数值计算方法报告

n
li (x) f (xi ) (1.8) i0
其中：
li (x)
(x x0)L (xi x0 )L
(x (xi
xi1)(x xi1)L xi1)(x xi1)L
(x xn) (xi xn )
n
x x j , i 1, 2,L , n (1.7)
现代数值计算报告
2012年9月8日
主讲内容
• 误差及有效数字 • 几种插值 • 曲线拟合的最小二乘法
• 什么是数值计算方法？
数值建模
数值计算
实际问题
数学问题
近似解
• 什么是“好的”数值计算方法？
✓ 误差小 ─ 误差分析
✓ 耗时少 ─ 复杂度分析
✓ 抗干扰 ─ 稳定性分析
1误差及有效数字
• 1.1误差的来源
(xi)＝f(xi) , i＝0, 1, 2, …,n (1.0)
则称(x)为关于节点x0,x1,...,xn的插值函数；称x0 ,x1, ... , xn 为插值节点；称(xi,f (xi)), i=1,2,…,n 为插 值点；f(x) 称为被插值函数。(1.0)式称为插值条件。这
类问题称为插值问题。
（1.1）式称为一次Lagrange插值。 由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程
组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大， 不便向高阶插值推广。
★ n 次插值多项式的构造
插值基函数法
分别构造x0 , x1, …, xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), …,
ln(x),满足性质：
1 0，p为整数，若 x 的绝对误差限不超过末位的半个
单位，即
表示数x的末位
x * x 1 10(n p) 1 10 pn.
2
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的半个单位
则称用 x 近似 x*是具有“ n 位有效数字。”
2 几种插值
• 插值问题的背景 在生产和实验中，函数 f(x)或者其表达式不便于计算,
或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数
（1）模型误差 指数学模型与实际问题之间出现的误差。
（2）观测误差 由观测产生的误差 （3）截断误差
当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。
如函数 f (x)用Taylor展式的有限项来近似代替。
（4）舍入误差 由于受计算机字长的限制，计算时只能 取有限位数进行运算，由此产生的误差称舍入误差。
li (x j ) ij
1, i 0， i
j j
0,1, 2,L
, n
即
节点
x0
x1
x2
…
xn
基函数
l0(x)
1
0
0
…
0
l1(x)
0
1
0
…
0
l2(x)
0
0
1
…
0
…
…
…
…
…
…
ln(x)
0
0
0
…
1
所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式：
Ln (x) l0 (x) f (x0 ) l1(x) f (x1) L ln (x) f (xn )
即插值条件： L1(xi)= f(xi)=yi,i=0,1
解之得，
a0
x0 y1 x1 y0 x0 x1
, a1
y0 x0
y1 . x1
因此，
L1 ( x)
x0 y1 x0
x1 y0 x1
y0 x0
y1 x1
x
x x1
x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1 (1.1)
或 x x* x .
• 相对误差
设 x* 为精确值，x 为近似值，相对误差为：
e x*x
er x *
. x*
当绝对误差 e 较小时，相对误差可写为：
er
e x
x*x . x
相对误差限
如果有正数εr使得 误差限。
eｒ ＝
e x*
ｒ,
则称εr为
x*
的相对
• 有效数字
设 x* 的近似值为x= 0.12L n 10p 0.1L pp1L n 10p
有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和
牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的
插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。
• 插值法的定义
设 f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0 ,x1,...,xn 处的函数值分别为f(x0),f(x1),…,f(xn)，构造一个简单 函数(x)作为函数f(x)的近似表达式y=f(x)(x),使
(x−x0)× (x−x0)(x−x1) ×
…… (x−x0)…(x−xn−1)
f [x, x0 ] f [x0, x1] (x x1) f [x, x0, x1], f [x, x0, x1] f [x0, x1, x2 ] (x x2 ) f [x, x0, x1, x2], L L L
(x)，来逼近函数 f(x)。
• 常用的函数逼近方法有： ► 插值法； ► 最小二乘法（或称均方逼近）； ► 一致逼近等。
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应
用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的 若干点上的函数值(或其导数值) 来构造f(x)的近似函数 (x)，要求(x)与f(x)在给定点的函数值相等。
j1 xi x j
ji
2.2 n 次Newton插值公式
给定n+1个插值点(xi,f(xi)),i =0,1,2,…,n,xi互异，
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x, x0 ],
f [x, x0 ]
f (x) f (x0) x x0
类似地，由二阶至 n 阶差商的定义得：
• 1.2 误差的概念
• (绝对)误差
设 x* 为精确值（或准确值），x 为 x* 的近似值， 称 e = x*－ x 为近似值x的(绝对)误差。 • (绝对)误差限（ε）
如果精确值 x* 与近似值 x 的误差的绝对值不超过 某个正数ε，即|e|=|x*－x|≤ε。 于是，精确值也可表示为 x* = x ± ε，
2.1 Lagrange插值
选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选 用节点上的函数值作为插值条件。
线性插值
给定两个点(x0，y0)，(x1，y1）， x0≠x1，确定一个一次多项式插值函数， 简称线性插值。
待定系数法
设 L1(x)=a0+a1x, 代入插值点 当x0≠x1时，方程组的解存在唯一。