第 11 讲矩阵分解 (1)

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矩阵理论_课件_11

2
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明：当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意定理对任意， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身

矩阵奇异分解

矩阵奇异分解
矩阵奇异分解是一种常见的数学工具，用于将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

这种分解在数据分析、信号处理和机器学习等领域都有着广泛的应用。

让我们来了解一下矩阵奇异分解的基本概念。

矩阵奇异分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T。

其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

这种分解的一个重要性质是，矩阵A的奇异值分解是唯一的，即对于任意一个矩阵A，存在唯一的奇异值分解。

矩阵奇异分解在降维和数据压缩中有着重要的应用。

通过保留矩阵A中最大的奇异值对应的奇异向量，我们可以得到一个低秩的近似矩阵，从而实现对原始数据的降维处理。

这种方法在图像压缩和信息检索等领域被广泛应用。

矩阵奇异分解还可以用于推荐系统中的矩阵补全问题。

在推荐系统中，通常存在用户-物品评分矩阵，其中很多条目是缺失的。

通过对评分矩阵进行奇异值分解，我们可以估计出缺失条目的值，从而实现对用户的个性化推荐。

除了在数据分析领域，矩阵奇异分解还在信号处理和图像处理中有着重要的应用。

在信号处理中，矩阵奇异值可以用来提取信号的主要成分，从而实现信号的降噪和恢复。

在图像处理中，矩阵奇异分
解可以用来对图像进行压缩和去噪处理，从而提高图像的质量和传输效率。

总的来说，矩阵奇异分解是一种非常有用的数学工具，广泛应用于数据分析、信号处理和图像处理等领域。

通过对一个矩阵进行奇异值分解，我们可以实现数据的降维和压缩，从而更好地理解和处理复杂的数据。

希望通过本文的介绍，读者能对矩阵奇异分解有一个更深入的了解，并在实际应用中发挥其重要作用。

矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解

矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解矩阵特征分解是一种常见的矩阵分解方法，用于计算矩阵的特征值和特征向量。

而奇异值分解也是一种重要的矩阵分解技术，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

本文将详细介绍矩阵特征分解和奇异值分解的原理以及其在计算机科学和工程领域中的应用。

一、矩阵特征分解矩阵特征分解是一种将一个方阵分解为特征向量和特征值的方法。

对于一个n × n的方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax = λx，那么x称为A的特征向量，λ称为A的特征值。

特征向量和特征值是成对出现的，每个特征值对应一个特征向量。

特征分解的过程可以表述为：A = QΛQ^(-1)，其中Q是一个由特征向量构成的矩阵，Λ是一个对角阵，对角线上的元素是A的特征值。

矩阵特征分解在很多领域都有广泛的应用，比如在物理学中用于描述振动模式，化学中用于描述分子的电子云运动，图像处理中用于特征提取和图像压缩等。

二、奇异值分解奇异值分解是一种将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法。

对于一个m × n的矩阵A，它的奇异值分解可以表述为：A = UΣV^T，其中U是m × m的正交矩阵，Σ是一个对角阵，对角线上的元素是矩阵A的奇异值，V^T是n × n的正交矩阵的转置。

奇异值分解广泛应用于数据降维、图像压缩和推荐系统等领域。

在数据降维中，通过保留较大的奇异值可以有效地提取出重要的特征，减少数据的维度；在图像压缩中，利用奇异值分解可以将图像矩阵分解为若干个部分，其中一部分的奇异值较大，可以用于恢复图像的大部分信息。

三、特征分解与奇异值分解的联系和区别虽然特征分解和奇异值分解都为矩阵分解的方法，但两者在应用场景和结果解释上有所不同。

特征分解更适用于方阵，可以得到矩阵的特征向量和特征值，用于描述矩阵的振动模式、电子云运动等。

而奇异值分解适用于任意矩阵，可以得到矩阵的奇异值和正交矩阵，常用于数据降维和图像压缩。

Cholesky分解

Cholesky分解Cholesky分解00个人认为，首先，当数据量很大时，将一个矩阵分解为若干个矩阵的乘积可以大大降低存储空间；其次，可以减少真正进行问题处理时的计算量，毕竟算法扫描的元素越少完成任务的速度越快，这个时候矩阵的分解是对数据的一个预处理；再次，矩阵分解可以高效和有效的解决某些问题；最后，矩阵分解可以提高算法数值稳定性，关于这一点可以有进一步的说明，借用一个上学时老师给的例子：有方程组：令，，解方程组可得：现在对b进行微小扰动：，扰动项为：此时相应的解为：。

