第 11 讲 矩阵分解 (1)
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12
方阵的三角分解
如何限定,使得三角分解唯一?
可以采用如下的方法将分解完全确定,即要求下面任何一种。
L为单位下三角矩阵 或
U为单位上三角矩阵 或借助如下定理。
定理6.1.1 将A分解为LDU,其中L,U分别为单位下三角阵,
单位上三角矩阵,D为对角阵������ = diag[������1, ������2, ⋯ , ������������ሿ(������������ =
������������ൗ������������−1 , ������ = 1,2, ⋯ , ������, ������0 = 1)。则称此分解为LDU分解,且
唯一。
CQU
13
方阵的三角分解
∧∧
利用定理6.1.1对A做三角分解,即������ = ������������ = ������������������−1������ = ������������
������������1 0
上述两个分解对应就是拟LU分解和拟LDU分解。
������1−11������12 ������������2
CQU
17
本节内容
方阵的三角分解 方阵的谱分解
CQU
18
方阵的谱分解
定义6.2 若n 阶方阵A相似于对角阵,则称A为单纯矩阵。 定理6.2.1 设n 阶方阵A是单纯矩阵,������1, ������2, … , ������������ ∈ ������是A的互 异特征值,������1, ������2, … , ������������是其对应重数。则存在������1, ������2, … , ������������ ∈ ������������×������,使得 (1) ������ = σ������������=1 ������������������������,称为A的谱分解;
(2) ������������������������ = ቊ���0���������
������ ������
= ≠
������ ������
,
������,
������
=
1,2,
…
,
������
CQU
19
方阵的谱分解
(3) σ������������=1 ������������ = ������������; (4) ������������������ = ������������������ = ������������������������, ������ = 1,2, … , ������; (5) rank(������������)=������������, ������ = 1,2, … , ������; (6) 满足以上性质的������1, ������2, … , ������������是唯一的。称������1, ������2, … , ������������
������12 ������22
,如果������11非奇异,则构
造下三角阵������−1 =
������������1 −������21������1−11
0 ������������2
,左乘A,得到
������������1 −������21������1−11
0 ������������2
������1 =
������21 ⋮
1 ⋮
⋯ ⋱
0 ⋮
。
������������1 0 ⋯ 1
Step r:若������������ ≠ 0(���������(���������������−1) ≠ 0),将第行−���������(���������������−1)ൗ���������(���������������−1)(记������������r =
9
方阵的三角分解
Step n-1:继续实施行变,得
������101 ������102 ⋯ ������10������
������ ������−1 = ������−������1−1������ ������−2 =
������212 ⋯ ������21������ ⋱⋮
������������������������−1
CQU
4
方阵的三角分解
������1 + 2������2 + 3������3 = 1
ቐ
3������2 − ������3 = 4
2������2 + 6������3 = −4
第二步,第二个方程乘-2/3加到第三个方程得到
������1 + 2������2 + 3������3 = 1
൞
3������2 − ������3 = 4
11
方阵的三角分解
令������ = ������ ������−1 ,则 ������ = ������������
以上将A分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积, 就称为LU分解。 定义6.1 如果方阵A可以分解成一个下三角阵L和一个上三角 阵U的乘积,称A可以做三角分解或LU分解。
CQU 注:根据三角分解的定义,显然这样的分解不唯一(?)。
⋮ ⋯⋮
������������������������−+11 ⋯ ������������������������−1
���������������+��� 1������+1 ⋯ ���������������+��� 1������
⋮
⋱⋮
CQU ������������������������+1 ⋯ ������������������������
0 ⋮
−������������1 0 ⋯ 1
0
������2(12) ⋯ ������2(1������) . ⋮⋱⋮
CQU ���������(���12) ⋯ ���������(���1������)
7
方阵的三角分解
即������(0) = ������1 ������(1),其中
1 0⋯0
������3=������3−23×������2
1 0
2 3
3⋮ −1 ⋮
1 4
0 0 20 ⋮ − 20
3
3
CQU
6
方阵的三角分解
二、高斯消元法的矩阵形式
记������(0) = ������,������������为A的k阶顺序主子式。
Step 1: 若������1 ≠ 0(������11 ≠0),将第一行−������������1Τ������11(记������21 =
变换,用ri表示增广阵[A: b]的第i行,则变换过程如下。
1 2 3⋮ ������: ������ = 2 7 5 ⋮
1 6
������2=������2−2������1
൩ ������3=������3−������1
1 0
2 3
3⋮ −1 ⋮
1 4൩
1 4 9 ⋮ −3
0 2 6 ⋮ −4
⋯0
⋯0
⋯ ⋯
0
0 ,实施行变,得
⋱⋮
⋯1
������101 ⋮
������(������) = ������−������ 1������(������−1) =
⋯ ������10������ ⋱⋮
������������������������−1
������10������+1 ⋯ ������10������
矩阵理论及其应用
第十一讲 矩阵分解(1)
李东 重庆大学 数学与统计学院
CQU
本节内容
方阵的三角分解 方阵的谱分解
CQU
2
本节内容
方阵的三角分解 方阵的谱分解
CQU
3
方阵的三角分解
一、高斯消元法
问题:求解线性方程组������������ = ������.
