中国古代数学几何问题拾趣

中国古代数学几何问题拾趣1 序言中国古代数学著作中有很多有研究价值的几何问题，如：“存在正方形”、“勾股测量”、“割圆术”、“出入相补原理”等等.由此可以看出，我国在几何学的发展并不落后于西方，在某些方面我国甚至领先于西方.某些问题已经引起国内外几何学家的关注，这些问题对世界数学的发展起了巨大的推动作用，开辟了几何学的许多新领域，最具代表性的要属我国古代的测量几何学.虽然今天的科学技术已经非常先进,但研究这些问题仍然十分重要.目前我国很多数学家在从事中国古代测量几何学的研究，他们整理了大量有趣的古代测量问题，并对这些问题做了系统分析，取得了许多新的理论成果，为测量几何学的发展做出了新贡献.2 背景介绍2.1 理论背景近年来，国内外数学史学家在整理我国古代数学方面的历史资料时，发现了我国古代在几何学方面的许多辉煌成果，这些辉煌成果令数学史学家很吃惊.特别是我国古代数学家对测量几何学的研究，可谓是独具特色.他们通过整理、研究、分析、总结这些成果，给世人呈现了中国古代数学在几何学方面的成就,也使世人不得不承认中国古代几何问题的研究为世界几何学发展做出了巨大的贡献.中国古代这些典型的几何问题非常适合作为现代教学材料，现代中学教材中有很多题目都是由这些著作中的题目改编而来的.这是因为这些题目对开发当代学生的智力非常实用，研究它们既能培养学生良好的思维习惯，又能提高分析问题、解决问题的能力，这种观点在国际上已经得到认可.2.2 历史背景测量问题历史悠久，我国古代数学名著《九章算术》中已经有很多相关问题的记载，这些问题都来自于社会生产实践，比如：种田、挖井、开山等.魏晋时期数学家刘徽发展了测量学，他在为《九章算术》作注时不仅总结了其中有关测量学方面的优秀成果，还专门写了论述测量问题的《重差》一卷，附在《九章算术》之末，后来《重差》一卷改为单行本，就是有名的数学著作《海岛算经》[]1()9068-P .在本书中共列有九个测量的问题，其中有二次测望，三次测望，四次测望的问题[]2()498479-P .3 所选测量问题的总体介绍我国古代有许多伟大的建筑工程，如万里长城、大运河等这些巨大的工程在施工时都要用到各种测量计算方法.我国古代数学名著《周髀算经》中记载了公元前1000年左右，西周开国时期，周公和商高讨论用矩测量的问题，另外此书中还详细记载了测量太阳高度的问题，并且给出了太阳高度公式[]3()493484-P .由此可见，测量学在我国有着悠久的发展历史，研究的内容也非常丰富,很多问题的提出方式和解决方法到现在仍然有不可估量的研究价值,这些问题的解决过程不仅为实际应用提供了算法和公式，而且具有独特的发现问题视角和严谨的逻辑论证思想,从一定程度说是这些为我国古代测量学奠定了基础.最具代表性的是我国古代数学名著《九章算术》（成书大约在公元50年到100年之间）和《海岛算经》[]1()9068-P .前者记载了各种各样的测量问题，其勾股章中的测量问题更具有独特的创新性和极富想象力的解决方法.比如:测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题等.后者记载了九个巧用勾股比例进行地面测量的几何问题，并且通过相似三角形结合勾股比例创造了“重差术”，解决了所提出的问题.4 《九章算术》中的测量问题《九章算术》中有很多测量问题，古代数学家在解决这类问题时已经在不少地方用到了相似形的知识. “勾股章”应用最多，从第十七题到二十四题都是测量问题，其中包括测树高问题、测井深问题、测山与人之间的距离问题.这些问题的解法都要利用相似直角三角形对应边成比例的原理，古代数学家称这种方法为“旁要术” .4.1《九章算术》勾股章中的测量问题举例4.1.1 测井深《九章算术》勾股章中的第二十四题原文[]4()342340-P ：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？答曰 五丈七尺五寸.原文解法 置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实.以入径四寸为法.实如法得一寸.今译 如图1所示，已知有一口井，井口直径为5尺，立一根5尺的木杆AB 于井边上，从木杆顶A 正好可望见井内水面边缘，视线AF 与井口BE 交于D ，寸4=DB .问井口至水面的深度是多少？这个问题现在一看图便很容易解决.解 寸尺505==AB ,寸尺505==EB ,寸4=DB ,)(46450寸=-=-=DB EB ED57545046=⨯=⋅=DB AB ED EF (寸)2157=(尺) 但在2000年以前能够发现这个道理，却不是那么容易的事.4.1.2 测人与树之间的距离《九章算术》勾股章中的第二十二题原文[]4()342340-P ：有木去人不知远近.