2018年重庆市高考数学三模试卷(理科)
高三数学三模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．246．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，s in15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．487．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合P、Q，求出P∩Q即可．【解答】解：P={x||x|＜3，且x∈Z}={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}={x|0≤x≤3，且x∈N}={0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得si nθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：y=0时， =1不成立，即可判断出真假；命题q：由于函数f（x）在R 上单调递增，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：若x，y∈R，x=y，则=1，y=0时不成立，因此是假命题；命题q：若函数f（x）=e x，由于函数f（x）在R上单调递增，则对任意x1≠x2都有＞0成立，是真命题．因此在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是②④．故选：D．4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件求出向量•的值，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵•（+）=2，∴•+2=2，即•=﹣2+2=2﹣1=1则cos＜，＞==，则＜，＞=，故选：D5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．24【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48≈16．故选：B．6．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，选：C．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆C：（x﹣c）2+y2=4a2的圆心为（c，0），半径为2a，由直线和圆相切的条件可得，=b=2a，可得c==a，即有e==．故选：C．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a1=1，∴由a n+1=a1+a n+n，得a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…a n﹣a n﹣1=n（n≥2）．累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=．故选：B．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为﹣1 ．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】由于（2x﹣1）dx==6，化简解得m．令x=1，即可得出二项式（1﹣2x）3m展开式各项系数和．【解答】解：∵（2x﹣1）dx==6，化为：m2﹣m﹣（1﹣1）=6，m＞1，解得m=3．令x=1，则二项式（1﹣2x）3m即（1﹣2x）9展开式各项系数和=（1﹣2）9=﹣1．故答案为：﹣1．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【考点】几何概型．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，k FN=﹣=﹣2∴=2，求得a=4，故答案为：4．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为②．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆命题的定义结合方程根的关系进行判断．②根据三角函数的周期公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据函数与方程的关系进行判断．④根据幂函数的定义和性质进行判断．⑤根据向量夹角和数量积的关系进行判断．⑥构造函数，判断函数的单调性即可．【解答】解：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是若a≤，则方程ax2+x+1=0有两个实数根，当a=0时，方程等价为x+1=0，则x=﹣1，此时方程只有一个根，故①错误；②f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，若“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”，则，则|a|=1，则a=±1，则充分性不成立，反之成立，即“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件正确，故②正确，③由f（x）=2x﹣x2=0得2x=x2，作出两个函数y=2x和y=x2的图象如图，由图象知两个函数交点个数为3个，故③错误；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0），错误，当a＜0时，函数的图象不过点（0，0），故④错误，⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”且≠λ，λ＜0；故⑤错误，⑥设f（x）=sinx﹣x，则函数的导数f′（x）=cosx﹣1≤0，则函数f（x）是奇函数，∵f（0）=sin0﹣0=0，∴f（x）=0的根只有一个0，解集方程sinx=x有一个实根．故⑥错误，故正确的是②，故答案为：②三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．（Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式，和两角和的正弦公式即可化简f（x）=，【分析】而由x的X围可以求出x+的X围，从而可得出f（x）的值域；（Ⅱ）由f（A）=2即可求得A=，从而由余弦定理和不等式a2+b2≥2ab可求得|AB||AC|≤1，根据向量数量积的计算公式便可得出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）；∵；∴；∴；∴f（x）的值域为[1，2]；（Ⅱ）∵f（A）=2，∴；在△ABC中，∵0＜A＜π，∴；∴；∴|AB||AC|=|AB|2+|AC|2﹣1≥2|AB||AC|﹣1；∴|AB||AC|≤1；∴；∴的最大值为．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由表某某息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由表某某息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得…②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，因而ξ的分布列为ξ29 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．运用面面垂直的性质定理，可得DO⊥平面ABC，又直线AE⊥平面ABC，可得AE∥DO，运用线面平行的判定定理，即可得证；（2）连接AO，运用线面平行和线面垂直的性质，求得OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．求得O，A，B，E的坐标，假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，求得P的坐标，求得平面PBE，ABE 的法向量，运用向量的夹角公式，计算可得P的位置．【解答】解：（1）证明：如图，过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．因为平面ABC⊥平面BCD，DO⊂平面BCD，DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD=BC，所以DO⊥平面ABC，因为直线AE⊥平面ABC，所以AE∥DO，因为DO⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以直线AE∥平面BCD；（2）连接AO，因为DE∥平面ABC，所以AODE是矩形，所以DE⊥平面BCD．因为直线AD与直线BD，CD所成角的余弦值均为，所以BD=CD，所以O为BC的中点，所以AO⊥BC，且．设DO=a，因为BC=2，所以，所以．在△ACD中，AC=2．所以AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，即．解得a2=1，a=1；以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则．假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，即有=+λ（﹣），则．设平面ABE的法向量为={x，y，z}，由=（0，0，1），=（，﹣1，0），则，即，取x=1，则平面ABE的一个法向量为．设平面PBE的法向量为={x，y，z}，则，取x=1+λ，则平面PBE的一个法向量为=（1+λ，﹣λ，﹣2λ），设二面角P﹣BE﹣A的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，则cosθ===，化简得6λ2+λ﹣1=0，解得λ=或（舍去），所以在CA上存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．其为线段AC的三等分点（靠近点A）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令g（x）=x2﹣（a+2）x+1，根据函数的单调性得到：；，作差得到新函数F（n）=2lnn+n ﹣，（n＞e），根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），当时，，…令f′（x）＞0，得：或，所以函数单调增区间为：，，令f′（x）＜0，得：，所以函数单调减区间为：，…（Ⅱ）证明：，令：g（x）=x2﹣（a+2）x+1=（x﹣m）（x﹣n）=0，所以：m+n=a+2，mn=1，若f（x）在内有极值点，不妨设0＜m＜，则：n=＞e，且a=m+n﹣2＞e+﹣2，由f′（x）＞0得：0＜x＜m或x＞n，由f′（x）＜0得：m＜x＜1或1＜x＜n，所以f（x）在（0，m）递增，（m，1）递减；（1，n）递减，（n，+∞）递增当x1∈（0，1）时，；当x2∈（1，+∞）时，，所以：=，n＞e，设：，n＞e，则，所以：F（n）是增函数，所以，又：，所以：．【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F 四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．【考点】参数方程化成普通方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．【分析】（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，【解答】解：（1）当时，由，得，所以直线方程为，由，得曲线C的普通方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）再由，得：13x2﹣24x+8=0，所以，，所以M的坐标为（2）把直线的参数方程代入，得：，所以，由|PA|•|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：，所以，，所以，所以．所以直线L的斜率为±．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值X围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的X围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得。
2018年重庆市高三三模考试三诊考试数学(理)试题含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a ≤ D ．2a <2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足21iz z =+，则z =（ ） A ．2155i -- B ．2155i + C ．2i + D ．2i - 3.设命题:,2ln 2x p x Q x ∃∈-<，则p ⌝为（ ）A ．,2ln 2x x Q x ∃∈-≥B ．,2ln 2x x Q x ∀∈-<C ．,2ln 2x x Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2x x Q x ∀∈-= 4. 已知随机变量()22,XN σ，若()()1121P X a P X a ≤-+≤+=，则实数a =（ ）A ． 0B ．1 C. 2 D ．45.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中,A B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为 （ ）A ．12B ． 24 C. 36 D ．486. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M N 、两点，与抛物线的准线交于P Q 、两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（ ） A．．．37. 已知实数,x y 满足不等式组20x y x a x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的2倍，则a =（ ）A ．34 B ．56 C. 65 D ．438. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入103,97a b ==，则输出n 的值是（ ）A ． 8B ． 9 C. 12 D ．169.一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32π，则侧视图中的x 的值为 （ ）A ． 6B ． 4 C. 3 D ．210. 已知圆O 的方程为221x y +=，过第一象限内的点(),P a b 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若8PO PA =，则a b +的最大值为（ ）A ．3B ．．611. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,A B 两点，其中O 为坐标原点，若1AF 与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A B D 12. 已知函数()32413327f x x x x =+++，等差数列{}n a 满足：()()()129911f a f a f a +++=，则下列可以作为{}n a 的通项公式的是（ ）A ．173n - B ．2333n - C. 452n- D ．49n - 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.函数()22cos sin cos 1f x x x x =+-的最大值是 ．14.已知0a >，且102a x ⎛ ⎝的展开式中常数项为5，则a = ．15.在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE = ．16.已知点I 为ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若AI xAB yAC =+，则x y += ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，A 为锐角，且()224sin 5cos sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎫--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭.（1）求A ；（2）若1,AC ABC =∆BC 边上的高.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.30.5的概率为110. （1）求,a b 的值；（2）若某大学A 专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A 专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A 专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A 专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1 1.3的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19.如图，三棱柱111ABCA B C 中，011111,,60AC B A AB AA BAA ⊥=∠=. （1）求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若平面BAC ⊥平面11ABB A ，且AB CB =，求二面角11A CC B --的正弦值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点与抛物线2y =的焦点重合.（1）求椭圆的C 的方程；（2）设点P 为圆22:2x y Γ+=上任意一点，过P 作圆Γ的切线与椭圆C 交于,A B 两点，证明：以AB 为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标. 21.已知函数()()1ln f x x a x a R x=+-∈. （1）若直线1y x =+与曲线()y f x =相切，求a 的值； （2）若关于x 的不等式()2f x e≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=. （1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点,P Q ，求MP MQ +的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-+.（1）当3a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-6: DACCBA 7-12: BBCBCA 二、填空题13.214. 13 15. 278 16. 23三、解答题 17.解：（1）)1sin 4sin 1sin sin 223AA A A A π+=+⇒=⇒=； （2）1sin 42S bc A c ===， 由余弦定理有：2222cos 13a b c bc A a =+-=⇒= 由面积公式有：1213S ah h =⇒=. 18.解：（1）0.20.10.50100b b a ⨯=⇒=⇒=； （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：()()321553338810300,15656C C C P P C C ξξ======， ()()12353333881512,35656C C C P P C C ξξ======，所以其分布列如下：则()568E ξ==. 19.解：（1）设AB 中点为D ，连接1,CD DA ，又设2AB =，则11,12AD AA ==， 又因为11cos 2BAA ∠=，所以1AB DA ⊥， 又因为11111,CA A B CA DA ⊥，所以11A B⊥面1CDA ，所以11AB CD ⊥，又因为CD 为中线，所以ABC∆为等腰三角形；（2）设以AB 中点D 为原点，分别以1,,DA DA DC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()(()(110,0,0,,,1,0,0,D A C B C --，故()()(110,3,3,1,3,0,1,0,CACC CB =-=-=-，设面11ACC 的法向量()1111,,n x y z =，则有()1111103,1,10n x =⇒=-=⎪⎩，同理得：面1BCC 的法向量()23,1,1n =-，设所求二面角为θ，则12123cos 5n n n n θ==，故4sin 5θ=.20.解：（1）由题意有：221263c e x y a c ⎧==⎪⇒+=⎨⎪=⎩； （2）由对称性，猜测该定点为()0,0O ，设该切线方程为y kx b =+， 则有2222d b k ==⇒=+，联立方程有：()22222214260163y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()222212121212211366021OA OB x x y y k x x kb x x b b k k =+=++++=--=+，所以OA OB ⊥，即原点以在AB 为直径的圆上.21.解：（1）()2022111111a x ax f x x a x x x a x --'=--==⇒=-⇒-=， 则有：()00000001ln 1ln 10f x x a x x x x x =+-=+⇒-+=， 令()()1ln 1101h x x x h x x x'=-+⇒=-=⇒=， 则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 又因为()10h =，所以011x a =⇒=-； （2）令()12ln l x x a x x e=+--，则原命题等价于()0l x ≥恒成立， 又()221x ax l x x --'=，设20000110,x ax a x x --==-， 则()l x 在()00,x 上单减，在()0,x +∞上单增，故只需()()00000001120,ln l x l x x x x x x e⎛⎫≥=+--- ⎪⎝⎭，令()()21121ln 1ln m x x x x m x x x x e x ⎛⎫⎛⎫'=+---⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()m x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()10m m e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即11,a e e e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.22.解：（1）22cos sin 11,sin8cos 8x y y x ρθρθρθθ+=⇒+==⇒=；（2）考虑直线方程1x y +=，则其参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线方程有：22118102t ⎛⎫-=⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则有12MP MQ t t +=+=23.解：（1）()33,3323,3x x f x x x x x -≥⎧=-+=⎨+<⎩结合函数图像有：[)0,x ∈+∞；（2）由题意知()202f a -=⇒=或6a =-，经检验，两种情况均符合题意，所以2a =或6a =-.。