基本思路:首先将A化为上三角阵,再回代求解。
������������1Τ������11 )倍加到第i行,使得第一列除������11 外的其它元素变为0,
即令
1 0⋯0
������1(01) ������1(02) ⋯ ������1(0������)
������−11 =
−������21 ⋮
1 ⋮
⋯ ⋱
0 ⋮
,则������(1) = ������−11������(0) =
且唯一。
讨论:有没有其它方法得到矩阵A的LDU分解?
������ = ������������
将U的对角元素抽取形成D,得到 ������ = ���������෩��� ( ���෩��������������� = ������������������/������������������ )。
���������(���������������−1)ൗ���������(���������������−1) , ������ = ������ + 1, … ������)倍加到第i行,使得第r列���������(���������������−1)
以下的其它元素变为0,即令
CQU
8
方阵的三角分解
容易求出
1
������21
1
������ = ������1������2 ⋯ ������������−1 = ⋮
⋱
。
������(������−1)1 ������(������−1)2
1
������������1
������������2
CQU ������������(������−1) 1
1 0 ⋮ ������−������ 1 = 0
⋮ 0
0⋯
0
1⋯
0
⋮⋱
1
0 ⋯ −������((������������+−11))������ൗ���������(���������������−1)
⋮⋱
⋮
0 ⋯ −���������(���������������−1)ൗ���������(���������������−1)
0 ������������2
������11 0
������12 ������22 − ������21������1−11������12
进一步
A=
������������1 ������21������1−11
0 ������������2
������11 0
0 ������22 − ������21������1−11������12
20 3
������3
=
−
20 3
回代:解第三个方程得������3,将������3代入第二个方程得������2,将������2, ������3
代入第一个方程得������1,得到解x= Biblioteka Baidu,1, −1 ������。
CQU
5
方阵的三角分解
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵[A:b]在作行
例1 解方程组
������1 + 2������2 + 3������3 = 1 ቐ2������1 + 7������2 + 5������3 = 6
=
������1 + 4������2 + 9������3 = −3
解: 第一步,第一个方程乘-2加到第二个方程;第一个方程
乘-1加到第三个方程,得到
推论 n阶非奇异方阵A有三角分解������ = ������������的充分必要条件是A
的1~n-1阶顺序主子式不等于0.
CQU
14
方阵的三角分解
2 −1 3 例1 求矩阵������ = 1 2 1 的LU分解。
242 过程见教材。
定理 6.1.2 设n阶非奇异方阵A,则存在置换矩阵P,使PA的n
则完成了消元的过程。
而消元法能进行下去的条件是������������ ≠ 0 ������ = 1,2, ⋯ , ������ − 1 。
CQU
10
方阵的三角分解
三、矩阵的三角分解(LU分解与LDU分解)
小结高斯消元法的矩阵形式,不难看出
������ = ������ 0 = ������1������ 1 = ������1������2������ 2 = ⋯ = ������1������2������3 ⋯ ������������−1������ ������−1
������11 ������21
������12 ������22
=
������11 0
������12 ������22 − ������21������1−11������12
CQU
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方阵的三角分解
则
A=
������11 ������21
������12 ������22
=
������������1 ������21������1−11
个顺序主子式非零。
推论 设n阶非奇异方阵A,则存在置换矩阵P,使PA=LDU。
CQU 讨论两个问题:1.定理和推论意义在哪里?2.三角分解的意义?
15
方阵的三角分解
四、矩阵的拟LU分解与拟LDU分解(略讲)
设������ ∈ ������������×������,将A分块������ =
������11 ������21
方阵的三角分解
如何限定,使得三角分解唯一?
