2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法教案学生版
高中数学_2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学设计学情分析教材分析课后反思
求函数零点近似解的一种计算方法——二分法第一部分 学生预习学海导航【预习要点】1.理解变号零点的概念。
2.用二分法求函数零点的步骤及原理。
【预习要求】1.了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。
2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
学习探究【知识再现】1.函数零点的概念2.函数零点的性质【概念探究】阅读课本72页完成下列问题。
1.一个函数)(x f y =，在区间[]b a ,上至少有一个零点的条件是 异号，即＜0，即存在一点),(0b a x ∈使 ，这样的零点常称作。
有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作 。
2.能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？阅读课本73页完成下列问题。
3.求函数变号零点的近似值的一种计算方法是 ，其定义是：已知函数)(x f y =定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点0x 的近似值x ，使它与零点的误差 ，即使得 。
4.用二分法求函数零点的一般步骤是什么？5.到什么时候循环计算停止？6.二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点？【例题解析】不看课本能否完成例题的解析例 求函数22)(23--+=x x x x f 的一个正实数零点1.根据问题思考一下二分法的初始区间的选择有什么样的标准？3.完成课后练习A 第2题，练习B 第1题，习题 2－4A 第7题。
【拓展提高】一段串联电路有64个元件，先发现因其中某个元件损坏而使电路不通，怎样才能尽快地查出损坏的电路元件？第二部分 教师讲解【检查反馈】1.二分法的一般算法，比较抽象，学生不易理解。
可以先结合例题 引导学生探究，然后再讲一般理论，这样便于学生理解。
2.用二分法求零点的近似解的步骤中体现分类讨论的思想。
3.引导学生用计算器或数学软件完成题目，体验二分法中的算法思想。
4.题目涉及的函数的图象是连读的，零点是变号零点。
【巩固提高】1.二分法求函数零点近似解。
高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解变号零点与不变号零点的概念．2．理解函数零点的性质．3．会用二分法求近似值．1．函数零点的性质如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．3．用二分法求函数 f (x ) 零点近似值的步骤 给定精确度(1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点 x 1；(3)计算 f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则 x 1 就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令 b ＝x 1 (此时零点 x 0∈(a ，x 1))；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点 x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度，即若|a －b |<，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 (2)～(4)．1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2，4]上的零点必属于区间( ) A ．[－2，1] B ．⎣⎡⎦⎤52，4 C ．⎣⎡⎦⎤1，74 D ．⎣⎡⎦⎤74，52解析：选D ．由于f (－2)<0， f (4)>0，f (－2＋42)＝f (1)<0，f (1＋42)＝f (52)>0， f (1＋522)＝f (74)<0， 所以零点在区间⎣⎡⎦⎤74，52内．2．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0．5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0，0．5) f (0．25)B ．(0，1) f (0．25)C ．(0．5，1) f (0．75)D ．(0，0．5) f (0．125)解析：选A ．因为f (0)<0，f (0．5)>0， 所以函数f (x )的一个零点x 0∈(0，0．5)， 第二次计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0．25)．3．函数的零点都能用“二分法”求吗？解：不一定．例如：函数y ＝x 2的零点为x ＝0，但不能用二分法求解．判断函数在某个区间内是否有零点(1)指出方程 x 5－x －1＝0 的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0 的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．【解】(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1 个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，所以方程x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内．(2)证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是不间断的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，所以方程x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1<0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3<0，所以方程的另两根分别在区间(0，1)和(1，2)内．本题考查的是如何判断方程的根所在的大致区间问题，它是用二分法求方程近似解的前提．对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．已知f(x) 为偶函数，且当x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，求函数f(x)的零点，并判断哪些零点是变号零点，哪些零点是不变号零点．解：因为x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，而当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝(－x－1)2－1，而f(x) 为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以 f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≥0），（x ＋1）2－1（x <0）.解方程 (x －1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝2． 解方程 (x ＋1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝－2，故函数 f (x ) 共有 3 个零点为 －2，0，2，如图所示，可知函数 f (x )的变号零点为 －2，2，不变号零点为 0．用二分法求方程近似解用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0．1)．【解】由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表．1．5，所以1．5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．借助计算器，用二分法求方程(x＋1)(x －2)(x－3)＝1在区间(－1，0)内的近似解(精确到0．1)．解：令f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1<0，f(0)＝5>0，可取区间[－1，0]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：5－0．9即为区间(－1，0)内的近似解．1．函数零点判定定理的应用判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内必有零点．对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间[a，b]内不一定有零点，反之，f(x) 在区间[a，b]内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．即此方法只适合变号零点的判断，不适合不变号零点．2．二分法的使用条件和范围(1)二分法的理论依据：如果函数y＝f(x)是连续的，且f(a)与f(b)的符号相反(a<b)，那么方程f(x)＝0至少存在一个根在(a，b)之间．(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．(3)每一次二分有根区间(a，b)为两个小区间，区间的长度都是原来区间长度的一半．用零点存在性定理判断函数的零点时，两个条件是缺一不可的．因此，在判断已知函数在区间上的零点是否存在时，应首先确定图象是不间断的．1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析：选C．由二分法的定义知．2．设f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内() A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D3．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循，无法在计算机上完成；④只有在求函数零点时才用二分法． 答案：②4．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不间断曲线，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0， 则[a ，x 0]为新的区间． 答案：[a ，x 0][A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选D ．因为f (2)·f (3)＝(8－6－3)·(27－9－3)＝－15<0， 所以f (x )有零点的区间是(2，3)．2．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2．1，－1]B ．[1．9，2．3]C ．[4．1，5]D ．[5，6．1]解析：选B ．由不变号零点的特征易判断该零点在[1．9，2．3]内． 3．方程2x 3－4x 2＋7x －9＝0在区间[－2，4]上的根必定属于区间( ) A ．(－2，1) B ．(52，4)C ．(π4，1)D ．(1，74)解析：选D ．设f (x )＝2x 3－4x 2＋7x －9， 由f (1)·f (74)<0知选D ．4．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C ．由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2．72－4＝－1．28，f (2)＝g (2)－2－3＝7．39－5＝2．39，所以f (1)·f (2)<0．所以f (x )的一个零点所在的区间为(1，2)．5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正整零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1．