相似三角形的判定和应用

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相似三角形的判定两个角

相似三角形的性质
对应角相等
面积比等于相似比的平方
相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的基本性质。
相似三角形的面积之比等于其对应边长之比的平方，这是相似三角形的一个重要性质。
对应边成比例
相似三角形的对应边之间成比例，这是判定两个三角形是否相似的关键性质。
02
判定两个角相等的三角形相似
03
判定两个角相等的方法
利用全等三角形判定
01
02
03
ห้องสมุดไป่ตู้
判定定理1
两个三角形如果三边分别相等，则这两个三角形全等。
判定定理2
两个三角形如果两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。
判定定理3
两个三角形如果两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等。
利用等腰三角形判定
01
等腰三角形的两个底角相等，因此如果两个三角形都是等腰三角形，则它们的对应角相等。
角度测量
相似三角形也可以用于测量角度，通过已知角度来推算其他角度。
在建筑设计中的应用
比例协调
在建筑设计中，相似三角形可以用来确保建筑各部分的比例协调，营造和谐的美感。
结构设计
利用相似三角形原理，可以设计出结构稳定、受力均匀的建筑结构。
THANKS
感谢观看
详细描述
根据角边角判定定理，如果两个三角形有两个角和一个对应的边分别相等，则这两个三角形相似。这是因为一个角和一条边相等意味着这两个三角形有相同的角和对应的边成比例，满足相似三角形的定义。
边角角判定定理
总结词
如果两个三角形有两个对应的边和一对对应的角相等，则这两个三角形相似。
详细描述

三角形的相似性知识点

三角形的相似性知识点相似三角形是高中数学中的重要概念，理解和掌握三角形的相似性对于解决与三角形相关的问题非常重要。

本文将介绍三角形相似性的定义、判定方法以及相似三角形的性质。

在学习相似性知识点时，我们需要掌握比例、角度和边长的关系，并且能够应用相似三角形的性质解决实际问题。

一、三角形相似性的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不等大的三角形。

正式定义为，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。

通常用符号~表示相似关系。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三个边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两个边成比例，那么这两个三角形是相似的。

三、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角都相等。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边之间的比值相等。

3. 比例性质：相似三角形的相应边长比例等于相应角度的边长比例。

四、相似三角形的应用相似三角形的性质可以应用于实际问题的解决中，例如测量高楼的高度、影子长度的测量等。

以下是一个例子：假设有一根高塔，在地面上有一杆测量仪器，测量仪器与塔尖的距离为1.5米，同时测量仪器与杆子的投影长度为0.5米。

如果知道测量仪器与塔尖的连线与水平面的夹角为30度，求塔的高度。

解决这个问题可以利用相似三角形的性质。

我们可以将测量仪器与塔尖的连线、杆子和塔的高度组成一个相似三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：(塔的高度) / (杆子的长度) = (测量仪器与塔尖的距离) / (测量仪器与杆子的投影长度)即 h / 0.5 = 1.5 / 0.5解以上比例可得 h = 1.5 米因此，塔的高度为1.5米。

结语：相似三角形的知识点是解决与三角形相关问题的基础，我们通过掌握相似三角形的定义、判定方法以及性质，能够更好地解决实际问题。

三角形的相似判定与相关问题

三角形的相似判定与相关问题在初中数学中，三角形是一个重要的几何图形。

它有着丰富的性质和特点，其中一个重要的概念就是相似三角形。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在本篇文章中，我们将探讨三角形的相似判定及其相关问题。

一、相似三角形的定义和判定相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

具体来说，如果两个三角形的对应角分别相等，且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。

那么如何判断两个三角形是否相似呢？我们可以利用以下几种方法进行判定。

1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

例如，已知两个三角形的两个对应角分别为60°和30°，那么这两个三角形就是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

例如，已知两个三角形的三条边长度分别为3cm、4cm、5cm和6cm、8cm、10cm，那么这两个三角形就是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，而另外两条边成比例，那么这两个三角形是相似的。

