3.二项式定理及分布列
数学中简单易错的运算变形或方法整理
数学中简单易错的运算变形或方法整理珠海市一中平沙校区姜长良下面我会按照代数与几何及不同的章节分类，把我们各位朋友的经验进行整理，最终使它成为我们老师与学生的一个备忘录，为我们的教学严谨雪中送炭，为我们的教学思维锦上添花。
代数部分：一、函数方程不等式（多项式函数，分式函数，幂函数等）（1）定义域优先的原则；应该说老师在教学的时候，每一名老师在都和时候都能告诉学生这个原则，但是学生在做题的时候却总是想不到。
1。
无论是函数或是方程或是不等式，在研究的时候都要先考虑其中的未知数的取值范围。
如果忽视了这一点，就可能在解答的时候把范围扩大，从而造成错误。
2。
培养学生养成运用这个原则的习惯关键是我们老师应该首先养成，就算是对最简单的函数，甚至于定义域是R的函数，我们在解题的时候也应该强调，否则你的学生的思维就短少了严谨性。
3。
这一原则在数列、或其它公式中也适用。
当然数列是特殊的函数，可是这一点并不直接，更容易让人忽视。
这里就不一一列举了……（2）函数的定义中参数的取值范围；在高三的第一课时，我曾经给学生提出这样一个问题：请问：y=ax^2+bx+c是什么函数？多数学生回答是二次函数。
当我停顿一下再问时：有一部分学生不说是二次函数了。
回答当a不为0时，是二次函数，a是0的时候为一次函数。
我又追问，是一次函数？这回马上回答，当a为0但b不为0时，是一次函数，而当a与b都为0时，是常数函数。
其实，基本初等函数的定义都是用式子定义的，而其中的参数的取值范围是学生与老师最容易忽视的。
在应用的时候就更容易被忽视了。
（3）解方程时在方程的两边同时除以一个未知数；解方程时在方程的两边同时除以一个未知数例：解方程x^2=x解：方程两边同时除以x，得x=1。
所以，原方程的解为：x=1。
显然，丢了一个根x=0。
丢解的原因就是做除法的时候没有考虑除数是不是0。
在ΔABC中，acosA=bcosB判断三角形形状。
（用余弦定理就和13楼情况一样，用正弦定理也可能会漏解）带全称量词的命题否定不会写，比如“我们班同学都是男同学”---（假的）试着否定“我们班级同都不是男同学”---（也假）当然也就是反证法反设怎么写了。
二项分布及其分布列 PPT
2.2 二项分布及其应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布
问题提出
0.37
小结作业
1.在独立重复试验中，若每次试验结 果只有事件A发生或不发生两种可能， 则事件A发生的次数服从二项分布；若 每次试验结果有多种可能，则可以根据 需要适当设定事件A，将其转化为二项 分布.
2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其 中n是独立重复试验的总次数，p是每次 试验事件A发生的概率，书写时n在左， p在右.
思考4：若随机变量X的分布列为，
P (X = k )= C n kp k(1 -p )n -k，
k＝0，1，2，…，n，则称X服从二项分
布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
在二项分布中，每次试验的结果有几种 可能？
两种，即A发生与A不发生
Байду номын сангаас
思考5：二项分布与两点分布有什么内在 联系？
两点分布与二项分布的随机变量都只有 两个可能结果，两点分布是n＝1时的二 项分布.
独立重复试验 与二项分布
探究（一）：独立重复试验
思考1：在同等条件下，将一枚硬币重复
抛掷100次，记Ai(i＝1，2，…，100)表 示“第i次抛掷硬币正面朝上”，那么事
件A1，A2，…，A100两两之间是否相互独
立？
相互独立
思考2：在同等条件下，某射手连续射击
20次，记Ai(i＝1，2，…，20)表示“第 i次射击不小于8环”，那么事件A1， A2，…，A20两两之间是否相互独立？
二项式定理与概率 复习 教案
二项式定理 二项式定理：()nn n r r n r n n n nn nb C b a C b aC a C b a +++++=+-- 11（*∈N n ）1.指数的特点 1)a 的指数 由n 到0( 降幂)。
2 )b 的指数由0 到n （升幂）。
3）a 和b 的指数和为n 。
2.通项是=+1r T rr n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ）， 注意 1.共n+1项2.r r n r n b a C -是第r+1项。
系数与二项式系数：rn C 是二项式系数（为正整数）。
系数是字母前的常数。
例 求5)2(b a +的展开式中第四项的二次项系数是 第四项的系数是．求4)13(xx +的展开式；第三项的二次项系数是 第三项的系数是．求7)12(xx -的展开式；倒数第三项的二次项系数是 第三项的系数是注意负号，注意系数题型一：求二项展开式的特定项()41x +展开式中2x 的系数是92)21(xx -展开式中6x 的系数是 ；常数项是求指定幂的系数或常数项，写出通项即可变式 （2x －）6的展开式中常数项是（ ）3x 的系数是2.求n.或a若（9x ﹣）n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（ ）在()n 的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于变式 若（x 3+）n 的展开式中的常数项为84，则n =已知(＋)n展开式中第五项的系数与第三项的系数比是10∶1，求展开式中含x 的项．变式 若（﹣x ）n展开式中含有x 2项，则n 的最小值是（ ） A ． 15B ． 8C ． 7D ． 3若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（ ）变式 6⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x a x 的展开式中的常数项是60，则a 的值是3．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ ）变式 在（1+x ﹣）4的展开式中，常数项是（ ）注意负号，注意系数二、求两个二项式乘积与和的展开式指定幂的系数x x 2例 72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是变式 的展开式中的系数为变式 (x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中，x 的系数是…………………（ ） ．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是变式 (x -1)-(x -1)2＋(x -1)3-(x -1)4＋(x -1)5的展开式中x 2的系数等于_______三、求有理项 例 求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；变式 二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）项变式 的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）项四、系数最大的项 二项式系数最大:如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即2n n C ； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即2121+-=n nn nC C 。
高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答)．(1−yx【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．【解答】解：因为(x+y)8展开式的通项T r+1=C8r x8−r y r，令r=5，则x3y5的系数为C85=56；令r=6，则x2y6的系数为C86= 28，所以x2y6的系数为−56+28=−28．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(2<x≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=【答案】0.14【解析】【分析】本题考查了正态分布的意义，正态曲线的对称性及其应用．【解答】解：由题意可知，P(X>2)=0.5，故P(X>2.5)=P(X>2)−P(2<X⩽2.5)=0.14．【命题意图】1.考察二项式定理及其应用，考察基本计算能力和逻辑推导能力。
2.考察正太分布，考察正态分布特征。
【命题方向】1.二项展开基本定理，还会涉及到三项展开。
考察特定项，特定项的系数，二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。
多为小题。
2.考察正太分布，二项分布，超几何分布等常见的分布。
【得分要点】一、二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用T r＋1表示，即展开式的第r＋1项；T r＋1＝C r n a n－r b r．二、常见随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－p p其中p＝P(X＝1)（2）超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N（3如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n P k q n－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nP C0n P0q n C1n P1q n－1…C k n P k q n－k…C n n P n q0由于n n n n…＋C n n P n q0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．三．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．二项分布的均值、方差若X ～B (n ，p )，则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )． 3．两点分布的均值、方差若X 服从两点分布，则EX ＝p (p 为成功概率)，DX ＝p (1－p )． 4．离散型随机变量均值与方差的性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X ) (a ，b 为常数)． 经典真题汇总及解析1．（2021·湖北·高三开学考试）已知随机变量2(0,)X N σ，且()P X a m <=，0a >，则()P a X a -<<=____. （用m 表示） 【答案】2m -1【分析】利用正态分布的性质可得正确的结果. 【详解】因为2(0,)XN σ，故1(0)2P X <=， 则1(0)2P X a m <<=-，故1()2212P a X a m m ⎛⎫-<<=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：21m -.2．