幂的运算的重难点解析

初中幂的运算重点题型

初中幂的运算重点题型一、乘法法则1. 乘方的定义初中数学中的乘方运算是指将一个数连续乘以自身若干次。

例如，aⁿ表示将a 连乘n次的结果。

其中，a称为底数，n称为指数。

2. 乘方的基本法则乘方的基本法则包括：•乘法法则：aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ•幂的乘方：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ•积的乘方：(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ这些基本法则在初中幂的运算中经常用到，同学们需要熟练掌握和灵活应用。

3. 特殊乘方的运算在初中幂的运算中，还涉及到一些特殊的乘方运算：•负指数的乘方：a⁻ⁿ = 1/aⁿ，其中a ≠ 0•零的幂次：a⁰ = 1，其中a ≠ 0这些特殊乘方的运算规则需要注意。

二、乘方的运算1. 乘方的运算顺序在进行多个乘方的运算时，需要根据运算顺序进行计算。

一般来说，先计算括号内的乘方运算，再进行乘法和除法，最后进行加法和减法。

例如，计算表达式：2² + 3³ × 4⁴。

首先，计算括号内的乘方运算：3³ × 4⁴ = 81 × 256 = 20736。

然后，再进行加法运算：2² + 20736 = 4 + 20736 = 20740。

最终的计算结果为20740。

2. 含有变量的乘方运算在初中幂的运算中，还会遇到含有变量的乘方运算。

这时，我们需要根据运算法则，将相同底数的乘方进行合并。

例如，计算表达式：2³ × 2²。

根据乘法法则，我们知道2³ × 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32。

因此，计算结果为32。

三、应用题解析1. 计算正方形的面积假设一个正方形的边长为a，我们需要计算其面积。

根据正方形面积的定义，面积等于边长的乘方。

因此，正方形的面积可以表示为a²。

例如，假设一个正方形的边长为5cm，则其面积为5² = 25cm²。

完整版)幂的运算经典难题

完整版)幂的运算经典难题1.当n为正整数时，1的n次方都等于1，(-1)的n次方在n为偶数时等于1，在n为奇数时等于-1.这是一个经典难题，需要注意n的奇偶性。

2.给定一个等式(n-3)n=(n-3)2n-2，求满足等式的正整数n。

这是一个求解方程的问题，可以通过化简等式来解决。

3.给定一个等式(n-3)n+3=(n-3)2n，求满足等式的正整数n。

同样是一个求解方程的问题，需要化简等式来解决。

4.给定一个表达式1/n*(1-(-1)^(n-1))/8，求其值。

可以通过化简表达式来解决，需要注意n的奇偶性。

5.计算25的m次方除以5的m次方的结果。

这是一个简单的指数运算问题。

6.给定一个方程33x+1*53x+1=152x+4，求解关于x的解。

这是一个解方程的问题，需要化简方程来解决。

7.已知2a*27b*37c=1998，求(a-b-c)*2004的值。

这是一个数学推理问题，需要运用数学知识来解决。

8.已知2a*27b*37c*47d=1998，求(a-b-c+d)*2004的值。

同样是一个数学推理问题，需要运用数学知识来解决。

9.给定一个表达式20/3*8/15*9/16，求其值。

这是一个简单的分式运算问题。

10.已知abc/315=4，求a、b、c的值。

这是一个解方程的问题，需要化简等式来解决。

11.已知x的3次方等于m，x的5次方等于n，求x的14次方。

这是一个指数运算问题，需要运用指数运算法则来解决。

12.已知x等于2m+1，y等于3+4m，用x的代数式表示y。

这是一个代数式的转化问题，需要将y用x的代数式表示出来。

13.比较3108和2144的大小关系。

这是一个比较大小的问题，需要将两个数进行比较。

14.将a=2-5/55、b=3-4/44、c=6-2/22按从小到大的顺序连接起来。

这是一个排序问题，需要将三个数按从小到大的顺序排列。

15.已知a=8131，b=2741，c=961，比较它们的大小关系。

精编七年级数学下册《幂的运算》知识点总结

精编七年级数学下册《幂的运算》知识点总结为大家整理了幂的运算知识点总结，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。

教育目标：使学生了解和体会特殊----一般----特殊的认知规律，体验和学习研究问题的方法。

培养学生的思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯。

教学重点：了解同底数幂的乘法的性质的形成过程会利用同底数幂的乘法的性质进行计算教学难点：了解同底数幂的乘法的性质的形成过程同底数幂乘法的运算性质与整式加法容易混淆解决关键：在教学中强调每一个性质得来的根据不同，要引导学生在理解的基础上练习，培养学生的思维严谨性教学方法：观察法，讨论法，启发式教育法教学用具：多媒体辅助教学教学过程：教学过程备注一、复习与质疑：上节课我们学习了整式的加减，下面提出以下几个问题请大家思考： (1) ①a+a=? ②a+a=? (2) ①进行运算的依据是什幺? ②不能继续进行运算的原因是什幺? (3) a表示什幺意思?可写成什幺形式? 如果将上面的+符号变成乘以 ①a乘以a=? ①a乘以a=? 又该怎样进行计算呢? 在生活和其它领域中，我们有时也会遇到这样的问题：有一种电子计算机，每秒钟可以做10次运算，那幺10秒可以做多少次运算呢? 根据题意得：10乘以10=? 要丈量一块长方形地块的长是5米，宽是5米，求长方形地块的面积? 根据题意得：5乘以5=? 今天我们就来通过学习解决这类问题。