例如，已知两个三角形的一个对应角相等，而另外两条边的比例分别为2:3和4:6，那么这两个三角形就是相似的。

二、相似三角形的性质和应用相似三角形有许多重要的性质和应用，下面我们将介绍其中的几个。

1. 边长比例：相似三角形的对应边的长度比例相等。

例如，如果两个相似三角形的一个边的长度比例为2:3，那么其他两条边的长度比例也是2:3。

2. 高度比例：相似三角形的对应高度的长度比例等于对应边的长度比例。

例如，如果两个相似三角形的一个边的长度比例为2:3，那么它们的对应高度的长度比例也是2:3。

3. 面积比例：相似三角形的面积比等于对应边的长度比例的平方。

例如，如果两个相似三角形的一个边的长度比例为2:3，那么它们的面积比也是2²:3²，即4:9。

相似三角形的应用非常广泛。

三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用

三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用相似三角形的判定及其应用相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何图形的相似性及其应用方面具有广泛的应用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及在实际问题中的应用。

一、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用的方法有以下几种：1. AA判定法（角-角相似判定法）当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形就是相似的。

如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，那么△ABC与△A'B'C'相似。

[插入示意图]2. AAA判定法（全等三角形的判定法）如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形是相似的。

如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，∠C1 = ∠C2，那么△ABC与△A'B'C'相似。

[插入示意图]3. SSS判定法（边-边-边相似判定法）当两个三角形的对应边长度成比例时，这两个三角形就是相似的。

如下图所示，AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，那么△ABC与△A'B'C'相似。

[插入示意图]二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度利用相似三角形的性质，可以通过测量一个物体的阴影和遮挡的长度，来计算出物体的真实高度。

如下图所示，通过测量△ABC的阴影长度BD和实际高度AC，可以利用相似三角形的比例关系计算出物体的真实高度。

[插入示意图]2. 地图比例尺在地图上，为了能够容纳更多的信息，通常会使用比例尺来缩小地图的尺寸。

利用相似三角形的性质，可以通过测量地图上的距离和实际距离来确定比例尺的大小，进而测量其他地点的实际距离。

3. 相似三角形的分割比例在一些几何问题中，需要将一个三角形或长方形划分成若干个部分，利用相似三角形的性质可以确定每个部分的长度比例。

相似三角形的判定与性质以及应用

相似三角形的判定与性质以及应用考点一：相似三角形的判定与性质1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E．（1）求证：BE2=EG•EA；（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．动点问题：1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？考点二：利用相似三角形测高1．如图，某同学相测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．变式：如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．2．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=6米，GC=53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．3．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？4．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．变式：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算．（2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长．5．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，测得G处、标杆顶端C和建筑物顶端A在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，测得H处、标杆顶端E和建筑物顶端A在同一条直线上，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，求建筑物AB的高．6．如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（C D）的影长DB与身高一样，现在他沿OD方向走10米，到达E处．（1）请画出小王在E处的影子EH；（2）求EH的长．课后作业：1．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长的比为（）A．3：4 B．4：3 C．9：16D．16：93．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm4．将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍B．3倍C．81倍 D．18倍5．△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，若△ADE的面积为5，则△ABC的面积为（）A．10 B．15 C．30 D．457．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是cm2．8．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是．9．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2．10．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．11．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE、DE．AC与DE相交于点F．（1）求证：△ADF∽△CEF；（2）若AD=4，AB=6，求的值．。

初中数学知识归纳相似三角形的判定与应用

初中数学知识归纳相似三角形的判定与应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在解决几何问题中具有广泛的应用。

本文将归纳总结相似三角形的判定方法，并介绍相似三角形在几何题目中的常见应用。

一、相似三角形的判定方法相似三角形的判定有以下几种方法：1. AAA准则：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

例如，如果两个三角形的所有内角对应相等，那么它们就是相似的。

2. AA准则：如果两个三角形的一个角相等，且其对应边成比例，则它们是相似的。

例如，如果两个角分别相等，并且对应边的比例相等，那么它们就是相似的。

3. SAS准则：如果两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比例相等，则它们是相似的。

例如，如果两个三角形的一个角相等，并且两边的比例相等，那么它们就是相似的。

4. SSS准则：如果两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。

例如，如果两个三角形三边的比例相等，那么它们就是相似的。

通过以上准则，我们可以判定两个三角形是否相似，为解决几何问题提供了基础。

二、相似三角形的应用相似三角形在几何问题中的应用十分广泛，下面将介绍其中常见的几个应用：1. 比例计算：已知两个相似三角形的一组对应边，可以通过写出比例关系来计算未知长度。