（2020·海南·三亚市第二中学高三阶段练习）某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布(25,0.04)N ，任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4kg 的概率为__________．（附：若2(,)ZN μσ，则()0.6826P Z μσ-<=，(2)0.9544P Z μσ-<=，(3)0.9974P Z μσ-<=）【答案】0.8185【详解】因为()~?25,0.04X N ，所以250.2μσ==，. 所以()()()124.825.420.68260.95440.34130.47720.81852P P X σμσμσ≤≤=-≤≤+=+=+=. 故答案为0.8185.3．（2022·辽宁大连·一模）已知随机变量()2~1,N ξσ，且()()13P P a ξξ≤=≥-，则()190x a x a x+<<-的最小值为______． 【答案】4【分析】由正态曲线的对称性得出4a =，再由基本不等式得出最小值. 【详解】由随机变量()2~1,N ξσ，则正态分布的曲线的对称轴为1ξ=，又因为()()13P P a ξξ≤=≥-，所以()132a +-=，所以4a = 当04x <<时， 有()41919491102910444444x x x x xx x x x x +--+⎛⎫⎛⎫+=+=++⨯≥= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 当且仅当494x xx x-=-，即1x =时等号成立，故最小值为4． 故答案为：44．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在()*43,29,,N 2np x n p n p x ≥≤≤∈展开式中，第2,3,4项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第________项． 【答案】5【分析】根据等差数列的知识求得n ，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由于第2,3,4项二项式系数依次成等差数列， 所以()2132C C C 3n n n n =+≥，()()()1217321n n n n n n n ---=+⇒=⨯⨯.742p x x 展开式的通项公式为71714417711C C 22kkk kkk k pp p k T x x x ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令704k k p p --=，整理得284k p =+， 由于*,0,1,2,3,4,5,6,729,N p p k ≤≤∈=， 所以3,4p k ==，即常数项是第15k +=项. 故答案为：55．（2021·广东·珠海市第二中学高三阶段练习）若()()()()17217012172111x a a a x x a x +=+++++++，则6216414a a a a a +++++=_______．【答案】1621-【分析】利用赋值法化简求解0241416a a a a a ⋯+++++和0a ，进一步求出答案.【详解】令2x =-，则1701216170a a a a a =⋯+--+-∈令0x =，则1701216172a a a a a =⋯+++++∈，∈+∈得()17024141622a a a a a +++++=⨯⋯ ∈1602414162a a a a a +⋯++++= 令1x =-，则01a = ∈6216414a a a a a +++++=160241416012a a a a a a +++++-=-⋯.故答案为：1621-.6．（2022·湖南·长郡中学一模）已知()2022202201202214x a a x a x -=+++，则32022122320222222a a a a ++++=__________． 【答案】0【分析】利用赋值法可得答案.【详解】根据题意，今0x =，得()20220101a =-=，令12x =，得()2022202212012202212222a a a a -=++++， 因此32022120232022102222a a a a a ++++=-=， 故答案为：0.7．（2022·湖北·襄阳五中二模）已知函数()103cos f x x x =+在x=0处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中含2x 项的系数为_________．【答案】36【分析】根据导数的几何意义可得()010n f '==，()101x -展开式的通项为：110C (1)rr r r T x +=⋅-⋅，根据()()()()()101010102211111x x x x x x x x ++-=-+-+-分析计算2x 项的系数．【详解】由函数()f x 的解析式，得()103sin f x x '=-，则()010f '=．由题意，得()010n f '==，则二项式()()()()()()()101010102221111111nx x x x x x x x x x x ++-=++-=-+-+-()101x -展开式的通项为：1011010C 1()C (1)r r r rr r r T x x -+=⋅⋅-=⋅-⋅ 所以含2x 项的系数为()()()210210101010C 1C 1C 14510136⋅-+⋅-+⋅-=-+= 故答案为：36．8．（2022·重庆八中模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取()*N k k ∈包食品，并测量其质量（单位：g ）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k 包食品中其质量在(3,3)μσμσ-+之外的包数，若ξ的数学期望()0.05E ξ>，则k 的最小值为________.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈.【答案】19【分析】根据正态分布的性质求出在(3,3)μσμσ-+之外的概率，从而得到(),0.0027B k ξ，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；【详解】解：依题意(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈，所以在(3,3)μσμσ-+之外的概率10.99730.0027P =-=，则(),0.0027B k ξ，则()0.0027E k ξ=，因为()0.05E ξ>，所以0.00270.05k >，解得50018.5227k >≈，因为*N k ∈，所以k 的最小值为19； 故答案为：199．（2021·河北·武安市第一中学高三阶段练习）随机变量ξ的可能值1,2,3，且()()131,31P p P p ξξ==-==-，则D ()ξ的最大值为___________.【答案】1【分析】由题意得到()212P p ξ==-，利用概率范围求得p 的范围，再利用期望和方差的公式求解.【详解】因为随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()()131,31P p P p ξξ==-==-， 所以()212P p ξ==-，由0311011,0121p p p ≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，得11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p p ξ=-+-+-=-.()()()()()()()22214431244123441D p P p p p p ξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-， 21116184,,32p p p ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦，当12p =时，()D ξ的最大值为1. 故答案为：110．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量()2~4,N ξσ，且()()31P P a ξξ≤=≥+，则()140x a x a x+<<-的最小值为________.【答案】94【分析】先由正态分布对称性求出4a =，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由正态分布的对称性可知：15a +=，解得：4a =， 因为04x <<，所以40x ->，由基本不等式得：()141144444x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭1441449145244444x x x x x x x x ⎛--⎛⎫=+++≥+⋅= ⎪ --⎝⎭⎝， 当且仅当444x x x x -=-，即43x =时等号成立， 所以不等式得最小值为94故答案为：9411．（2022·河北保定·二模）若112nx x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中各项的系数之和为96，则展开式中2x 的系数为___________. 【答案】25【分析】由题意可得()21296n+=，从而可求出n ，则展开式中2x 的系数等于1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中x 一次项系数的2倍加上x 的3次项系数 【详解】由题意可知()21296n+=，得5n =，则5111122n x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 展开式的通项公式为552551C C rr r r rx x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以5112x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中2x 的系数为21552C C 25+=.故答案为：2512．（2022·山东济宁·二模）从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n 种方法，则12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】160-【分析】先由题意求出2232C A 6n ==，然后求出二项式展开式的通项公式，令x 的次数为零，求出r 的值，从而可求出展开式中的常数项【详解】因为从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n 种方法， 所以2232C A 6n ==，所以二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为66621661C (2)C (1)2rrrr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令620r -=，得3r =，所以二项式展开式的常数项为3336C (1)2160⋅-⋅=-，故答案为：160-13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知521()((ax x a xx-为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中3x 的系数为___． 