立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直.从后右表望之，入前右表三寸，问木去人几何？答曰 三十三丈三尺三寸少半寸.原文解法 令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一.今译 已知有目标P 如图2，人在B 处，要测量BP 距离，则立标杆A 、B 、C 、D 成正方形，边长一丈，CP 交AD 于E ，3=DE 寸.问BP 的距离是多少？解 如图2，设BP 为x ，PBC Rt ∆～CDE Rt ∆，x :100100:3= 解得寸尺丈寸313333313333==x答 人与木标相距丈33尺3寸313.4.1.3 测山高《九章算术》勾股章中的第二十三题原文[]4()342340-P ： 有山居木西，不知其高.山去木五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺，问山高几何？答曰 一百六十四丈九尺六寸太半寸.术曰 置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实，以人去木三里为法.实如法而一，所得，加木高即山高.今译 如图3,已知一座山在木标EC 西，山与木标的距离EF 53里，木标高9丈5尺.人NM 站在木标东3里，望木梢C 与山尖P 三点成一线，人眼以下高7=NM 尺.问山的高度是多少？解 设x PB =，7=NM 尺，53=EF 里，3=EN 里，尺丈59=CE ，尺步里18003001==， 因为MCA Rt ∆～MPB Rt ∆，所以BM x AM AC ::=.即)180********(:)18003(:)795(⨯+⨯=⨯-x 解得（尺）321642=x 寸尺丈（尺）尺尺32691643216497321642==+=PF .4.2 所选问题的分析总结测山高、测井深、测人与树之间的距离,可见这些问题都是从生活中提炼出来的,这些都是当时人们进行生产生活所面临的必须解决的问题.其解决方法虽然与今天有些不同，但所用知识却是一样的.从这些例题及其解决方法可以看到当时人们已经掌握了这类问题的解决方法，对此类问题的认识已经相当深刻.这就为我国测量几何学的发展奠定了基础[]5()84-P .4.3 测量问题在现代数学中的拓展4.3.1 例题如图4所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且PQ AB //，建筑物的一端DE 所在的直线AB MN ⊥于点M ，交PQ 于点N .小亮从胜利街的A 处沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮.（1）请你在图4中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C 表示）；（2）已知：,24,8,20m PN m MD m MN ===求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM . 解 （1）如图5所示，CP 为视线，点C 为所求位置.（2）因为PQ AB //，AB MN ⊥于M ，又因为ο90=∠=∠PND CDM PDN CDM ∠=∠所以CDM ∆～PDN ∆,即ND MD PN CM = 因为m MD m MN 8,20==,所以m ND 12=，即12824=CM 所以m CM 16=，点C 到胜利街口的距离CM 为m 16.4.3.2 例题分析这个题目是由已知点确定未知点，然后再求指定距离.题目要求先画出小亮恰好能看见小明时的视线所在点，然后再求此点到胜利街口的距离，通过相似直角三角形的知识非常方便的就能解决.这个问题和上面所提《九章算术》中的测井深问题有很多相似的地方，通过比较古今解决同类问题的方法，可以看出古代虽然没有提及相似三角形的概念，但是已经用到了相似三角形的性质.5 刘徽对测量问题的进一步研究我国魏晋时代测量学得到了进一步发展,这个时代著名的数学家刘徽在研究测量问题时,发现如果不知道目的物的远近，要测量它的高，就必须两次“偃矩”测望；要测量它的深，就必须两次“覆矩”测望；要测量两个目的物之间的距离，也必须两次“卧矩”测望.他把这种测量方法叫作“重差术”，即二重差分析，也都是利用相似直角三角形的性质.在他的数学名著《海岛算经》中以文字形式给出了两个公式,“以表高乘表间为实.相多为法，除之,所得加表高，即为岛高;求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实.