例如，已知一个三角形的某两边与另一个三角形的相应两边成比例，可以使用比例关系求解未知边的长度。

2. 面积计算：两个相似三角形的面积比等于对应边长度的平方比。

根据这个性质，可以通过已知三角形的面积和相似三角形的比例关系计算另一个三角形的面积。

3. 高度计算：已知相似三角形的高度比等于对应边长度的比，可以通过已知三角形的高度和相似三角形的比例计算另一个三角形的高度。

4. 角度计算：已知两个相似三角形的一组对应角度，可以通过写出比例关系来计算未知角度。

例如，已知一个三角形的某两个角度与另一个三角形的相应两个角度成比例，可以使用比例关系求解未知角度的大小。

5. 解决证明问题：相似三角形在证明几何问题时起着重要作用。

相似三角形的判定与运用

相似三角形的判定与运用相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及一些常见的运用场景。

一、相似三角形的判定方法相似三角形的判定有两种常见的方法：AAA相似判定法和AA相似判定法。

1. AAA相似判定法如果两个三角形的对应角度相等，则可以判定它们是相似三角形。

具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得出它们相似。

2. AA相似判定法如果两个三角形的对应两个角度相等且对应两边成比例，则可以判定它们是相似三角形。

具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以得出它们相似。

二、相似三角形的运用相似三角形在几何学和实际生活中都有许多应用，下面将介绍其中的几个常见场景。

1. 测量高度或距离利用相似三角形的性质，可以通过测量已知物体的高度或距离，计算未知物体的高度或距离。

假设有一棵树和一根竖直杆子，若树的阴影长度和竖直杆子的阴影长度相等，且树的高度未知，可以通过测量竖直杆子的高度和阴影长度，利用相似三角形的比例关系计算出树的高度。

2. 观察远处物体的大小利用相似三角形，可以观察远处物体的大小。

例如，当我们看到远处的山脉或塔楼时，由于距离较远，无法直接测量其实际高度，但可以测量其与身边物体（如人、建筑等）的相对高度关系。

通过相似三角形的比例关系，可以推算出远处物体的实际高度。

3. 制作地图在制作地图或建筑图纸时，常常用到相似三角形的原理。

由于实际空间较大，无法完整地呈现在纸上，必须将其缩小比例绘制。

通过相似三角形的比例关系，将实际长度与图纸上的长度进行对应，可以保持地图的几何形状和尺寸的相似性。

4. 相机拍摄在摄影领域，相似三角形也有广泛的应用。

例如，远摄模式下，通过调整焦距和光圈，可以使远处景物保持相对清晰，从而利用相似三角形的性质，捕捉到远离镜头的物体。

相似三角形的判定和计算方法

相似三角形的判定和计算方法相似三角形是几何学中重要的概念之一，它在大量的几何问题中都有着广泛的应用。

判定和计算相似三角形的方法能够帮助我们解决各种与三角形相关的问题，因此具备这一知识是非常重要的。

本文将介绍相似三角形的判定方法和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有以下两种方法：1. AAA相似定理AAA相似定理指出，如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。

具体地，若∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2, ∠C1 = ∠C2，则三角形ABC与三角形A'B'C'相似。

2. AA相似定理AA相似定理指出，如果两个三角形的两个对应角度相等，则这两个三角形相似。

具体地，若∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2，则三角形ABC 与三角形A'B'C'相似。

需要注意的是，相似三角形的判定方法是基于角度的，角度是判定相似的重要依据。

二、相似三角形的计算方法计算相似三角形时，常见的有以下两种方法：1. 边长比法边长比法即通过计算两个三角形的边长比来判断它们是否相似。

具体地，若三角形ABC的三边长度与三角形A'B'C'的三边长度之比都相等，则这两个三角形相似。

这可以表示为：AB/A'B' = BC/B'C' =AC/A'C'。

通过边长比法可以计算出两个相似三角形的各边长度。

2. 测量角度法测量角度法是通过测量两个三角形的对应角度来判断它们是否相似。

具体地，若两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。

需要注意的是，测量角度时要使用准确的工具（如量角器）来确保测量结果的准确性。

三、相似三角形的应用相似三角形的判定和计算方法在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 测量不可达距离在实际测量中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以通过相似三角形的计算方法来间接测量。

