第1讲 握手问题及方程铺垫教师版

1. 握手问题思维方法：将每一个握手的人看做一个点，2个点的连线表示握手一次。

2. 解一元一次方程的5个步骤：第一步：去分母 第二步：去括号 第三步：移项 第四步：合并同类型 第五步：系数化为1
3. 解二元一次方程组的方法：通过消元，转化成解一元一次方程。

1.咱班共有18个学生, 你去和其余同学握手,你要握手 17 次.
2.每两个学生握手一次,你不是特殊的，其他每个学生都握手 17 次.
3.18个学生,每两个学生握手一次,一共要握手 306 次. ★ 握手次数问题及变式的一般性结论
1.咱班共有x 个学生, 你去和其余同学握手,你要握手 X-1 次.
2.每两个学生握手一次,你不是特殊的，其他每个学生都握手 X-1 次.
3.现有x 个学生,每两个学生握手一次,一共要握手
2
1
X*(X-1) 次. 例1.如果在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780 次，那么请算出老师所教的班级共有多少名学生？ 解：
2
1
X*(X-1)=780, X=40,-39(舍去).
练习1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排15场比
赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：
2
1
X*(X-1)=15，X=6,-5(舍去). 迁移新知
例2.平面上有n 条直线，两两相交于不同的点； （1）交点个数总共有多少个？
（2）交点个数可以是100个吗，若可以,求出n 的值;若不可以，请说明理由. 解：（1）21n*(n-1) （2）2
1
n*(n-1) =100，n=11，-10（舍去）.
第1讲 握手问题及方程铺垫
例3.一个QQ 群里共有若干个好友，每个好友都给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，那么这个QQ 群里有多少个好友？ 解：x*(x-1)=870，x=30，-29（舍去）.
练习2.生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件,求生物兴趣小组有多少个人? 解：x*(x-1)=182，x=14，-13（舍去）.
例4.计算：
（1） 12－(－18 )＋(－7 )－15 （2）111.5(4) 2.755
42
---+- 解：原式=30-22 解：原式=-1.5+4.25+2.75-5.5 =8 =1
（3）(－61＋43－121)×（－48） （4）2
2
112(10.5)()2133⎡⎤⎛⎫---÷-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
解：原式=8-36+4 解：原式=-4+21*3*92
=-24 =-33
2
运算法则总结：
例5.化简： （1）2
22213344a b ab ab a b +
-+ （2）22111()4222x xy x xy xy ⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦ 解：原式=4a ²b-2
1
ab ² 解：原式=x ²-5xy
（3）先化简，再求值: ()()
22
228x y xy x y xy +--+1,1x y ==-其中
解：原式=4xy+8，代入x=1，y=-1，原式=4.
整式运算法则总结：
例6.解方程：
（1）385x x -= （2）2455x x -=+ 解：x=-1 解：x=-3
（3）12)2(3)1(+=+--x x x （4）14
2
312-+=-y y 解：x=-2 解：y=-0.4
例7.解方程组：（1）⎩⎨
⎧-=-=+54032y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+15
2349
32y x y x
解：x=5，y=10 解：x=11，y=9
1.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有 8 人参加聚会.
2. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 解：10家.
3. 25﹣9+（﹣12）﹣（﹣7）；
4. —22
—2×（﹣2）3
÷（）2
；
解：原式=11 解：原式=34
5.解方程：5（x ﹣6）=﹣4x ﹣3；
6. 解方程：=1－．
解：9x=27 解：-6x=3
x=3
x=-2
1
7. 3x 2﹣（2x 2﹣xy +y 2）+（﹣x 2+3xy +2y 2
）；8. 8x 2-[-3x-(2x 2
-7x-5)+3]+4x
解：原式=y ²+4xy 解：原式=10x ²-8
9.先化简，再求值：2（m 2n +5mn 3）﹣5（2mn 3﹣m 2n ），其中m=2，n=﹣． 解：原式=7m ²n ，代入m=2、n=-7
1
，得原式=-4.
10．解方程组： ①
； ②
．
解：x=4，y=3 解：x=3，y=4
11
1. 如果在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生可以共握手500次吗？如果可以，算出全班的人数；如果不能，说明理由. 解：
2
1
X*(X-1)=500,X 不能取整，不符合题意，所以不能.
2. 八年级（2）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是 X*(X-1)=240 .
3.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？ 解：X*(X-1)=72,X=9,-8(舍去），这组共9人。

4. （﹣12）+（+30）﹣（+65）﹣（﹣47）；解：原式=0 解：原式=-6+4-3 =-5
6.整式的加减运算：
（1）7ab -8ac + 5ab + 10ac -12ab （2）x 2
－2（x 2
－y ）＋（2x 2
－3y ）； 解：原式=2ac 解：原式=x ²-y
7.解方程：
（1）3（x ﹣2）=x ﹣（7﹣8x ） （2
解：
解：x= 2
8．1323334
m n
m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 9．()()344126x y x y x y x y
⎧+--=⎪
⎨+-+=⎪
⎩ 解：m=18，n=12. 解：x=1517，y=15
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10.拓展思考题：这道题的背景是一段关于“世界末日”的传说。

在印度北部的一个佛教
的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。

据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由大到小放了六十四片金片。

每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。

当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临。

我们现在想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少次？如果每次1秒钟，需要多久？
解：①金片只有一片。

显然，只要移动1次即可。

②金片只有二片。

可先将较小金片移至乙针上，较大金片移至丙针上，再将较小金片从乙针移至丙针上，共移动3次。

③金片有三片。

可先将上面两片金片移到乙上。

按2可知，共需移动3次。

再把第三片移至丙，又移一次。

下面把乙上两片移至丙同2，还需三次。

以上共需2x3+1=7（次）。

④金片有四片。

先把上面三片移至乙，按3需7次。

再把第四片从甲移到丙上，又移一次。

最后，把较小的三片从乙移至丙，又需移7次。

以上共需移动2x7+1=15（次）。

依此递推下去。

设有k 片金片，先将k-1片移至乙，需移动K S -1次。

然后再把第k 片移至丙，又移一次。

最后把k-1片从丙移至乙，又需K S -1次。

以上共需移动(2·K S -1+1）次。

这样，我们可以得到如下的递推式： Sk=2·Sk-1+1。

根据这个递推公式，可得：K S +1=2(1-K S +1) 即 K S =K
2-1 令k=64，得 S64=264-1=18446744073709551615.约5845亿年，按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在三十亿年前由不定形物质形成的，太阳系的整个寿命要短于二百亿年，远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了。

6
1=x。