【答案】79-【分析】令1x =得各项系数和，求得参数a ，然后由二项展开式通项公式结合多项式乘法法则求得含3x 的项，从而得其系数． 【详解】令1x =，则展开式的各项系数和为5(1)(12)11a a --=-=，解得2a =，所以5(x x 的展开式的通项公式为3552155C (C (2)rr rrr rr Tx xx--+==-，令3552r-=，则0r =，令3522r -=，解得2r =， 所以展开式中含3x 的项为0522235521C 2C (2)79x x x x x ⨯-⨯-=-，所以3x 的系数为79-，故答案为：79-．14．（2020·福建省长乐第一中学高三期中）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望()E ξ=______. 【答案】2【分析】ξ的可能值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】ξ的可能值为1,2,3，则()124236115C C p C ξ===；()214236325C C p C ξ⋅===；()3436135C p C ξ===. 故分布列为：ξ123p153515故()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
高二数学人选修课件时二项式定理
邻两项系数的和。
展开式应用举例
01
02
03
求特定项的系数
通过通项公式，可以求出 二项式展开式中任意一项 的系数。
证明恒等式
利用二项式定理展开式， 可以证明一些与二项式相 关的恒等式。
求和与求积
二项式定理展开式可以用 于求和或求积的问题，如 求 $(1+x)^n$ 的展开式 中所有项的系数和等。
高二数学人选修课件时二项式 定理
汇报人：XX
20XX-01-17
CONTENTS
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开式 • 二项式定理证明方法 • 二项式定理在概率统计中应用 • 二项式定理在高等数学中延伸 • 总结回顾与拓展思考
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于展开形如(a+b)ⁿ的二项式。
THANKS
拓展思考题及答案解析
思考题1：求$(x+2)^5$的 展开式。
【解析】根据二项式定理的 展开式， $(x+2)^5=sum_{k=0}^{5} C_5^kx^{5k}2^k=x^5+10x^4+40x^ 3+80x^2+80x+32$。
思考题2：求$(1-2x)^6$的 展开式中，$x^3$的系数。
含义解释
通项公式表示在二项式
$(a+b)^n$
的展开式中，第
$k+1$
项的表达式。其中
$C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$
个不同元素中选取 $k$ 个元素的
组合方式数目。
高中数学基本知识点汇总(最新)
高中数学基本知识点汇总(最新)一、集合与函数概念1. 集合的基本概念集合的定义：集合是某些确定的、互不相同的对象的全体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
常见数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
2. 集合间的关系与运算子集、真子集、相等关系。
并集、交集、补集的定义及运算。
集合运算的性质：交换律、结合律、分配律、摩根律。
3. 函数的概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
函数的表示方法：列表法、图象法、解析法。
4. 函数的性质单调性：增函数、减函数的定义及判定。
奇偶性：奇函数、偶函数的定义及判定。
周期性：周期函数的定义及常见周期函数。
最值：函数的最大值和最小值及其求法。
二、基本初等函数1. 一次函数与二次函数一次函数的形式：y = kx + b（k≠0）。
一次函数的图象与性质：直线、斜率、截距。
二次函数的形式：y = ax^2 + bx + c（a≠0）。
二次函数的图象与性质：抛物线、顶点、对称轴、开口方向。
2. 指数函数与对数函数指数函数的形式：y = a^x（a>0且a≠1）。
指数函数的图象与性质：单调性、过定点（0,1）。
对数函数的形式：y = log_a(x)（a>0且a≠1）。
对数函数的图象与性质：单调性、过定点（1,0）。
3. 幂函数幂函数的形式：y = x^α。
常见幂函数的图象与性质：α为正整数、负整数、分数时的图象特点。
4. 三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及图象。
三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性。
三角函数的诱导公式及恒等变换。
三、立体几何1. 空间几何体的结构特征多面体：棱柱、棱锥、棱台的定义及性质。
旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体的定义及性质。
2. 空间几何体的三视图主视图、俯视图、左视图的定义及绘制方法。
高中数学基础知识大筛查(6)-排列组合二项式定理、概率与统计
基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计一、概率与分布列1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nmP(A)=. 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数互斥对立5. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 6．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；（4）n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. （5）事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.二、数学期望与方差.n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)(（2）两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） （3）二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B （P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差σξξσξ.D =为ξ的标准差ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） （2）两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：npq D =ξ三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.四、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
高中数学选择性必修一-二。三知识点汇编
高中数学选择性必修一-二。
三知识点汇编选择性必修一第一章 空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理1.共线向量定理:对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =xa +yb. 二、空间向量基本定理如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使得p =xa +yb +zc.三、空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 运算 坐标表示加法 a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) 减法 a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3) 数乘 λa =(λa 1,λa 2,λa 3),λ∈R数量积a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 32.空间向量常用结论的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 结论 坐标表示共线 a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ⇔a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R) 垂直a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0向量长度 |a |=√a ·a =√a 12+a 22+a 32向量夹 角公式cos<a ,b >=a ·b|a||b|=112233√a 1+a 2+a 3·√b 1+b 2+b 33.空间两点间的距离公式设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,则P 1P 2=|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.四、空间向量1.设直线l ,m 的方向向量分别为μ,v ,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,则线线平行 l ∥m ⇔μ∥v ⇔μ=λv ,λ∈R 线面平行 l ∥α⇔μ⊥n 1⇔μ·n 1=0 面面平行 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1=λn 2,λ∈R线线垂直 l ⊥m ⇔μ⊥v ⇔μ·v =0 线面垂直 l ⊥α⇔μ∥n 1⇔μ=λn 1,λ∈R 面面垂直 α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0 线线夹角 l ,m 的夹角θ∈[0,π2],cos θ=|μ·ν||μ||ν| 线面夹角 l ,α的夹角为θ∈[0,π2],sin θ=|μ·n 1||μ||n 1|面面夹角α,β的夹角为θ∈[0,π2],cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|2.点到直线的距离设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u ,点P 到直线l 的距离PQ =√|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√a 2-(a ·u)2. 