2B ．1．3C ．1．4D ．1．5解析：选C ．由零点的定义知，方程的根所在区间为[1．406 25，1．437 5]，故精确到0．1的近似根为1．4．6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ． 答案：a 2＝4b7．方程x 3＝2x 精确到0．1的一个近似解是________． 解析：令f (x )＝x 3－2x ，f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，所以在区间[1，2]上求函数f (x )的零点，即为方程x 3＝2x 的一个根，依照二分法求解得x ＝1．4．答案：1．48．某方程有一无理根在区间D ＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0．1．解析：由3－12n ≤0．1，得2n ≥20，n >4，故至少等分5次． 答案：59．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点． (1)f (x )＝3x －6； (2)f (x )＝x 2－x －12； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1； (4)f (x )＝(x －2)2(x ＋1)x ． 解：(1)零点是2，是变号零点． (2)零点是－3和4，都是变号零点． (3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1，0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程 f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32． 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32． 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．[B 能力提升]11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：选C．根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上无法确定，可能有，也可能没有，如图所示：12．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点个数至少有3个．答案：313．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子．则：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)算一算要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：(1)如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7 次就够了．14．(选做题)求方程3x2－4x－1＝0的根的近似值．解：令f(x)＝3x2－4x－1，列出x，f(x)的一些对应值如下表：00若x0∈[－1，0]，取区间[－1，0]的中点x1＝－0．5，则f(－0．5)＝1．75，因为f(－0．5)·f(0)<0，所以x0∈[－0．5，0]．再取区间[－0．5，0]的中点x2＝－0．25，则f(－0．25)＝0．187 5，因为f(－0．25)·f(0)<0，所以x0∈[－0．25，0]．同理，可得x0∈[－0．25，－0．125]，x0∈[－0．25，－0．187 5]，x0∈[－0．218 75，－0．187 5]，区间[－0．218 75，－0．187 5]的左、右端点精确到0．1所取的近似值都是－0．2．所以把x0＝－0．2作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0∈[1，2]时，方程的根的近似值为1．5．2±7综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x1，2＝3，近似值为－0．2或1．5．。
高中数学 2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》学案 新人教B版必修1
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标：1．理解变号零点的概念。
2．用二分法求函数零点的步骤及原理。
3．了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。
4．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
知识回顾：1.函数零点的概念2.函数零点的性质 【概念探究】阅读课本72页完成下列问题。
1．一个函数)(x f y =，在区间[]b a ,上至少有一个零点的条件是 异号，即 ＜0，即存在一点),(0b a x ∈使 ，这样的零点常称作 。
有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作 。
2．能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？ 阅读课本73页完成下列问题。
3．求函数变号零点的近似值的一种计算方法是 其定义是：已知函数)(x f y =定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点0x 的近似值x ，使它与零点的误差 即使得满足精确度。
4．用二分法求函数零点的一般步骤是什么？ 5．二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点？ 典型例题分析：例１：求32近似值（精确到０．０１）例２：求方程033235=+--x x x的无理根（精确到０．０１）参考答案：例1解：设ｘ＝32，则3x ＝２，即3x －２＝０，令ｆ（ｘ）＝3x －２，则函数ｆ（ｘ）零点的近似值就是得近似值，以下用二分法求其零点．由于ｆ（１）＝－１＜０，ｆ（２）＝６＞０，故可以取区间［１，２］为计算的初始区间．用二分法逐次计算．列表如下：由上表的计算可知，区间［１．２５７８１，１．２６１７１］的左右端点按照精确度要求的近似值都是１．２６，因此１．２６可以作为所求的近似值．评析：学会用二分法求近似值的主要步骤．例2解：由于)3)(1(3332235--=+--xxxxx所以原方程的两个有理根为１，－１，而其无理根是方程x3－３＝０的根，令ｇ（ｘ）＝x3－３，用二分法求出ｇ（ｘ）的近似零点为１．４４评析：通过因式分解容易看出无理根为方程x3－３＝０的根，所以令ｇ（ｘ）＝x3－３，只需求出ｇ（ｘ）的零点即可．【达标检测】1.方程4223=-+-gxxx在区间[]4,2-上的根必定属于区间（）A.)1,2(- B.)4,25(C.)4,1(πD.)25,47(2.若函数)(xf的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<⋅⋅>ffff，则下列命题正确的是（ ）A.函数)(x f 在区间[]1,0内有零点B.函数)(x f 在区间[]2,1内有零点C.函数)(x f 在区间[]2,0内有零点D.函数)(x f 在区间[]4,0内有零点3.函数x y =与1+=x y 图象交点横坐标的大致区间为（ ）A.)0,1(-B.)1,0(C.)2,1(D.)3,2(4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是5．函数ｆ（ｘ）＝－2x ＋４ｘ－４在区间［１，３］上（ ）Ａ．没有零点 Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点 Ｄ． 有无数个零点 6.方程322360x x x -+-=在区间［－２，４］上的根必定属于区间（ ）Ａ．［－２，１］ Ｂ．［２．５，４］ Ｃ．［１，47］ Ｄ．［47，２．５］ 7.下列关于二分法的叙述,正确的是( )A.用二分法可以求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行D.二分法只用于求方程的近似解8．函数f(x)= 1x )(23+--=x xx f 在[0,2]上( )A.有3个零点B.有2个零点C.有1个零点D.没有个零点 9．函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a 的取值范围是( )A.a 51≥B.a 1-≤C. 51a 1≤≤- D. .a 51≥ 或a 1-≤ 10．方程63x 223=-+-x x 在区间[-2,4]上的根必定属于区间( )A.[-2,1] B ]4,25[ C.[1, ]47 D.[ ]25,47 二、填空题11．函数ｆ（ｘ）＝2x －５的零点近似值（精确到０．１）是 ． 12．方程2x －６＝０的近似解（精确到０．０１）是 ． 三、解答题13．求方程08823=--+x x x的无理根（精确到０．０１）。
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【学习目标】1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．【重点】了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．【难点】会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．【基础自测】1．零点存在的判定方法条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．零点的分类3．二分法(1)定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．(2)求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．思考：二分法需要注意的问题有哪些？[提示]用二分法求方程近似解应注意的问题为：①看清题目的精确度，它决定着二分法步骤的结束．②在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数，用二分法求零点，用二分法求出的零点一般是零点的近似解，如求f(x)＝g(x)的根，实际上是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求曲线y＝f(x)与y＝g(x)交点的横坐标．③并不是所有函数都可用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．一、二分法的概念(1)已知函数f(x)的图象如图2-4-2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．图2-4-2[规律方法] 二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[跟踪训练] 1．下面关于二分法的叙述，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循D ．只有在求函数零点时才用二分法 二、函数零点类型的判定判断下列函数是否有变号零点：(1)y ＝x 2－5x －14； (2)y ＝x 2＋x ＋1；(3)y ＝－x 4＋x 3＋10x 2－x ＋5； (4)y ＝x 4－18x 2＋81.[规律方法] 图象连续不间断的函数f （x ）在[a ，b]上，若f （a ）·f （b ）<0，则函数f （x ）在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中提醒：1当fa ·f b＞0时，不要轻率地判定f x 在a ，b 上没有零点，如fx ＝x 2－2x ＋12，有f0·f 2＝14＞0，但x ＝1±22∈0，2是fx的两个变号零点2初始区间的选定一般在两个整数间，如3选的是0和5.[跟踪训练] 2．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点三、用二分法求方程的近似解 [探究问题]1．