相似三角形判定方法应用精析

相似三角形判定方法应用精析方法概括相似三角形的判定方法主要有以下几种: (1)如果一个三角形的三边分别与另一个三角形的三边对应成比例,那这两个三角形相似.简单说成:三边对应成比例的两个三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例,且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简单说成:两边对应成比例,且加夹角相等的两个三角形相似;(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等的两个三角形相似.应用指导对于具体的题目,可以根据已知条件并结合图形,选择不同的判定方法证明两个三角形相似.一、已知两个三角形的三边长,可考虑利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明相似例1 在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知：AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm ，A ′B ′=12cm ，B ′C ′=18cm ，A ′C ′=21cm ，试判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由.分析：已知条件中告诉了△ABC 和△A ′B ′C ′的三边的长，所以可根据“三边对应成比例的两个三角形相似”来判定△ABC 和△A ′BC 是否相似.为此需要先计算对应边的比值，说明三组对应边的比值是否相等.解：△ABC 与△A ′B ′C ′不相似..因为31124==''B A AB ，31186==''C B BC ，218=''C A AC 所以C A AC C B BC B A AB ''≠''=''，所以△ABC 与△A ′B ′C ′不相似.评注：利用三边对应成比例，判断两个三角形是否相似.关键是找出对应边,计算对应边的比,观察比值是否相等.三组对应边的比值不相等,则两个三角形不相似.二、已知两个三角形两条边的长，可考虑利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明相似例2 如图1，已知△ABC ，E 、F 分别是AB 、AC 边上的两点，且AE=1cm ，AF=3cm ，EB=2cm ，FC=6cm ，试判断△AEF 与△ABC 相似吗？说明理由.分析观察图形可知，已知条件中告诉了两个三角形的两组对应边长，且这两组对应边成比例，所以只能思考这两组对应边的夹角是否相等，由于其夹角为公共角，所以可以利用“两边对应成比例且夹角相等”来证明两个三角形相似.解： △AEF ∽△ABC. 因为31=AB AE ，3193==AC AF 所以AC AF AB AE =，又∠EAF=∠BAC ，所以△AEF ∽△ABC.图1说明：不能利用两边对应成比例，一组对边的对角相等来判定两个三角形相似.三、已知条件中有一组对角相等或涉及到平行线，可考虑利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明相似例3 如图2，△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，试判断△ADF 与△EFC 相似吗，说明理由.分析：根据平行线的性质，可以得到同位角相等，即得到两个三角形的两组对应角相等，根据两组对应角相等的两个三角形相似可得到△ADF 与△EFC 相似.解：△ADF ∽△EFC.因为DE//BC ，EF//AB ，所以∠ADE=∠B=∠EFC ，∠AED=∠C ，所以△ADE ∽△EFC.说明：利用两组对角相等判定两个三角形相似是证明三角形相似最常用的方法.图2四、当多种方法都可以判定两个三角形相似时，可选择较简单的判定方法例4 在正方形网格上有△ABC 和△DEF ，这两个三角形相似吗？请说明理由.分析：本题通过网格给出条件信息，观察网格中的两个三角形可知，能根据勾股定理计算出三角形的边长，这样可根据“三边对应成比例的两个三角形相似”来证明；另外，通过观察也可以得到∠A=∠E=135°，所以也可根据“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明；当然，也可以利用“两组对角相等的两个三角形相似”来证明.解：△ABC ∽△EDF.因为AB=21122=+，AC=2， DE=222222=+，EF=4，所以EFAC DE AB =，图3 又∠BAC=∠DEF=135°，所以△ABC ∽△EDF.说明：网格中的相似三角形问题是中考中的热点.网格中三角形相似判定,一般根据三边对应成比例解决问题.总结：证明两个三角形相似，要灵活掌握三角形相似的判定方法，要根据所给的条件灵活选择方法.对于直角三角形相似以及等腰三角形相似,一般根据“两组对应角相等的两个三角形相似”进行证明.当然也可以根据其他两种方法进行证明，要根据已知条件灵活选择.跟踪练习一、精心选一选1．在两个三角形中，若一个三角形的两边分别是1.2cm 和1.6cm ，另一个三角形的两边分别是2.8cm 和2.1cm ，且它们的夹角相等，则这两个三角形的关系是（）A ．全等三角形B ．相似三角形C ．面积相等的三角形D ．不相似的三角形2．下列能使三角形一定相似的是( )A.两边对应成比例的三角形B.两边分别成比例的直角三角形C.两边对应成比例的等腰三角形D.两直角边对应成比例的直角三角形3．下列各组图形中有可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形4．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）第4题图 A B C D 5．如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）A．4对 B. 5对C．6对 D.7对第5题图二、耐心填一填6.如图，线段AC、BD相交于点O，要使△AOB∽△DOC，需要补充的条件是______________或______________或______________.第6题图第7题图7．如图3，△ABC中，若∠A=90°，正方形DEFG内接于△ABC，则图中与△ABC相似的三角形有________________.8.已知：在△ABC和△DEF中，AB=8，BC=6，AC=4，DE=12，EF=18，DF=24，则△ABC和△DEF的关系是________，根据是___________.二、专心解一解9．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并说明理由.第9题题10．如图，梯形ABCD 中．AB∥CD．且AB=2CD ，E,F 分别是AB ，BC 的中点.EF 与BD 相交于点M ．(1说明△EDM∽△FBM 的理由；(2)若DB=9，求BM ．第10题图参考答案：一、1．B （提示：因为8.26.11.22.1=，且夹角相等） 2. D ．（提示：三边对应成比例）；3．A （提示：一个三角形顶角是45°，另一个三角形的底角是45°）4．D （提示：两边对应成比例，且夹角相等）5．C （提示：△BFH ∽△BAG ，△BFH ∽△CDH ；△BAG ∽△CDH ；△BAG ∽△CEG ；△CEG ∽△CDH ；△CEG ∽△BFH ）.二、6．∠B=∠D ，∠A=∠C ，OCOA OD OB = 7．△AGF ，△DBG ，△EFC.8．相似，三边对应成比例的两个三角形相似.三、9．（1）△AOB ∽△DOC ；（2）△AOD ∽△BOC（1）因为∠ABD=∠ACD ，∠AOB=∠DOC （对顶角相等）所以△AOB ∽△DOC.（2）由（1）知△AOB ∽△DOC ，所以OC OB OD OA =，所以OCOD OB OA =，又因为∠AOD=∠BOC ，所以△AOD ∽△BOC.10．(1)因为E 是AB 的中点，所以AB=2EB ，因为AB=2CD ，所以CD= EB ．又AB∥CD，所以四边形CBED 是平行四边形．所以CB∥DE ∠DEM=∠BFM ，∠EDM=∠FBM所以△EDM ∽△FBM．(2) 因为△EDM∽△FB M ，所以BF DE BM DM ；因为F 是BC 的中点．所以DE=2BF ；所以DM=2BM ，所以BM=31DB=3．。