3.点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离PQ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n||n|.第二章 直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π)2.直线的斜率定义当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α斜率公式 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y1x 2-x 13.直线的方向向量直线的方向向量 设A ,B 为直线上的两点,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 就是这条直线的方向向量 方向向量的坐标 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(其中x 1≠x 2),则直线AB 的一个方向向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1) 方向向量与斜率 若直线l 的斜率为k ,则直线l 的一个方向向量为(1,k )4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2. 位置关系 判定特例平行 l 1∥l 2⇔k 1=k 2 直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行垂直l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程直线方程的五种形式及适用范围:名称几何条件方程适用条件斜截式 纵截距、斜率 y =kx +b与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y -y 0=k (x -x 0)两点式 过两点y−y 1y 2-y 1=x−x 1x 2-x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 横、纵截距x a +yb=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)所有直线三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点坐标直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.位置关系 方程组的解的个数相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 平行 方程组无解 重合方程组有无数个解2.距离公式距离类型 已知几何元素距离公式两点间的距离两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)|P 1P 2|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0,y 0),直线l :Ax +By +C =0 d =00√A 2+B 2两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0d =12√A 2+B 2四、圆的方程圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 圆 的方 程 标准式 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)圆心坐标:(a ,b )半径为r 一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 圆心坐标:(-D2,-E2) 半径r =12√D 2+E 2-4F五、直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系判断; (2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断. 位置关系 几何法代数法相交 d <r Δ>0 相切 d =r Δ=0 相离d >rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 12(r 1>0),圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).方法位置关系几何法:根据圆心距d =|O 1O 2|与r 1+r 2或|r 1-r 2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离 d >r 1+r 2 无解 外切 d =r 1+r 2一组实数解 相交 |r 1-r 2|<d <r 1+r 2两组不同的实数解 内切 d =|r 1-r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1-r 2|(r 1≠r 2)无解第三章 圆锥曲线的方程一、椭圆1.椭圆的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距符号语言集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数 轨迹类型a >c点M 的轨迹为椭圆 a =c点M 的轨迹为线段 a <c点M 不存在2.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形性范围-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b-a ≤y ≤a ,-b ≤x ≤b质 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b )A 1(0,-a ),A 2(0,a ),B 1(-b ,0),B 2(b ,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ,a 为长半轴长;短轴B 1B 2的长为2b ,b 为短半轴长焦距 |F 1F 2|=2c离心率e =ca ,e ∈(0,1),其中c =√a 2-b 2a ,b ,c 的关系a 2=b 2+c 2二、双曲线1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a ,0<2a <|F 1F 2|},|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数,且a >0,c >0 轨迹类型a <c点M 的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支) a =c点M 的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线) a >c点M 不存在2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)图形性 质范围 x ≤-a 或x ≥a ,y ∈R x ∈R,y ≤-a 或y ≥a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0)A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线y =±ba xy =±ab x离心率 e =ca ,e ∈(1,+∞),其中c =√a 2+b 2轴实轴A 1A 2的长为2a ,a 为实半轴长; 虚轴B 1B 2的长为2b ,b 为虚半轴长a ,b ,c 的关c 2=a 2+b 2系 三、抛物线1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线符号语言 集合P ={M ||MF |=d }(d 为点M 到准线l 的距离) 特例当F ∈l 时,动点M 的轨迹是过F 点垂直于l 的直线2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程 y 2= 2px (p >0) y 2= -2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=-2py (p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离性质 顶点 O (0,0)对称轴 y =0 x =0焦点 F (p2,0)F (-p2,0)F (0,p2)F (0,−p2)离心率 e =1准线方程x =-p 2 x =p2y =-p2 y =p2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向 向右向左向上向下选择性必修二一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A =a +b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d.4.前n 项和公式:S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n -1)2d (n ∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (m ,n ∈N *).(2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值. 二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1. 4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1−q =a 1-a n q 1−q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m(m ,n ∈N *).(2)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则有a k ·a l =a m ·a n .(3)当q ≠-1或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n. 三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )=c (c 为常数) f'(x )=0f (x )=x α(α∈Q,且α≠0)f'(x )=αx α-1 f (x )=sin x f'(x )=cos x f (x )=cos x f'(x )=-sin x f (x )=a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=a x ln a f (x )=e xf'(x )=e x f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=1xlna f (x )=ln xf'(x )=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f (x ),g (x )的导数分别为f'(x ),g'(x ).