函数y＝f(x)的零点与方程f(x)＝0的解有何关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．2．如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？提示：设方程为f(x)＝g(x)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求方程f(x)＝g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似解问题．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．[规律方法] 1.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[跟踪训练] 3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是() A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]1．下列函数中能用二分法求零点的是()2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.0013．图象连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：5．指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致区间；一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有() 【导学号：60462178】A．2个B．3个C．4个D．5个3．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于()A．[－2,1] B．[2.5,4] C．[1,1.75] D．[1.75,2.5]4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为() A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.65．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内二、填空题6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号) 【导学号：60462179】①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围.10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)[冲A挑战练]一、选择题1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0 C．等于0 D．无法判断2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为()①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．A．0 B．1 C．3 D．4二、填空题3．下面是连续函数f(x)在[1,2]上的一些函数值，如表：4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为________.三、解答题5．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．。
人教B版高中数学必修一2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学设计
《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学设计一、教材分析1.教学内容《求函数零点近似解的一种算法——二分法》，选自普通高中课程标准实验教科书人教B版必修1第二章函数中《函数与方程》第二节，本单元主要研究函数的零点，求函数零点的近似解的一种算法——二分法，给出零点的概念，讨论零点个数的判定方法，给出了函数零点的性质，用二分法求函数的变号零点是零点性质的应用。
2.教材的地位与作用算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
教材有目的、有意识地将算法思想渗透在高中数学有关内容中，让学生不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。
二分法正是这一思想的体现。
二、学情分析在本节课之前，学生学习了函数零点的定义及性质，会求简单函数的零点，了解了函数零点与方程根以及函数图象的关系，这些为本节课的学习奠定的必要的知识基础。
再者，学生经过了必修一第二章函数部分内容的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、判断、归纳、概括、表达等能力，这些为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
实际问题中的二分思想在生活中的广泛应用，也为学生学习二分法提供了思维平台。
三、教学目标分析根据学生的认知水平和教科书的内容，本节课要求学生在掌握函数零点概念及性质的基础上，理解二分法的思想，会应用二分法求函数零点的近似解，明确二分法是求函数零点近似解的一种算法，故而确立本节课的三维教学目标为：1.知识与技能目标：（1）理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求函数零点近似解的一种算法；（2）能够借助计算器，用二分法求某些具体函数零点的近似解，会用二分法思想解决其他的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对二分法原理的探索，引导学生形成用函数的观点处理问题的意识，体会数形结合的思想；（2）通过求具体函数零点的近似解，体现了从特殊到一般的认知过程；（3）让学生充分体验近似思想、逼近思想和算法思想，并为继续学习算法做知识准备。
教学设计2：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
§2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 教学重点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 复习提出问题①已知函数f (x )=mx 2+mx +1没有零点，求实数m 的范围.②证明函数f (x )=x 2+6x +10没有零点.③已知函数f (x )=2mx 2－x +21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m －1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为Δ=m 2－4m <0或m =0，∴0≤m <4.②因为Δ=36－40=－4<0，∴没有零点.③Δ=1－4m 2=0或m =0，∴m =21或m =21 或m =0. ④Δ=16m 2－8(m +1)(2m －1)=－8m +8>0且2(m +1)≠0，∴m <1且m ≠－1.导入新课(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理，并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a，b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a，b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例例1证明函数y=2|x|－2恰有两个零点.图3－1－1－19证明:如图3－1－1－19，∵f(－2)=2，f(0)=－1，f(2)=2，∴f(－2)f(0)<0，f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|－2有两个零点.要证恰有两个零点，需证函数y=2|x|－2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|－2在(－∞，0)上为单调的.∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|－2可化为y=2x－1，下面证明f(x)=2x－1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1，x2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x1<x2，∵f(x1)－f(x2)=21x－2－(22x－2)=21x－22x=22x(21x－x2－1)，∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，21x－x2<1.∴22x >0，21x －x 2－1<0. ∴22x (21x －x 2－1)<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2).∴函数y =2|x |－2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y =2|x |－2在(－∞，0)上为减函数.∴函数y =2|x |－2恰有两个零点.变式训练证明函数f (x )=x +x1－3在(0，+∞)上恰有两个零点. 证明:∵f (31)=31，f (1)=－1，f (3)=31， ∴f (31)f (1)<0，f (1)f (3)<0. ∴函数f (x )=x +x 1－3在(0，+∞)上有两个零点. 要证恰有两个零点，需证函数f (x )=x +x 1－3在(0，1)上为单调的，函数f (x )=x +x1－3在(1，+∞)上为单调的. 证明：设x 1，x 2为(0，1)上的任意两实数，且x 1<x 2.∵f (x 1)－f (x 2)=x 1+11x －3－(x 2+21x －3)=(x 1－x 2)+(11x 21x -) =(x 1－x 2)+2112x x x x -=(x 1－x 2)(21211x x x x -)， ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，2112x x x x -<0.∴(x 1－x 2)(21211x x x x -)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0.∴函数f (x )=x +x1－3在(0，1)上为减函数. 同理函数f (x )=x +x1－3在(1，+∞)上为增函数. ∴函数f (x )=x +x 1－3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3－1－1－20).图3－1－1－20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n 个零点，先找出有n 个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2，如图3－1－1－21， 求证:b <0.图3－1－1－21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:方法一：把零点代入，用a 、c 表示b .方法二：用参数a 表示函数.证法一：因为f (0)=f (1)=f (2)=0，所以d =0，a +b +c =0，4a +2b +c =0.所以a =3b -，c =32-b . 所以f (x )=3b -x (x 2－3x +2)=3b -x (x －1)(x －2). 当x <0时，f (x )<0，所以b <0.证法二：因为f (0)=f (1)=f (2)=0，所以f (x )=ax (x －1)(x －2).当x >2时，f (x )>0，所以a >0.比较同次项系数，得b =－3a .所以b <0.变式训练函数y =ax 2－2bx 的一个零点为1，求函数y =bx 2－ax 的零点.答案:函数y =bx 2－ax 的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.知能训练1.函数f (x )=lg x －2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4，5)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)2.若函数f (x )=2mx +4在［－2，1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( )A.［25 4］ B.(－∞，－2］∪［1，+∞) C.［－1，2］ D.(－2，1)3.已知函数f (x )=－3x 5－6x ＋1，有如下对应值表：函数y ＝f (x )在哪几个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0，1)，因为f (0)·f (1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.拓展提升方程ln x +2x +3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？分析：利用函数图象(图3－1－1－22)进行探索分析.图3－1－1－22解：(1)观察函数的图象计算f (1)、f (2)，知f (x )=ln x +2x +3有零点.(2)通过证明函数的单调性，知f (x )=ln x +2x +3有一个零点x ∈(1，2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.。