二、导入与创设情景做一做：计算：10乘以10=____ 10乘以10=____ 2乘以2=___ 观察试说出每个运算步骤的根据，并观察条件与结论中的指数与底数各具有怎样的特点和关系。

(同学们展开讨论) 例如：10乘以10=10乘以10乘以10=10 2个10 1个10 通过同学们亲自操作我们会发现，算式的底数相同，其结果的底数仍然是这个底数，而结果的指数则是两个因数(幂)的指数之和。

幂的运算知识要点归纳及答案解析

幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭重点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，算法时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题解析】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【标准答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】算法：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【标准答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【标准答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、算法：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【标准答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【标准答案与解析】解：∵ 25mx=，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnm n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【标准答案】解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【标准答案】解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【标准答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【标准答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()nnnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数．类型二、幂的乘方法则 2、算法：（1）23[()]a b --；（2）32235()()2y y y y +-g ；（3）22412()()m m xx -+⋅；（4）3234()()x x ⋅．【标准答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入算法.【标准答案与解析】解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. 举一反三：【变式】已知322,3mm ab ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝．【标准答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、算法：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法. 【标准答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【标准答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x yx y -=-；()326m maa -=-；()3618327aa =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算特点仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、算法：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则算法．(2)、(4)两小题要注意符号．【标准答案与解析】解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结升华】（1）运用法则进行算法的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、算法下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再算法，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0．【标准答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行算法．3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【标准答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ．当32m=，34n=时，原式224239464⨯==．【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和算法，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值．【标准答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =．类型二、负整数次幂的运算4、算法：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【标准答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：【变式】算法：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【标准答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【标准答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-．【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三：【变式】算法：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【标准答案】解：（1）原式424626b a b c a c --==．（2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==．类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【标准答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a 3．下列算法正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列算法正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319x a a a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦ ______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列算法的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （）（4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-；（2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯；（4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【标准答案与解析】一.选择练习题1. 【标准答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【标准答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【标准答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【标准答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【标准答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=.6. 【标准答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5. 二.填空题7. 【标准答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【标准答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【标准答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【标准答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【标准答案】64；9n -；103-；12.【标准答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272aa a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x xx +⋅= ∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b ba b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4就这么多了，祝大家思修不挂科！！！页眉设计。

“四招”轻松搞定幂的运算性质

“四招”轻松搞定幂的运算性质作者：康海芯王振宏来源：《初中生世界·七年级》2014年第04期幂的运算性质是整式乘法运算的重点内容，也是难点内容，为帮助同学们学好幂的运算性质，本文将从四个方面加以分析，供同学们参考.一、弄清幂的每个运算性质的由来学习幂的运算性质时，应弄清楚每个运算性质产生或推导的过程，不要只是被动地记忆公式，因为被动记忆时我们只能记住它的外形，无法理解性质的本质，一旦遇到外形类似的公式，就容易混淆.例如有些同学初学幂的运算时，常与幂的乘方运算混淆，出现a2·a4=a8的错误，这是由于没有弄清楚同底数幂乘法运算的实质，即am·an=·==am+n.理解和记忆同底数幂的运算性质时，应结合上面这个推导过程，从本质上掌握同底数乘积的结果的幂指数是和不是积，对于幂的其他运算性质也应结合推理过程来理解并记忆，这样才能真正把握运算性质本质，避免张冠李戴.二、明确幂的运算性质的相同点与不同点2. 同底数幂的除法、0指数幂和负指数幂性质的相同点与不同点三、拓展幂的运算性质中字母的含义同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三条运算性质中的字母a、b既可以表示任意的数，也可以表示单项式和多项式，而同底数幂的除法中的除数既可以表示不等于零的数，也可以表示值不等于零的单项式和多项式.如计算（x-y）·[（x-y）3]3·（x-y）2，通常把（x-y）看作底数，先运用幂的乘方性质，然后运用同底数幂的乘法运算性质进行计算，可以得到（x-y）·（x-y）9·（x-y）2=（x-y）12. 这里需要避免出现这类错误：（x+y）3=x3+y3.四、活用幂的运算性质解题学习幂的运算性质，不仅要能从左到右运用性质计算，还要善于应用逆向思维，尝试从右到左使用性质. 灵活运用，往往能避繁就简，化难为易，提高解题效率.例1 计算：--2013×22013.【解析】面对这么大的两个数相乘，直接计算一定很难得到正确的结果，通过积的乘方运算法则的逆向运用，则可以将问题转化为两个简单的分数相乘. 即--2013×22013=--×2013=-（-1）2013=1.例2 比较a=3555，b=4444，c=5333的大小.【解析】由于a、b、c的指数都较大，即使用计算器也有一定的难度，故直接由乘方求解较繁，但仔细观察分析知555、444、333都是111的倍数，这时可逆用幂的乘方的法则.解：因为3555=35×111=（35）111=243111；4444=44×111=（44）111=256111；5333=53×111=（53）111=125111.而由乘方的意义可知，125111【反思】本题要不是逆用幂的乘方法则，还不知道要在运算的黑暗里摸索多久.（作者单位：江西省赣县江口中学、江苏省兴化市茅山中心校）。