这个例子说明，当方程组常数项发生微小变动的时候会导致求出的结果差别相当大，而导致这种差别的并不是求解方法，而是方程组系数矩阵本身的问题，这会给我们解决问题带来很大危害，例如，我们在用计算机求解这类问题时难以避免在计算当中出现舍入误差，如果矩阵本身性质不好会直接导致所答非所问。

对常数向量b和矩阵A进行一个简单的扰动分析：1)、扰动b，原方程组为：(式子1)，（，A非奇异）扰动后为：(式子2)把式子1带入式子2得：，用2-范式来衡量这种变化得：，由于，于是得到：而利用式子1同理可得，整理后得：，可见b的扰动对解的影响由决定。

2)、扰动A，扰动后为：(式子3)，（，A非奇异）稍微做一下变换：把式子1带入后得到：对两边同时取2-范式有：于是有：，整理一下就是：，A的扰动对解的影响依然是由决定。

3)、对于同时扰动A和b的情况偶就不推了，最后的结果依然是，扰动对解的影响依然由决定。

定义矩阵的条件数来描述矩阵的病态程度，一般认为条件数小于100为良态，条件数在100到1000之间为中等程度的病态，条件数超过1000存在严重病态。

以上面的矩阵A为例，采用2-范数表示的条件数为：，看来矩阵处于中等病态程度。

矩阵其实就是一个给定的线性变换，特征向量描述了这个线性变换的主要方向，而特征值描述了一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，有关特征值和特征向量的相关概念可查看/wiki/Eigenvalues_and_eigen vectors，对开篇的例子进一步观察发现，A是个对称正定矩阵，A的特征值分别为：14.93303437 和：0.06696563，两个特征值在数量级上相差很大，这意味着b发生扰动时，向量x在这两个特征向量方向上的移动距离是相差很大的——对于对应的特征向量只需要微小的移动就可到达b的新值，而对于，由于它比起太小了，因此需要x做大幅度移动才能到达b的新值，于是悲剧就发生了……………..。

第11节市场份额矩阵—波士顿矩阵——【淘宝、天猫电商数据分析与挖掘】

士顿矩阵分解实例
《淘宝、天猫电商数据分析与挖掘实战》系列课件
波士顿矩阵分解实例——环比
增幅&市场相对占比
算出环比增幅和市场相对占比
《淘宝、天猫电商数据分析与挖掘实战》系列课件
波士顿矩阵分解实例—
—散点图
插入两个数据的散点图
《淘宝、天猫电商数据分析与挖掘实战》系列课件
波士顿矩阵分解实例—
—散点图
市场占比设为X轴，环比增幅为Y轴。
《淘宝、天猫电商数据分析与挖掘实战》系列课件
波士顿矩阵分解实例—
—散点图
将横坐标交叉的坐标轴值设为 0.1 （10%），两个轴的交点可以取均值、中位数（在 4.1.1 节中会介绍常用的统计指标）
《淘宝、天猫电商数据分析与挖掘实战》系列课件
波士顿矩阵分解实例—
模型
关于坐标轴交点的设置，可以选择中点或者根据自己市场的情况来制定，一般选择中点即可；其中竖轴是增长率，横轴是相对市场份额。
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Thanks!
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市场份额矩阵——波
士顿矩阵实例
《淘宝、天猫电商数据分析与挖掘实战》系列课件
（1）明星（stars）：它是指处于高增长率、高市
场占有率象限内的产品群。
（2）金牛（cash cow）：又被称为厚利产品，它是指处于低增长率、高市场占有率象限内的产品群，
电商数据分析
实战课
第11节市场份额矩阵—波士顿矩阵
本节内容在课本P106-119
波士顿矩阵
定义：又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询
集团法、四象限分析法、产品系列结构管理法等。对于企业产品所处的四个象限具有不同的定义和相应的战略对策。