2020年高考全国三卷理科数学试卷
2020年高考全国三卷理科数学试卷2020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合$A=\{(x,y)|x,y\in N^*,y\geq x\}$，$B=\{(x,y)|x+y=8\}$，则$A\cap B$中元素的个数为A。
2B。
3C。
4D。
62.复数$\frac{1}{1-3i}$的虚部是A。
$-\frac{3}{10}$B。
$-\frac{1}{3}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{3}{10}$3.在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，且$\sum\limits_{i=1}^4 p_i=1$，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A。
$p_1=p_4=0.1$，$p_2=p_3=0.4$B。
$p_1=p_4=0.4$，$p_2=p_3=0.1$C。
$p_1=p_4=0.2$，$p_2=p_3=0.3$D。
$p_1=p_4=0.3$，$p_2=p_3=0.2$4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数$I(t)$（$t$的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中$K$为最大确诊病例数。
当$I(t^*)=0.95K$时，标志着已初步遏制疫情，则约为$\ln 19\approx 3$。
则$t^*$约为A。
60B。
63C。
66D。
695.设$O$为坐标原点，直线$x=2$与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$交于$D$、$E$两点，若$OD\perp OE$，则$C$的焦点坐标为A。
$(1,\frac{1}{2})$B。
$(2,1)$C。
$(1,-\frac{1}{2})$D。
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)第三次高考模拟训练试题及答案解析一
最新东北三省四市教研联合体高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i3．已知函数f（x）=，则f（a）的值不可能为（）A．2016 B．0 C．﹣2 D．4．设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．155．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；（2）若n⊥α，m⊥β，且n⊥m，则α⊥β；（3）若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；（4）若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．46．在边长为2的等边三角形△ABC中，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．C．D．47．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．458．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=﹣3与抛物线交于点M，|MF|=5，则抛物线的标准方程是（）A．y2=2x B．y2=18xC．y2=x D．y2=2x或y2=18x9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取一点M，则满足∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8二.填空题13．设a为非零常数，已知（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x2项的系数是______．14．在椭圆=1上有两个动点M，N，K（3，0）为定点，•=0，则•最小值为______．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为8π，则三棱锥的高为______．16．已知数列{2n•a n}的前n项和为，若存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m的取值范围是______．三.解答题17．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．18．如表为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩（单位：分）甲102 126 131 118 127乙96 117 120 119 135（1）试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定？（不用计算，给出结论即可）（2）若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进行分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平面PBC所成角的余弦值为？20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试比较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n ∈Z，n≥2）的大小．选做题[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD为⊙O的切线，过A作CD的垂线，垂足为D，交⊙O于F．（1）求证：AC为∠DAB的角平分线；（2）过C作AB的垂线，垂足为M，若⊙O的直径为8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等比数列．（1）求抛物线C的方程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的面积的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log2（2a+2b）﹣m≥．参考答案与试题解析一、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】子集与真子集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B={1，2，3}，由此能求出集合A∪B的真子集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A∪B={1，2，3}，∴集合A∪B的真子集个数为23﹣1=7．故选：A．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：依题z2=﹣2+i，从而，于是=﹣3﹣4i，故选：C．3．已知函数f（x）=，则f（a）的值不可能为（）A．2016 B．0 C．﹣2 D．【考点】函数的值．【分析】由分段函数分类讨论以确定函数的值域，从而确定答案．【解答】解：①当x＞0时，f（x）=x（x+4）＞0，②当x≤0时，f（x）=x（x﹣4）≥0，故f（x）≥0，故f（a）的值不可能为﹣2，故选C．4．设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．15【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：S3==，a3==，∴=7．故选：B．5．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；（2）若n⊥α，m⊥β，且n⊥m，则α⊥β；（3）若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；（4）若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面位置关系的性质和判定定理进行分析或举出反例，属于中档题．【解答】解：对于（1），设α∩β=l，则当m∥l，m⊂β时，结论不成立，故（1）错误．对于（2），设m，n的方向向量分别是，则分别为平面β，α的法向量，∵m⊥n，∴的夹角为90°，∴平面α与β所成二面角为直角，即α⊥β．故（2）正确．对于（3），∵α⊥β，m⊥β，∴m∥α，或m⊂α．又m⊄α，∴m∥α．故（3）正确．对于（4），假设α，β不平行，则α，β相交，设交线为l，∵m⊂α，m∥β，α∩β=l，∴m∥l，同理：n∥l，∴m∥n，与m，n是异面直线矛盾．∴假设错误，即α∥β．故（4）正确．故选：C．6．在边长为2的等边三角形△ABC中，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．C．D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，再计算•．【解答】解：∵=3，∴==，∴==+，∴则•=（+）=+=+=．故选：A．7．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=﹣3与抛物线交于点M，|MF|=5，则抛物线的标准方程是（）A．y2=2x B．y2=18xC．y2=x D．y2=2x或y2=18x【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得|MF|=5=x M+，解得x M=5﹣＞0，把M代入抛物线方程解出即可得出．【解答】解：由题意可得|MF|=5=x M+，解得x M=5﹣＞0，∴M代入抛物线方程可得：（﹣3）2=2p，化为：p2﹣10p+9=0，解得p=1或9．∴抛物线的标准方程是y2=2x或y2=18x．故选：D．9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取一点M，则满足∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意通过圆和三角形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，∴B1C1=2，∴四边形ABC1D1为正方形，其面积为2×2=4，以AB为底边，向正方形外作顶角为90°的等腰三角形，以等腰三角形的顶点O为圆心，OA 为半径作圆，根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为135°．即当M取圆O与ABC1D1的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°其中AB=2，OA=，S阴影=π（）2﹣××=﹣1，故所求的概率为=，故选：B．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等角对等边可得AD=BD=CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，又D为BC中点，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．故选D12．已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】函数的图象．【分析】令f（x）=g（x）得出|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函数图象，根据函数图象的对称性得出零点的和．【解答】解：令f（x）=g（x），即|ln|x﹣1||+x2=2x，∴|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，分别作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函数图象，如图所示：显然函数图象有4个交点，设横坐标依次为x1，x2，x3，x4，∵y=|ln|x﹣1||的图象关于直线x=1对称，y=﹣x2+2x的图象关于直线x=1对称，∴x1+x4=2，x2+x3=2，∴x1+x2+x3+x4=4．故选C．二.填空题13．设a为非零常数，已知（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x2项的系数是﹣72 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】在已知二项式中取x=1，结合展开式中各项系数和为3求得a值，然后求出（1﹣2x）4的展开式中含x项与含x3的项，与（x+）中对应的项作积得答案．【解答】解：∵（x+）（1﹣ax）4的展开式中各项系数和为3，∴（1+2）（1﹣a）4=3，解得a=2（a≠0）．∴（x+）（1﹣ax）4 =（x+）（1﹣2x）4，（1﹣2x）4的展开式中所含x项为，含x3的项为．∴（x+）（1﹣2x）4的展开式中x2项的系数是1×（﹣8）+2×（﹣32）=﹣72．故答案为：﹣72．14．在椭圆=1上有两个动点M，N，K（3，0）为定点，•=0，则•最小值为9 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】M在椭圆=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），可得•=•=﹣=（6cosα﹣3）2+（3sinα）2=9（cosα﹣2）2，利用三角函数的单调性值域与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：M在椭圆=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则•=•=﹣==（6cosα﹣3）2+（3sinα）2=36cos2α﹣36cosα+9+27sin2α=9cos2α﹣36cosα+36=9（cosα﹣2）2，令cosα=t∈[﹣1，1]，则f（t）=9（t﹣2）2﹣9∈[9，18]．∴当cosα=1，sinα=0时，即取M（6，0），•最小值为0．故答案为：9．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为8π，则三棱锥的高为 2 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】确定三视图直观图的现状，求出底面外接圆的半径，三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的高．【解答】解：由三视图可知该几何体是底面是边长为的等边三角形，有一侧棱垂直于底面，底面外接圆的半径为1，∵三棱锥的外接球表面积为8π，∴三棱锥的外接球的半径为设三棱锥的高为h，则∴h=2．故答案为：2．16．已知数列{2n•a n}的前n项和为，若存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m的取值范围是．【考点】数列的求和．【分析】由+…+2n a n=，利用递推关系可得：n≥2时，；n=1时，a1=﹣1．通过作差可得数列的单调性．【解答】解：∵+…+2n a n=，∴n≥2时，+…+2n﹣1a n﹣1=，可得：2n a n=﹣=n﹣2，∴，n=1时，a1=﹣1．∴a n=．∵n=1时，a1=﹣1，a2=0．n≥2时，a n+1﹣a n=﹣=，∴n=2时，a2＜a3；n=3时，a3=a4；n≥4时，a n+1＜a n，因此：a1＜a2＜a3=a4＞a5＞…，∴当n=3或4时，a n取得最大值，a3=a4=．∵存在n∈N*，使得a n≥m成立，则m．故答案为：．三.解答题17．函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，0＜ϖ＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的最值以及周期性，求得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）由题意A=1，将点（0，）代入解得，，再根据，结合0＜ϖ＜4，所以ϖ=2，．将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数的图象．（2）函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1=2sin（2x+），故函数的周期T=π．对于∀x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），故|x1﹣x2|的最小值为．18．如表为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩（单位：分）甲102 126 131 118 127乙96 117 120 119 135（1）试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定？（不用计算，给出结论即可）（2）若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进行分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩统计表得甲同学的数学考试成绩更稳定．（II）X的取值为0.1.2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（I）由甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩统计表得到甲的成绩较集中，∴甲同学的数学考试成绩更稳定．…（II）X的取值为0.1.2，…，，，…X的分布列如下：X 0 1 2P…∴EX=++=．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平面PBC所成角的余弦值为？【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由CD⊥AD，CD⊥PA得出CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面ABCD；（2）取AD的中点O，BC中点E，连接PO，OE．设OP=h，AB=1，以O为原点建立空间坐标系求出和平面PBC的法向量，令|cos＜，＞|=解出h，即可得出λ=的值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又CD⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）取AD的中点O，BC中点E，连接PO，OE．则OE⊥AD．∵PA=AD，∴PO⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，以OA，DE，OP为坐标轴，建立空间直角坐标系如图所示：设PO=h，AB=1．则A（，0，0），P（0，0，h），B（，1，0），C（﹣，1，0）．∴=（，0，﹣h），=（﹣1，0，0），=（﹣，﹣1，h）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则．∴，令z=1得=（0，h，1）．∴cos＜＞==．∵直线PA与平面PBC所成角的余弦值为，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．∴=，解得，∴PA==，∴λ==．20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用代入法求点D的轨迹E的方程；（2）设直线MN的方程为x=ty+2a联立得y2﹣4aty﹣8a2=0，利用韦达定理，证明＜0，即可得出结论．【解答】解：（1））设D（x，y），P（m，n）…所以…又（m+2a）2+n2=4a2…所以所求方程为x2+y2=a2…（2）轨迹E与x轴正半轴的交点F（a，0）…抛物线C的方程为y2=4ax…设，，设直线MN的方程为x=ty+2a联立得y2﹣4aty﹣8a2=0，则…所以…所以坐标原点在以MN为直径的圆内…21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试比较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n∈Z，n≥2）的大小．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），求出a的值即可；（2）求出g（x）的表达式，根据放缩法比较大小即可．【解答】解：（1）…由题意因为f'（0）=1﹣a=0…（所以a=1…（2）．…先证当x＞1时，lnx＜x﹣1令h（x）=lnx﹣x+1．…所以h（x）在（1，+∞）上单调递减所以h（x）＜h（1）=0所以当x＞1时．…∴=…选做题[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD为⊙O的切线，过A作CD的垂线，垂足为D，交⊙O于F．（1）求证：AC为∠DAB的角平分线；（2）过C作AB的垂线，垂足为M，若⊙O的直径为8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）连接OC，运用圆的切线的性质和两直线平行的判定和性质，由内角平分线的定义，即可得证；（2）由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，运用直角三角形的射影定理，结合圆的切割线定理，即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：连接OC，CD为⊙O的切线，可得OC⊥CD，又AD⊥CD，可得OC∥AD，所以∠CAD=∠ACO，又OC=OA，所以∠CAO=∠ACO，所以∠CAO=∠CAD所以AC为∠DAB的角平分线．（2）由题意⊙O的直径为8，OM：MB=3：1，可得OM=3，MB=1，由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，可得CM2=AM•MB=7，又AC=AC，∠CAO=∠CAD，所以Rt△ACB≌Rt△ACD，所以CD=CM，又CD2=DF•DA，而CD2=7．所以DF•DA=7．[选修4-4坐标系与参数方程]23．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等比数列．（1）求抛物线C的方程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）直线MN的参数方程是（t为参数），代入抛物线方程求抛物线C的方程，利用参数的几何意义，结合|AM|、|MN|、|AN|成等比数列，建立方程求出p，即可求抛物线C的方程；（2）利用抛物线的极坐标方程，确定S，即可求△OEF的面积的最小值．【解答】解：（1）直线MN的参数方程是（t为参数）…代入抛物线方程得所以|AM|•|AN|=32+8p……解得p=1所以抛物线方程为y2=2x…（2）抛物线的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，…设，……所以…当时，即所求面积取得最小值4…[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log2（2a+2b）﹣m≥．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式，结合f（x）的最小值为1．求实数m的值；（2）利用基本不等式，即可证明结论．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|+|x+m|≥|2﹣m|，当且仅当（x+2）（x﹣m）≤0时取等号…所以|2﹣m|=1，…因为m＜2，所以解得m=1…证明：（2）∵2a＞0，2b＞0，∴2a+2b≥，∴log2（2a+2b）﹣m≥log2（）﹣1=．…2016年9月28日。