若f'(x ),g'(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]'=f'(x )±g'(x ); (2)[f (x )g (x )]'=f'(x )g (x )+f (x )g'(x ); (3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x . 四、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般地,函数f (x )的单调性与导函数f'(x )的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )>0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增; 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )<0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减. 2.函数的极值与导数条件f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0 x 0附近的左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.选择性必修三一、计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.3.排列与排列数(1)排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A n m表示.4.组合与组合数(1)组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C n m 表示.5.二项式定理(1)二项式定理:(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n -1b 1+…+C n k a n -k b k +…+C n n b n ,n ∈N * .(2)二项展开式的通项:T k +1=C n k a n -k b k ,通项为展开式的第k +1项.6.各二项式系数的和(1)(a +b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n ,即C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n =2n .(2)在(a +b )n 的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C n 1+C n 3+C n 5+…=C n 0+C n 2+C n 4+…=2n -1.二、随机变量及其分布1.条件概率一般地,设A ,B 为两个随机事件,且P (A )>0,则称P (B |A )=P(AB)P(A)为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率,简称条件概率.对任意两个事件A 与B ,若P (A )>0,则P (AB )=P (A )P (B |A ),称此公式为概率的乘法公式.2.全概率公式一般地,设A 1,A 2,…,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪…∪A n =Ω,且P (A i )>0,i =1,2,…,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=∑i=1n P (A i )P (B |A i ),称此公式为全概率公式.3.离散型随机变量的分布列、期望与方差名称 表现形式(或公式)性质分布列 X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p np i ≥0,i =1,2,3,…,n ; p 1+p 2+…+p n =1 期望 E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n =∑i=1n x i p i E (aX +b )=aE (X )+b 方差 D (X )=(x 1-E (X ))2p 1+(x 2-E(X ))2p 2+…+(x n -E (X ))2p n =∑i=1n (x i -E (X ))2p i(1)D (aX +b )= a 2D (X ); (2)D (X )=E (X 2)-[E (X )]2 4.几种常见的概率分布名称 概念(或公式)数字特征 二项分布 P (X =k )=C n k p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,…,n.记作X~B (n ,p ) E (X )=np ; D (X )=np (1-p )超几何分布 P (X =k )=C M k C N−M n−k C N n ,k =m ,m +1,m +2,…,r.其中n ,N ,M∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m =max{0,n -N +M },r =min{n ,M }E (X )=nM N 正态分布 随机变量X 服从正态分布记为X~N (μ,σ2),特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X 服从标准正态分布 若X~N (μ,σ2),则E (X )=μ,D (X )=σ2; P (X ≤μ)=P (X ≥μ)=0.5三、成对数据的统计分析1.样本相关系数r =∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1(x i -x)2√∑i=1(y i -y)2. 2.经验回归方程方程y ^=b ^x +a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的回归方程,其中a ^,b ^是待定参数,其最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i -x)2,a ^=y-b ^x. 3.2×2列联表Y =0 Y =1 合计 X =0a b a +b X =1c d c +d 合计a +cb +d a +b +c +d 4.独立性检验:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n =a +b +c +d.。
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
必修3数学教学大纲(具体)
必修3数学教学大纲(具体)必修3数学教学大纲高中数学必修3教学大纲包括以下内容：1.绪论：介绍数学在日常生活、社会科学和科学技术中的应用，以及它在高中课程中的重要性。
2.计数原理：介绍乘法原理、加法原理和排列组合的概念和运用。
3.概率：介绍概率的定义、性质以及如何计算简单事件的概率。
4.随机变量及其分布：介绍随机变量的概念、分布和期望值，以及如何利用随机变量解决实际问题。
5.统计：介绍统计的概念、方法和应用，包括如何收集、分析和解释数据。
6.算法：介绍算法的概念、方法和应用，包括算法的描述、分析和设计。
此外，必修3还包括数学史和数学文化的内容，介绍数学的发展历史以及数学在人类文明中的重要地位。
这些内容有助于学生了解数学的本质和应用，提高他们的数学素养和兴趣。
必修3教学大纲数学人教版以下是必修3教学大纲（人教版）的部分内容：1.绪论：介绍必修3的意义和作用，以及高中数学课程的基本理念和目标。
2.算法初步：介绍算法的概念、基本结构和算法语句，以及常见的算法问题。
3.概率统计初步：介绍概率、统计的概念和基本方法，以及随机抽样、用样本估计总体等统计思想。
4.三角函数：介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的概念、图像和性质，以及解三角形等问题。
5.平面向量：介绍向量的概念、向量的加法、减法、数乘、向量的坐标表示等基础知识，以及向量的数量积、向量的夹角等向量的运算。
6.平面解析几何初步：介绍直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线等基本概念和性质，以及直线和圆的位置关系、直线和圆锥曲线的关系等应用问题。
7.计数原理：介绍加法原理、乘法原理、排列组合等计数原理，以及二项式定理等数学模型。
8.随机变量及其分布：介绍随机变量的概念、离散型随机变量及其分布、正态分布等基础知识，以及期望、方差等随机变量的数字特征。
9.统计案例：介绍回归分析、假设检验等统计方法的应用案例。
10.实习作业：介绍如何利用数学知识和方法解决实际问题，培养学生的实践能力。
(理科)专题训练(二项式定理、分布列、期望与方差)
高三数学（理科）专题训练（1）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平面线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48 C．36D．242.．甲、乙两人进行象棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是()A．0.6B．0.8C．0.2D．0.43．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60 C．0.80D．0.124．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A：a＝3；事件B：a＝4；事件C：a为奇数，则下列结论正确的是() A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件5．某家庭电话在家里有人时，打进电话响第一声被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是()A．0.622 B．0.9 C．0.659 8 D．0.002 87.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④7.已知(x＋ax)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．8．已知a＝π2(sin2x2－12)d x，则(ax＋12ax)9的展开式中，关于x的一次项的系数为________．9.自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为“保钓行动代言人”．(1)求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．高三数学（理科）专题训练（2）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝( ) A.16B.13C.12D.23.2.设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝i )＝i a )43(i，i ＝1,2,3，则a 的值是( )A.64111B.64101C.2764D.37643.