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法学生版
1 / 12.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法一、基础过关1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A ．ε越大，零点的精确度越高B ．ε越大，零点的精确度越低C ．重复计算次数就是εD ．重复计算次数与ε无关 2．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 011)<0，f(2 012)<0，f(2 013)>0，则下列叙述正确的是 ( ) A ．函数f(x)在(2 011,2 012)内不存在零点 B ．函数f(x)在(2 012,2 013)内不存在零点 C ．函数f(x)在(2 012,2 013)内存在零点，并且仅有一个 D ．函数f(x)在(2 011,2 012)内可能存在零点 4．用二分法求函数f(x)＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是 ( ) A ．[－2,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[1,2] 5．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为______．(只填序号) ①(－∞，1]6．用“二分法”求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是______． 7．用二分法求方程x 3－x －1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根．(精确到0.1) 8．已知函数f(x)＝x 2＋x ＋a (a<0)在区间(0,1)上有零点，求实数a 的取值范围． 二、能力提升9．设f(x)＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定10那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内( ) A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)11．函数f(x)的图象如下图所示，则该函数变号零点的个数是________．12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．。
求函数零点近似解的一种计算方法二分法学案
求函数零点近似解的一种计算方法二分法学案二分法是一种常用的求函数零点近似解的计算方法。
它的基本思想是通过对函数值的符号变化进行判断，将函数值的变化区间一分为二，然后选择新的区间继续进行判断，最终找到函数零点的近似解。
1.二分法的基本原理假设我们要求解一个函数f(x)=0在区间[a,b]上的零点近似解。
首先，我们计算f(a)和f(b)的符号。
如果f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0，那么根据函数的连续性，我们可以确定在[a,b]之间存在一个零点。
2.确定新的区间为了确定新的区间，我们可以选择[a,b]的中点c，即c=(a+b)/2、然后计算f(c)的符号。
如果f(a)和f(c)异号（即f(a)*f(c)<0），那么根据函数的连续性，我们可以确定零点在[a,c]之间。
否则，如果f(c)和f(b)异号（即f(c)*f(b)<0），那么根据函数的连续性，我们可以确定零点在[c,b]之间。
3.重复上述步骤根据2中的步骤，我们可以确定新的区间。
然后，我们不断重复上述步骤，直到新的区间的长度小于我们事先设定的精确度要求。
也就是说，当b-a小于一个预定的阈值（比如0.001）时，我们可以认为[a,b]是函数零点的近似解。
4.二分法的代码实现以下是一个使用Python语言实现二分法的代码示例：```pythondef binary_search(f, a, b, epsilon=0.001):while b - a > epsilon:c=(a+b)/2if f(a) * f(c) < 0:b=celif f(c) * f(b) < 0:a=celse:#如果f(c)恰好为0，则c是零点的近似解，直接返回return creturn (a + b) / 2 # 返回[a, b]的中点作为近似解#函数示例：f(x)=x**2-4def f(x):return x ** 2 - 4#在区间[-2,2]上求解f(x)=0的近似解approximate_solution = binary_search(f, -2, 2) print(approximate_solution)```5.二分法的优缺点二分法的优点是简单易懂、收敛速度较快，对于函数零点的较为高效。
教学设计4：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法数零点求解三法我们知道，如果函数y ＝f (x )在x ＝a 处的函数值等于零，即f (a )＝0，则称a 为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．一、代数法例1 求函数f (x )＝x 2＋2x －3的零点．解 令x 2＋2x －3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0， 方程有两个不相等实数根． 方法一 因式分解法或试根法x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)或由f (x )＝x 2＋2x －3， 试一试f (1)＝12＋2×1－3＝0， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0. 所以f (x )的零点为x 1＝1，x 2＝－3. 方法二 配方法x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4＝0，所以x ＋1＝±2.所以零点x 1＝1，x 2＝－3. 方法三 公式法x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2±42.所以零点x 1＝1，x 2＝－3.点评 本题用了由求函数f (x )的零点转化为求方程f (x )＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．二、图象法求函数y ＝g (x )－h (x )的零点，实际上是求曲线y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点的横坐标，即求方程g (x )－h (x )＝0的实数解．三、用二分法求函数近似零点例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01)． 解 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，所以x 8＝1.437 5＋1.445 312 52≈1.44为函数的一个近似解．点评 首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．分法在经济和科学技术中的应用 应用问题1：市场的供需平衡问题．详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．例 3 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表表2 )应在区间()A．(2.3,2.4)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内解析由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．答案C点评充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．分法在日常生活中的应用应用问题2：运用二分法查线路故障．详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．例 4 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？解如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．点评有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．函数的零点错例剖析一、忽略了概念例5 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．错解正确．剖析对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．正解无法判断是否存在零点及零点个数问题．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．故该命题不正确．点评 (1)函数y ＝f (x )的图象在区间(a ，b )上连续且有f (a )·f (b )<0，所得在(a ，b )上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续曲线，并且f (a )·f (b )<0时，在(a ，b )上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．二、忽略了分类讨论例6 若函数y ＝ax 2－2x ＋1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 错解 由题意可得，实数a 所满足的条件为Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1.剖析 没有对系数a 进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数． 正解 (1)当a ＝0时，y ＝－2x ＋1，有唯一零点； (2)当a ≠0时，由题意可得Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围为a ＝0或a ＝1.点评 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．三、忽略了区间端点值例7 已知f (x )＝3mx －4，若在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，求实数m 的取值范围． 