【2018重庆高考三模】重庆市2018届高三学业质量调研抽测(第三次)数学理
重庆市高2018届学业质量调研抽测（第三次）理科数学试题本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}3,5,1=A ，集合{}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|，则()U C A B = A ．{}1,6 B ．{}6 C ．{}63，D ．{}1,3 2．在复平面内，复数Z 所对应的点的坐标为）（4,3，则Z Z =A ．i 5453-B ．i 5354-C ．i 5453+D ．i 5354+3．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若6482=-+a a a ，则11=SA ．132B ．108C ．66D ．不能确定4．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x （百个）与相应加工总时长y （小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为05.07.0ˆ+=x y ，则下列结论错误．．的是 A ．加工总时长与生产零件数呈正相关B ．该回归直线一定过点)5.2,5.3(C ．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时D ．m 的值是2.855．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=1,4sin 10,2)(x x x x f x π，则=-+)7log 3()2(2f fA ．87B ．157C ．158D ．2276．某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为A ．3263+πB ．43+πC ．32123+πD ．432+π7．已知25tan 1tan =+αα，)2,4(ππα∈，则)42sin(πα-的值为 A ．1027- B ．102 C ．102- D ．10278．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的2,2==n x ，则输出的=SA ． 8B ．10C ．12D ．229．已知向量b a ,5=-=++的取值范围是A ．]5,0[B ．]25,5[C ．]7,25[D ．]10,5[10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，以O 为圆心，12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为A ．13-B ．213-C ．22D ．2311．已知实数b a ,满足不等式1)1(22≤-+b a ，则点)1,1(-A 与点)1,1(--B 在直线01=++by ax 的两侧的概率为。
导数中八大切线问题题型总结(学生版)--高中数学
导数中八大切线问题题型总结【考点预测】1.在点的切线方程切线方程y-f(x0)=f (x0)(x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，抓住关键y0=f(x0) k=f (x0) ．2.过点的切线方程设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y0=f (x0)(m-x0)然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】(2022·全国·高三专题练习(文))函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是( )A.0<f (2)<f (3)<f(3)-f(2)B.0<f (2)<f(3)-f(2)<f (3)C.0<f (3)<f(3)-f(2)<f (2)D.0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3)【例2】函数y=f x 的图象如图所示，f′x 是函数f x 的导函数，则下列大小关系正确的是( )A.2f′4 <f4 -f2 <2f′2B.2f′2 <f4 -f2 <2f′4C.2f′4 <2f′2 <f4 -f2D.f4 -f2 <2f′4 <2f′2【题型专练】1.(2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中)(多选题)已知函数f x 的图象如图所示，f x 是f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是()A.f 3 <f 2B.f 3 <f 3 -f 2C.f 2 <f 3 -f 2D.f 3 -f 2 <02.(2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)函数y =f x 的图象如图所示，f x 是函数f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A.2f 3 <f 5 -f 3 <2f 5B.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3C.f 5 -f 3 <2f 3 <2f 5D.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3题型二：在点P 处切线(此类题目点P 即为切点)【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则A.a =e ,b =-1B.a =e ,b =1C.a =e -1,b =1D.a =e -1,b =-1【例2】(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )=-2x 3+3ax 2-f (1)x ，则函数f (x )的图象在点(-2,f (-2))处的切线的斜率为( )A.-21B.-27C.-24D.-25【例3】(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(理))曲线y =x ln (2x +5)在x =-2处的切线方程为( )A.4x -y +8=0B.4x +y +8=0C.3x -y +6=0D.3x +y +6=0【例4】过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为( )A.0,3π4B.0,π2∪3π4,π C.3π4,π D.π2,3π4【例5】(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线y =2x +ax +2在点1,b 处的切线方程为kx -y +6=0，则k 的值为( )A.-1B.-23C.12D.1【例6】(2022·江西·丰城九中高二期末(理))已知函数f x =f 2 3x 2−x ,x >0g x ,x <0图像关于原点对称，则f (x )在x=-1处的切线方程为( )A.3x-y+2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0【题型专练】1.【2018年新课标1卷理科】设函数f x =x3+a-1x2+ax．若f x 为奇函数，则曲线y=f x 在点0，0处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.【2021年甲卷理科】曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为__________．3.【2019年新课标1卷理科】曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为___________．4.【2018年新课标2卷理科】曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．5.【2018年新课标3卷理科】曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=________．题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，_____ _______．【例2】(2022·四川·广安二中二模(文))函数f x =x2e x过点0,0的切线方程为( )A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0【例3】(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若过点12,0的直线与函数f(x)=xe x的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为( )A.e+1B.-12C.1D.12【例4】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)直线y=12x-b与曲线y=-12x+ln x相切，则b的值为( )A.2B.-2C.-1D.1【题型专练】1.(2022·陕西安康·高三期末(文))曲线y=2x ln x+3过点-12,0的切线方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+4y+1=0D.2x-4y+1=02.(2022·广东茂名·二模)过坐标原点作曲线y=ln x的切线，则切点的纵坐标为( )A.eB.1C.1eD.1e3.过点(0，-1)作曲线f(x)=x ln x的切线，则切线方程为()A.x+y+1=0B.x-y-1=0C.x+2y+2=0D.2x-y-1=04.已知f (x )=x 2，则过点P (-1，0)且与曲线y =f (x )相切的直线方程为( )A.y =0B.4x +y +4=0C.y =0或4x +y +4=0D.y =0或4x -y +4=0题型四：已知切线求参数问题【例1】(2022·湖南·模拟预测)已知P 是曲线C :y =ln x +x 2+3-a x 上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若π3≤θ<π2，则实数a 的取值范围是( )A.23,0B.22,0C.-∞,23D.-∞,22【例2】(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)若直线y =kx +1-ln2是曲线y =ln x +2的切线，则k =________．【例3】(2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习(文))已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则b =_____【例4】(2022·江苏苏州·模拟预测)已知奇函数f x =x 2-2x ax +b a ≠0 在点a ,f a 处的切线方程为y =f a ，则b =( )A.-1或1B.-233或233C.-2或2D.-433或433【题型专练】1.(2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线f (x )=(x +a )e x 在点(-1,f (-1))处的切线与直线2x +y -1=0垂直，则实数a 的值为_________．2.(2022·云南昆明·模拟预测(文))若函数f x =a x +ln x 的图象在x =4处的切线方程为y =x +b ，则( )A.a =3，b =2+ln4B.a =3，b =-2+ln4C.a =32，b =-1+ln4D.a =32，b =1+ln43.(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(理))已知直线l 的斜率为2，l 与曲线C 1：y =x 1+ln x 和圆C 2：x 2+y 2-6x +n =0均相切，则n =( )A.-4B.-1C.1D.4题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)【例1】(2022·河南洛阳·三模(文))若过点P 1,0 作曲线y =x 3的切线，则这样的切线共有( )A.0条B.1条C.2条D.3条【例2】(2022·全国·高三专题练习)若过点(a ,b )可以作曲线y =ln x 的两条切线，则( )A.a <ln bB.b <ln aC.ln b <aD.ln a <b【例3】【2021年新高考1卷】若过点a ,b 可以作曲线y =e x 的两条切线，则( )A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a【例4】(2022·河南洛阳·三模(理))若过点P 1,t 可作出曲线y =x 3的三条切线，则实数t 的取值范围是( )A.-∞,1B.0,+∞C.0,1D.0,1【例5】(2022·河北·高三阶段练习)若过点P (1,m )可以作三条直线与曲线C :y =xe x相切，则m 的取值范围为( )A.-∞,3e 2B.0,1eC.(-∞,0)D.1e ,3e 2【例6】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线y =x -1上一点P 可以作曲线f x =x -ln x 的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为( )A.0<t <1B.1<t <eC.0<t <eD.1e<t <1【题型专练】1.(2022·内蒙古呼和浩特·二模(理))若过点P -1,m 可以作三条直线与曲线C ：y =xe x 相切，则m 的取值范围是( )A.-3e 2,+∞ B.-1e,0 C.-1e ,-1e2 D.-3e2,-1e 2.(2022·广东深圳·二模)已知a >0，若过点(a ,b )可以作曲线y =x 3的三条切线，则( )A.b <0B.0<b <a 3C.b >a 3D.b b -a 3 =03.(2022·安徽·安庆市第二中学高二期末)若过点a ,b a >0 可以作曲线y =xe x 的三条切线，则()A.0<a <be bB.-ae a <b <0C.0<ae 2<b +4D.-a +4 <be 2<04.(2022·山东枣庄·高二期末)已知函数f x =x +1 e x ，过点M (1，t )可作3条与曲线y =f x 相切的直线，则实数t 的取值范围是( )A.-4e 2,0B.-4e 2,2eC.-6e 3,2e D.-6e 3,05.(2022·山东潍坊·三模)过点P 1,m m ∈R 有n 条直线与函数f x =xe x 的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为( )A.-5e 2<m <e B.-5e 2<m <0 C.-1e<m <0 D.m <e题型六：公切线问题【例1】(2023届贵州省遵义市新高考协作体）高三上学期入学质量监测数学(理)试题)若直线y =kx +b 是曲线y =e x +1的切线，也是y =e x +2的切线，则k =( )A.ln2B.-ln2C.2D.-2【例2】(2022·全国·高三专题练习)若函数f x =ln x 与函数g (x )=x 2+x +a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( )A.ln12e,+∞ B.-1,+∞C.1,+∞D.ln2,+∞【例3】(2022·河北石家庄·高二期末)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值可能是( )A.1.2B.4C.5.6D.2e【例4】(2022·全国·高三专题练习)已知曲线C 1:f x =e x +a 和曲线C 2:g x =ln (x +b )+a 2a ,b ∈R ，若存在斜率为1的直线与C 1，C 2同时相切，则b 的取值范围是( )A.-94,+∞B.0,+∞C.-∞,1D.-∞,94【例5】(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为( )A.0,2eB.0,eC.2e ,+∞D.e ,2e【例6】(2022·重庆市育才中学高三阶段练习)若直线l :y =kx +b (k >1)为曲线f x =e x -1与曲线g x =e ln x的公切线，则l 的纵截距b =( )A.0B.1C.eD.-e【例7】(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))若直线y =k 1x +1 -1与曲线y =e x 相切，直线y =k 2x +1 -1与曲线y =ln x 相切，则k 1k 2的值为( )A.12B.1C.eD.e 2【题型专练】1.已知函数f x =x ln x ，g x =ax 2-x ．若经过点A 1,0 存在一条直线l 与曲线y =f x 和y =g x 都相切，则a =( )A.-1B.1C.2D.32.【2020年新课标3卷理科】若直线l 与曲线y =x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1D.y =12x +123.(2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =a ln x ，g x =be x ，若直线y =kx k >0 与函数f x ，g x 的图象都相切，则a +1b 的最小值为( )A.2B.2eC.e 2D.e4.(2022·全国·高三专题练习)若两曲线y =ln x -1与y =ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是( )A.0,2eB.12e -3,+∞C.0,12e -3 D.2e ,+∞5.(2022·全国·高三专题练习)若仅存在一条直线与函数f (x )=a ln x (a >0)和g (x )=x 2的图象均相切，则实数a =( )A.eB.eC.2eD.2e6.若曲线y =ln x 与曲线：y =x 2−k 有公切线，则实数k 的最大值为( )A.78+12ln2 B.78-12ln2 C.12+12ln2 D.12+12ln2题型七：切线平行、垂直、重合问题【例1】(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x +ax 存在与直线2x -y =0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2] B.-∞,2-1e ∪2-1e ,2C.2,+∞D.0,+∞【例2】(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y=xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=( )A.-34B.-14C.-4D.14【例3】(2022·全国·高三专题练习)若直线x =a 与两曲线y =e x ,y =ln x 分别交于A ,B 两点，且曲线y =e x 在点A 处的切线为m ，曲线y =ln x 在点B 处的切线为n ，则下列结论：①∃a ∈0,+∞ ，使得m ⎳n ；②当m ⎳n 时，AB 取得最小值；③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52．其中正确的个数是( )A.1 B.2C.3D.4【题型专练】1.(2022·山西太原·二模(理))已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23B.22C.3D.22.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<0)处的切线互相垂直，则x 2-x 1的最小值为( )A.12B.1C.32D.23.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+x +2a (x <0)-1x(x >0)的图象上存在不同的两点A ,B ，使得曲线y =f (x )在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A.-∞,-18B.-1,18C.(1,+∞)D.(-∞,1)∪18,+∞题型八：与切线相关的最值问题【例1】(2022·全国·高三专题练习)若点P 是曲线y =32x 2-2ln x 上任意一点，则点P 到直线y =x -3的距离的最小值为( )A.724B.332C.2D.5【例2】(2022·山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线l 分别与直线y =2x -1，曲线y =32x 2-ln x 相交于A ,B 两点，则AB 的最小值为( )A.510B.55C.1D.5【例3】(2022·河南·许昌高中高三开学考试(理))已知函数y =e 2x +1的图象与函数y =ln x +1 +12的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为( )A.2ln22B.2ln24C.24+ln22D.24+ln2【例4】(2022·山东聊城·二模)实数x 1，x 2，y 1，y 2满足：x 21-ln x 1-y 1=0，x 2-y 2-4=0，则x 1-x 2 2+y 1-y 22的最小值为( )A.0B.22C.42D.8【题型专练】1.(2022·山西·高二期末)已知点P 是曲线y =x 2-3ln x 上一点，若点P 到直线2x +2y +3=0的距离最小，则点P 的坐标为___________.2.(2022·江苏·高三专题练习)已知a ，b 为正实数，直线y =x -a 与曲线y =ln (x +b )相切，则a 22-b的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.0,12D.[1，+∞)3.(2022·全国·高三专题练习)曲线y =e 2x 上的点到直线2x -y -4=0的最短距离是( )A.5B.3C.2D.14.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数f(x)=ln x x-2x2在x=1处的切线为l，第一象限内的点P(a,b)在切线l上，则1a+1+1b+1的最小值为( )A.2+324 B.3+424 C.4+235 D.3+245.(2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测(文))已知直线y=kx+b是曲线y=x+1的切线，则k2+b2 -2b的最小值为( )A.-12B.0C.54D.3。
第二章 第十节 函数的模型与应用 解析版-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习