矩阵分解和广义逆的定义和性质

矩阵分解和广义逆的定义和性质在数学和统计学中，矩阵分解和广义逆是两个非常有用的概念，它们被广泛应用于数据挖掘、机器学习、信号处理、图像处理等领域。

在本文中，我们将详细介绍矩阵分解和广义逆的定义和性质，并说明它们在实际应用中的作用。

一、矩阵分解的定义和性质矩阵分解是将一个矩阵分解成若干个乘积的形式，这样的分解有很多种，其中比较常见的有奇异值分解（SVD）、QR分解和LU分解等。

1、奇异值分解奇异值分解基于矩阵的行列式和特征值进行分解，它把一个$m\times n$的矩阵$A$表示为下列形式的乘积：$$A=U\Sigma V^T$$其中，$U$和$V$是正交矩阵（即$UU^T=U^TU=I$和$VV^T=V^TV=I$），$\Sigma$是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

奇异值分解有很多重要的性质，其中一些最为关键的包括：（1）它可以对任意矩阵进行分解，而且分解结果唯一；（2）它能够有效地降低矩阵的维度，从而减小计算量和存储空间；（3）奇异值是非负数，它们越大，表示该维度的信息越强，因此可以保留重要的特征。

2、QR分解QR分解将一个$m\times n$的矩阵$A$分解为以下形式：$$A=QR$$其中，$Q$是${m\times m}$的正交矩阵，$R$是${m\timesn}$的上三角矩阵。

QR分解也有很多重要的性质，其中一些最为关键的包括：（1）QR分解是可逆的，即从分解后的$Q$和$R$还原出原始矩阵$A$是可行的；（2）QR分解对于求解线性方程组和最小二乘问题非常有用；（3）QR分解的求解过程中不存在除法运算，因此较不容易出现数值问题。

3、LU分解LU分解是将一个$n\times n$的矩阵$A$分解为以下形式：$$A=LU$$其中，$L$为下三角矩阵，$U$为上三角矩阵。

LU分解也有很多重要的性质，其中一些最为关键的包括：（1）LU分解可以有效地解决线性方程组；（2）当某个矩阵$A$有LU分解时，它的行列式可以很容易地计算出来；（3）LU分解对于求解多元线性回归模型等问题非常有用。

矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型

d i ( ) d i 1 ( ), i 1,2, r 1,
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4）矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))

矩阵的分解分析

矩阵的奇异值分解
H mn 定义 2.2.5 设 A Cr ，A A 的特征值为
1 2 r r 1 n 0
则称 i i (i 1,2,, n) 为 A的奇异值；当 A为零矩阵时，它的奇异值都是0. 定理 2.2.6 设 A Crmn (r 0) ，则存在m 阶酉阵 U 和 n阶酉矩阵 V ， 0 U H AV 使得（2-2-5）
矩阵QR分解的求法
（1）Schmidt正交化法
（2）用初等旋转矩阵左乘矩阵A （3）用初等反射矩阵左乘矩阵 A
矩阵的满秩分解
定理 2.2.4设 m n 矩阵 A C mn ， rankA r (r 0) .如果存在一个列满秩矩阵 C C mr (rankC r )
D C rn (rankD r ) 使得
矩阵的分解及其应用
内容简介
矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用 .矩阵分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下：
（1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩及其特征值和特征向量的等；
V ；
（2）求 A的秩
1 , 2 ,, r diag
r ，奇异值
i
i (i 1,2,, n) 及
（3）计算 i
1 Ai (i 1,2,, n) ，从而得正交矩阵U ； i
A U 0 0 T V 0
(4)的奇异值分解为
矩阵分解的应用
5 0 0 0
2 1 5 2 5 1

矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解

第十一讲满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。

说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。

（2）满秩分解不唯一。

r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。

设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈，使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行，其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。

3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2）若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3）矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。

例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1）采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2）选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。

矩阵分解的研究[开题报告]

毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵分解的研究一、选题的背景、意义数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美.矩阵是数学中的重要组成部分,因此对矩阵的研究具有重大的意义。

在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。

因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。

矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。

矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。

寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。

因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。

这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文简单的介绍了矩阵的定义，通过矩阵的定义，由m n ⨯个数(1,2,,,1,2,,)ij a K i m j n ∈==K K 排成的m 行、n 列的长方形表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K M M O M K (1) 称为数域K 上的一个m n ⨯矩阵。

其中的ij a 称为这个矩阵的元。

两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。

矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。

如（1）的矩阵可以被记为A .如果矩阵的行数m 与列数n 相等，则称它为n 阶方阵。

数域K 上所有m n ⨯矩阵的集合记为(),m n M K ,所有n 阶方阵的集合记为()n M K ，元全为0的矩阵称为零矩阵，记为0.矩阵A 的位于第i 行、第j 列的元简称为A 的(),i j 元，记为(),A i j 。

如果矩阵A 的(),i j 元是(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n ==K K ，则可以写成()ij A a =。

第1章矩阵运算与矩阵分解_1

T A21 AsT1 T T A22 As 2 T T A2 r Asr
H A21 AsH 1 H H A22 As 2 H H A2 r Asr
矩阵论与数值分析
二、方阵的行列式
(一)、行列式的定义与性质
矩阵论与数值分析
(三)、矩阵的块运算 1、加法，减法
A11 A21 设A As1 A12 A22 As 2 A1r B11 A2 r B21 ,B Asr Bs1 A12 B12 A22 B22 As 2 Bs 2 B12 B1r B22 B2 r Bs 2 Bsr
矩阵论与数值分析
2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；
2
若P, Q可逆，且B PAQ, 则rank A rank B
mn n 3 设 A C , W x C Ax 0 , 则

rank A dim W n
矩阵论与数值分析
矩阵论与数值分析
3、乘法
A11 A21 设A As1 A12 A22 As 2 A1t B11 A2t B21 ,B Ast Bt1 B12 B1r B22 B2 r Bt 2 Btr
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1
H A11 H A12 H A AH 1r
A12 A22 As 2
T A1r A11 T A2 r A12 T , 则A AT Asr 1r

矩阵的分解

矩阵的分解
§1 矩阵的三角分解
一、n 阶方阵的三角分解
定义 1
正线上三角阵
a11 a12 0 a 22 R 0 0
a1n a2 n ann
单位上三角阵
1 a12 0 1 R 0 0
a1n a2 n 1
( i 1,2,, k )
的解空间Vi 称为A的对应于特征值 i的特征
空间，则Vi 的维数称为 A的特征值i的
几何重复度定义 3 若矩阵A的每个特征值的代数重复度
与几何重复度相等，则称矩阵A为单纯矩阵
定理6 设 A C nn是单纯矩阵，则 A可分解
为一系列幂等矩阵 Ai (i 1,2,, n)的加权和，
a1 , a2 , , an 线性无关
正交化、单位化
a1 1 || a1 || i 1 ai ( ai , j ) j j 1 i i 2, 3, , n i 1 || ai (ai , j ) j || j 1
9 16 5 16
§2 矩阵的谱分解
一、单纯矩阵的谱分解
定义 1 设 1 , 2 ,, k 是 A C nn 的相异特征值，
其重数分别为 r 1 , r 2 ,, rk , 则称 ri 为矩阵A的特
征值i的代数重复度
定义 2 齐次方程组 Ax i x
的最大秩分解 .
~
2 1 3 4
2 1 3 4
解:
A