错解 因为在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0， 则f (－2)·f (0)<0，所以(－6m －4)·(－4)<0， 解得m <－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23)．剖析 本题的x 0在[－2,0]上可取到端点， 即f (－2)·f (0)≤0.正解 由f (－2)·f (0)≤0，解得m ≤－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23]．点评 区间值要全部考虑到，做到不重不漏． 四、图象应用例8 已知函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0( )A．有三个实根B．当x<－1时恰有一实根C．当－1<x<0时恰有一实根D．当0<x<1时恰有一实根E．当x>1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．正解∵f(－2)<0，f(－1)>0，∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．又f(0)>0，∴C项错误．而f(0.5)<0，f(1)>0，∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．故选A、B两项．点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想与函数思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案A点评在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案m≥1点评 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f (x )在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m 的不等式求出m 的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．巧用零点与方程根的关系求系数范围例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0,1)C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)分析 本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．解析 方法一 从图中可以得f (0)＝0，∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ，∴b <0.方法二 由f (0)＝0，得d ＝0， 又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0① 又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0 ②①＋②得2b <0，∴b <0. 答案 A例5 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，解出即可．解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是k >0或k <－4.点评 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．二分法思想的应用“逐步逼近”是重要的数学思想，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B )；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．两边夹法则：如果实数a ，b 满足a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b .例6 已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当a >0，－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1且g (x )的最大值为2，求f (x )．解 ∵a >0，∴g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数． 又g (x )在[－1,1]上的最大值为2， ∴g (1)＝2，即a ＋b ＝2.①于是f (1)－f (0)＝2.由题设有－1≤f (0)＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴f (0)＝－1，从而c ＝－1. 又由题设知f (x )≥－1＝f (0)， ∴二次函数f (x )的对称轴为x ＝0，于是－b2a ＝0，得b ＝0，将其代入①，得a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x 1<x 2且f (x 1)≠f (x 2)，求证：方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等的实根，且必有一根属于(x 1，x 2)．分析一：数形结合，从图象分析入手，分别作出两函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．方法一 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数，不妨设a >0，则函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．而y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象呢？是一条平行于x 轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f (x 1)与f (x 2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f (x 1)与f (x 2)是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 分别在x 1，x 2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f (x 1)≠f (x 2)，说明12[f (x 1)＋f (x 2)]一定比最小值大；若y 2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而12[f (x 1)＋f (x 2)]大于最小值，则y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．又因为min{f (x 1)，f (x 2)}≤12[f (x 1)＋f (x 2)]≤max{f (x 1)，f (x 2)}，故必有一根属于(x 1，x 2)．分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的“b 2－4ac ”，然后，再结合函数零点的存在定理．方法二 由f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]，得2ax 2＋2bx ＋2c －f (x 1)－f (x 2)＝0. 那么Δ＝(2b )2－4×(2a )·[2c －f (x 1)－f (x 2)] ＝4[b 2－4ac ＋2af (x 1)＋2af (x 2)]．此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！ 分析细节 在上式中存在f (x 1)与f (x 2)，可否将其替换呢？于是Δ＝4[b 2－4ac ＋2a (ax 21＋bx 1＋c )＋2a (ax 22＋bx 2＋c )] ＝2(4a 2x 21＋4abx 1＋b 2)＋2(4a 2x 22＋4abx 2＋b 2)＝2(2ax 1＋b )2＋2(2ax 2＋b )2≥0.又x 1<x 2，得Δ>0，因此方程有两个不等的实根． 又设g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)g (x 2)＝{f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}·{f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0.说明g(x1)与g(x2)异号，即12[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．故方程必有一根属于(x1，x2)．通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.高考中的函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程也可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．考点一函数转化为方程1．(上海高考)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．分析抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1和3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1.故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1.点评本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．考点二方程转化为函数2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．分析本问题可转化为函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．解 根据题意，函数y ＝x 2－3x ＋a 有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y ＝x 2－3x ＋a 的大致图象，如图所示，则可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4a >0，f 0>0，f 1<0.解得0<a <2.故a 的取值范围是(0,2)．点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：①判别式；②对称轴直线x ＝－b 2a与区间端点的关系； ③区间端点函数值的正负． 考点三 函数与方程的循环转化3．(浙江高考)若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]不可能是( )A ．x 2＋x －15B ．x 2＋x ＋15C ．x 2－15D ．x 2＋15 分析 由于本题未知函数f (x )、g (x )的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．解析 若g [f (x )]＝x 2＋x －15，不妨设f (x )＝x 2＋x －15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0即得x 2－15＝0，显然，x 2－15＝0有解．故函数g [f (x )]有可能为x 2＋x －15. 若g [f (x )]＝x 2＋x ＋15，不妨设f (x )＝x 2＋x ＋15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0，即得x 2＋15＝0.显然，x 2＋15＝0无解．故函数g [f (x )]不可能为x 2＋x ＋15. 对于C 、D 两答案，同理可得可能为g [f (x )]．答案 B点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性． 考点四 创新题4．