第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln2．解得t=1λ故答案为1λln2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出． 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位． 【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 33010=0a +blog 39010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3Q 10， 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3Q 10⩾2，即 log 3Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg2=0.3010，lg3=0.4771） 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg2x >lg300即 xlg2>2+lg3∴x >2+lg3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元． 当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200， 则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象； 【答案】见解析 【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式； 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）； 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）． 【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16． 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log32700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。
2018届湖北省襄阳高三数学三模试卷(理科)Word版含解析
2018届湖北省襄阳高三三模试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合A={x|log2（x+1）＜2}，B={y|y=}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B． C．，y∈内随机取出两个数，则这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率为（）A．B．C．D．5．若圆x2+y2﹣12x+16=0与直线y=kx交于不同的两点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）6．70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏．这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N+1；如果是个偶数，则下一步变成．不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入．为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1．准确地说，是无法逃出落入底部的4﹣2﹣1循环，永远也逃不出这样的宿命．这就是著名的“冰雹猜想”．按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为（）A．142 B．71 C．214 D．1077．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2=3b2+3c2﹣2bcsinA，则C的值为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中x的值为（）A．3 B．1 C．2 D．9．运行如下程序框图，如果输入的t∈，则输出S属于（）A． C． D．10．已知向量||=3，||=2， =m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．411．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90°，DA=DC=．现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是（）A．B．C．D．12π12．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，其中a=（sinx﹣cosx）dx，则a0+a1+a2+…+a6的值为．14．已知函数f（x）=，若f=a，实数x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．15．过点P（2，0）的直线交抛物线y2=4x于A，B两点，若抛物线的焦点为F，则△ABF面积的最小值为．16．以下四个命题：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为；②设a、b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件；③函数f（x）=﹣（）x的零点个数为1；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∀n∈N，3n≤n2+1．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，满足a1=5，且a2，a9，a30成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），且b1=，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．19．近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占，采用微信支付的占，40岁以上采用微信支付的占．（Ⅰ）请完成下面2×2列联表：并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式：，n=a+b+c+d．参考数据：20．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若•=0，||•||=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA1，PA2与直线x=分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标．21．已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）．（1）如果对于任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，求实数k的取值范围；（2）若x∈，过点M（，0）作函数f（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{x n}，求数列{x n}的所有项之和．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在直角坐标系xOy中，点P（0，），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．直线l的参数方程为为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求+的值．23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．2018届湖北省襄阳高三数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合A={x|log2（x+1）＜2}，B={y|y=}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B． C．，y∈内随机取出两个数，则这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件满足的可行域为：，设事件A表示“这两个数满足x﹣y﹣3＞0”作出可行域，利用几何概型能求出这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率．【解答】解：在x∈，y∈内随机取出两个数，∴基本事件满足的可行域为：，设事件A表示“这两个数满足x﹣y﹣3＞0”作出可行域如右图，则这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率：P（A）==．故选：B．5．若圆x2+y2﹣12x+16=0与直线y=kx交于不同的两点，则实数k的取值范围为（）A ．（﹣，）B ．（﹣，）C ．（﹣，）D ．（﹣，）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式列出不等式求解即可．【解答】解：圆x 2+y 2﹣12x+16=0的圆心（6，0），半径为2，圆x 2+y 2﹣12x+16=0与直线y=kx 交于不同的两点，可得＜2，解得k ∈（﹣，）．故选：C ．6．70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏．这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N ，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N+1；如果是个偶数，则下一步变成．不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入．为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N 是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1．准确地说，是无法逃出落入底部的4﹣2﹣1循环，永远也逃不出这样的宿命．这就是著名的“冰雹猜想”．按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为（ ） A ．142 B ．71 C ．214 D ．107 【考点】F1：归纳推理．【分析】根据要求一步一步的推即可得到答案【解答】解：27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214， 故选：C7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a 2=3b 2+3c 2﹣2bcsinA ，则C 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】HR ：余弦定理．【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解a ，b ，c 的关系．即可求解C 的值．【解答】解：根据a 2=3b 2+3c 2﹣2bcsinA ，…①余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，…②由①﹣②可得：2b2+2c2=2bcsinA﹣2bccosA化简：b2+c2=bcsinA﹣bccosA⇔b2+c2=2bcsin（A﹣），∵b2+c2≥2bc，∴sin（A﹣）=1，∴A=，此时b2+c2=2bc，故得b=c，即B=C，∴C==．故选：B．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中x的值为（）A．3 B．1 C．2 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A﹣CDC1后剩下的几何体．其中AB⊥BC，侧面ABB1A1是正方形，D为BC的中点，BC=4．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A﹣CDC1后剩下的几何体．其中AB⊥BC，侧面ABB1A1是正方形，D为BC的中点，BC=4．∴该几何体的体积为=﹣•x，解得x=2．故选：C．9．运行如下程序框图，如果输入的t∈，则输出S属于（）A． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：本程序为条件结果对应的表达式为S=，则当输入的t∈，则当t∈时，s=t2﹣4t=（t﹣2）2﹣4∈，综上s∈=a，实数x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为8 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】根据分段函数的表达式，求出a的值，作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质结合直线斜率的公式进行求解即可．【解答】解：f（﹣2）==4，则a=f=f（4）=4﹣2=2，则约束条件为，作出不等式组对应的平面区域如图：z===3+4•，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣2，﹣1）的斜率，则z=3+4k，由图象知AD的斜率最大，由得，即A（2，4），此时k==，则z=3+4×=3+4=8，即目标函数z=的最大值为8，故答案为：815．过点P（2，0）的直线交抛物线y2=4x于A，B两点，若抛物线的焦点为F，则△ABF面积的最小值为2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】方法一：分类讨论，当直线l的斜率不存在时，求得A和B点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△ABF面积，当直线斜率存在时，设直线l的方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得△ABF面积的取值范围，综上即可求得△ABF面积的最小值；方法二：设直线AB：x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得三角形的面积的最小值．【解答】解：方法一：抛物线y2=4x焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，此时将x=2代入抛物线C：y2=4x中，得y2=8，解得y=±2，则点A，B的坐标为（2，2），（2，﹣2），∴△ABF面积S=×1×丨AB丨=2，当直线的存在，且不为0，设直线AB：y=k（x﹣2）．A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），联立，消去y，得k2x2﹣（4k2+4）x+4k2=0，且△=32k2+16＞0，则由韦达定理，x1+x2=，x1x2=4，y1+y2=，y1y2=﹣8，∴△ABF面积S=×丨PF丨×丨y1﹣y2丨=×1×=×＞2，综上可知：则△ABF面积的最小值2，故答案为：2．方法二：抛物线y2=4x焦点F（1，0），设直线AB：x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），，整理得：y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，∴△ABF面积S=×丨PF丨×丨y1﹣y2丨=×1×≥×4=2，当m=0时，取最小值，最小值为2，∴△ABF面积的最小值2，故答案为：2．16．以下四个命题：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为；②设a、b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件；③函数f（x）=﹣（）x的零点个数为1；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∀n∈N，3n≤n2+1．其中真命题的序号为②③．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由曲线关于y轴对称，由概率分布特点，即可判断①；运用对数函数和指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断②；画出y=和y=（）x的图象，即可判断③；由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．【解答】解：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）=（1﹣P（|X|＜2））=，故①错；②设a、b∈R，log2a＞log2b⇔a＞b＞0⇒a﹣b＞0⇒2a﹣b＞1，由于a﹣b＞0，a，b不一定大于0，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件，故②对；③由y=和y=（）x的图象，可得它们只有一个交点，即函数f（x）=﹣（）x的零点个数为1，故③对；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∃n∈N，3n＜n2+1．故④错．故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，满足a1=5，且a2，a9，a30成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），且b1=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a9，a30成等比数列可知，又a1=5，解得d即可得出．（2）由数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），可得： =a n﹣1（n≥2）．且b1=，当n≥2时， =++…+=3+a1+a2+…+a n﹣1，利用等差数列的求和公式即可得出=n（n+2）．可得b n==，再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a9，a30成等比数列可知，又a1=5，解得d=2，∴a n=2n+3．（2）由数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），可得： =a n﹣1（n≥2）．且b1=，当n≥2时， =++…+=3+a1+a2+…+a n﹣1=3+=n（n+2）．对b1=上式也成立，∴ =n（n+2）．∴b n==，∴T n=++…++==．18．已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LX：直线与平面垂直的性质；MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）推导出CM⊥AB，DB⊥CM，从而CM⊥平面ABDE，由此能证明CM⊥EM．（2）以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的大小．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB．又∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE，∵EM⊂平面ABDE，∴CM⊥EM．解：（2）如图，以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角．由题意得tan，即BD=2，故B（0，1，0），C（），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），∴=（），=（0，0，2），=（﹣），=（﹣），设平面BCD与平面CDE的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，令x=1，得=（1，，0）．同理求得=（1，﹣，），∴cos＜＞==0，∴二面角B﹣CD﹣E的大小为90°．19．近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占，采用微信支付的占，40岁以上采用微信支付的占．（Ⅰ）请完成下面2×2列联表：并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式：，n=a+b+c+d．参考数据：【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）由40岁以下的有100×=60人，使用微信支付的有60×=40人，40岁以上使用微信支付有40×=10人．即可完成2×2列联表，根据2×2列联表求得观测值K2与参考值对比即可求得答案；（Ⅱ）分别求得“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付的概率，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付的概率，根据独立事件的概率公式，即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，40岁以下的有100×=60人，使用微信支付的有60×=40人，40岁以上使用微信支付有40×=10人．∴2×2列联表为：由列联表中的数据计算可得K2的观测值为k==，由于＞10.828，∴有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”；…（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为A，B，则P（A）=P（B）=，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C，则P（C）=，显然A，B，C相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为P=1﹣P（）=1﹣××=．故至少有一人使用微信支付的概率为．…20．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若•=0，||•||=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA1，PA2与直线x=分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；9R：平面向量数量积的运算；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），由•=0，可得⊥，设||=m，||=n．又||•||=8．可得m2+n2=，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．解出即可得出．（2）由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x0，y0），则直线PA1的方程为y=（x+3），它与直线x=的交点的坐标为E，直线PA2的方程为：y=（x﹣3），它与直线x=的交点的坐标为F．再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，可得k QE•k QF=﹣1，又=9．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），由•=0，∴⊥，设||=m，||=n．