设随机变量X 的概率分布列如下表所示：F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝( )A.13B.16C.12D.564.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，且a 、b 、c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________．5.．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中系数最大的项．6.(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．7.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝ann ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ()12＜X ＜52＝______.8.已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．9.(河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研检测数学理试题19).某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）X －1 0 1 PabcX 0 1 2 Pa1316【参考答案】高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（1）1.【答案】B【解析】长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.2.【答案】A【解析】甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，所以甲不输的概率为0.4＋0.2＝0.6.故选A.3.【答案】C【解析】由互斥事件的概率加法公式可得，该乘客在5分钟内能乘上所需的车的概率为0.20＋0.60＝0.80.故选C.4.【答案】A【解析】依题意，事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，但A与B不是对立事件，显然，A与C既不是对立事件也不是互斥事件．故选A.5.【答案】B【解析】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前4声内被接的概率＝电话响第一声被接的概率＋响第二声时被接的概率＋响第三声时被接的概率＋响第四声时被接的概率，故电话在响前4声内被接的概率是0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9，故选B.6.【答案】B【解析】从7个球中任取3个球的所有可能为：1个白球2个黑球；2个白球1个黑球；3个白球；3个黑球．故①中的两事件互斥，但不对立；②中的两事件对立；③中的两事件中不互斥；④中的两事件不互斥，故选B.7.【答案】－6【解析】(x＋ax)6的二项展开式的通项T r＋1＝C r6x6－r(ax)r＝C r6362rax-，令6－3r2＝0，得r＝4，则其常数项为C46a4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2，故x2项的系数为(－3)×2＝－6.8.【答案】－6316【解析】a＝π2⎰(sin2x2－12)d x＝π20⎰(1－cos x2－12)d x＝π20⎰(－cos x2)d x＝－12sin xπ20|＝－12.此时二项展开式的通项为T r＋1＝C r 9(－12x )9－r (－1x )r ＝C r 9(－12)9－r (－1)r x 9－2r ，令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49(－12)9－4(－1)4＝－6316. 9.【解析】(1)设“从甲组内选出的2个同学均是男生；从乙组内选出的2个同学中，1个是男生，1个是女生”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均是男生；从甲组内选出的2个同学中1个是男生，1个是女生”为事件B ，由于事件A ，B 互斥，且P (A )＝C 23C 12C 14C 24C 26＝415，P (B )＝C 13C 24C 24C 26＝15.所以选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝415＋15＝715. (2)由条件知X 的所有可能值为0,1,2,3.；P (X ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (X ＝1)＝C 23C 12C 14＋C 13C 24C 24C 26＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，P (X ＝2)＝1－15－715－130＝310.[来源所以X 的分布列为 所以X 的数学期望为E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（2）1.【答案】D 【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，得b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.故选D2.【答案】A 【解析】1＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝a ⎣⎡⎦⎤34＋()342＋()343，解得a ＝64111，选A. 3.【答案】D 【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.[来源:学_科_网]∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.选D.4.【答案】124 【解析】由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1，∴3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤163a ＋2b24＝124，当且仅当a ＝16，b ＝14时等号成立． 5.【解析】由题意，得2n ＝22n －240，∴22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.又∵2n ＋15＞0，∴2n －16＝0.∴n ＝4.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 4。
高中数学知识点大全(最新)
高中数学知识点大全(最新)一、集合与函数概念1. 集合的基本概念定义：集合是具有某种特定性质的事物的全体。
表示方法：列举法、描述法、图示法。
集合的分类：有限集、无限集、空集。
集合间的关系：子集、真子集、相等。
2. 集合的基本运算并集：\( A \cup B \)，包含所有属于集合A或集合B的元素。
交集：\( A \cap B \)，包含所有既属于集合A又属于集合B的元素。
补集：\( C_U A \)，包含所有不属于集合A的元素，但属于全集U的元素。
差集：\( A B \)，包含所有属于集合A但不属于集合B 的元素。
3. 函数的概念定义：函数是两个非空数集之间的一个对应关系，使得每一个自变量x都有唯一的函数值f(x)与之对应。
表示方法：解析法、列表法、图象法。
函数的定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
4. 函数的性质单调性：增函数、减函数。
奇偶性：奇函数、偶函数。
周期性：周期函数。
最值：最大值、最小值。
二、基本初等函数1. 幂函数定义：形如\( y = x^a \)的函数，其中a为常数。
性质：根据a的不同取值，幂函数的图象和性质有所不同。
2. 指数函数定义：形如\( y = a^x \)的函数，其中a为常数且\( a > 0, a \neq 1 \)。
性质：图象过点(0,1)，当\( a > 1 \)时，函数单调递增；当\( 0 < a < 1 \)时，函数单调递减。
3. 对数函数定义：形如\( y = \log_a x \)的函数，其中a为常数且\( a > 0, a \neq 1 \)。
性质：图象过点(1,0)，当\( a > 1 \)时，函数单调递增；当\( 0 < a < 1 \)时，函数单调递减。
4. 三角函数正弦函数：\( y = \sin x \)，周期为\( 2\pi \)，图象为波形曲线。
余弦函数：\( y = \cos x \)，周期为\( 2\pi \)，图象为波形曲线。
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第3讲二项式定理课件
A．－10
B．－5
C．5
D．10
答案 B
解析 (x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝C5rx5－ryr，令 5－r＝1，得 r＝4， 令 5－r＝2，得 r＝3，∴(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 C45×1＋(－ 1)×C35＝－5.故选 B.
4．设(5x－ x)n 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，
M－N＝240，则展开式中 x3 的系数为( )
A．500
B．－500
C．150
D．－150
答案 C
解析 由题意可得 N＝2n，令 x＝1，则 M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－ 2n＝240，2n＝16(负值舍去)，n＝4.展开式中第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr4(5x)4－r(－
6．在(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中，若 x2 的系数为 19，则 a＝
____2____．
解析
(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中 x2 的系数为 C67(－1)6＋C16a1＝C67
＋aC16，则 aC16＋C67＝19，解得 a＝2.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 求展开式中的特定项或特定项系数
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4 的值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案 B
解析 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2 －a3＋a4＝16，两式相加，得 a0＋a2＋a4＝8.