设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，如果存在实数x 0，使得x 0＝f (x 0)，那么x 0为函数y ＝f (x )的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )分析 函数的零点即为函数值为0时对应方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．解析 使x 0＝f (x 0)的解即为y ＝f (x )的图象和y ＝x 的交点的个数问题．观察图象易得结论．答案 B5．关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个论断：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是( )A ．0B ．4C ．2D ．3分析 本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．解析 据题意可令x 2－1＝t (t ≥－1)，则方程化为|t |2－|t |＋k ＝0，即k ＝|t |－|t |2.作出y 1＝|t |－|t |2的图象如右图，平移y 2＝k 这一直线，结合函数的图象可知： ①当0<k <14时，t 有4个值，相应的x 有8个值． ②当k ＝14时，t 有2个值，相应的x 有4个值． ③当k ＝0时，t 有3个值，相应的x 有5个值．④当k <0时，t 有1个值，相应的x 有2个值．答案 B6．对于函数y ＝f (x )(x ∈D )其中D 为函数的定义域，若同时满足下列2个条件： ①y ＝f (x )在定义域内是单调函数；②存在区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，那么把y ＝f (x )(x ∈D )称为闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间[a ，b ]；(2)判断函数f (x )＝－34x ＋1x，x ∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由． 分析 首先以定义形式给出函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．解 (1)因为y ＝－x 3是R 上的单调递减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝b ，f b ＝a 且a <b ，即a ＝－b 3<b ，所以b >0.又－a 3＝b 9＝b ，故b ＝1，a ＝－1.所以该区间为[－1,1]．(2)由函数单调性的定义知，该函数在x ∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x ∈[a ，b ]，值域为[a ，b ]．于是⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ， 即⎩⎨⎧ f a ＝－34a ＋1a ＝b ，f b ＝－34b ＋1b ＝a .所以ab ＝4，得－34a ＋1a ＝4a， 所以a 2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．。
探究式学案1：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标：理解并掌握二分法求方程近似解的过程，会利用二分法解决简单的题目．预习导引问题1：二分法的定义是什么？问题2：给定精确度ε，如何用二分法求零点近似值？问题3：二分法的实质是什么？通过“ ”的方法，利用零点存在性定理逐步缩小零点所在的范围．问题4：二分法蕴含了哪些数学思想方法？二分法蕴含了，(正难则反)等数学思想方法．相关知识二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等线路铺设中的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．预习自测问题1：设x0是方程ln x＝－x＋4的解，则x0所在的区间为()．A．(3，4) B．(2，3)C．(1，2) D．(0，1)合作探究例1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是()．例2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________上(区间长度0.25)．例3借助计算器或计算机用二分法求方程3x－2x＝100的近似解(精确度0.1)．【方法指导】易知给定的函数是一个单调函数，因此若有零点，则一定唯一，可通过零点存在性定理确定其根所在的区间，然后用二分法来求．【小结】用二分法求近似解的问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．〖拓展问题〗若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.1)为()．A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5方法总结1．只有变号零点才能用二分法求近似值．2．求方程的近似解应注意以下几点：(1)求方程近似解，一要确定解所在的区间，二是要符合精确度要求；(2)一定要选好初始区间，以及区间上两个端点处的函数值的正负；(3)在计算过程中要随时进行精确度的判断，决定是否停止计算．课程反馈检测1．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是()．A．(－1，0)B．(1，2)C．(－1，0)或(1，2)D．(0，1)或(－2，－1)2．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间是________．3．某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分()．A．2次B．3次C．4次D．5次参考答案预习导引问题1：对于区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．问题2：给定精确度ε，用二分法求零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]⊆D ，使f (a )·f (b )＜0.令a 0＝a ，b 0＝b ；②取区间[a 0，b 0]的中点，x 0＝12(a 0＋b 0)，计算f (x 0)，一般规律：如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；如果f (a 0)·f (x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；如果f (a 0)·f (x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0；③取区间[a 1，b 1]的中点，则该中点的横坐标为x 1＝12(a 1＋b 1)，计算f (x 1)，一般规律：如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；如果f (a 1)·f (x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1；如果f (a 1)·f (x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1；……④判断是否达到精确度ε，即若|a i －b i |＜ε，则得到零点近似值a i (或b i )；否则重复步骤②－④.问题3：取中点 问题4分类讨论，补集预习自测问题1：【解析】令f (x )＝ln x ＋x －4，则有f (1)＝－3，f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，又f (x )为(0，＋∞)上的单调增函数，故解在(2，3)内．【答案】B合作探究例1．【解析】从图象上可以看出B 中图象在零点左右两边都大于零，所以不好用二分法求函数零点近似值．【答案】B例2．【解析】∵f (1)<0，f (1，25)<0，f (1.5)>0，故方程的根落在(1.25，1.5)上． 【答案】(1.25，1.5)例3【解析】令f (x )＝3x －2x －100，显然x ≤0时，f (x )＜0. 当x ＞0时，由指数函数性质知f (x )＝3x －2x －100为单调增函数．∵f(4)＝34－24－100＝81－16－100＝－35＜0，f(5)＝35－25－100＝243－32－100＝111＞0，∴f(4)·f(5)＜0，说明函数f(x)的零点x0在区间(4，5)内，取区间(4，5)的中点x1＝4.5.用计算器算得f(4.5)≈17.67＞0，∵f(4.5)·f(4)＜0.故x0∈(4，4.5)．取区间(4，4.5)的中点x2＝4.25，f(4.25)≈－12.43＜0，∵f(4.25)·f(4.5)＜0，故x0∈(4.25，4.5)．取区间(4.25，4.5)的中点x3＝4.375，f(4.375)≈1.54＞0，∵f(4.25)·f(4.375)＜0，故x0∈(4.25，4.375)．取区间(4.25，4.375)的中点x4＝4.3125.f(4.3125)≈－5.69＜0，∵f(4.3125)·f(4.375)＜0，故x0∈(4.3125，4.375)．由于|4.375－4.3125|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取4.375.〖拓展问题〗【解析】由于f(1.4375)＝0.162＞0，f(1.375)＝－0.260＜0，且|1.4375－1.375|<0.1，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.1)为1.4.【答案】C课程反馈检测1．【解析】令f(x)＝5x2－7x－1，则有f(－1)·f(0)＜0，f(1)·f(2)＜0.【答案】C2．【解析】令f(x)＝e x－x－2，则f(1)·f(2)＜0，故所在的区间为(1，2)．【答案】(1，2)3．【解析】等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625＜0.1，符合题意，应选D.【答案】D。
求函数零点近似解的一种计算方法二分法教案
课题：求函数零点近似解的一种计算方法------二分法教学目标：知识与技能――了解二分法是求函数近似解的常用方法，会用二分法求解具体函数的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想． 过程与方法――用二分法求函数的近似解，让学生充分体验逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点，难点：重点――通过用二分法求函数的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点――恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 教学程序与环节设计：教学过程：一复习引入：上节课咱们学习了函数的零点，请同学们看问题1．（1）判断函数f(x)=2x -2x-1是否有零点？由上节课求函数零点的问题可以转化为求方程根的问题，复习函数零点：从数的角度看：是使f(x)=0的实数，从形的角度看：是函数f(x)的图像与x 轴交点的横坐标。
（2）不解方程，如何求方程2x -2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）？问题2 如何求3x +3x-1=0 的近似解（精确到0.1）？二、讲解新课问题探究 ：1不解方程，如何求方程2x -2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）？ （１）师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=x 2-2x-1的图象，能够缩小根所在区间，并通过复习引入提出本节课研讨的数学问题． 分析、研讨用二分法求函数零点近似解的思想、一 学生总结研讨成果，领悟新知识，提高认识. 应用二分法解决简单问题，体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．巩固所学内容，进一步提高能力．根据f(x)<0,f(3)>0,可得出根所在区间为(2,3)。