可以采用如下的方法将分解完全确定,即要求下面任何一种。
L为单位下三角矩阵 或
U为单位上三角矩阵 或借助如下定理。
定理6.1.1 将A分解为LDU,其中L,U分别为单位下三角阵,
单位上三角矩阵,D为对角阵������ = diag[������1, ������2, ⋯ , ������������ሿ(������������ =
������������ൗ������������−1 , ������ = 1,2, ⋯ , ������, ������0 = 1)。则称此分解为LDU分解,且
唯一。
CQU
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方阵的三角分解
∧∧
利用定理6.1.1对A做三角分解,即������ = ������������ = ������������������−1������ = ������������
������������1 0
上述两个分解对应就是拟LU分解和拟LDU分解。
������1−11������12 ������������2
CQU
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本节内容
方阵的三角分解 方阵的谱分解
CQU
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方阵的谱分解
定义6.2 若n 阶方阵A相似于对角阵,则称A为单纯矩阵。 定理6.2.1 设n 阶方阵A是单纯矩阵,������1, ������2, … , ������������ ∈ ������是A的互 异特征值,������1, ������2, … , ������������是其对应重数。则存在������1, ������2, … , ������������ ∈ ������������×������,使得 (1) ������ = σ������������=1 ������������������������,称为A的谱分解;
(2) ������������������������ = ቊ���0���������
������ ������
= ≠
������ ������
,
������,
������
=
1,2,
…
,
������
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方阵的谱分解
(3) σ������������=1 ������������ = ������������; (4) ������������������ = ������������������ = ������������������������, ������ = 1,2, … , ������; (5) rank(������������)=������������, ������ = 1,2, … , ������; (6) 满足以上性质的������1, ������2, … , ������������是唯一的。称������1, ������2, … , ������������
������12 ������22
,如果������11非奇异,则构
造下三角阵������−1 =
������������1 −������21������1−11
0 ������������2
,左乘A,得到
������������1 −������21������1−11
0 ������������2
������1 =
������21 ⋮
1 ⋮
⋯ ⋱
0 ⋮
。
������������1 0 ⋯ 1
Step r:若������������ ≠ 0(���������(���������������−1) ≠ 0),将第行−���������(���������������−1)ൗ���������(���������������−1)(记������������r =
9
方阵的三角分解
Step n-1:继续实施行变,得
������101 ������102 ⋯ ������10������
������ ������−1 = ������−������1−1������ ������−2 =
������212 ⋯ ������21������ ⋱⋮
������������������������−1
CQU
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方阵的三角分解
������1 + 2������2 + 3������3 = 1
ቐ
3������2 − ������3 = 4
2������2 + 6������3 = −4
第二步,第二个方程乘-2/3加到第三个方程得到
������1 + 2������2 + 3������3 = 1
൞
3������2 − ������3 = 4
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方阵的三角分解
令������ = ������ ������−1 ,则 ������ = ������������
以上将A分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积, 就称为LU分解。 定义6.1 如果方阵A可以分解成一个下三角阵L和一个上三角 阵U的乘积,称A可以做三角分解或LU分解。
CQU 注:根据三角分解的定义,显然这样的分解不唯一(?)。
⋮ ⋯⋮
������������������������−+11 ⋯ ������������������������−1
���������������+��� 1������+1 ⋯ ���������������+��� 1������
⋮
⋱⋮
CQU ������������������������+1 ⋯ ������������������������
0 ⋮
−������������1 0 ⋯ 1
0
������2(12) ⋯ ������2(1������) . ⋮⋱⋮
CQU ���������(���12) ⋯ ���������(���1������)
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方阵的三角分解
即������(0) = ������1 ������(1),其中
1 0⋯0
������3=������3−23×������2
1 0
2 3
3⋮ −1 ⋮
1 4
0 0 20 ⋮ − 20
3
3
CQU
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方阵的三角分解
二、高斯消元法的矩阵形式
记������(0) = ������,������������为A的k阶顺序主子式。
Step 1: 若������1 ≠ 0(������11 ≠0),将第一行−������������1Τ������11(记������21 =
变换,用ri表示增广阵[A: b]的第i行,则变换过程如下。
1 2 3⋮ ������: ������ = 2 7 5 ⋮
1 6
������2=������2−2������1
൩ ������3=������3−������1
1 0
2 3
3⋮ −1 ⋮
1 4൩
1 4 9 ⋮ −3
0 2 6 ⋮ −4
⋯0
⋯0
⋯ ⋯
0
0 ,实施行变,得
⋱⋮
⋯1
������101 ⋮
������(������) = ������−������ 1������(������−1) =
⋯ ������10������ ⋱⋮
������������������������−1
������10������+1 ⋯ ������10������
矩阵理论及其应用
第十一讲 矩阵分解(1)
李东 重庆大学 数学与统计学院
CQU
本节内容
方阵的三角分解 方阵的谱分解
CQU
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本节内容
方阵的三角分解 方阵的谱分解
CQU
3
方阵的三角分解
一、高斯消元法
问题:求解线性方程组������������ = ������.
基本思路:首先将A化为上三角阵,再回代求解。
������������1Τ������11 )倍加到第i行,使得第一列除������11 外的其它元素变为0,
即令
1 0⋯0
������1(01) ������1(02) ⋯ ������1(0������)
������−11 =
−������21 ⋮
1 ⋮
⋯ ⋱
0 ⋮
,则������(1) = ������−11������(0) =
且唯一。
讨论:有没有其它方法得到矩阵A的LDU分解?
������ = ������������
将U的对角元素抽取形成D,得到 ������ = ���������෩��� ( ���෩��������������� = ������������������/������������������ )。
���������(���������������−1)ൗ���������(���������������−1) , ������ = ������ + 1, … ������)倍加到第i行,使得第r列���������(���������������−1)
以下的其它元素变为0,即令
CQU
8
方阵的三角分解
容易求出
1
������21
1
������ = ������1������2 ⋯ ������������−1 = ⋮
⋱
。
������(������−1)1 ������(������−1)2
1
������������1
������������2
CQU ������������(������−1) 1
1 0 ⋮ ������−������ 1 = 0
⋮ 0
0⋯
0
1⋯
0
⋮⋱
1
0 ⋯ −������((������������+−11))������ൗ���������(���������������−1)
⋮⋱
⋮
0 ⋯ −���������(���������������−1)ൗ���������(���������������−1)
0 ������������2
������11 0
������12 ������22 − ������21������1−11������12
进一步
A=
������������1 ������21������1−11
0 ������������2
������11 0
0 ������22 − ������21������1−11������12
20 3
������3
=
−
20 3
回代:解第三个方程得������3,将������3代入第二个方程得������2,将������2, ������3
代入第一个方程得������1,得到解x= Biblioteka Baidu,1, −1 ������。
CQU
5
方阵的三角分解
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵[A:b]在作行
例1 解方程组
������1 + 2������2 + 3������3 = 1 ቐ2������1 + 7������2 + 5������3 = 6
=
������1 + 4������2 + 9������3 = −3
解: 第一步,第一个方程乘-2加到第二个方程;第一个方程
乘-1加到第三个方程,得到
推论 n阶非奇异方阵A有三角分解������ = ������������的充分必要条件是A
的1~n-1阶顺序主子式不等于0.
CQU
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方阵的三角分解
2 −1 3 例1 求矩阵������ = 1 2 1 的LU分解。
242 过程见教材。
定理 6.1.2 设n阶非奇异方阵A,则存在置换矩阵P,使PA的n
则完成了消元的过程。
而消元法能进行下去的条件是������������ ≠ 0 ������ = 1,2, ⋯ , ������ − 1 。
CQU
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方阵的三角分解
三、矩阵的三角分解(LU分解与LDU分解)
小结高斯消元法的矩阵形式,不难看出
������ = ������ 0 = ������1������ 1 = ������1������2������ 2 = ⋯ = ������1������2������3 ⋯ ������������−1������ ������−1
������11 ������21
������12 ������22
=
������11 0
������12 ������22 − ������21������1−11������12
CQU
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方阵的三角分解
则
A=
������11 ������21
������12 ������22
=
������������1 ������21������1−11
个顺序主子式非零。
推论 设n阶非奇异方阵A,则存在置换矩阵P,使PA=LDU。
CQU 讨论两个问题:1.定理和推论意义在哪里?2.三角分解的意义?
15
方阵的三角分解
四、矩阵的拟LU分解与拟LDU分解(略讲)
设������ ∈ ������������×������,将A分块������ =
������11 ������21