3．(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为( )
概率与统计(包括排列、组合、二项式定理)
概率与统计一、 专题概览“概率与统计”的引入拓宽了应用问题的取材范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算的内容都是考查实际能力的极好素材，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生的生活，注重考查基础知识和基本方法。
近三年考查情况如下：2010年高考各地18套试题中，有15道此类型的解答题，其中有3道是关于概率计算的，一道涉及到正态分布的数据表格（湖北），其余的均为分布列和数学期望。
2011年高考试卷中涉及概率与统计的试题共有67道，其中文、理科相同的试题有7道，类似题有3道。
分值超过20分的有广东文、理科（分别有24分、22分）、山东卷理（22分）、湖北卷理（22分），低于10分的有上海卷文、理（均为4分）、全国卷I 文（5分），平均每份试卷15．2分，约占全卷的10%。
2012年大纲卷15套试题中，除上海没有命制概率大题外，其他各试题都有一道大题考查概率或统计，且湖南卷位于解答题第一题，北京卷、安徽卷位于解答题第三题，全国卷I 和福建卷位于第四题，其余八个省市的试题均位于解答题中第二题。
二、 考点回顾1.掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2.理解排列、组合的意义，掌握它们的计算公式并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
3.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率。
4.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
5.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
6.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率。
7.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；8.了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差； 9.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本； 10.会用样本频率分布估计总体分布； 11.了解正态分布的意义及主要性质； 12.了解线性回归的方法和简单应用。
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第3课时 二项式定理
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第3课时 二项式定理1. (选修23P 32练习5改编)在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是________． 答案：1 890 解析：T r ＋1＝C r10x10－r(－3)r，令10－r ＝6，r ＝4，T 5＝9C 410x 6＝1 890x 6.2. (选修23P 32练习6改编)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 212的展开式的常数项是________．答案：495解析：展开式中，T r ＋1＝C r12x12－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r 12x 12－3r ，当r ＝4时，T 5＝C 412＝495为常数项．3. (选修23P 35习题2改编)若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则自然数n ＝________． 答案：13解析：C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363＋1，C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364，C 35＋C 25＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1＝364，n ＝13.4. (选修23P 36习题12改编)已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________．答案：－2解析：设f(x)＝(1－2x)7，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(1－2)7＝－1，令x ＝0，得a 0＝1，a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－2.5. (选修23P 35习题10改编)在(x ＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能为________．答案：11，12，13解析：分三种情况：① 若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；② 若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③ 若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11，12，13.1. 二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n∈N)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0，1，2，…，n)叫做第r ＋1项的二项式系数．式中的C r n a n －r b r叫做二项式展开式的第r ＋1项(通项)，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项；T r ＋1＝C r n a n －r b r．2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为n ＋1.(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n. (3) 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4) 二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . 3. 二项式系数的性质(1) 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等． (2) 如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．(3) 二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n.(4) 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1．[备课札记]题型1 二项式展开式的特定项例1 如果⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 3n的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等，求：(1) 展开式的中间项；(2) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x n －1展开式中所有的有理项． 解：(1) ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 3n展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是C 3n ，C 6n ，由C 3n ＝C 6n ，得n ＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 39展开式的中间项为第5项和第6项，即T 5＝(－1)4C 49(x －3)4(x 2)5＝126x 2，T 6＝(－1)5C 59(x －3)5(x 2)4＝－126x7.(2) 通项为T r ＋1＝C r 8(x)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，必须r 是4的倍数，所以r ＝0，4，8，共有三个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2.变式训练 (1) 若(1＋x)n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n ；(2) 已知(ax ＋1)7(a≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a ；(3) 已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x. 解：(1) C 3n ＝7C 1n ，n （n －1）（n －2）6＝7n ，即n 2－3n －40＝0.由n∈N *，得n ＝8.(2) C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3，21a 2＋35a 4＝70a 3，a ≠0，得5a 2－10a ＋3＝0 a ＝1±105. (3) C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120，x 4(1＋lgx)＝1，所以x ＝1，或lgx ＝－1，x ＝110.题型2 二项式系数例2 已知(x 23＋3x 2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求： (1) 展开式中二项式系数最大的项； (2) 展开式中系数最大的项．解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴ 22n －2n＝992，n ＝5.(1) ∵ n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴ T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2) 设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r 5(x 23)5－r (3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r 3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15， 72≤r ≤92，∴ r ＝4， 即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.备选变式（教师专享）已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列．设⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.求：(1) a 5的值；(2) a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n 的值； (3) a i (i ＝0，1，2，…，n)的最大值．解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)．T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，令8－r ＝5 r ＝3，所以a 5＝7.(2) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256. (3) 设第r ＋1的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r8≥12r －1C r －18，即⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥12（r ＋1），12r ≥19－r ，解得r ＝2或r ＝3.所以a i 系数最大值为7.题型3 二项式定理的综合应用例3 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．解：2n －27＝128，n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，当r ＝4时，展开式中的系数最大，即T 5＝70x 4为展开式中的系数最大的项；当r ＝3，或5时，展开式中的系数最小，即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x 为展开式中的系数最小的项．备选变式（教师专享） 已知(2－3x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 50x 50，其中a 0，a 1，a 2…，a 50是常数，计算(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2.解：设f(x)＝(2－3x)50，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50＝(2－3)50，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 50＝(2＋3)50，(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 50) ＝(2－3)50(2＋3)50＝1.1. (2013·新课标Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________． 