幂的运算知识要点归纳及答案解析

幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭重点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，算法时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题解析】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【标准答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】算法：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【标准答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【标准答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、算法：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【标准答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【标准答案与解析】解：∵ 25mx=，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnm n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【标准答案】解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【标准答案】解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【标准答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【标准答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()nnnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数．类型二、幂的乘方法则 2、算法：（1）23[()]a b --；（2）32235()()2y y y y +-g ；（3）22412()()m m xx -+⋅；（4）3234()()x x ⋅．【标准答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入算法.【标准答案与解析】解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. 举一反三：【变式】已知322,3mm ab ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝．【标准答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、算法：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法. 【标准答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【标准答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x yx y -=-；()326m maa -=-；()3618327aa =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算特点仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、算法：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则算法．(2)、(4)两小题要注意符号．【标准答案与解析】解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结升华】（1）运用法则进行算法的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、算法下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再算法，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0．【标准答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行算法．3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【标准答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ．当32m=，34n=时，原式224239464⨯==．【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和算法，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值．【标准答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =．类型二、负整数次幂的运算4、算法：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【标准答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：【变式】算法：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【标准答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【标准答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-．【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三：【变式】算法：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【标准答案】解：（1）原式424626b a b c a c --==．（2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==．类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【标准答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a 3．下列算法正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列算法正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319x a a a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦ ______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列算法的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （）（4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-；（2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯；（4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【标准答案与解析】一.选择练习题1. 【标准答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【标准答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【标准答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【标准答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【标准答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=.6. 【标准答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5. 二.填空题7. 【标准答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【标准答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【标准答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【标准答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【标准答案】64；9n -；103-；12.【标准答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272aa a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x xx +⋅= ∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b ba b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4就这么多了，祝大家思修不挂科！！！页眉设计。

《幂的运算》解题策略

《幂的运算》解题策略乘⽅运算是我们学习了加减乘除运算后的第五种运算，乘⽅运算的结果称为“幂”，因此，乘⽅运算也称为幂的运算。

在初中数学教材《幂的运算》⼀章的学习过程中，学⽣感觉困难重重，主要原因有两点：⼀是对幂的内涵理解不够，导致计算⽅法(公式)棍淆；⼆是思路不明确，⽆从下⼿.本⽂将通过对运算法则的归类揭⽰乘⽅运算的内涵，从⽽得出解题的策略.⼀、幂的运算公式及应⽤幂的运算公式如下表:通过上表可以看出，两个幂的运算公式满⾜下列三条规律(记住这三条规律，可以避免公式混淆):1.越低级的运算，对幂的要求越⾼幕的加减运算(⼀级运算)，要求两个幂的底数和指数都相同;幂的乘除运算，要求两个幂的底数和底数中有⼀项相同;幂的乘⽅运算则没有要求.2.幂的运算过程中，两个幂的相同部分不变幂的加减运算中，底数和指数都不变，系数相加减(即:合并同类项).幂的乘除运算中，底数相同，则底数不变;指数相同，则指数不变. 幂的乘⽅运算中，底数不变⼆-3.底数之间的运算，⽤原运算符号，指数之间的运算，⽤原运算符号的降级运算符号(各运算之间的降级关系如下表)幂的加法(或减法)运算中，系数处于低层，仍⽤原运算——加法(或减法)运算.幂的乘法(或除法)运算中，若指数根同，则指数不变，底数仍⽤原运算——乘法(或除法)运算;若底数相同，则底数不变，指数处于上层，则按下表中的降级规律，⽤对应的加法(或减法)运算.幂的乘⽅运算，底数不变，指数降级为乘法运算.疑问:在幂的运算过程中，两个幂不符合上述运算特征怎么办?这是学⽣在学习幂的运算过程中遇到的最常见的困难，解决的⽅法是“转化”。

通过转化两个幂的底数或指数，从⽽使两个幂达到符合相应运算的条件.具体转化⽅法如下:1.化为底数相同如果两个幂的底数可以化成同⼀个数的幂的形式，那么这两个幂就可以⽤幂的乘⽅公式，把它们化作同底数幂.⼆、求有关幂的等式中未知数的⽅法当两个相等的幂的底数相等时，它们的指数也相等，如已知a²=aⁿ，则n=2;当两个相等的幂的指数相等时，它们的底数也相等，如已知3ⁿ=xⁿ，则x=3.当两个相等的幂的底数和指数都不相同时，则⽆法直接转化为整式⽅程求未知数的值，此时需要转化两个幂的底数或指数，使它们相同.当等式两边有多个幂时，需要依据运算符号进⾏运算，先转化成只有两个幂的等式再进⾏求解.分析因等式两边有三个幂，且字母m在指数上，故需要先计算出等号左边的积，使等号两边各保留⼀个幂，然后再化底数相等，最后⽤指数相等列等式.三、⽐较幂的⼤⼩的⽅法.当两个幂的底数相同时，通过⽐较他们的指数可以判断它们的⼤⼩.⼩结：在学习《幂的运算》这⼀章节内容时，记住公式是解题的基础，熟练掌握转化底数和指数的⽅法是解题的关键.分析题⽬中幂的运算所需要的条件，可以明确解题思路;观察幂的底数和指数的特点，可以明确解题的具体过程.您给我转评赞，有⼀样就谢谢您！。

幂的运算总结及方法归纳

幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用n m n m a a a +=•（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n aa 1=-（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。

◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。

换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。

◆注意上述各式的逆向应用。

如计算20052004425.0⨯，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004⨯，再逆用积的乘方法则计算11)425.0(425.02004200420042004==⨯=⨯，由此不难得到结果为1。

◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。

如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。

◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。

一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例题：例1：计算列下列各题（1） 34a a ⋅；（2） 23b b b ⋅⋅ ；（3） ()()()24c c c -⋅-⋅- 简单练习：一、选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。

幂的运算知识点总结

aa=aaaaaa
各具有怎样的特点和关系。(同学们展开商量)
m 个 an 个 a
例如：10×10=10×10×10=10
=aaa(m+n)个 a=a
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这就是说，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
所以公式可以表述为：aaa=a(m,n,p 都是正整数)
述乘法性质仍旧成立。
例如：aaa=(aa)a=aa=a
(m,n,p 都是正整数)
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多媒体帮助教学教学过程：备注一、复习与质疑：上节课我们学习了整式的加减，下面提出以下几个问题请大家思索： (1)①a+a=?②a+a=? (2)①进行运算的根据是什么? ②不能继续进行运算的缘由是什么? (3)a 表示什么意思?可写成什么形式?
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用式子表示为：aa=a(m,n 都是正整数)
例 2：计算：
这就是同底数幂乘法的运算性质，依据这一性质，我们就可以将上面
(1)aaa;(2)xxxx
遗留下来的问题进行解决。请同学们将其完成。
解：(1)aaa=a=a
四、 1：(1)aa=a=a
留意：x 的指数是 1，不是 0
有一种电子计算机，每秒钟可以做 10 次运算，那么 10 秒可以做多少
依据这一规律，请计算一下的算式：
次运算呢?
aa=____aa=_____aa=_____
依据题意得：10×10=?
例如：aa=aaaaa=a
要丈量一块长方形地块的长是 5 米，宽是 5 米，求长方形地块的面积?

幂的运算(知识点串讲)(解析版)

专题15 幂的运算知识网络重难突破知识点一整式乘法幂的运算性质（基础）：a m·a n＝a m＋n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时，先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

典例1（2019·新蔡县期末）若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．【答案】75【详解】∵2x=5，2y=3，∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，故答案为：75．典例2（2017·洪泽县期中）已知，则x的值为____________.【答案】6【解析】把因数的底数都转化为2，再运用同底数幂的乘法法则，所以：，则有3x+5=23，解得x=6.故答案是：6.典例3（2018·台州市期末）已知，则n的值是________________．【答案】5【解析】详解:∵，∴，∴，∴n+3=8，∴n=5.故答案为：5.●(a m)n＝a mn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负。

典例1（2018·长春市期末）若，，则的值为_____.【答案】18【详解】∵x m=2，x n=3，∴x m+2n=x m x2n=x m（x n）2=2×32=2×9=18；故答案为：18．典例2（2019·中山市期末）已知m+2n+2＝0，则2m•4n的值为_____．【答案】【详解】∵m+2n+2＝0，∴m+2n=-2，∴2m•4n=2m•22n=2m+2n=2-2=.故答案为：典例3（2019·襄樊市期末）若，则的值是_______．【答案】32【详解】8x×16y＝（23）x×（24）y＝23x×24y＝23x＋4y＝25＝32．故答案为：32●(ab)n＝a n b n（n为正整数）积的乘方等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘．典例1（2019·富阳市期末）（－2）2018×（－）2019=____________。

幂的运算知识点及考点复习总结

2 比较 3
55
)．
、4
44
、5
33
的大小.
分析：这类问题通常都是将参加比较的两个数转化为底数相同的或指数相同的形式，根据观察，本体用作商法比较大小。例题 4： 3
2001
的个位是：
变式练习：求 7
2005
32007 的末位数字．
分析：逆用同底数幂的乘法及积的乘方的法则解答此题
类型三
跟踪练习：用简便方法计算：（1） (
5 1999 3 2000 ) .(2 ) ; 13 5
1 2 3 3 （2） ( ) ( 2 ) . 2
3
（3） 8 4
2
1997
(0.25) 2001.
例题 3：已知 M
999 119 , N , 那么 M、 N 的大小关系怎样? 999 990
2
变式练习：生存的世界中处处有氢原子和氧原子，让 1 亿个氧原子排成一行，它们的总长度只有 lcm 多一点， 1 个氧原子的质量约为 2. 657×10
23
g； -个氢原子的直径大约为 0. 000 000 000
05m，它的质量约为 0. 000 000 000 000 000 000 000 000 001 673kg. (1)试比较氢原子和氧原子谁大谁小？谁重谁轻？ (2)利用计算器计算，大约把多少个氢原子紧排在一个平面上时，它们所占的面积相当于 1 枚一元硬币的面积(1 枚一元硬币的直径约为 2. 46cm)．
跟踪练习：
（2 x ) ( （1）
3n 2
1 2n 2 x ) （ x 2n ) 3 2
（2）（ 2 a ) (a ) (a ) (a )
5 2 2 2 2 4