1 0 0 0
3 9 0 16 16 7 5 1 16 16 0 0 0 0 0 0
9 16 5 ~ A 16 0 0

矩阵论学习-(矩阵的分解)-1

0 ｗ
.
0
故有 A = 0 .
(2 ) A2 = A, 则 A 的特征值为 1 或 0 , 假定 r ( A) = r ; A 可酉对角化为 :
UH AU =
Ir
0 , ( UH AU) H =
Ir
0H , UH AH U =
Ir 0
00
00
00
可得 AH = A .
λ1
λ21
( 3 ) A3 = A2 , 且 UH AU =
t11 t12 … t1 n
UH AU =
t2 2 ｗ
, tij = 0 , 且 tii = λi . i > j,
tnn
UH AH AU =
n
∑ | ti1 | 2
i =1
＊
n
∑ | ti2 | 2 i= 1
ｗ
＊ ,
n
∑ | tin |2
i =1
所以 , 有
n
n
n
n
n
∑∑ ∑ ∑ ∑ | aij | 2 = t r( AH A) = t r( UH AH AU) =
等价地 : Hermite 矩阵 A , 必存在酉矩阵 U , 使得
λ1
UH AU =
ｗ
.
λn
定理 1 .5 Hermite 二次型正定 ( A 正定 ) 的等价命题如下 . (1 ) Hermite 二次型 f = XH AX 正定 ( 即＂ X≠0, 恒有 XH AX > 0 ) . ( 2 ) f = XH AX 的正惯性指数为 n . (3 ) 存在可逆矩阵 P , 使得 PH AP = I .
nn
例 3 .1－6 A = ( ai j ) n × n , λ1 , λ2 , … , λn 为 A 的特征值 , 若 ∑ ∑ | aij | 2 = i=1 j =1

第4章矩阵分解-1

3 1 2
H2H1A
0
1
1
R
0
0
0
矩阵分析简明教程
Q
H
H 1
21
1 3
1
2 2
2 1 2
2
2 1
所求的QR分解为
A QR
8
0 1 1
矩阵分析简明教程
1 5
x1 2x2 x3 5x2 3x3
0 1
12 5
x3
4 5
(
5 12
)
3 5
x1
2x2 x2
1 3 0
x3
1 3
(2)
x1 x2
1 3 0
x3 1 3
(II )
矩阵分析简明教程
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 (3) 1 2 1
角方阵 R ，使得
A QR
当 m = n 时，Q 就是酉矩阵或正交矩阵。
矩阵分析简明教程
例 1 将下列矩阵进行QR分解：
1 2 2
A
1 0
0 1
2 1
4
矩阵分析简明教程
解： 1 (1,1，0, )T， 1 1 (1,1，0)T
1
||
1 1
||
1 (1,1, 0)T 2
定理4.2.3 设 e1 1, 0,, 0T C n ,
x1 , x2 ,, xn T C n , 0
令
x1
x1 ,
,
x1
0 ，u
e1
x1 0
e1
H E 2uuH是n 阶Householder矩阵，且
H -e1
矩阵分析简明教程
定理4.2.4（QR分解）设 A为任一 n 阶矩阵则必存在 n 阶酉矩阵 Q 和 n 阶上三角方

2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第11章第1节

生变量的当期结构关系，并且可以直观
地分析标准正交随机扰动项对系统产生
冲击后的影响情况，即 et对系统的冲击影响情况。et就是所谓的“标准正交随机
扰动项”。
在模型(11.31)中，矩阵A和B被称
为正交因子分解矩阵。从模型(11.31)
第二个等式可以看到，矩阵A将缩减式
VAR模型中的扰动项 t的向量进行转化
i1
p
p
p
y2t
(0) 21
y1t
y (i) 21 1,ti
y (i)
22 2,ti
y u (i) 23 3,ti 2t
i1
i1
i1
p
p
p
y3t
(0) 31
y1t
(0) 32
y2t
y (i) 31 1,ti
y (i)
32 2,ti
y u (i) 33 3,ti 3t
i1
要想获得SVAR模型中的结构性系数，首先需要考虑所谓的“排序”（order）问题。什么是order问题呢？简单地解释即，order问题就是对比SVAR模型中待估计量的个数与VAR模型中可以估计出来的对应量的个数。
比较含有n个变量的VAR(p)与SVAR(p) 模型的这些数字关系，我们看到，
(11.3)
Yt 01 011Yt1 01ut
(11.8)
Yt c 1Yt1 2Yt2 t (11.9)
所以，VAR模型从某种程度上说，是SVAR模型的缩减形式。
SVAR(p)模型：
0Yt 1Yt1 2Yt2 Yp t p ut
其中:p表示滞后期数。
相应的缩减VAR形式为：
（1）短期约束条件
在许多情况下，对矩阵A和B施加的约束条件是限制这两个矩阵中的某些位置上的元素取特定的值。这种直接令矩阵A和B中某些元素为特定值的约束条件称为短期约束条件。

