ ）
A.14
B.23
C.48
D.120
3.由数字4,3,2,1组成的三位数中，各位数字按严格递增（如123）或严格递减（如421）顺序排列的个数是（ ）
A.4 B ．8 C ．16 D ．24
4.10个完全相同的苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）种
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一项，不同报法的种数是43还是34？
（2）3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是53还是3
5？
6.现有高中二年级四个班的学生从中选出34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外兴趣小组，若推选两人做小组组长，这两人需来自不同的班级.有多少种不同的选法？
7.圆周上有10个等分点，任取3个可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为多少？
8.如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种（可以重复使用），并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？
只有比别人更勤奋，才能品尝成功的滋味
B 组
1.直线方程0=+By Ax ，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数B A 、的值，则方程表示不同直线的条数是（ ）
A.2
B.12
C.22
D.25
2.假设7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
3.如图所示，用不同的五种颜色（红、黄、蓝、绿、紫）分别为E D C B A 、、、、五部分着色，相邻部分不能用同种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则符合这些要求的不同着色方法有多少种？
4.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为多少?。