第8章幂的运算全章高频考点专练(3种专练4个题型6个易错4种思想)解析版

第8章幂的运算全章高频考点专练（3种专练4个题型6个易错4种思想）【知识导图】【知识清单】专练1：运用幂的运算法则巧计算题型1.逆用同底数幂的乘法法则进行计算1．（2024春•江都区月考）若23y =，218x y +=，则2x =．【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：218x y += ，2218x y ∴⋅=，23y = ，3218x ∴⨯=，26x ∴=．故答案为：6．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2024春•灌云县月考）若35m =，36n =，则3m n +的值是．【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：35m = ，36n =，3335630m n m n +∴=⨯=⨯=．故答案为：30．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3．（2023春•靖江市期末）已知3m a =，2n a =，则m n a +=．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：326m n m n a a a +==⨯= ，故答案为：6．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．4．（2023春•建邺区期中）我们约定a ☆1010a b b =⨯，如2☆2353101010=⨯=．（1）试求12☆3和4☆8的值；（2）()a b +☆c 是否与a ☆()b c +相等？并说明理由．【分析】（1）12☆123153101010=⨯=；4☆4881010=⨯（1分）1210=；（2）因为()a b +☆101010a b c a b c c +++=⨯=，a ☆()101010a b c a b c b c ++++=⨯=，即证明()a b +☆c 与a ☆()b c +相等．【解答】解：（1）12☆123153101010=⨯=；4☆48128101010=⨯=；（2）相等，理由如下：()a b + ☆101010a b c a b c c +++=⨯=，a ☆()101010abc a b c b c ++++=⨯=，()a b ∴+☆c a =☆()b c +．【点评】本题考查了同底数幂运算，熟练运用公式是解题的关键．题型2.运用幂的乘方法则进行计算类型1.直接运用幂的乘方法则求字母的值5．（2024春•吴江区月考）在幂的运算中规定：若(0x y a a a =>且1a ≠，x 、y 是正整数），则x y =．利用上面结论解答下列问题：（1）若693x =，求x 的值；（2）若213318x x ++-=，求x 的值．【分析】（1）根据693x =，得26(3)3x =即2633x =得26x =，计算即可．（2）根据213318x x ++-=，得2333318x x ⋅-⋅=，故6318x ⨯=，33x =，计算即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式计算即可．【解答】解：（1）693x = ，26(3)3x ∴=，2633x ∴=，26x ∴=，解得3x =．（2）213318x x ++-= ，2333318x x ∴⋅-⋅=，6318x ∴⨯=，33x ∴=，解得1x =．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．（2024春•滨海县月考）已知3x a =，2y a =，求：①x y a +的值；②32x y a +的值．【分析】①运用同底数幂乘法运算即可得到x y a +的值；②运用同底数幂乘法和幂的乘方运算即可得到32x y a +的值．【解答】解：①3x a = ，2y a =，x y x ya a a +∴=⋅32=⨯6=；②3x a = ，2y a =，3232x y x ya a a +∴=⋅32()()x y a a =⋅3232=⨯274=⨯108=．【点评】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘方，正确掌握相关的运算法则是解题的关键．类型2.逆用幂的乘方法则求字母式子的值7．（2024春•丹阳市月考）（1）若2530x y +-=，求432x y ⋅的值．（2）若n 为正整数，且24n x =，求3222(3)4()n n x x -的值．【分析】（1）先根据同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，再把253x y +=代入行计算即可；（2）先根据幂的乘方的运算法则变形，再把24n x =代入计算即可．【解答】解：（1）2525432222x y x y x y +⋅=⋅=，2530x y +-= ，253x y ∴+=，∴原式328==．（2）24n x = ，3222(3)4()n nx x ∴-6494n nx x =-23229()4()n n x x =-329444=⨯-⨯512=．【点评】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键．8．（2024春•滨海县月考）（1）已知839279m m ⨯⨯=，求m 的值；（2）已知2540x y ++=，求432x y ⨯的值．【分析】（1）利用“同底数幂乘法”、“幂的乘方”分别将等式的左右两边化简成底数为3的指数幂形式，得出m 的方程，即可求得m 的值；（2）将432x y ⨯变形为底数为2的指数幂形式，再结合已知条件即可求解．【解答】解：（1）839279m m ⨯⨯= ，23163333m m ∴⨯⨯=，即151633m +=，1516m ∴+=．解得：3m =；（2）2540x y ++= ，254x y ∴+=-，∴252541432222216x y x y x y +-⨯=⨯===．【点评】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等运算，掌握将指数幂化为相同的底数是关键．题型3.逆用积的乘方法则进行计算9．（2024春•东台市月考）已知：13273234x x +-=，求x 的值．【分析】先根据幂的乘方的逆运算把原式变形为12727234x x +-=，进而根据同底数幂乘法的逆运算法则得到2627234x ⨯=，进一步变形得到3233x =，则32x =，解得23x =．【解答】解：13273234x x +-= ，1327(3)234x x +∴-=，12727234x x +∴-=，272727234x x ∴⨯-=2627234x ∴⨯=，279x ∴=，32(3)3x ∴=，3233x ∴=，32x ∴=，∴23x =．【点评】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握相关运算法则是关键．题型4.运用同底数幂的除法法则解方程10．（2022秋•翠屏区期末）阅读理解：在学习同底数幂的除法公式(0)m n m n a a a a -÷=≠时，有一个附加条件m n >，即被除数的指数大于除数的指数．仿照以上公式，我们研究m n =和m n <时，同底数幂的除法．当被除数的指数等于除数的指数时，我们易得222205555-÷==或222255515÷==，即051=；同理可得，当0a ≠时，55550a a a a -÷==或55551a a a a ÷==．由此启发，我们规定：01(0)a a =≠．当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得242425555--÷==或22442515555÷==，即22155-=；同理可得，当0a ≠时，58583a a a a --÷==或558831a a a a a ÷==，即331a a -=．由此启发，我们规定：1(0p pa a a -=≠，p 是正整数）．根据以上知识，解决下列问题：（1）填空：0(3)π-=，23-=；（2）若211228m m -÷=，求m 的值；（3）若2(1)1x x +-=，求x 的值．【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可；（2）根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案；（3）分三种情况：①当11x -=，且2x +为任意数时，原方程成立；②当11x -=-，且2x +为偶数时，原方程成立；③当20x +=，且10x -≠时，原方程成立，解方程即可．【解答】解：（1）0(3)1π-=，2139-=，故答案为：1，19；（2）212m m--12m -=32-=，13m ∴-=-，故2m =-；（3）分三种情况：①当11x -=，且2x +为任意数时，原方程成立．解得2x =，②当11x -=-，且2x +为偶数时，原方程成立．解得0x =，③当20x +=，且10x -≠时，原方程成立．解得2x =-，综上所述，2x =-或0或2．【点评】本题考查零指数幂，负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法，正确理解题意是解题的关键．专练2：幂的运算之误区易错点1.混淆运算法则11．（2024春•滨海县月考）计算：（1）26()()x x x -⋅⋅-；（2）2432()x x x ⋅+；（3）656652()(4)(2)0.25125-⨯-⨯⨯；（4）232432(2)(3)x x x x -+⋅--．【分析】（1）利用同底数幂的乘法运算法则计算即可；（2）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则计算即可；（3）利用幂和乘方运算法则计算即可；（4）利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算即可．【解答】解：（1）26()()x x x -⋅⋅-26x x x =-⋅⋅9x =-；（2）2432()x x x ⋅+246x x x =⋅+66x x =+62x =；（3）656652()(4)(2)0.25125-⨯-⨯⨯65665121()4((1254=⨯⨯⨯6551211((412544=⨯⨯⨯⨯14=；（4）232432(2)(3)x x x x -+⋅--66689x x x =-+-616x =-．【点评】本题考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是本题的关键．