相似三角形判定

相似三角形判定相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等的情况。

在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。

本文将介绍相似三角形的判定方法及其应用。

一、相似三角形的判定条件1. 直角三角形相似判定对于两个直角三角形，若它们的一个角相等（除直角外），并且两个锐角分别相等，那么这两个直角三角形是相似的。

换句话说，如果两个直角三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。

2. AAA相似判定对于两个三角形，如果它们的三个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

3. AA相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两个角对应的两边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

4. SAS相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的应用1. 比例计算相似三角形的边长比例可以用来计算未知长度。

例如，如果我们知道一个三角形的两个边与另一个三角形的两个边成比例，那么我们可以利用这个比例关系计算出未知边的长度。

2. 测量不可达距离在实际测量中，由于一些地方不可达或较难到达，我们可以利用相似三角形的原理来计算这些位置的距离。

通过测量已知距离和相似三角形的比例关系，我们可以确定不可达位置的距离。

3. 设计模型和原型相似三角形的原理也经常用于设计模型和原型。

通过在一个比例上缩小或放大一个已知的三角形，我们可以得到与原三角形相似的模型。

4. 空间推理在几何学中，相似三角形的概念经常被用于进行空间推理。

通过判断不同角度和边长的三角形是否相似，我们可以推断出一些与角度和长度相关的性质。

总结：相似三角形的判定条件包括直角三角形相似判定、AAA相似判定、AA相似判定和SAS相似判定。

相似三角形的应用广泛，包括比例计算、测量不可达距离、设计模型和原型以及空间推理等方面。

通过掌握相似三角形的判定条件和应用，我们可以在几何学和实际问题中更好地运用相似三角形的概念。

相似三角形的判定及应用

相似三角形的判定及应用相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。

判定两个三角形是否相似可以通过以下几种方法，同时这些方法也可以应用于解决实际问题：1. AAA判定法：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的三个角分别对应相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如测量倾斜物体的高度等。