答案：－1解析：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x 2的系数为C 25＋a·C 15＝5，解得a ＝－1.2. (2013·天津理)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案：15解析：展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C k 6x6－32k(－1)k.由6－32k ＝0，得k＝4.所以常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝15.3. (2013·大纲版理)(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x 2y 2的系数是________． 答案：18解析：(x ＋1)3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3x r ，令r ＝2得到展开式中x 2的系数是C 23＝3.(1＋y)4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4y r ，令r ＝2得到展开式中y 2的系数是C 24＝6，(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x 2y 2的系数是3×6＝18.4. (2013·辽宁理)使得⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n∈N ＋)的展开式中含有的常数项最小的n 为________．答案：5解析：展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (3x)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k ＝C k n 3n －k xn －5k 2.由n －5k 2＝0，得n＝5k2，所以当k ＝2时，n 有最小值5.1. 若n 是奇数，则7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…＋C n －1n 7被9除的余数是________． 答案：7解析：原式＝(7＋1)n －1＝(9－1)n－1＝9k －2＝9k′＋7(k 和k ′均为正整数)．2. 0.9915的近似值是___________．(精确到0.001) 答案：0.956解析：0.9915＝(1－0.009)5＝1－5×0.009＋10×(0.009)2－…≈1－0.045＋0.000 81≈0.956.3. 用二次项定理证明32n ＋2－8n －9能被64整除(n∈N )．证明：32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋C n n ＋18＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝64(C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝M×64(记M ＝C 0n ＋18n －1＋C 1n ＋18n －2＋…＋C n －1n ＋1)． ∵ M 为整数，∴ 64M 能被64整除．4. (1) 在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋13x n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．解：(1) 由已知得C 2n ＝C 5n n ＝7.(2) 由已知得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128，2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大项是T 4＋1＝C 48(x x)4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝70x 43x 2.一般地，对于多项式g(x)＝(px ＋q)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则有： (1) g(x)的常数项的系数为g(0)； (2) g(x)的各项的系数和为g(1)；(3) g(x)的奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]；(4) g(x)的偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.[备课札记]。
最新-2021版一轮理数A版课件：第九章 第二节 二项式定理 精品
，Tr′＋1＝
，则
. 又 0≤r≤6,0≤r′≤10， 则3r－r′4 ＝0，解得 r＝r′＝0，r＝3 且 r′＝4，r＝6 且 r′＝ 8. 即常数项为 1＋C36C410＋C66C810＝4 246. [答案] (1)－5 (2)－210 (3)4 246
考点一
考点二
[方法提升]
考点三
考点四
解析 答案
考点一
考点二
考点三
考点四
[方法提升] 1．二项式系数的最大值，根据(a＋b)y 的二项式系数性质求解． 2．项的系数的最值，利用不等式法．求出展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn·m·xq＝arxq 为最大系数，则aarr≥≥aarr＋－11，. 求 r 的整数解．
考点一
考点二
考点三
考点四
a令0 ＋x＝a10x，＋得aa2x0＝2 ＋1；…令＋x＝anx1n，，得则a0＋aa1 1＋＋a…2 ＋＋…a8＝＋(－an2的)8＝值25为6. _所__以2_5_a5_1_＋_．a2＋…＋a8＝255.
解析 答案
考点一
考点二
[模型解法]
考点三
考点四
赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值，从而求得二项展开
考点四
[跟踪训练]
1．(2018·唐山模拟)x2＋x12－2
3 展开式中的常数项为(
C
)
A．－8
B．－12
C．－20
D．20
∵x2＋x12－2 3＝x－x1 6，∴Tr＋1＝Cr6x6－r－x1 r＝Cr6(－1)rx6 －2r，令 6－2r＝0，得 r＝3，∴常数项为 C36(－1)3＝－20.
解析 答案
3．二项式系数 (1)定义：二项式系数为： Ckn(k∈{0,1,2，…，n}) ．
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作业：
1．(2018 全国卷Ⅲ) (x2 2)5 的展开式中 x4 的系数为 x
A．10
B．20
C．40
D．80
2．(2017
新课标Ⅰ）
(1
1 x2
6.
1 3
x
6
1
4
1 x
10
展开式中的常数项为__________
7. 若多项式 x2 x10 a0 a1(x 1) a9 (x 1)9 a10(x 1)10 ,则 a9 A. 9 B. 10 C. - 9 D. -10
8. (2013 全国新课标Ⅰ) 设 m 为正整数（, x y）2m 展开式的二项式系数的最大值为 a（, x y）2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b ,若13a 7b ,则 m
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s2 ． （i）利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2) ；
（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品 中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的 结果，求 EX ．
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A．15
B．20
C．30
D．35
3.（2011 年天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次 游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每 次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在 1 次游戏中，
16
13. (2018 天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16．现 采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽 3 人做进一步的身体检查． （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不．足．的员工人数，求随机变量 X 的分布列 与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员
(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 X 的分布列及期望．
16. （2018 全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在 交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时， 先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品 作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p 1) ，且各件产品是否为不合 格品相互独立．
率为 1 ；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为 1 ，在 D 上的概
3
5
率为 3 ．假设共有两次来球且落在 A, B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求： 5
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望．
15. 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的 评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位 初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予 以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0,5，复审的 稿件能通过评审的概率为 0.3。各专家独立评审．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 若
x2 5
a x5 5
a x4 4
a x3 3
a x2 2
ax 1
a 0
则
a1 a2 a3 a4 a5
。
10. 设（2x 1）6 a6x6 a5x5 a1x a0 ，则 a0 a1 a2 a6 _______.
11.
若（1 2x）2014
二项式定理+分布列
1.
x
1
8
的展开式中常数项为（
）
2 x
35
A.
16
35
B.
8
35
C.
4
D.105
6
2. 在
x 2
2 x
的二项展开式中， x2 的系数为（
A． 15 4
15
B．
4
C． 3 8
）
3
D．
8
3.
(2011
新课标理
8) xΒιβλιοθήκη a2x15
的展开式中各项系数的和为
2，则该展
x x
开式中常数项为（ ）
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ，求 f ( p) 的最大值点 p0 ． (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0 作
为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和
（i）摸出 3 个白球的概率； （ii）获奖的概率； （Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E( X ) .
工”，求事件 A 发生的概率．
14. 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域 A, B ，
乙被划分两个不相交的区域 C, D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后
向乙回球．规定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其它情况记 0
分．对落点在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上的概率为 1 ，在 D 上的概 2
记为 X ，求 EX ； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的
所有产品作检验？
17. (2014 新课标 1)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一 项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 （同一组数 据用该区间的中点值作代表）；
a0
a1x a2x2
a2014x2014 ,则
a1 2
a2 22
a3 23
a2014 22014
的值为
___.
12. 已知 x5(x 3)3 a8(x 1)8 a7 (x 1)7 a1(x 1) a0 , 7a7 5a5 3a3 a1
A. 16
B. 8
C. 8
D.
（A）-40
（B）-20
（C）20
（D）40
4. (2015 全国新课标）（x2 x y）5 的展开式中, x5 y2 的系数为________. A. 10 B. 20 C. 30 D. 60
5.（1 x2 2）7 的展开式中的 x3 的系数为________. x
A. 210 B. - 210 C. - 910 D. 280