易错点2.符号辩别不清12．（2023春•灌云县月考）计算2022202340.75()3⨯-的结果是()A ．43B ．43-C ．0.75D ．0.75-【分析】根据积的乘方的逆运算即可求出答案．【解答】解：2022202340.75()3⨯-20222022344()()433=-⨯⨯2022344(433=-⨯⨯43=-．故选：B ．【点评】本题考查了积的乘方，有理数的乘方，有理数的乘法等知识点，能正确运用()m m m a b ab ⋅=进行计算是解此题的关键．13．（2023春•邗江区月考）计算：202120221(2)()2-⨯=．【分析】逆用同底数幂的乘法法则，先把20221()2写成202111(22⨯的形式，再逆用积的乘方法则计算求值．【解答】解：202120221(2)()2-⨯20212021112()22=-⨯⨯202111(2)22=-⨯⨯112=-⨯12=-．故答案为：12-．【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键．易错点3.忽略指数“1”14．（2020春•滨海县期中）计算2a a ⋅结果正确的是()A ．a B ．2a C ．3a D ．4a 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：2123a a a a +⋅==．故选：C ．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．易错点4.不能灵活运用整体思想15．（2023春•盐城月考）若927819a b c ⋅÷=，则234a b c +-的值为．【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，从而可求解．【解答】解：927819a b c ⋅÷=，23423333a b c ⋅÷=，234233a b c +-=，2342a b c ∴+-=，故答案为：2．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．16．（2024春•江都区月考）若2540x y +-=，试求432x y ⨯的值．【分析】将432x y ⨯写成以2为底幂的乘法，再将a 与b 的数量关系代入计算即可．【解答】解：2540x y +-= ，254x y ∴+=，432x y∴⨯2522x y=⨯252x y+=42=16=．【点评】本题考查幂和乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．易错点5.不能灵活运用转化思想17．（2024春•滨海县月考）已知3x a =，2y a =，则23x y a +=．【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则将23x y a +整理，再将已知条件代入计算即可．【解答】解：3x a = ，2y a =，23x ya +∴23x ya a =⋅23()()x y a a =⋅2332=⋅72=．故答案为：72．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．易错点6.用科学计数法表示较小的数时指数出错18．（2024春•东海县月考）有一种病毒，其直径为0.0000078米，将0.0000078用科学记数法表示为．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.0000078用科学记数法表示为67.810-⨯，故答案为：67.810-⨯．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．19．（2023春•泰兴市期末）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm 芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知70.0000007nm cm =，则0.0000007用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【解答】解：70.0000007710-=⨯．故答案为：7710-⨯．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．专练3：思想方法荟萃题型1.方程思想20．（2023春•工业园区校级月考）若(0m n a a a =>且1a ≠，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面的结论解决下面的问题：（1）如果212482x x ⨯⨯=，求x 的值；（2）如果22343515a a a ++-⋅=，求a 的值．【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．【解答】解：（1）212482x x ⨯⨯= ，23212(2)(2)2x x ∴⨯⨯=，23212222x x ∴⨯⨯=，1232122x x ++∴=，152122x +∴=，1521x ∴+=，解得：4x =，x ∴的值为4；（2）22343515a a a ++-⋅= ，234(35)15a a +-∴⨯=，2341515a a +-∴=，234a a ∴+=-，解得：3a =，a ∴的值为3．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．21．（2023春•工业园区期中）若(0m n a a a =>，1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果32232x ⋅=，求x 的值；（2）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（3）若52m x =-，325m y =-，用含x 的代数式表示y ．【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；（2）利用同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；（3）利用幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．【解答】解：（1）32232x ⋅= ，3522x +∴=，35x ∴+=，2x ∴=，x ∴的值为2；（2）528162x x ÷⋅= ，3452(2)(2)2x x ∴÷⋅=，3452222x x ∴÷⋅=，134522x x -+∴=，1345x x ∴-+=，解得：4x =，x ∴的值为4；（3）52m x =- ，25m x ∴+=，325my ∴=-23(5)m=-23(5)m =-23(2)x =-+2344x x =---241x x =---，即241y x x =---．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，列代数式，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．题型2.转化思想22．（2023春•溧阳市校级月考）若21m x =+，34m y =+．（1）请用含x 的代数式表示y ；（2）如果4x =，求此时y 的值．【分析】（1）将4m 变形，转化为关于2m 的形式，然后再代入整理即可；（2）把4x =代入解得即可．【解答】解：（1）2242(2)m m m == ，21m x =+，21m x ∴=-，43m y =+ ，2(1)3y x ∴=-+，即224y x x =-+；（2）把4x =代入22412y x x =-+=．【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m 的项代换掉．题型3.分类讨论思想23．（2022秋•惠济区期中）本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：m a 与(0n a a ≠，m ，n 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作m n a a ÷．运算法则如下：,,11,m n m nm n m n m n n m m n a a a a a m n a a m n a a a --⎧⎪>÷=⎪÷==÷=⎨⎪⎪<÷=⎩当时当时当时．根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：（1）填空：3211()()33÷=13，2455÷=；（2）如果0x >，且21228x x ÷=，求出x 的值；（3）如果2212(2)(2)1x x x +-÷-=，则x =．【分析】（1）根据同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）把等式左右两边进行整理，从而可得到关于x 的等式，则可求解；（3）利用同底数幂的除法的法则对等式左边进行整理，可得到关于x 的等式，从而可求解．【解答】解：（1）：3211()()33÷321(3-=13=；2455÷4215-=215=125=；故答案为：13；125；（2）21228x x ÷= ，2322x x --∴=，得：23x x -=-，解得：3x =；（3）2212(2)(2)1x x x +-÷-= ，22120(2)(2)x x x +-∴-=-得22120x +-=，解得：5x =，当21x -=时，得3x =，当21x -=-时，得1x =．故答案为：1或3或5．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握与应用．题型4.逆用公式法24．（2023春•高港区期中）若2m a =，3n a =，则2m n a +=．【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得222()m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅，又由2m a =，3n a =，即可求得答案．【解答】解：2m a = ，3n a =，2222()2312m n m n m n a a a a a +∴=⋅=⋅=⨯=．故答案为：12．【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：()(n n n ab a b n =是正整数）与同底数幂的乘法法则：(m n m n a a a m +⋅=，n 是正整数），注意公式的逆用．。

幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)-2024-2025学年八年级数学

专题14.1 幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）一、解答题1．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①53( )222⨯=， ②42( )a a a ⋅=， ③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即______．（文字表达）（3）应用 ①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．二、单选题2．计算3()()x y y x -⋅-=（） A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +三、填空题3．已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．四、解答题4．（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．五、单选题5．已知23x =，26y =，则2x y +的值是（） A ．12B ．18C ．36D ．54六、填空题6．已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．七、解答题7．计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．八、单选题8．下列运算中，结果正确的是（） A ．224325a a a += B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =九、填空题9．若25 3 0x y +-= ,则432⋅=x y ．十、解答题10．（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．十一、单选题11．已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<十二、填空题 12．已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．十三、解答题13．（1）()34222x x x ⋅-（2）()()23332232x y x y +-十四、单选题14．下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab +=十五、填空题15．已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．十六、解答题 16．用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)()201720180.1258⨯-．十七、单选题17．若n 为正整数．且24n a =，则()()223224nn a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192十八、填空题18．已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．十九、解答题 19．计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n n x x x x x ．二十、单选题20．下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3 B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12 C ．（－a 2）·a 3＝a 6 D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3二一、填空题21．已知2x a = ，3=x t ，则24x ＝．（用含a ，t 的代数式表示）二二、解答题22．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a +=g ，()()n mmn mna a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：； (2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值； (3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．二三、单选题23．下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二四、填空题24．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简， 12320202021S S S S S +++++=L ．二五、单选题25．若a ，b 是正整数，且满足8282222222a ba a ab b b++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯14424431442443个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b =+26．下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a27．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +28．观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0。

幂的运算总结归纳专题

幂的运算总结归纳专题【幂的运算总结归纳专题】一、引言在数学领域，幂运算是一种基本的数学运算，常见于代数学、数论以及实际应用中。

幂的运算可以用于计算数值的乘方、指数等。

本文将全面总结和归纳幂的运算规则，以及一些经典的应用场景。

二、幂运算的定义在数学中，幂运算指一个数的乘方。

设a和n为实数，其中n是非负整数，则我们可以定义a的n次幂，表示为a^n，其计算规则如下：1. 当n=0时，a^n=1，这是因为任何数的0次方等于1；2. 当n>0时，a^n等于a连乘n次的结果；3. 当n<0时，a^n等于1除以a的负n次方，即a^n = 1/ a^(-n)。