2. AA判定法：若两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的两个角分别对应相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如计算山坡的斜率等。

3. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的一个角相等，且两条与该角相对应的边的比例相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如计算高塔的阴影长度等。

4. SSS判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的三条边的比例相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如计算建筑物的缩放比例等。

相似三角形的应用在几何学和现实生活中都非常广泛。

以下是一些应用示例：1. 建筑和工程：通过相似三角形的概念，可以计算建筑物的缩放比例，包括建筑物的高度、宽度和深度等。

这对于设计和规划新建筑物或改建现有建筑物非常有用。

2. 地形测量：利用相似三角形的原理，可以测量山坡的斜率、高塔的阴影长度等。

这对于地理测量和地形分析非常重要，可以用于制作地形图和地图。

3. 倾斜物体测量：对于无法直接测量的高物体（如高塔、山峰等），可以利用相似三角形的原理，通过测量影子长度和角度，计算物体的高度。

这在地理测量和旅行中很常见。

4. 统计学：在统计学中，相似三角形的概念可以被用于创建样本的代理数据集，从而更好地理解和解释真实数据集的特征和趋势。

5. 生物学：在生物学中，相似三角形的原理可以应用于研究和分析动物和植物的形态特征以及它们之间的关系。

相似三角形的判定(解析版)

相似三角形的判定(解析版)相似三角形的判定（解析版）相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

判定两个三角形是否相似有多种方法，本文将介绍三种常见的相似三角形判定方法，并以解析的方式解释其原理和应用。

一、AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的相似角和对应边的比值来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 观察两个三角形中的对应角，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E（或∠C = ∠F），则可以得出两个三角形的相似角。

3. 检查两个三角形中对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF（或AC/DF）成立，则可以得出两个三角形相似。

通过AA相似判定法，我们可以快速判定两个三角形是否相似，并且可以进一步得出它们对应边的比值关系。

二、SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的边长比值来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 检查两个三角形中各对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF =AC/DF成立，则可以得出两个三角形相似。

通过SSS相似判定法，我们可以根据三个对应边的比值关系来判断两个三角形是否相似。

三、SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的两组对应边的比值和夹角的相等关系来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 检查两个三角形中对应边的比值和夹角的相等关系。

如果AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，则可以得出两个三角形相似。

SAS相似判定法是一种灵活且常用的判定方法，通过两组对应边的比值和夹角的相等关系来判断两个三角形是否相似。

结论：通过以上三种相似三角形的判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

在实际应用中，相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。

例如，在建筑、地图测量和航空导航中，我们需要利用相似三角形的性质来进行距离和高度的估算。

相似三角形的判定条件及证明

相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。

在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。

本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。

1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。

我们需要证明它们是相似的。

根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。

假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。

根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。

因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。

2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。

我们需要证明它们是相似的。

假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。

根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。

因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。

3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。

我们需要证明它们是相似的。

我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。

设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。

由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。

相似三角形判定及性质的应用

证法一：要证2 ED DM AD CD成立，应把积的形式转化成比例式（还应考虑系数2）， 2 ED CD , 要得出2 ED，可延长DE到F，使 AD DM EF DE , 又知CE DE EF , 可得CDF是Rt , 由条件得 AMD∽FCD, 结论成立。 A 证法二：过点E作EGCD，根据等腰三角形的 2 ED AD 性质，得CD 2 DG , 只需证明即 CD DM ED AD ,由题易证得DEG ∽ DAM， DG DM A 故结论成立。
27.2.1 相似三角形的判定及性质
回忆：
• 相似三角形的性质有哪些？
• 相似三角形有哪些判定方法？
例：如图，已知点C、D在线段AB上，且△PCD的关系时△ACP∽△PDB；
（2）当△PDB∽△ACP时，求∠APB的度数
P
A
C
D
B
例如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证： 2ED .DM=AD. CD。
t 6t a 0的两个根，求DE的长和a的值。
2
C D
(1)由题意知，易得ABC ∽ADE,得y与x 的函数关系式。 5 y x0 x 10 13
A
E
x y DE xy DE 2 , , 2 36 24 260 24 AD, AE的长恰好是方程t 2 6t a 0的两个根， 65 DE 4, a 9
CDA 90
∵BE为圆O的直径 BCE 90 则∠CDA=∠BCE ∴△ACD∽△EBC

