逆高斯分布及其应用

逆高斯分布及其应用

王莲花 指导教师: 康殿统

（河西学院数学与应用数学专业2007届1班38号, 甘肃张掖 734000）

摘 要 研究了IGD 分布的若干特征性质,获得了IGD 分布的几个封闭性.利用随机序研究了IGD 分布对参数的依赖性用.

关键词 逆高斯分布；矩估计;特征函数;偏度;峰度;极大似然函数;可靠性函数；随机序;

封闭性

中图分类号 0212.2文献标识码: A

1 引言

IGD 分布在概率论、

可靠性、参数的随机序、风险理论中有广泛的应用.本文对IGD 分布类的性质做探讨.

下面给出几个基本概念

定义1.1 设连续型随机变量X 的概率密度为

22

()()2f x x x λμμ⎧⎫=

--⎨⎬⎩⎭

0t > 其中μ

λ(0)λ>为常数则称服从参数为μλ的逆高斯分布，记为(,)X IG μλ:

定义1.2 设随机变量X 的概率为

11

0()

()00

x x e x f x x ααλλα--⎧>⎪

Γ=⎨⎪≤⎩

则称服从参数为,αλ的Γ-的分布，记作(,)X αλΓ:其中0λ>是尺度参数，0α>为形状参数

定义1.3 设随机变量X 的概率密度为

2

210

2

()2()200

x n

n x e x n f x x -⎧>⎪⎪⎨Γ⎪

≤⎪⎩

则X 称服从n 个自由度的2

()n χ分布，记作2

()X n χ:

定义 1.4 设随机变量X 的3()E X 和4()E X 存在则称

3

2

3

()(())

E X Var X μ⎡⎤-⎣⎦

为偏

度,4

3

2

()3(())E X Var X μ⎡⎤-⎣⎦

-为峰度

2 IG 分布的基本性质 2.1 IG 的基本性质

2.1.1 数学期望、方差1 IG 的数学期望

220

()()2E x x dx x λμμμ∞

⎧⎫

=--=⎨⎬⎩⎭

⎰

IG 的方差为

由于()E x μ=，

232

220

()exp ()2E x x

x dx x λλμμμμλ∞

⎧⎫+=--=⎨⎬⎩⎭

⎰

所以[]2332

2

2

()()()D x E x E x λμμμμλλ

+=-=-= 2.12 矩母函数、特征函数

(,)IG μλ的矩母函数为

220

()()2tx

tx x M t E e e x dx x λμμ∞

⎧⎫

⎡⎤==--⎨⎬⎣⎦

⎩⎭

⎰

22()2tx e x dx x λμμ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭

12

222exp 11()2t t λμλμλμ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪

⎢⎥=--<⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎢

⎥⎣⎦⎩

⎭ (,)IG μλ的特征函数为

22

()()()2itx

itx

t E e e

x dx x λμμ∞

⎧⎫Φ==--⎨⎬⎩⎭⎰

220

()2itx

it e

e x dx λμμ∞⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭⎰

1/2

21exp((1))it μλ

μλ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

2.13 参数的极大似然估计

设(,)X IG μλ:，,μλ为未知参数，1,,n X X K 是来自X 的一个样本值 由X 的概率密度为

22

()()2f x x x λμμ⎧⎫=

--⎨⎬⎩⎭

似然函数为

22

1

(,)()2n

i L x x λμλμμ=⎧⎫=

--⎨⎬⎩⎭

252(

)exp ()222x n n x x λλμπμ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭

252ln (,)ln [()]222n n L x x x

λλμλμπμ=

+-- 2

52252ln (,)ln [()]222ln (,)ln [()]222n n L x x x n n L x x x λλμλμμπμλλμλμλπμ∂⎧=+--⎪∂⎪

⎨∂⎪=+--⎪∂⎩

5252

32221ln ..()0222ln .2()(2)()022n x n L x x n n L x x t πμμλπμλλμμμλμ-⎧⎡⎤∂=+--=⎪⎢⎥∂⎪⎣⎦⎨∂⎪=-+--=⎪∂⎩

µ$

11()

i i X X X μλ⎧=⎪

⎨=-⎪⎩

∑ 2.14偏度,峰度

由于3

E(X-)

μ220

()

()2x x dx x λμμμ∞

⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭

⎰

4

3μλ

=

4

220

E(X-)()

()2x x dx x λμμμμ∞

⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭

⎰

5

3

2

153μμλ

μ=

+

所以3132

()r (())

E X Var X μ-=

3

4292

3.μλλ

μ

==2.2 有关(,)IG μλ的几个定理

定理2.1设1,,n X X K 是来自逆高斯总体(,)IG μλ的一组..i i d (独立同分布) 则有样本(,)X IG n μλ: 证:设1

n

i

i Z X

==

∑

定理2.2设1,,n X X K 是来自逆高斯总体(,)IG μλ的一组..i i d (独立同分布)则

()21

11

1(

)n i

i V X X

χλ-=-∑:,X V 与独立

定理2.3设1,,n X X K 是来自逆高斯总体(,)IG μλ的一组..i i d (独立同分布)则

11X V n μλ

-1

及

是与的一致最小方差无偏 3 IG 在可靠性中的应用

定义3.1设F 是一个寿命分布,有有限的均值.若 ()0

1st e F t dt s

μ

μ∞

-≥+⎰

则称F 属于L 类.若不等号反向,则称F 属于L 类 定理3.1设连续型随机变量X 的概率密度为

22

()()2f x x x λμμ⎧⎫=

--⎨⎬⎩⎭

0t > 其中μ

λ(0)λ>为常数,则

1(,)2(,)(,)IG L

IG L IG L

λμμλλμμλμλ≥∈<∉∉o o

当时，当时，且

定理3.2非负随机变量X 服从参数0,0λμ>>的IG 分布，(,)X IG λμ:则X 可靠度函数为