三、幂运算的基本性质1. 幂的乘法法则：对于任意实数a和b，以及任意非负整数m和n，有以下基本性质：- a^m * a^n = a^(m+n)：对于相同的底数a，相同底数的幂相乘，指数相加；- (a^m)^n = a^(mn)：对于相同的底数a，幂的指数相乘，结果的指数为两个指数的乘积。

2. 幂的除法法则：对于任意实数a和b（其中a≠0），以及任意非负整数m和n，有以下基本性质：- a^m / a^n = a^(m-n)：对于相同的底数a，相同底数的幂相除，指数相减。

3. 幂的乘方法则：对于任意实数a（其中a≠0），以及任意非负整数m和n，有以下基本性质：- (ab)^n = a^n * b^n：幂的乘方，底数相乘，指数保持不变；- (a^n)^m = a^(nm)：幂的乘方，指数相乘。

四、应用场景1. 幂的数值计算：幂运算常用于计算数值的乘方，例如计算面积、体积等。

2. 幂的指数函数：幂运算也常用于指数函数的建模与分析，如指数增长、指数衰减等。

3. 幂的离散数学：幂运算在离散数学中有广泛应用，例如密码学中的公钥密码算法。

4. 幂的代数性质：幂运算也是代数学中一些基本定理的核心，如费马小定理、欧拉定理等。

五、结论本文全面总结和归纳了幂的运算规则以及一些常见的应用场景。

幂函数重难点题型

幂函数重难点题型幂函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生容易错解和混淆的题型。

在解决幂函数题目时，需要注意以下几个重难点：1. 幂函数与指数函数的区别幂函数和指数函数在形式上非常相似，但它们之间有着明显的区别。

幂函数的自变量和因变量之间的关系是乘方关系，而指数函数则是幂关系。

对于幂函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是常数，当$a>1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 也会增大；当 $0<a<1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 会趋近于 $0$。

而对于指数函数 $f(x)=a^x$，当 $a>1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 也会增大；当 $0<a<1$ 时，随着 $x$ 的增大，$f(x)$ 会趋近于无穷大。

在解决幂函数题目时，要注意区分幂函数和指数函数的性质，避免混淆。

2. 幂函数与常函数的区别幂函数和常函数在形式上也有一定的相似之处，但它们之间的差别同样需要注意。

幂函数的自变量和因变量之间的关系是乘方关系，而常函数则是一条水平直线。

幂函数的图像通常是曲线状的，而常函数的图像是一条水平的直线。

在解决幂函数题目时，要注意区分幂函数和常函数的特点，避免混淆。

3. 幂函数的性质幂函数有一些特殊的性质，理解并掌握这些性质对于解决幂函数题目非常重要。

- 幂函数 $f(x)=a^x$ 的定义域是全体实数。

- 当 $a>1$ 时，幂函数是增函数；当 $0<a<1$ 时，幂函数是减函数。

- 平移变换：幂函数的图像可以通过平移变换来得到其他幂函数的图像。

- 幂函数的垂直缩放：改变幂函数的底数 $a$，可以实现对幂函数图像的垂直缩放。

在解决幂函数题目时，要运用这些性质，灵活地进行推导和计算。

4. 幂函数的应用幂函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、物理学等领域。

在解决应用题时，要将幂函数与实际问题相结合，理解问题的背景和意义，把握幂函数的特点和性质，找到合适的数学模型和方法，解答问题。

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幂的运算的重难点解析幂的运算有加减、乘除、乘方的运算类型，运算时幂的运算总是转化成指数的运算。

如果把运算中加减看作第一级运算；乘除看作第二级运算；乘方看作第三级运算；那么幂的运算降一级指数的运算，比如同底数幂的乘法除法降一级指数的加减法，幂的乘方降一级指数的乘法，掌握了这一规律，各条运算性质就容易记忆，且不会相互混淆.幂幂的运算中的方法与技巧类型一：熟练使用公式，正确进行各种计算注意：运算时首先确定所含运算类型，理清运算顺序，用准运算法则（1）（-5）5×（-5）3 （2）x m-1· x m+1（3）-x 2 ·x 3(4) 7×73×72 （5）4)(p p -⋅- （6）43)10( （7）－（2a 2）3（8）（-432)a （9） 4332⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛（10）[（x 2）3]7 ；（11）412÷43 （12）(－21)4÷(－21)2（次数较低的幂要算出最后结果）（13）(－3a )5÷(－3a ) （14）(－xy )7÷(－xy )2 （利用积的乘方化到最后）（15）32m +1÷3m -1 （16）643)2()2()2(b a b a b a -÷-⋅-类型二：逆用公式进行计算逆向公式①nm nm aa a •=+ ②nm nm aa a÷=-③()()mn nm mna aa==例1.已知2m =4，2n =16.求①2m+n 的值．②2m-n 的值．③m32的值．④nm +32的值解析：①已知2m =4，2n =16.而求2m+n 的值, 运用公式a m+n ＝a m ·a n 可以把.2m+n 转化为2m ·2n ②已知2m=4而求m32的值, 运用公式()nm mnaa=可以把m32转化为()32m规律: 同底数幂的乘法法则为a m ·a n ＝a m+n ,将其颠倒过来,就是a m+n ＝a m ·a n .可以将指数为和的形式的幂转化为同底数幂的乘法.这样就可以运用条件了.其余类似。

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