（2）解：在Rt△CBD中，CD=6，BD=8
AC CD ∴ AC•BC=BE•CD BE BC
BC 62 82 10
在Rt△ACD中，CD=6，AD=3

三角形的相似判定

三角形的相似判定相似三角形是高中数学中非常重要的概念之一。

在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

本文将从相似三角形的定义、判定方法和一些相关性质进行探讨。

1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。

2. 判定相似三角形的方法（1）AA判定法当两个三角形的两个对应角相等时，如果它们的第三个对应角也相等，那么这两个三角形是相似的。

具体而言，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可推出∠C=∠F，从而得出两个三角形相似。

（2）SAS判定法当两个三角形的一个对应边成比例，两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可推出∠B=∠E，从而得出两个三角形相似。

（3）SSS判定法当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形是相似的。

具体而言，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则得出两个三角形相似。

3. 相似三角形的性质（1）相似三角形内角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角都相等。

这一性质可以通过AA判定法和SAS判定法得到证明。

（2）相似三角形边长比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。

这一性质可以通过SAS判定法和SSS判定法得到证明。

（3）相似三角形面积比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积之比为k²。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF相似且AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k²。

4. 常见应用相似三角形的概念在几何问题中有广泛的应用。

例如，可以利用相似三角形的性质解决高塔定影问题、测量无法直接获得的长度等。

5. 实例分析现举一个例子来说明相似三角形的判定及应用。

两个直角三角形相似的判定定理

两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理是高中数学中的一个重要定理，主要用于解决与直角三角形相似性有关的问题。

本文将介绍两个直角三角形相似的判定定理及其证明，以及相似性在几何学中的应用。

1. 判定定理一：若一个直角三角形的两条直角边分别等于另一个直角三角形的两条直角边或者分别等于另一个直角三角形的一条非直角边和一条斜边，则这两个直角三角形是相似的。

对于判定定理一，我们需要使用勾股定理进行证明。

假设ΔABC和ΔDEF是两个直角三角形，并且AB=DE，AC=DF，BC=EF。

根据勾股定理可知：
AB²=AC²-BC² ，DE²=DF²-EF²
代入等式可得：
将等式左右两边同时加上BC²和EF²，可得：
因此，两个直角三角形ΔABC和ΔDEF是相似的。

a/sinB=b/sinA，c/sinE=d/sinF
BC=EF
a/b = c/d
两个直角三角形相似的判定定理在几何学中的应用十分广泛。

例如，在三角形相似问题中，我们可以使用判定定理一得出两个直角三角形之间的相似性，从而进一步解决整个问题。

此外，这个定理还可以应用于计算机视觉、机器人学、虚拟现实等领域。

三角形的相似

三角形的相似三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。

当两个三角形的对应角度相等且对应边的比例相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。

本文将介绍三角形的相似性质、判定方法以及一些与相似三角形相关的常见应用。

一、三角形的相似性质相似三角形有以下几个重要的性质：1. AAA相似性质：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。

2. AA相似性质：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

3. SAS相似性质：如果两个三角形的两边对应成比例，并且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。

4. SSS相似性质：如果两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。

二、判定两个三角形是否相似的方法根据以上相似性质，我们可以采用以下方法判定两个三角形是否相似：1. 角-角-角（AAA）判定法：当两个三角形的三个内角分别相等时，可以判定这两个三角形相似。

2. 角-边-角（AA）判定法：当两个三角形的两个对应角分别相等，且其夹角处的边也成比例时，可以判定这两个三角形相似。

3. 边-角-边（SAS）判定法：当两个三角形的两边对应成比例，并且它们的夹角相等时，可以判定这两个三角形相似。

4. 边-边-边（SSS）判定法：当两个三角形的三边对应成比例时，可以判定这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见应用相似三角形的性质可以应用于实际生活和解决几何问题中，下面介绍三个常见的应用场景：1. 测量高度：当无法直接测量高度时，可以利用相似三角形的性质通过测量已知长度和角度，并找到对应的相似三角形，从而计算出高度。

2. 影子问题：在阴影问题中，利用相似三角形的性质可以求解未知物体的尺寸。

通过测量物体和其阴影的长度，以及测量太阳光和物体的夹角，可以建立相似三角形的比例关系，从而计算出未知物体的尺寸。

3. 图像放大缩小：利用相似三角形的性质，可以通过控制不同比例的相似变换对图像进行放大或缩小。

这在摄影、计算机图形学等领域中广泛应用。