（２）引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间（３）共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，将有助于问题的解决。
求函数零点近似解的一种计算方法──二分法教学设计
求函数零点近似解的一种计算方法──二分法教学设计一、教学目标1、知识与技能目标：理解用二分法求函数零点的原理，能借助计算器用二分法求出给定函数满足一定精度要求的零点的近似解；2、过程与方法目标：通过具体实例的求解，总结用二分法求函数零点近似解的过程与步骤，感受、体验二分法中的算法思想；3、情感、态度与价值观目标：理解相关解方程的历史，感受函数与方程的内在联系，在探究解决问题的过程中，培养学生与他人合作的态度、表达与交流的意识；培养认真、耐心、严谨的数学品质。
二、重点、难点分析：学习重点：学会用二分法求函数零点的近似解学习难点：对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解；二分法作为求函数零点近似解的一种常用方法，也是一种通法，它操作简单，程序性强，只要按部就班地去做，总会算出结果，现在又有了计算机，更容易实现。
同时此处也为后续的算法内容作了铺垫。
所以重点放在会用二分法求函数零点的近似解。
二分法的一般算法，比较抽象，学生不易理解。
求函数零点近似解的过程中，又蕴含着极限的思想，它能够达到要求的任何精度，这种思想能够用于确定函数值。
而一种方法的学会以及“精确到”、“精确度”等概念的理解只有结合实例、亲手计算、辅以工具等才易领悟。
所以难点放在对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
三、教材内容分析（一）本节课在教材中的地位二分法是高中数学新课程的新增内容，这节内容安排在函数、函数性质、函数的零点之后，引入它的重要意义在于：表达了函数与方程的联系及蕴含其中的数形结合思想，打开了求解方程的新思路；引入二分法的另一个重要意义在于它引入了“近似”的概念。
一方面，在实际中离不开近似，另一方面求函数零点近似解的过程，蕴含着极限的思想，它能够达到要求的任何精度，这种思想能够用于确定函数值等等。
二分法是求函数零点近似解的一种常用方法，它的特点是操作简单，程序性强，为后续的算法内容作了铺垫。
人教B版高中数学必修一2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学设计
《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学设计一、教材分析1.教学内容《求函数零点近似解的一种算法——二分法》，选自普通高中课程标准实验教科书人教B版必修1第二章函数中《函数与方程》第二节，本单元主要研究函数的零点，求函数零点的近似解的一种算法——二分法，给出零点的概念，讨论零点个数的判定方法，给出了函数零点的性质，用二分法求函数的变号零点是零点性质的应用。
2.教材的地位与作用算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
教材有目的、有意识地将算法思想渗透在高中数学有关内容中，让学生不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。
二分法正是这一思想的体现。
二、学情分析在本节课之前，学生学习了函数零点的定义及性质，会求简单函数的零点，了解了函数零点与方程根以及函数图象的关系，这些为本节课的学习奠定的必要的知识基础。
再者，学生经过了必修一第二章函数部分内容的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、判断、归纳、概括、表达等能力，这些为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
实际问题中的二分思想在生活中的广泛应用，也为学生学习二分法提供了思维平台。
三、教学目标分析根据学生的认知水平和教科书的内容，本节课要求学生在掌握函数零点概念及性质的基础上，理解二分法的思想，会应用二分法求函数零点的近似解，明确二分法是求函数零点近似解的一种算法，故而确立本节课的三维教学目标为：1.知识与技能目标：（1）理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求函数零点近似解的一种算法；（2）能够借助计算器，用二分法求某些具体函数零点的近似解，会用二分法思想解决其他的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对二分法原理的探索，引导学生形成用函数的观点处理问题的意识，体会数形结合的思想；（2）通过求具体函数零点的近似解，体现了从特殊到一般的认知过程；（3）让学生充分体验近似思想、逼近思想和算法思想，并为继续学习算法做知识准备。
求函数零点近似解的一种计算方法二分法的教学设计
求函数零点近似解的一种计算方法—二分法的教学设计1教材分析人教版《普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修本（B版）》的第二章 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法按大纲要求是用1课时完成 .本文从教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈这 1 课时的教学设计 .1.1教材的地位和作用函数与方程是中学数学的重要内容之一 , 又是初等数学和高等数学衔接的枢纽, 特别在应用意识日益加深的今天 , 函数与方程实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系 , 因而函数与方程思想的教学 , 既有着不可替代的重要位置 ,又有着重要的现实意义 . 而这正是本节课要渗透的重要思想 .本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算器（或计算机）用二分法求函数零点的近似解即相应方程的近似解 , 了解这种方法是求方程近似解的常用方法 , 从中体会函数与方程之间的联系 . 它既是本册书中的重点内容 , 又是对函数知识的拓展 , 即体现了函数在解方程中的重要应用 ,同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础 , 因此决定了它的重要地位 .1.2教学重、难点重点：二分法基本思想的理解 , 用二分法求函数零点近似解的步骤 .难点：求函数零点近似解一般步骤的理解和概括 .2教学目标分析2.1知识与技能（ 1）了解二分法是求函数零点近似解的一种方法 . （2）体会函数的零点与方程根之间的联系 , 初步形成用函数观点处理问题的意识.（3）根据具体函数的图像 , 能够借助计算器（或计算机）用二分法求相应方程的近似解 .2.2过程与方法（1）通过经历“用二分法求函数零点近似解”的探索过程, 初步体会数形结合思想、逼近思想等 .（2）通过设置数学学习环境 , 让学生了解更多的获取知识的手段和途径 .2.3情感态度与价值观（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程 , 感受精确与近似的相对统一 . （2）在探究解决问题的过程中 , 培养学生之间的合作态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神 .3学情分析3.1学生学习本课内容的基础学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点 , 理解了函数图象与方程的根之间的关系 ,尤其熟悉二次函数图象及其方程的根 , 并且已经具有一定的数形结合思想 ,这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识 , 在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法 , 并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想为学生继续学习算法内容埋下伏笔 .3.2学生学习本课内容的能力高一学生对于动态与静态的认识薄弱 , 对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识 , 对于综合函数图象与性质 , 计算机的应用尚不够熟练 , 这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的难度 . 但学生思维活跃,积极性高 ,因此在教学过程中应该给学生提供实践动手的机会,加强信息技术的应用 . 在用二分法教学时 , 应该为学生创设熟悉的问题情境 ,引导学生观察、计算、思考 , 理解问题的本质从而得出结论 .3.3学生学习本课内容的心理高一学生是一个特殊的学习群体 . 由于个体认知水平、学习能力等方面的差异, 表现出不同的学习状态 . 学生处于形式运算阶段 , 认知水平是从形象到抽象过渡,自我意识不断增强 ,好胜心、进取心进一步提高 ,他们富有激情 ,感情丰富 , 爱冲动, 爱幻想.4教学方法与教学手段教学方法：启发发现法、合作探究法 . 教学手段：现代信息技术辅助教学5教学程序与环节设计：结合复习内容引入课题，结合实际问题诱发兴趣.二分法的意义及方法步骤. 明确二分法的适用范围及算法思想。
人教B版高中数学必修一求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学案
§2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》学案【学习目标】①知识目标：掌握二分法求函数零点的一般方法，能借助计算器求函数近似零点。
②能力目标：了解“逼近”这一数学思想，感受体验二分法中的算法思想。
③情感目标：通过合作学习，培养同学们的团结协作的思想品质。
【自主学习】1、画出函数2232,,23y x y x y x x =+==--的图象，并找出它们的零点。
观察上述图象，你发现它们在零点两侧函数值的符号有何不同？2、请给出变号零点与不变号零点的严格定义：如果函数图象 ，则称这样的零点为变号零点。
如果函数图象 ，则称这样的零点为不变号零点。
跟踪练习1：函数f （x ）的图象如图所示，则该函数变号零点的个数是 个。
【合作探究一】零点存在性的探索： 1、请找出下列函数的零点所在的区间：①21y x =+ ___________ A [2,1]-- B [1,0]- C [1,2] D [1,3]②223y x x =-- ___________ A [3,2]-- B [2,0]- C [1,2] D [2,4] 2、观察下面的函数图象，该函数在区间(a ，b)、 (b ，c)、 (a ，d)内是否有零点？观察这三个区间端点函数值f （a ）、f （b ）、f （c ）、、f （d ）的符号，你发现 f （a ）·f （b ）、 f （b ）·f （c ）、 f （a ）·f （d ）具有什么共同点？【归纳总结1】如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象不间断，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b ）内一定存在零点？跟踪练习2：已知函数()f x 的图象是不间断的，x 、()f x 的对应关系见下表，则函数()f x 存在零点的区间有（ ）x1 2 3 4 5 6 ()f x65-310-5-23A [][]1,2,2,3B [][]2,3,3,4C [][][]2,3,3,4,4,5D [][][]3,4,4,5,5,6 思考1：满足上述条件的函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上的零点的个数是否唯一？ 思考2：若把条件“f （a ）·f （b ）＜0”改为“f （a ）·f （b ）＞0”， 函数y=f （x ）在区间 （a ，b ）上是否不存在零点？思考3：根据条件“f （a ）·f （b ）＜0”确定地是函数的变号零点还是不变号零点？ 【合作探究二】求函数零点近似解的方法的探索：1、函数2()21f x x x =--在下列哪个区间内有零点 （ ） A (1,2) B (2,3) C (0,1) D (3,4)2、不用求根公式，如何求函数f （x ）=x 2－2x －1在区间（2,3）上的零点近似值（精确到0.1）？解：由于f（2）=－1＜0，f（3）=3＞0，可以确定区间[2,3]作为计算的初始区间。