又||•||=8．∴m2+n2=，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．解得：a=3，b=2．∴椭圆的方程为=1．（2）由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x0，y0），则直线PA1的方程为y=（x+3），它与直线x=的交点的坐标为E，直线PA2的方程为：y=（x﹣3），它与直线x=的交点的坐标为F．再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，从而k QE•k QF=﹣1，即××=﹣，即=﹣，又=9．∴=1，解得m=±1．故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为．21．已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）．（1）如果对于任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，求实数k的取值范围；（2）若x∈，过点M（，0）作函数f（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{x n}，求数列{x n}的所有项之和．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意可得任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，只需当x∈时，g（x）min≥0，求出g′（x），令h（x）=e x（sinx+cosx），求出导数，可得h（x）的单调性，及值域，讨论k≤1时，1＜k＜e时，当k≥e时，由单调性确定最小值，即可得到所求k的范围；（2）求出f（x）的导数，设切点坐标为（x0，e x0（sinx0+cosx0）），可得切线的斜率和方程，代入M（，0），可得tanx0=2（x0﹣），令y1=tanx，y2=2（x﹣），这两个函数的图象关于点（，0）对称，即可得到所求数列{x n}的所有项之和．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（sinx+cosx），可得g（x）=f（x）﹣kx﹣e x cosx=e x sinx﹣kx，要使任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，只需当x∈时，g（x）min≥0，g′（x）=e x（sinx+cosx）﹣k，令h（x）=e x（sinx+cosx），则h′（x）=2e x cosx≥0对x∈时恒成立，∴h（x）在x∈上是增函数，则h（x）∈，①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在x∈上为增函数，∴g（x）min≥g（0）=0，∴k≤1满足题意；②当1＜k＜e时，g′（x）=0在x∈上有实根x0，h（x）在x∈上是增函数，则当x∈上为减函数，∴g（x）＜g（0）=0不符合题意，∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]；（2）函数f（x）=e x（sinx+cosx），∴f′（x）=2e x cosx，设切点坐标为（x0，e x0（sinx0+cosx0）），则切线斜率为f′（x0）=2e x0cosx0，从而切线方程为y﹣e x0（sinx0+cosx0）=2e x0cosx0（x﹣x0），∴﹣e x0（sinx0+cosx0）=2e x0cosx0（﹣x0），即tanx0=2（x0﹣），令y1=tanx，y2=2（x﹣），这两个函数的图象关于点（，0）对称，则它们交点的横坐标关于x=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{x n}的项也关于x=成对出现，又在内共有1008对，每对和为π，∴数列{x n}的所有项之和为1008π．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在直角坐标系xOy中，点P（0，），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．直线l的参数方程为为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求+的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；直线l的参数方程消去t，能求出直线l的普通方程．（Ⅱ）点P（0，）在直线l：上，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得5t2+12t﹣4=0，设两根为t1，t2，则，，由此能求出+．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的直角坐标方程为，∵直线l的参数方程为为参数），∴消去t得直线l的普通方程为．…（Ⅱ）点P（0，）在直线l：上，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2（﹣）2+（）2=4，∴5t2+12t﹣4=0，设两根为t1，t2，则，，故t1与t2异号，∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==，|PA|•|PB|=|t1•t2|=﹣t1t2=，∴+==．…23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+x＞0可化为|x﹣2|+x＞|x+1|，当x＜﹣1时，﹣（x﹣2）+x＞﹣（x+1），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，﹣（x﹣2）+x＞x+1，解得x＜1，即﹣1≤x＜1；当x＞2时，x﹣2+x＞x+1，解得：x＞3，即x＞3，综上所述，不等式f（x）+x＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．…（Ⅱ）由不等式f（x）≤a2﹣2a，可得|x﹣2|﹣|x+1|≤a2﹣2a，∵|x﹣2|﹣|x+1|≤|x﹣2﹣x﹣1|=3，∴a2﹣2a≥3，即a2﹣2a﹣3≥0，解得a≤﹣1或a≥3，故实数a的取值范围是a≤﹣1或a≥3．…。
2018年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.1212ii+=- 43. 55A i -- 43. 55B i -+ 34. 55C i -- 34. 55D i -+2.已知集合(){}22,3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为. 9A. 8B . 5C . 4D3.函数2()x xe ef x x--=的图象大致为4.已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-,则()2a a b ⋅-=. 4A . 3B . 2C . 0D5.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为. 2A y x =± . 3B y x =± 2. 2C y x =± 3. 2D y x =±6.在ABC ∆中,5cos ,1,5,25C BC AC ===则AB = . 42A . 30B . 29C. 25D 7.为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入. 1A i i =+ . 2B i i =+ . 3C i i =+ . 4D i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23. 在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是1.12A 1. 14B 1. 15C 1. 18D 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,11,3,AB BC AA ===则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为1. 5A5. 6B 5. 5C 2.2D 10.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是.4A π.2B π3.4C π .D π-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________11.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=. 50A -. 0B . 2C . 50D12.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为6的直线上,12PF F ∆为等腰三角形,12120F F P ∠=,则C 的离心率为2. 3A 1. 2B 1. 3C 1. 4D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线2ln(1)y x =+在点()0,0处的切线方程为_____________.14.若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为________.15.已知sin cos 1,cos sin 0αβαβ+=+=,则()sin αβ+=__________.16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA 、SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45.若SAB ∆的面积为则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题（共70分。
2023年重庆市酉阳一中高考数学模拟试卷(一)+答案解析(附后)
2023年重庆市酉阳一中高考数学模拟试卷（一）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知命题p：，或，则为( )A. ，且B. ，或C. ，或D. ，且3. 按数列的排列规律猜想数列，，，，…的第10项是( )A. B. C. D.4. 设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件5. 函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.6. 2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数单位：十人38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差实际值减去预报值为( )A. B. 0 C. 1 D. 27. 已知函数的图象在处的切线为l：，则l与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B. C. D.8. 函数的图象大致是( )A. B. C. D.9. 已知，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B.C. D.10. 若函数在上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A. B.C.D.11. 奇函数满足，当时，，则( )A. 0B. 1C. 2D.12. 已知为定义在R 上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数在定义域R 上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为其中正确命题有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个13. 函数的定义域为__________.14. 若复数，则__________.15. 已知为R 上的奇函数，且当时，，则______ .16. 已知，则__________.17. 命题p ：任意，成立；命题q ：存在，成立.若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；若命题p 和q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.18. 某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光.但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低的情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚.在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人数9585180合计100100200将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：将列联表填写完整不需要写出填写过程，并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有的把握认为闯红灯行为与年龄有关；在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议至少提出两条建议19. 已知函数当时，求证：函数在上单调递增；若函数有三个零点，求t的值．20. 某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益.通过对市场的预测，当对两项投入都不大于百万元时，每投入百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数百万元来计算；每投入百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数百万元来计算.现该公司准备共投入百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司的销售额最大参考数据：，21. 函数讨论函数的极值；当时，求函数的零点个数.22.已知动点P、Q都在曲线为参数上，对应参数分别为与，M为PQ的中点．求M的轨迹的参数方程；将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由，得，集合，，集合，，故选：先求出集合A，B，再利用集合交集的定义求解即可．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，命题p：，或，则为：，且，故选3.【答案】D【解析】解：根据题意，数列的第1个数为，有，数列的第2个数为，有，数列的第3个数为，有，……依此类推，数列的第10项为，故选：根据题意，由数列的前4个数分析数列的通项公式，进而分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，，，是的必要不充分条件，故选：先求出两个不等式的解集，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式的解法，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】由题意可以画出与的图象，他们的交点就是函数的零点，从而求解．此题主要考函数零点与方程根的关系，利用数形结合求解，是一道好题．【解答】解：函数，画出与的图象，如下图：当时，，当时，，函数的零点所在的区间是故选：6.【答案】A【解析】解：，，即样本点的中心坐标为，代入，可得，解得，线性回归方程为，取，得，此回归模型第5周的残差为故选：由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得，得到线性回归方程，进一步求得第5周的预报值，则残差可求．本题考查线性回归方程，考查残差的求法，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由，得，，①又，②联立①②解得，切线为l：，取，得，取，得与坐标轴围成的三角形的面积为故选：由函数在处的导数值等于切线的斜率，再由切点处的函数值相等，列式可得m与n的值，得到切线方程，求得切线在两坐标轴上的截距，再由三角形面积公式求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：由于时，，排除A，C而函数在y轴右侧增长速度先比快，而后比慢，排除B，答案选择故选：观察图像特征，发现y轴左侧图像位于x轴上下方情况不同，因此可以通过计算，排除A，C，接着通过思考函数和的增长快慢，进而排除B，答案选择该题目考察给定解析式，找函数图像，主要采用代特值，研究函数增长快慢的方法，排除法等方法．9.【答案】B【解析】解：，，，且，故选：可得出，从而可得出，并且可得出，这样即可得出a，b，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题可得，，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，则，设²，因为所以当时，取到最小值，所以，故选：由求导公式和法则求出，由导数与函数单调性的关系，列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数性质求出函数的最值，可得a的取值范围．本题主要考查利用导数与函数单调性关系，将问题转化为恒成立问题，利用分离常数法，求函数值域，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为奇函数满足，所以，所以，因为当时，，所以，即，则故选：由已知奇函数满足可得，然后结合奇函数性质可求a，代入即可求解．本题主要考查了利用函数的奇偶性及周期性求解函数值，函数性质的灵活应用是求解问题的关键．12.【答案】D【解析】解：函数为定义在R上的偶函数，当时，有，所以函数，故函数的周期为当时；，所以做出函数的图象，如图所示：所以函数，故①正确；对于②，函数在定义域R上不是周期为2的周期函数，故②错误；对于③，根据函数的图象，函数与函数有一个交点，故③正确；对于④，根据函数的图象，函数的值域为，故④正确；故：①③④正确．故选：直接利用函数的图象，进一步判断函数的性质，进一步确定①②③④的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了求函数定义域的应用问题，属于基础题．根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数，所以，解得，且，所以的定义域为故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的乘除法的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．利用复数的四则运算性质化简即可求解．【解答】解：，故答案为：15.【答案】【解析】解：函数为奇函数，得，则，故答案为：根据奇函数的定义和性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用奇函数的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】100【解析】【分析】根据题意，求出的表达式，分析可得，据此计算可得答案．本题考查函数值的计算，注意求出的值．【解答】解：根据题意，，则，则，故……，故答案为：17.【答案】解：由q真：，得或，所以q假：；即实数m的取值范围为：；真：推出，由p和q有且只有一个为真命题，真q假，或p假q真，即或，或或即实数m的取值范围为：或或【解析】由q真，由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；求得p真的条件，由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得．本题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立问题，不等式的求解，关键是由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，属于中档题．18.【答案】解：列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数152540未闯红灯人数8575160合计100100200因为所以有的把握认为闯红灯行为与年龄有关．在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为，而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．【解析】根据题意，填写出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到结论；求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适当的经济处罚，得到相应的结论．本题考查独立性检验，属于基础题．19.【答案】解：由于，故当时，，，所以，故函数在上单调递增分当，时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解分所以x，，的变化情况如表所示：又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得分【解析】先求原函数的导数得：，由于，得到，从而函数在上单调递增．由已知条件得，当，时，有唯一解，又函数有三个零点，等价于方程有三个根，从而，解得t即得．本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．20.【答案】解：设3百万元中技术改造投入为百万元，广告费投入为百万元，则广告收入带来的销售额增加值为百万元，技术改造投入带来的销售额增加值为百万元，所以，投入带来的销售额增加值整理上式得，因为，令，解得或舍去，当当时，，所以，时，取得最大值．所以，当该公司用于广告投入百万元，用于技术改造投入百万元时，公司将有最大的销售额．【解析】先计算投入带来的销售额增加值，再利用导数法，即可确定函数的最值．本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．21.【答案】解：由题意，函数，可得，当时，，在R上为单调增函数，此时无极值；当时，令，解得，所以在上为单调增函数，令，解得，在上为单调减函数，所以当时，函数取得极小值，无极大值．综上所述：当时，无极值，当时，，无极大值．由知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且，因为，所以时，；时，，当，即时，无零点，当，即时，有1个零点，当，即时，有2个零点．综上所述：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点．【解析】求得，分和两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；由得到当时，的单调性和极小值，结合与0的关系，三种情况讨论，即可求解\本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：依题意有，，因此M的轨迹的参数方程为为参数，点到坐标原点的距离当时，，故M的轨迹过坐标原点．【解析】利用参数方程与中点坐标公式即可得出；利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知1+2i/(1-2i)，则结果为：A。
