高中数学_函数类压轴题6大题型精讲

导数与函数类压轴题精讲（前三讲）

题型一切线型

1.求在某处的切线方程

2.求过某点的切线方程

3.已知切线方程求参数

题型二单调型

1.主导函数需“二次求导”型

2.主导函数为“一次函数”型

3.主导函数为“二次函数”型

4.已知函数单调性，求参数范围

题型三极值最值型

1.求函数的极值

2.求函数的最值

3.已知极值求参数

4.已知最值求参数

题型四零点型

1.零点(交点，根)的个数问题

2.零点存在性定理的应用

3.极值点偏移问题

题型五恒成立与存在性问题

1.单变量型恒成立问题

2.单变量型存在性问题

3.双变量型的恒成立与存在性问题

4.等式型恒成立与存在性问题

题型六与不等式有关的证明问题

1.单变量型不等式证明

2.含有e x 与lnx 的不等式证明技巧

3.多元函数不等式的证明

4.数列型不等式证明的构造方法

题型一切线型

1.求在某处的切线方程例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝

3x ²e x 在点(1，f (1))处的切线方程.解：由f (x )＝3x ²e x ，得f ′(x )＝6x －3x ²e x

，切点为(1，3e )，斜率为f ′(1)＝3e 由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3e ；∴切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，即3x －ey ＝0.例2.求f (x )＝e x (1x

＋2)在点(1，f (1))处的切线方程.

解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x ²＋1x

＋2)由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ；

∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0.

例3.求f (x )＝ln 1－x 1＋x

在点(0，f (0))处的切线方程.解：由f (x )＝ln 1－x 1＋x

＝ln (1－x )－ln (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －11＋x 由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2；

∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0.

例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =x ²4

与直线l ：y =kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程.

解：由题意得：a =x ²4，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )，由f (x )＝x ²4，得f ′(x )＝x 2

，当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ，此时切线方程为：ax ＋y ＋a ＝0；

当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ，此时切线方程为：ax －y －a ＝0；

解题模板一求在某处的切线方程

⑴写出f (x )；

⑵求出f ′(x )；

⑶写出切点(x 0，f (x 0))；

⑷切线斜率k ＝f ′(x 0)；

⑸切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).

2.求过某点的切线方程

Step 1设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0)，切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)Step 2因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2Step 2当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1)

当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2)例1.求f (x )＝13x 3＋43

过点P (2，4)的切线方程.O o O o O

o P P P 点P 不在曲线上不是切点点P 在曲线上不确定是切点点P 在曲线上

切点

解：设切点为(x 0，13x 03＋43)，则切线斜率f ′(x 0)＝x 0²，所以切线方程为：y －13x 03＋43＝x 0²(x －x 0)，由切线经过点P (2，4)，可得4－13x 03＋43

＝x 0²(2－x 0)，整理得：x 03－3x 0²＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2当x 0＝－1时，切线方程为：x －y ＋2＝0；

当x 0＝2时，切线方程为：4x －y －4＝0.

例2.求f (x )＝x 3－4x ²＋5x －4过点(2，－2)的切线方程.

解：设切点为(x 0，x 03－4x 0²＋5x 0－4)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－8x 0＋5，

所以切线方程为：y －(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(x －x 0)，

由切线经过点P (2，4)，可得4－(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(2－x 0)，

解得x 0＝1或x 0＝2

当x 0＝1时，切线方程为：2x ＋y －2＝0；

当x 0＝2时，切线方程为：x －y －4＝0.

例3.过A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，求m 的取值范围.

解：设切点为(x 0，x 03－3x 0)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－3，切线方程为y －(x 03－3x 0)＝(3x 0²－3)(x －x 0)

∵切线经过点P (1,m )，

∴m －(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(1－x 0)，

即：－2x 03＋3x 0²－3－m ＝0，即m ＝－2x 03＋3x 0²－3

∵过点A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，

∴方程m ＝－2x 03＋3x 0²－3，有三个不同的实数根.

∴曲线H (x 0)＝－2x 03＋3x 0²－3与直线y =m 有三个不同交点，

H ′(x 0)＝－6x 0²＋6x 0＝－6x 0(x 0－1)

令H ′(x 0)＞0，则0＜x 0＜1；令H ′(x 0)＜0，则x 0＜0或x 0＞1

∴H (x 0)在(－∞，0)递减，在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，

∴H (x 0)的极小值＝H (0)＝－3，H (x 0)的极大值＝H (1)＝－2，

由题意得－3＜x ＜－2.

例4.由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作几条切线，并说明理由.

解：设切点为(x 0，lnx 0－x 0－1)，则切线斜率f ′(x 0)＝1x 0

－1，切线方程为y －(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0

－1)(x －x 0)，∵切线经过点(－e ，e －2)，

∴e －2－(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0－1)(－e －x 0)，即lnx 0＝e x 0∵y =lnx 与y =e x 只有一个交点∴方程lnx 0＝e x 0

有唯一的实数根∴由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作一条切线.