0232.4.2求函数零点近似解得一种计算方法——二分法
高一数学（ 2019级）导教案课型：新讲课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：023求函数零点近似解得一种计算方法——二分法一、学习目标：1、认识二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。
2、依据详尽函数的图象，可以借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
二、基础知识：1、一个函数y f ( x) ,在区间 a, b 上最少有一个零点的条件是异号 , 即 _________ ＜ 0，即存在一点x0 (a,b) 使，这样的零点常称作.2、有时曲线经过零点时不变号，这样的零点称作.3、二分法是求函数__________零点的近似值的一种计算方法 .二分法，就是经过不停地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐迫近零点，从而获得零点的近似值的方法。
三、基础自测1、函数f (x)x24x 4 在区间 [1,3] 上（）Ａ．没有零点Ｂ．有一个零点Ｃ．有两个零点Ｄ．有无数个零点2、方程x3 2 x23x 6 0 在区间 [ 2,4] 上的根必定属于区间（）Ａ．［－２，１］Ｂ．［２．５，４］Ｃ．［１，7 ］Ｄ．［7，２．５］443、一段串通电路有64 个元件，先发现因此中某个元件损坏而使电路不通，如何才能赶忙地查出损坏的电路元件？四、典型例题例 1、二分法求函数零点近似解，用二分法求函数 f (x) x3 3 的一个正零点（精确到0.01 ）例 2、求32近似值（精确到０．０１）五、课堂练习1、若函数 f ( x) 的图象是连续不中止的，且 f (0) 0, f (1) f (2) f (4) 0 ，则以下命题正确的选项是（）A. 函数f (x)在区间0,1 内有零点B. 函数f (x)在区间1,2内有零点C. 函数f (x)在区间0,2 内有零点D. 函数f (x)在区间0,4 内有零点2、函数y x 与y x 1 图象交点横坐标的大体区间为（）A. (1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)3、以下图 4 个函数的图象的零点不可以用二分法求近似值的是y y y y0001x x x-1x ①②③④4、写出两个最少含有方程x3x22x10一个根的单位长度为1的区间或。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学案 新人教B版必修1
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法[学习目标] 1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤.[知识链接]现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？ [预习导引] 1.二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解. 2.用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤(1)在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)·f (b 0)<0.零点位于区间[a 0，b 0]中.(2)取区间[a 0，b 0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0).计算f (x 0)和f (a 0)，并判断：①如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；②如果f (a 0)·f (x 0)<0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； ③如果f (a 0)·f (x 0)>0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.(3)取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1).计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：①如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；②如果f (a 1)·f (x 1)<0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； ③如果f (a 1)·f (x 1)>0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1.(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f (x )的近似零点，计算终止.这时函数y ＝f (x )的近似零点满足给定的精确度.要点一 函数零点类型的判断 例1 判断下列函数是否有变号零点； (1)y ＝x 2－5x －14；(2)y ＝x 2＋x ＋1； (3)y ＝4x 2＋4x ＋1.解 (1)∵y ＝x 2－5x －14＝(x ＋2)(x －7)， ∴有两个零点－2,7.由二次函数的图象知，－2,7都是变号零点. (2)∵y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0恒成立，∴此函数没有零点.(3)∵y ＝4x 2＋4x ＋1＝(2x ＋1)2， ∴有一个零点－12，但它是不变号零点.规律方法 函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x 轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.跟踪演练1 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示.下列结论正确的序号是( )①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0；③当x ＜－12时，恰有一个零点；④当0＜x ＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③答案 D解析 函数y ＝f (x )的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确. 要点二 二分法求函数零点近似解例2 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1). 解 由于f (1)＝－6＜0，f (2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点. 2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.跟踪演练2 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1).解由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：0.1的近似零点为1.3.1.设函数f(x)用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定答案 B解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5).2.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点.3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.68B.0.72C.0.7D.0.6答案 C解析已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.4.下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________(填序号).答案③解析图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.答案[2,2.5]解析令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图象在[2,3]上连续不断，∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(x0)＝f(2.5)＝5.625＞0，∴f(2)·f(2.5)＜0，故下一个有根区间是[2,2.5].1.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用.2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
【学习要求】
1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；
2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．
【学法指导】
通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.
填一填：知识要点、记下疑难点
如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？
探究点一变号零点与不变号零点
问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？
小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．
探究点二二分法的概念
问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？
例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．
问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？
问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？
跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．
探究点三 二分法的应用
例2 求函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．
小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
跟踪训练2 求32的近似值(精确到0.1)．
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x 、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有
( )
A.[1,2]，[2,3]
2.设函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x 0＝a ＋b 2
，若f(a)·f(x 0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．
3.已知函数f(x)＝mx ＋2m －7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m 的取值范围．
课堂小结：
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．
2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．
3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．
4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.。