矩阵分析

命题:用初等行变换可把A 变为: 命题:用初等行变换可把A∈Crm×n,变为:
Er 0 1 0 = 0 * 1 ⋱ 1 * * * * * * *
设A∈Crm×n的前列线性无关
证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘因前r列线性无关, 可使A (1,1)元 0.再用第二类初等矩阵左可使A的(1,1)元≠0.再用第二类初等矩阵左乘可使a =1;最后用若干第三类初等矩阵左乘可使a11=1;最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e 因前2列线性无关, 乘可使A的第一列=e1.因前2列线性无关,故新的第2列与e 不线性相关且≠0,故用第一类新的第2列与e1不线性相关且≠0,故用第一类行变换可使(2,2) (2,2)元 0,…可使的第2 可使A 行变换可使(2,2)元≠0, 可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元。此时空白处必为0 .可使A的第r
-1 Er ( E A =P
Er B=P-1 0
, C= (Er 0) Q-1 满足所要求的条件. 满足所要求的条件.
0
r
0)
Q-1 = BC
,其中 ,其中
教本pp.183 184给出的证明 pp.183给出的证明. 比较:教本pp.183-184给出的证明.
1 ⋱ 1 k ⋱ 1 ⋱ 1
1
初等变换与初等矩阵性质初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 可逆的 0) ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变 ,P

矩阵分解的常用方法

39关注【数学经纬】[2012.12]摘要：矩阵分解对矩阵理论的发展起了关键作用。

所谓矩阵分解就是将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积。

其分解的分解的方法有很多种，但常用的三角分解、QR 分解、奇异值分解。

关键词：三角分解；QR 分解；奇异值分解一、矩阵的三角分解定义：如果方阵A 可分解成一个下三角形矩阵L 和上三角形矩阵U 的的乘积，则称A 可作三角分解或LU 分解。

定理1：高斯消元过程能够进行到底的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式都不为零，即△k ≠0，k=1,2,…，n-1。

（1）当条件(1)满足时，有L (n-1)…L (2)L (1)A=U。

其中U 为上三角形矩阵L (k)=1⋱1l k+1k 1┇⋱l nk1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟l ik =a ik (k)a kk(k)，i=ｋ+1，…，n。

容易得出，detL (k)≠0（k=1,2,…，n-1），故矩阵L (k)可逆，于是有A=(L (1))-1(L (2))-1…(L (N-1))-1U。

由于(L (K))-1是下三角形矩阵，故它们的连乘积仍然是下三角矩阵。

令L=(L (1))-1(L (2))-1…(L (N-1))-1=1l 211l 31l 321┇┇⋱┇┇1l n1l n2……l nn-11⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟则得A=LU。

即A 分解成一个单位下三角形矩阵L 和一个上三角形矩阵U 的的乘积。

二、矩阵的QR （正交三角）分解定义：如果实（复）非奇异矩阵A 能化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R 的乘积，即A=QR，则称上式为A 的QR 分解。

定理2：任何实的非奇异n 阶矩阵A 可以分解成正交矩阵Q 和上三角形矩阵R 的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值等于1的对角矩阵D 外，分解成A=QR 是唯一的。

矩阵QR 的分解具体做法如下：令A 的各列向量依次为α1，α2，…，αn ，由于A 是非奇异的，所以α1，α2，…，αn 线性无关，按照施密特正交法正交化得到个标准的正交向量β1,β2,…,βn ，且β1=b 11α1β2=b 12α1+b 22α2┇βn =b 1n α1+b 2n α2+…+b nn αn⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐这里b ij 都是常数，且由正交化过程知b ii ≠0(i=1,2,…,n)写成矩阵形式有(β1,β2,…,βn )=(α1，α2，…，αn )β,即Q=AB。

第一章矩阵运算与矩阵分解

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