--iB。
-+iC。
--iD。
-+i解析：选D。
2.已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为：A。
9B。
8C。
5D。
4解析：选A。
问题为确定圆面内整点个数。
3.函数f(x)=2/x的图像大致为：A。
B。
C。
D。
解析：选B。
f(x)为奇函数，排除A。
当x>0时，f(x)>0，排除D。
取x=2，f(2)=1，故选B。
4.已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=：A。
4B。
3C。
2D。
2-2xy解析：选B。
a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3.5.双曲线a^2(x^2)-b^2(y^2)=1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为：A。
y=±2xB。
y=±3xC。
y=±2x/abD。
y=±3x/ab解析：选A。
e=3，c=3ab=2a。
6.在ΔABC中，cosC=1/5，BC=1，AC=5，则AB=：A。
42B。
30C。
29D。
25解析：选A。
cosC=2cos^2(C/2)-1=-1/5，AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32，AB=42.7.为计算S=1-1/3+1/5-1/7+……+(-1)^n-1/(2n-1)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入：开始N=0,T=1i=1是N=N+1/T=T+(-1)^N-1/(2N-1)i<100否S=N-T输出S结束A。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．＜P（X=6），则p=（）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log2A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学三模试题 理(含解析)
2019高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．62．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．分数[0，90）[90，105）[105，1200）[120，135）[135，150）甲班频数 5 6 4 4 1乙班频数 1 3 6 5（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0） 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.706 3.841 5.024 6.63520．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．6【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数==+i是纯虚数，可得=0，≠0，解出即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，则=0，≠0，解得a=﹣2．故选：A．2．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据[x]的定义用区间表示集合A，再根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：根据题意，集合A={x|[x]=1}={x|1≤x＜2}=[1，2），集合B={1，2}，所以A∪B=[1，2]．故选：D．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于f（x）的图象为单位圆的上半圆，求得切线的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，进而得到所求切线的斜率．【解答】解：设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于函数的图象为单位圆的上半圆，可得切线的斜率为﹣，即有切线的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），代入m2+n2=1，可得mx+ny=1，代入（2，1），可得2m+n=1，解得m=，n=﹣，（舍去）或m=0，n=1，即为切线的斜率为﹣=0．故选：A．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出Ω={（x，y）|}表示的平面区域，把xy∈[0，4]转化为0≤y≤，求出满足0≤y≤的区域面积，计算所求的概率值．【解答】解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），则Ω={（x，y）|}，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为42=16；xy∈[0，4]转化为0≤y≤，如图所示；且满足0≤y≤的区域面积是：16﹣（4﹣）dx=16﹣（4x﹣4lnx）=4+4ln4，则xy∈[0，4]的概率为：P==．故选：C．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x ﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=g（|x|）是偶函数，y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．再由x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，可得y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．结合中点坐标公式得答案．【解答】解：函数y=g（|x|）是偶函数，其图象关于直线x=0对称，而y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，∴y=g（|x﹣1|）的图象关于直线x=1对称．即y=f（x）的图象关于直线x=1对称．方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，即方程f（x）=cosπx恰有7个根，也就是y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有7个交点，而x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，∴y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．由中点坐标公式可得：y=f（x）的图象与y=cosπx的图象交点的横坐标和为3×2+1=7．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】设=（x，y），由，可得，解出x，y．即可得出．【解答】解：设=（x，y），∵，∴，解得x=3，y=﹣2．则==．故答案为：14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为 5 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n的最小值．【解答】解：展开式中通项公式为T r+1=••=•（﹣1）r•，令=0，解得n=，其中r=0，1，2，…，n；当r=3时，n=5；所以n的最小值为5．故答案为：5．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；（2）根据C的大小和2B=A+C，可得A，B的大小．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∴B=，∵=2sin（A+C），∴2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）．由（1）值A=，C=，由正弦定理得，得AB=，同理得AC=，∴△ABC面积的S=．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC2，由AC2+BC2=AB2，得AC⊥CB，建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面AB′M与平面BCC′B′的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cosB=22+12﹣2×2×1×cos60°=3．∴AC2+BC2=AB2，则AC⊥CB．建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（），B′（0，1，2），M（0，0，1），∴，，设平面AB′M的一个法向量为．由，取x=1，得．∵AC⊥平面BCC′B′，∴可取平面BCC′B′的一个法向量．∴cos＜＞=∴平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值为．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．分数[0，90）[90，105）[105，1200）[120，135）[135，150）甲班频数 5 6 4 4 1乙班频数 1 3 6 5（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0） 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，根据列联表计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，如下；甲班乙班总计成绩优良 9 16 25成绩不优良 11 4 15总计 20 20 40根据列联表，计算K2==≈5.227＞5.024，对照临界值知，有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关；（2）由表可知，8人中成绩不优良的人数为3，则X的可能取值为0、1、2、3，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×==．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，从而可得△=4ln2a﹣4lna=0，从而解得；（2）求导，得到（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+log a x，∴f′（x）=x﹣2+=，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f′（x）存在零点，∴△=4ln2a﹣4lna=0，解得，lna=1或lna=0；故a=e或a=1（舍去）；故a=e；（2）假设存在x0，使得f′（x0）=成立，由（1）得：f（x）=x2﹣2x+lnx，（x＞0），f′（x）=x﹣2+，f′（x0）=x0﹣2+=（x2+x1）﹣2+，又==（x2+x1）﹣2+，故（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣=＞0，g（t）在（1，+∞）递增，则g（t）＞g（1）=0，故不存在x0，使得f'（x0）=成立．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)
专题02 复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B 2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==故选：C ．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【分析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【分析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【分析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D .6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．1【答案】C【分析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【分析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【分析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D 【详解】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【分析】解： ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】A【分析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【详解】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【详解】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D 【分析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2C ．2D ．3【答案】A【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BCD ．2【答案】B 【详解】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -C ．32i +D ．32i -【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，【答案】A【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则zz=A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C 【详解】 试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C 【详解】试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．2【答案】A【详解】：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3-C ．3D ．4【答案】D【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B 【详解】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2【答案】B【详解】：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=+++-，由模的运算可得：2z ==. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】B【详解】：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)ii +=-A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【详解】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4 D ．45【答案】D【详解】：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45b =37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i+=A ．B ．2CD ．1 【答案】C【详解】因为211i i=-+,所以21i =+故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 【答案】A【分析】由()12i z i -=得21i z i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()3235512225i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.。
重庆市2018届高三下学期第三次模拟数学(理)试卷Word版含解析
重庆市2018届高三下学期第三次模拟数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( )A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )A．6 B．5 C．4 D．34．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( )A．32 B．36 C．18 D．865．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．5πD．7π6．下列说法中正确的是( )A．若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若命题p：＞0，则￢p：≤0D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=( ) A．24 B．25 C．26 D．278．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜209．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为__________．12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=__________．13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有___________种不同的分配方法．一、考生注意：（14）、（15）、题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．一、选做题14．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是__________．一、选做题14．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC 的面积为，求边长a．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．重庆市2018届高三下学期第三次模拟数学（理）试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．解答：解：复数=，∴复数在复平面内对应的点为（1，﹣2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( ) A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出集合A中的一元二次不等式的解集，确定出集合A，由全集R，求出集合A的补集，然后求出集合B中对数函数的定义域确定出集合B，求出集合A补集与集合B的交集即可．解答：解：由集合A中的不等式x2﹣2x＞0，因式分解得：x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，所以集合A={x|x＞2或x＜0}，又全集U=R，∴C u A={x|0≤x≤2}，又根据集合B中的对数函数可得：x﹣1＞0，解得x＞1，所以集合B={x|x＞1}，则（C u A）∩B={x|1＜x≤2}．故选D点评：此题属于以一元二次不等式的解法及对函数的定义域为平台，考查了补集及交集的运算，是一道基础题．也是2015届高考中常考的题型．3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )A．6 B．5 C．4 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选D点评：本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．4．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( )A．32 B．36 C．18 D．86考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，∴一年级有160人，初二年级年级为180人，初三年级人数为90人，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为人，故选：C．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．5．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．5πD．7π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与半球的组合体，结合图中数据，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为圆柱，上部为半球的组合体，且圆柱的底面圆半径为1，高为1，半球的半径为1；所以该组合体的表面积为2π×1×1+π×12+×4π×12=5π．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．6．下列说法中正确的是( )A．若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若命题p：＞0，则￢p：≤0D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A项利用存在性和全称量词的否定来判断．B项利用原命题和逆否命题同真假判断C项用不等式解集的补集思路处理．D项考虑二次项系数为0的情况．解答：解：对于A项，若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∃x0∈R有x02≤0．故A错．对于B项，p是q的充分不必要条件，即p⇒q，则￢q⇒￢p，∴￢p是￢q的必要不充分条件．故B对．对于C项，若命题p：＞0，则￢p：≤0或x=0．故C错．对于D项，当a=0时，方程ax2+x+a=0为x=0．为一次函数．也满足唯一解的条件．故D错．故选：B点评：本题主要考查逻辑用语中四种命题的判定和否定，基础题型．7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=( ) A．24 B．25 C．26 D．27考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列求出b2，b3，b4，然后利用等差数列求解即可．解答：解：等比数列{b n}首项是1，公比是2，∴b2=2，b3=4，b4=8，等差数列{a n}首项是1，公差是2，∴a+a+a=a 2+a4+a8=3a1+11d=3+11×2=25．故选：B．点评：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．8．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( )A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；不等式．分析：利用赋值法，先令y=x，x=y，两式相减得到f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，再令y=0，求出f（x）=x+1，代入化简，利用基本不等式即可求出最值．解答：解：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，①，交换x，y的位置得到f（yx+1）=f（y）f（x）﹣f（x）﹣y+2，②由①﹣②得f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，再令y=0，则f（x）﹣f（0）﹣x=0，∵f（0）=1，∴f（x）=x+1，∴==≤，当且仅当x=∈[1，3]取等号，∴则的最大值为．故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数式的解法，以及基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为﹣1.4．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．解答：解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，故答案为：﹣1.4点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=﹣．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：条件即sinx+cosx=，平方可得2sinxcosx=﹣，求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．解答：解：∵x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=sinx+cosx=，平方可得2sinxcosx=﹣，∴sinx=，∴cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有24_种不同的分配方法．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：间接法：先求出活动一和活动二各要2人，活动共有三要1人的方法种数，去掉甲，乙两人参加同一活的方法种数即可．解答：解：由题意把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人共有=30种方法，其中甲，乙两人参加同一活动+=6种方法，故符合题意得方法共30﹣6=24种，故答案为：24．点评：本题考查排列组合的应用，间接法是解决问题的关键，属中档题．一、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．考点：圆周角定理；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：由已知中PA是圆的切线，PBC是圆的割线，可得△PAB∽△PCA，结合已知和相似三角形对应边相等，先求出PB长，进而可得AB的长．解答：解：∵PA是圆的切线，PBC是圆的割线，∴∠PAB=∠PCA，又∴∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴PB：PA=PA：PC，即PA2=PB•PC=PB•（PB+BC），即36=PB•（PB+9），解得PB=3，又由AB：AC=PA：PC得：AB：8=6：12，解得：AB=4，故答案为：4．点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定与性质，难度不大，属于基础题．一、选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为直角坐标方程，再化为极坐标方程ρ=2cosθ，联立，解得即可得出．解答：解：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），化为极坐标ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ，联立，解得，ρ=1，∴两图形的交点直角坐标为：．故答案为：．点评：本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选做题16．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为（﹣2，2）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义求出最小值，然后求解a的范围．解答：解：|x+2|+|x﹣2|≥|x+2+2﹣x|=4，关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，可得a2＜4，解得a∈（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC 的面积为，求边长a．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，根据最大值为2求出m的值即可；（2）由（1）确定出的f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinC，得到b=3c，再利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入得到bc=3，联立求出b与c的值，利用余弦定理求出a的值即可．解答：解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m=（cos2x+1）+sin2x﹣m=2sin（2x+）+﹣m，∴函数f（x）在2x+=时取得最大值，即2+﹣m=2，解得：m=；（2）∵f（A）=0，∴2sin（2A+）=0，即sin（2A+）=0，由A为锐角，解得：A=，∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，∵△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=bcsin=，即bc=3②，联立①②，解得：b=3，c=1，∵a2=b2+c2﹣2bc•cosA=32+12﹣2×3×1×cos，∴a=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由频率分布直方图能估算所调查的600人的平均年龄．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．在四棱锥P﹣ABCD中， PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）在底面梯形中，通过求解直角三角形求得DE=3，得到BE=DE，进一步得到AC⊥BD．再由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，由线面垂直的判定得答案；（2）法一、找出二面角APCD的平面角，求解直角三角形得到AP=，再求出四边形ABCD的面积，代入体积公式得答案；解法二、由（1）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出所用点的坐标，设点P（0，﹣，t）（t＞0）．由二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，借助于空间向量求得t，即得到AP．再求出四边形ABCD的面积，代入棱锥体积公式得答案．解答：（1）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，CE==1，DE=，∴BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，∴∠BOC=90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC；（2）解：法一、作OH⊥PC于点H，连结DH．如图1所示．由（1）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．∴PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角APCD的平面角，∴∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，∴，∴；解法二、由（1）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图2所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣，0，0）．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由=（﹣，﹣2，0），=（﹣，，﹣t）知，取y=1，得=（﹣2，1，）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cosθ===，解得t=，即AP=．∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，∴，∴．点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，训练了利用空间向量求空间角的问题，是中档题．20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最小值，求函数的导数，利用导数进行求解即可．解答：解：（1）若a=1，则f（x）=e x﹣ax﹣1，有f（0）=0，f′（x）=e x﹣1，所以斜率为f′（0）=0，所以切线为y=0．（2）求导：f′（x）=e x﹣a，令f′（x）＞0，解得x＞lna，所以函数在（lna，+∞）递增，（﹣∞，lna）递减，所以在x=lna，取得最小值．故f（x）≥0恒成立，等价于f（x）min≥0，即f（lna）=a﹣alna﹣1≥0成立．令h（a）=a﹣alna﹣1，h′（a）=﹣lna，所以知h（a）在（0，1）递增，（1，+∞）递减．有h（a）max=h（1）=0，所以当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，所以a=1时，f（x）≥0对任意x∈R恒成立．所以实数a的取值集合为{1}．点评：本题主要考查导数的综合应用，以及函数切线的求解，利用导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的定义求得椭圆方程．（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，根据题目条件求得．解答：解：（1）由题意知，c=1，左右焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）所以2a=|AF1|+|AF2|=2，所以椭圆标准方程为（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，即（t2+9）x2+2t2x+t2﹣9=0，﹣1×，∴，∴同理可得：N（），∴，直线MN的方程为：，∴直线MN恒过定点T（）．点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，再2015届高考中经常涉及．22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：即可化为=，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）欲证原结论，只需证＜•…•，先用数学归纳法证：•…•≥﹣…﹣，即可得出．解答：证明：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：=，化为=，∴数列是首项﹣1=﹣，公比q=等比数列，∴﹣1=，∴a n=．（2）欲证原结论，只需证＜•…•，现先用数学归纳法证：•…•≥﹣…﹣，（*）当n=1时，左右两边显然相等．假设n=k时，•…•≥﹣…﹣，则n=k+1时，•…•≥（﹣…﹣），∵（﹣…﹣）=﹣…﹣+•=﹣…﹣+≥﹣…﹣﹣．由数学归纳法可知：（*）对于∀n∈N*都成立．又﹣…﹣=1﹣=1﹣＞，故原命题成立．点评：本题考查了“取倒数法”、等比数列的通项公式、“数学归纳法”、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
重庆市第八中学校2023届高三上学期适应性月考(三)数学试题含答案
秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合,A B 满足{}{}{}0,2,4,6,8,10,2,8,2,6,8A B A B A ⋃=⋂==，则集合B 中的元素个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.52.复数12i3i z -=+的虚部为（ ）A.710- B.7i 10- C.75- D.7i5-3.圆22:(1)(1)2C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的圆的方程为（ ）A.22(2)2x y -+=B.22(2)2x y ++=C.22(2)2x y +-=D.22(2)2x y ++=4.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点,2O AE EO =，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）A.1B.1-C.23-D.185.已知0,0a b >>，则242ba b a++的最小值为（ ）A.B.C.1D.1+6.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，现有椭圆222:116x y C a +=的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于,P Q 两点，若MPQ 面积的最大值为34，则椭圆C 的长轴长为（ ）A.B.C.D.7.已知数列{}n a 满足21121411,,32n n n n a a a a a a +++===，则5a =（ ）A.122-B.102-C.92-D.82-8.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()43y f x =+为偶函数，()41y g x =++为奇函数.对x R ∀∈，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g ⋅=（ ）A.575B.598C.621D.624二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<，曲线()y f x =关于点7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（）A.将该函数向左平移6π个单位得到一个奇函数B.()f x 在37,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在7,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点D.曲线()y f x ='关于直线6x π=对称10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（）A.790a a +=B.610S S >C.数列{}n a 是递减数列D.使0n S >的n 的最大值为1511.已知点P 为圆22:(2)(3)1(C x y C -+-=为圆心）上的动点，点Q 为直线:350l kx y k --+=上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.若直线:350l kx y k --+=平分圆C 的周长，则2k =B.点C 到直线lC.若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离为12k <<D.若1k =-，过点Q 作圆C 的两条切线，切点为,A B ，当QC AB ⋅最小时，则直线AB 的方程为33170x y +-=12.已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的动点，F 为抛物线C 的焦点，若PF 的最小值为1，点()0,1A -，则下列结论正确的是（ ）A.抛物线C 的方程为24x y =B.PF PA的最小值为12C.点Q 在抛物线C 上，且满足2PF FQ = ，则92PQ =D.过()2,1P -作两条直线12,l l 分别交抛物线（㫒于点P ）于两点,M N ，若点F 到12,l l 距离均为12，则直线MN 的方程为1515110x y --=三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足()()20sin 1xf x e f x '=-+，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________.14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2105,δ.若()1901202P X =……，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.15.已知对任意平面向量(),AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ得到点P .已知平面内点()2,1A ，点(2B +，把点B 绕点A 沿逆时针4π后得到点P ，向量a为向量PB 在向量PA 上的投影向量，则a =__________.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若32624,2S S S a =+=，数列n b 满足1n a n n b a =，当n b 最大时，n 的值为__________.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在①2cos22cos12BB +=；②2sin tan b A a B =；()()sin sin sin a c A c A B b B -++=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若__________.（1）求角B ；（2）若2b =，且ABCABC 的周长.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且111321,1,2log 33n n n n a a S b a +==-+=+.（1）求数列{n a ∣和{}n b 的通项公式；（2）若1n n nc a T =+，设数列{}n c 的前n 项和为n R ，证明：3n R <.19.（本小题满分12分）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x ，和年销售额y ，的数据（i =1，2，…，12），该团队建立了两个函数模型：①2y x αβ=+②x t y e λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图2令()2,ln 1,2,,12i i i i u x v y i === ，计算得如下数据：xy()1221ii x x =-∑()1221ii y y =-∑()()121iii x x v v =--∑206677020014uv()1221ii uu =-∑()1221ii v v =-∑()()121iii u u y y =--∑4604.2031250000.30821500（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为{1,i r x ∣和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；（ii ）若下一年销售额y 需达到80亿元，预测下一年的研发资金投人量x 是多少亿元？附：①相关系数nx y r =ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x==--==--∑∑②参考数据： 4.3820308778.9443,80e =⨯≈≈.20.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，11,33D D D C AB BC ===.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若平面11BCC B 与平面1BDD 所成的角为60 ，求三棱锥1C BD D -的体积21.（本小题满分12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)F，渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点⎛ ⎝.（1）求12,C C 的方程；（2）设A 是1C 与2C 在第一鲧限的公共点，作直线l 与1C 的两支分别交于点,M N ，便得AM AN ⊥.（i ）求证：直线MN 过定点；（ii ）过A 作AD MN ⊥于D .是否存在定点P ，使得DP 为定值？如果有，请求出点P 的坐标；如果没韦，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x a =-+.（1）若存在()0,x e ∞∈+使()00f x <，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：2122x x e +>.秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学1-8DAACBCDC 9.BC 10.AC11.ABD 12.ABD13.213e π+14.53215.216.319.（1）121500430.862500050r =====214100.91770.211r ====≈⨯则12r r <，因此从相关系数的角度，模型21x y e +=的拟合程度更好（2）（i ）先建立v 关于x 的线性回归方程.由x t y e λ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+.由于()()()1211221140.018770iii i i x x v v x x λ==--==≈-∑∑4.200.01820 3.84t v x λ=-=-⨯=所以v 关于x 的线性回归方程为ˆ0.02 3.84vx =+，所以ˆln 0.02 3.84yx =+，则0.02 3.84ˆx y e +=.（ii ）下一年销售额y 需达到80亿元，即80y =，代入0.02 3.84ˆx ye +=得，0.02 3.8480x e +=，又 4.38280e ≈所以0.02 3.84 4.382x +=27.1x =。
高中数学理科专题讲解高考大题专项(四)《立体几何》教学课件
所以ON=AF.因为BE∥AF,所以ON∥AF,所以四边形AONF是平行四边形,所以FN∥AO,且AO⊂平面MAC,所以FN∥平面MAC.因为FN∩BF=F,所以平面BFN∥平面MAC.
--
证法二:因为AD∥BC,AB=2,BC=1,AD=2,CD= ,所以AB⊥AD.因为BE∥AF,BE⊥平面ABCD,所以AF⊥平面ABCD,所以AF⊥AB,AF⊥AD,取AB所在直线为x轴,取AD所在直线为y轴,取AF所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
--
--
解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
--
对点训练1(2018全国2,理20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
--
对点训练1(2016全国3,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
--
--
--
题型二 证明平行关系求二面角例2(2019全国1,理18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
--
方法一:(1)证明:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年重庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，集合，则A. B. C. D.2. 在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则A. B. C. D.3. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，则A. B. C. D.不能确定4. 某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数（百个）与相应加工总时长（小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是（）加工总时长与生产零件数呈正相关B.该回归直线一定过点C.零件个数每增加百个，相应加工总时长约增加小时D.的值是5. 已知函数，则＝（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.7. 已知，，则的值为A. B. C. D.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的，，则输出的A. B. C. D.9. 已知向量，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 已知椭圆的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.11. 已知实数，满足不等式，则点与点在直线的两侧的概率为（）A. B. C. D.12. 已知函数，，若函数的图象关于点对称，且曲线与有唯一公共点，则A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若展开式中常数项为，则实数等于________．14. 甲、乙、丙三个同学在看，，三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”(冠军唯一)．赛前，对于谁会得冠军，甲说：不是，是；乙说：不是，是；丙说：不是，是．比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是________．15. 已知三棱锥的外接球的球心为，平面，，，，则球心到平面的距离为________．16. 如图，在平面四边形中，的面积为，，，，，则________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 有如下数阵（2），，，…,…其中第个括号内的所有元素之和记为．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ令，求数列的前项和．18. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．重庆年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分为分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：Ⅱ若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加个，现利用所得正态分布模型：ⅰ预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果四舍五入到整数）ⅱ若在全年级所有学生中任意选取人，记正式测试时每分钟跳个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，19. 如图，在矩形中，点、、分别为和的三等分点，其中，现将和分别沿，翻折到和的位置，得到一个以，，，，，为顶点的空间五面体．Ⅰ证明：平面；Ⅱ若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，平面内的动点在轴上的射影为，且，记点的轨迹为．求点的轨迹方程；设点，以为圆心，为半径的圆与直线相切于点，过作斜率大于的直线与曲线在第一象限交于点，与圆交于点若直线，，的斜率成等差数列，且为的中点，求和的面积比．21. 已知函数.若曲线与直线相切，求的值．若，设，求证：有两个不同的零点，，且．(为自然对数的底数)（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．Ⅰ写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；Ⅱ设与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求四边形面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23. 已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若，证明：．参考答案与试题解析2018年重庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求解不等式化简，再由交、并、补集的混合运算求解．【解答】∵，，∴，又，∴．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】首先根据复数所对应的点为转化出：，进一步利用复数的模求出结果．【解答】复数所对应的点的坐标为，则：，∴，∴，3.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】设公差为，由题意可得，再根据等差数列的求和公式即可求出答案．【解答】设公差为，∵，∴，∴，∴，4.【答案】D【考点】求解线性回归方程【解析】根据线性回归方程为的性质判断即可．【解答】由题意，线性回归方程为，对于：∵，∴加工总时长与生产零件数呈正相关；对于：当时，可得，即该回归直线一定过点对于：由，∴零件个数每增加百个，相应加工总时长约增加小时，对于：回归方程过平均中心，，解得：5.【答案】B【考点】求函数的值分段函数的应用【解析】判断自变量的范围，然后利用分段函数求解即可．【解答】函数，则＝．6.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，其中半圆锥的底面半径为，三棱柱的底面是一个边长为为正方形，他们的高分别为：，则．7.【答案】D二倍角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】利用同角三角函数关系，结合二倍角公式，可得，的值，再利用和角的正弦公式，即可求出的值．【解答】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴．故选.8.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得，，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为（22）9.【答案】B【考点】两向量的和或差的模的最值根据题意得出，不妨设，，则，得出，结合图形求得的取值范围．【解答】向量，满足，∴，∴，∴；不妨设，，且，则，如图所示；根据对称性不妨令，且，则，，∴，∴，∴，∴的取值范围是．10.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质【解析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【解答】在中，，，∴，，又，∴．11.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由点与点在直线的两侧，可得，画出图形，数形结合得答案．【解答】若点与点在直线的两侧，则，即，又实数，满足不等式，作出图象如图：由图可知，点与点在直线的两侧的概率为．12.【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据对称中心求出，根据两函数在时具有公切线得出．【解答】∵函数的图象关于点对称，∴，即，∴∵与有唯一公共点，且，，故为与图象的交点横坐标．∵，，∴与均为增函数，∴与在处具有公切线，即，∴，故∴二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.【答案】【考点】二项式定理的用法【解析】写出二项式展开式的通项，分别求出常数项与含的项，则答案可求．【解答】二项式展开式的通项．取，可得展开式的常数项为；取，可得展开式的含的项为．∴展开式中常数项为，解得14.【答案】【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：如果甲全对，则乙对一半错一半，丙全错，符合；如果乙全对，则甲对一半错一半，丙也是对一半错一半，矛盾；如果丙全对，则甲全错，乙也是全错，矛盾．综上，甲全对，故冠军是．故答案为：．15.【答案】【考点】球内接多面体点、线、面间的距离计算【解析】根据棱锥的结构特征求出外接球的球心的位置，从而可计算出到平面的距离．【解答】设为的中点，连结，，∵，∴为的外心，过作，垂足为，∴平面，又平面，，∴，，，∵，为公共边，∴，∴，∴，又，则平面，∴，又，∴平面．即为到平面的距离．∵，，∴，，又，∴，∴，∴，∴．16.【答案】【考点】解三角形【解析】在中，由余弦定理可求出，再根据正弦定理计算，从而得出，根据的面积可求出，从而得出的值．【解答】在中，又余弦定理可得，∴，由正弦定理可得，即，解得，∴，∴，即，∴，∴，∴．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.【答案】Ⅰ．Ⅱ，……，∴数列的前项和【考点】数列的求和归纳推理【解析】Ⅰ，利用等比数列的求和公式即可得出．Ⅱ，……，即可得出．【解答】Ⅰ．Ⅱ，……，∴数列的前项和18.【答案】Ⅰ两人得分之和不大于分，即两人得分均为分，或两人中人分，人分，Ⅱ（个）又，，所以正式测试时，，，∴ⅰ∴，∴（人）ⅱ由正态分布模型，全年级所有学生中任取人，每分钟跳绳个数以上的概率为，即，∴，，，，∴的分布列为【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差正态分布密度曲线【解析】Ⅰ两人得分之和不大于分，判断类型，然后求解概率．Ⅱ利用频率分布直方图真假求解平均数，推出正式测试时，，，ⅰ，推出人数．ⅱ由正态分布模型，全年级所有学生中任取人，每分钟跳绳个数以上的概率为，得到求出的分布列，然后求解期望即可．【解答】Ⅰ两人得分之和不大于分，即两人得分均为分，或两人中人分，人分，Ⅱ（个）又，，所以正式测试时，，，∴ⅰ∴，∴（人）ⅱ由正态分布模型，全年级所有学生中任取人，每分钟跳绳个数以上的概率为，即，∴，，，，∴的分布列为19.【答案】Ⅰ∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，又平面，平面，∴平面．Ⅱ取中点，连接，，，∵四边形是边长为的正方形，∴，，又，∴，∵，为的中点，∴，又，∴平面．如图，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，则，，取中点，由Ⅰ知平面，故到平面的距离，∴在平面上的射影与重合，故而．∴，，设平面的一个法向量为，则，∴，令可得，显然平面的一个法向量，∴，，∴平面与平面所成锐二面角为的余弦值为，．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】（1）证明平面，得出，从而可得平面；建立坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】Ⅰ∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，又平面，平面，∴平面．Ⅱ取中点，连接，，，∵四边形是边长为的正方形，∴，，又，∴，∵，为的中点，∴，又，∴平面．如图，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，则，，取中点，由Ⅰ知平面，故到平面的距离，∴在平面上的射影与重合，故而．∴，，设平面的一个法向量为，则，∴，令可得，显然平面的一个法向量，∴，，∴平面与平面所成锐二面角为的余弦值为，．20.【答案】解：设，则，∴，．由，可得，即．∴点的轨迹方程.设，由，得，得或（舍）．∴，∴且求得，∴．又，∴．【考点】轨迹方程【解析】由已知可设，则，结合列式并化简整理，即可得到点的轨迹方程的方程设，由已知可得，由此求得值，可得坐标，得到且求得，分别求出和的面积，则答案可求．【解答】解：设，则，∴，．由，可得，即．∴点的轨迹方程.设，由，得，得或（舍）．∴，∴且求得，∴．又，∴．21.【答案】解：设切点，∵，∴，∴，又切点在函数上，∴即，解得：，∴，∴证明：不妨设，∵，所以在上单调递减，又，，所以必存在，使得，即，∴①当时，，所以在区间上单调递减，注意到，，所以函数在区间上存在零点，且．②当时，，所以在区间上单调递增，又，且，所以在区间上必存在零点，且，综上，有两个不同的零点，，且．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】Ⅰ设出切点坐标，求出函数的导数，根据斜率是，求出的值即可；Ⅱ求出必存在，使得，即，通过讨论的范围，求出函数的零点的范围，从而证明结论即可．【解答】解：设切点，∵，∴，∴，又切点在函数上，∴即，解得：，∴，∴证明：不妨设，∵，所以在上单调递减，又，，所以必存在，使得，即，∴①当时，，所以在区间上单调递减，注意到，，所以函数在区间上存在零点，且．②当时，，所以在区间上单调递增，又，且，所以在区间上必存在零点，且，综上，有两个不同的零点，，且．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22.【答案】Ⅰ由（为参数）消去参数得：，展开可得：将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．Ⅱ设，，由与圆联立方程可得，∴，，∵，，三点共线，则①，∴用代替可得，∵，∴，四边形∵，∴四边形．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】Ⅰ由（为参数）消去参数得：，将曲线的方程化成极坐标方程．Ⅱ设，，由与圆联立方程可得，根据根与系数的关系及其，，三点共线，，用代替可得，根据，可得四边形．【解答】Ⅰ由（为参数）消去参数得：，展开可得：将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．Ⅱ设，，由与圆联立方程可得，∴，，∵，，三点共线，则①，∴用代替可得，∵，∴，四边形∵，∴四边形．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23.【答案】Ⅰ由可得，即或或，解得：即不等式的解集．Ⅱ要证，即证，∵，只需证，即证，由Ⅰ可知，，显然上式显然成立，故原命题得证．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式的证明【解析】（I）讨论的范围，去绝对值符号化简，再解不等式；利用分析法和绝对值三解不等式寻求使结论成立的充分条件即可得出证明．【解答】Ⅰ由可得，即或或，解得：即不等式的解集．Ⅱ要证，即证，∵，只需证，即证，由Ⅰ可知，，显然上式显然成立，故原命题得证．试卷第21页，总21页。