相多为法，除之，得岛去表里数.” []6()180162-P 这里“表”指木杆，“却行”指人后退的距离.刘徽从理论上由一次测望的简单问题发展到利用四对相似的勾股形连续进行多次测望的复杂问题.这样即使对于复杂的地形，也能设计其测量方案.他除了利用相似直角三角形性质外，还用到了相似斜三角形对应边成比例的性质.5.1《海岛算经》中的二重差问题《海岛算经》第一题的原文[]4()345343-P ：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步.令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合,问岛高及去表各几何？答曰 岛高四里五十五步,去表一百二里一百五十步.求曰 以表高乘表间为实.相多为法，除之,所得加表高，即为岛高;求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实.相多为法，除之，得岛去表里数.今译 如图6所示， 望见有一个海岛，不知道它的高度和他的远近.立下两个标竿，图中,,EK AG 竿的高度都是丈）尺3(h ，两杆之间的距离是步)1000(d ，并且使两个标竿和海岛的位置在一条线上.从前面标竿后退步)123(a ，人目落地观测得竿的顶端和海岛的顶端在一条线上.再从后面的标竿退后步)127(b ，以目落地，也可以观测到竿顶和山顶在一条线上.问：海岛的高以及岛和前一标竿之间的距离各是多少？5.2 原文中的解决方法分析[]4()345343-P原文解法如下：“以表高)(h 乘表间)(d 为实（分子），相多b a -为法（分母），除之，所得加表高，即得岛高。

”即 h h b a d x +⋅-=.“而求前表去岛远近)(y 者，以前表却行)(a乘表间)(d 为实，相多b a -为法，除之，得岛去表里数.”即 a b a d y ⋅-=. 刘徽究竟是采用什么方法得到的这两个公式已无从考证,因为书中没有记载,但公式的正确性却无庸质疑,用中学的知识便可验证.证明 作AB //DE ,则ABC ∆∽ADE ∆,ACG ∆∽ADF ∆,EKH ∆≅AGB ∆,所以AE d AD DF DF BC b a AC AG h ====-,从而有d x DF h h h b a=+=⋅+-. 又因为EKH ∆∽DFE ∆,所以ab d h h a b d h DF KH EF a y -=⋅-===,从而a a b d y ⋅-=,把相关数据代入即得本题所求结果.其中 d x DF h h h b a=+=⋅+-就是测高重差公式，即 表高前表却行后表却行表间表高岛高+⨯=-;a ab d y ⋅-=就是测远重差公式，即 ⨯=前表却行表间前表去岛之远近后表却行-前表却行. 5.3 二重测量问题在现代数学中的拓展5.3.1 例题如图7所示，花丛中有一路灯杆AB .在灯光下，小明在D 点处的影长3=DE 米，沿BD 方向行走到达G 点，5=DG 米，这时小明的影长5=GH 米.如果小明的身高为7.1米，求路灯杆的高度（精确到1.0米）解 根据题意得,,,BH FG BH CD BH AB ⊥⊥⊥在ABE Rt ∆和CDE Rt ∆中，因为BH CD BH AB ⊥⊥,，所以AB CD //,可证得ABE ∆～CDE ∆，所以BD DE DE AB CD +=①,同理BDGD HG HG AB FG ++=②,m FG CD 7.1== 由①②得BDGD HG HG BD DE DE ++=+，即BD BD +=+10533 解之得)(5.7m BD =,将m BD 5.7=代入①得：m m AB 0.695.5≈=答 路灯杆AB 的高度约为m 0.6.5.3.2 例题分析这是一道中考题，题中两次用到相似三角形对应边成比例这一性质.人在不同两点的影长已经给出,这可以说是解决本题的关键，通过影长的变化来求路灯杆的高度.这与《海岛算经》所提到的求海岛高问题是何其相似.虽然今天的解决方法和古代相比已经有了很大进步，但问题的本质及所用知识是一样的.6对测量问题的思考从《九章算术》中相似形知识的运用到《海岛算经》给出的重差公式,这是古代数学家深入研究测量问题所得到的结果.刘徽在《海岛算经》中，研究观测和计算问题都用了相似三角形的原理.计算中虽然没有引入三角函数的概念，但掌握了固定的表长，并利用线段之间的比例关系，同样可得到准确结果.这显示了我国古代测量数学的进步和发展.历史资料表明，在古希腊测量问题仅限于一次测望，欧洲在14、15世纪的著作中，也只解决了两次测望的问题[]7()439435-P .可见我国古代数学家刘徽在测量方面的成就是卓越的.。