刘维尔定理

∂ρ ∂H ∂ρ ∂H ⋅ − ⋅ ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
本式对于变换t 本式对于变换t→－t保持不变，说明刘维尔定理是 保持不变， 可逆的。 可逆的。 如果密度仅仅是哈密顿量H 即能量E 的函数， 如果密度仅仅是哈密顿量H（即能量E）的函数，则 上式中右边为零，此时有： ∂ ρ 上式中右边为零，此时有： =0 ∂t
连续性方程
r ∂ρ = −∇⋅ j ∂t
∂ρ ⋅ dtdΩ = − ∑ i ∂t
∂ ∂ & & ρ qi + ρ p i ⋅ dtd Ω ∂qi ∂pi
∂ ∂ρ ∂ & & + ∑ ρ qi + ρ pi = 0 消去dtd 消去 Ω，有： ∂t ∂qi ∂pi i ∂ρ & & ∂ρ ∂q ∂ρ ∂p &i + ρ i ) + ( &i + ρ i ) = 0 q p + ∑( q ∂t ∂qi ∂pi ∂pi i ∂ i
dρ ∂ρ = + ∂t dt
∑
i
∂ρ ∂ρ &i + &i = 0 ⋅p ∂q ⋅ q ∂pi i
将哈密度正则方程带入上式， 将哈密度正则方程带入上式，得到刘维尔定理的另 一种形式： 一种形式：
& qi = ∂H ; ∂pi & pi = − ∂H ; ∂qi
∂ρ = −∑ ∂t i
dρ = 0 t
如何证明？ 如何证明？
考虑一个相空间中的一个固定的体积元， 考虑一个相空间中的一个固定的体积元，
d Ω = dq 1 dq 2 K dq f ⋅ dp 1 dp 2 K dp
f
它由下面2f 平面为边界组成： 它由下面 对平面为边界组成：
q i , q i + dq i ; p i , p i + dp i ; i = 1, 2 , L , f
dρ ∂ρ = + dt ∂t ∂ρ ∂ρ & & ⋅ qi + ⋅ pi ∂q ∂pi i
∑
i
0
dρ = 0 dt
刘维尔定理
上式为刘维尔定理：随着一个代表点在相空间 上式为刘维尔定理 随着一个代表点在相空间 中运动， 中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变 的常数。 的常数
根据哈密顿正则方程， 根据哈密顿正则方程，有：
& qi = ∂H ; ∂pi & pi = − ∂H ; ∂qi
=0
∂ ∂ ∂2H ∂2H & & − qi + pi = ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ∂pi∂qi
∂ρ ∂ρ ∂ρ & & + ∑ qi + pi = 0 ∂t q ∂pi i ∂ i
dΩ
q i + dq i
q
i
在时刻t，在该体积元内的状态数目为： Ω 在时刻 ，在该体积元内的状态数目为： ρ dΩ
相空间中的轨道
dΩ
q i + dq i
q
i
dρ = 0 需证明 dt
经过时间dt后 有些代表点走出了这个体积元， 经过时间 后，有些代表点走出了这个体积元，有些 则走进了这个体积元， 则走进了这个体积元，使得这个体积元内的代表点数 目发生了变化： 目发生了变化： ρ + ∂ ρ dt ⋅ d Ω ρ ⋅ dΩ → ∂t 体积元内代表点的增加数目为： 体积元内代表点的增加数目为：
dΩ = dq1dq2 K dq f ⋅ dp1dp2 K dp f
在时刻t，运动状态在体积元内的代表点数为 在时刻 ，运动状态在体积元内的代表点数为:
ρ(q1, q2,K, qf ; p1, p2,L, p f ;t)⋅dΩ
代表点的密度为 ρ q1, q2 ,K qf ; p1, p2 ,L pf ;t , ,
dA = dq1dq 2 L dq i −1dq i +1 L dq f dp1 L dp f
在dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA 时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以 为底， & dt为高的柱体内 柱体内的代表点数为： 为高的柱体内。 为底，以 q i dt为高的柱体内。柱体内的代表点数为：
& ρ q i dtdA
流进
两者相减得到经过一对平面（ 两者相减得到经过一对平面（qi，qi＋dqi）净进入 体积元的代表点数目： 体积元的代表点数目：
∂ ∂ & i ⋅ dq i dtdA = − & − ρ q ρ q i dtd Ω ∂qi ∂qi
(
)
那么，对整个相空间积分， 那么，对整个相空间积分，就得到了设想的系统总 数目N 一个不随着时间改变的量。 数目N：一个不随着时间改变的量。
∫ ρ (q , q ,K, q
1 2
f
; p1 , p2 ,L , p f ; t )⋅ dΩ = N
现在考虑代表点密度ρ随着时间的变化： 现在考虑代表点密度ρ随着时间的变化： 代表点密度 当时间从t变化到t dt：相空间中代表点将运动到 当时间从t变化到t＋dt： & & (q i , p i ) → q i + q i dt , p i + p i dt 在新位置的密度为： 在新位置的密度为：
同理，可以得到经过一对平面（ 同理，可以得到经过一对平面（pi，pi＋dpi）净 进入体积元内的代表点数目为： 进入体积元内的代表点数目为：
dΩ
p i + dp i p
i
∂ ∂ & & − ρ p i ⋅ dp i dtdA = − ρ p i dtd Ω ∂pi ∂pi
& ρ q i dtdA
dΩ
q i + dq i
q
i
同样，在dt时间内通过平面qi＋dqi走出体积元的粒子 同样， dt时间内通过平面q 时间内通过平面 数目为： 数目为：
∂ & & & dtdA= ρ qi + ρ qi dqi dtdA 流出 ρ ⋅ qi qi +dqi qi ∂qi
& & ρ q1 + q1 dt,L, p f + p f dt, t + dt = ρ + dρ dt dt
dρ ∂ρ = + 其中： 其中： ∂t dt
∑
i
∂ρ ∂ρ & & ∂q ⋅ qi + ∂p ⋅ pi i i
代表点的密度在相空间中是常数, 代表点的密度在相空间中是常数 刘维尔定理
dΩ
q i + dq i q
i
∂ρ ⋅ dtdΩ ∂t r ∂ρ + ∇⋅ j = 0 ∂t
连续性方程
代表点需要通过这2f 对边界平面， 代表点需要通过这 对边界平面，才能够进入或者 走出体积元。 走出体积元。
dΩ
q i + dq i q
i
现在计算通过平面q 走进体积元内的代表点数目。 现在计算通过平面 i走进体积元内的代表点数目。 体积元在平面q 方向上的边界面积为： 体积元在平面 i方向上的边界面积为：
−
∂ ∂pi
∂ & ρ p i ⋅ dp i dtdA = − ∂pi
& ρ p i dtd Ω
∂ρ ⋅ dtdΩ = − ∑ i ∂t
∂ ∂ & & ρ p i ⋅ dtd Ω ρ qi + ∂pi ∂qi
将前面两个式子相加，再对i进行求和， 将前面两个式子相加，再对i进行求和，就得到了在 dt时间内穿过边界而进入体积元的净增加数目 时间内穿过边界而进入体积元的净增加数目。 dt时间内穿过边界而进入体积元的净增加数目。
− ∂ ∂ & & ρ q i ⋅ dq i dtdA = − ρ q i dtd Ω ∂qi ∂qi
刘维尔定理的证明
大量结构完全相同的系统， 设想大量结构完全相同的系统 各自从其初态出发， 设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发， 独立的沿着正则方程所规定的轨道运动。 独立的沿着正则方程所规定的轨道运动。 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成一 个分布。 个分布。 设相空间中有一个体积元dΩ 设相空间中有一个体积元 Ω: