排队论基础
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同理 ——平均服务时间
1
Network Laboratory
此三量可已知或可测出，但描述排队系统， 此三要素不充分。
主要取决于 ti 和τi的统计特性（分布）和排 队规则。
Network Laboratory
2、统计特性（分布）和排队规则。
常见排队系统的假设
平稳性：
[a，a+t]内到达k个顾客（或离去）的概率与a无关，只与t 有关。
Network Laboratory
按服务规则分： 1）先到先服务：常见情况 2）后到先服务：不常见情况 3）优先制服务：顾客分优先级
Network Laboratory
按排队规则分：
1）等待型：不拒绝系统。若窗口不空，就依次 排队等待，直到被服务完毕后离去。
2）截止型：分为损失制、拒绝系统 系统已有n个顾客等待，顾客到来时，就被拒绝 。分为如下2种 即 时 拒 绝 ： 如 窗 口 数 为 m,m=n, 满 ， 则 顾 客 到 达 后立即被拒绝，被拒绝排队等待 （电话网） 延迟拒绝：m<n,允许等待一定数量，超n，再拒 绝 (带缓冲存储的数据通信）
...... k ......
Network Laboratory
令
得p1 p0
pk1
1
[(
) pk
pk1]
(
1)pk
pk1
令k 1,代入得p2 (1 )p1 p0 (1 )p0 p0 2 p0 k 2,代入得: p3 3p0
r
m
单窗口,即忙的概率 多窗口,需求r m
Network Laboratory
稳定性指标
=λ /
Network Laboratory
不拒绝系统：
m不稳定 .
(单)窗 1 w 口 或 w
Network Laboratory
截止型系统：
m
仍然稳定
Network Laboratory
a(t)li(m 1)Nli(m 1t)Net
N
N N
Network Laboratory
指数分布
（3）服务时间 的概率密度
以上结果亦适用于服务过程， 可得
b()et
Network Laboratory
上所述，在以上三个假设下？？？？？？：
排队系统表示符号： A/B/m(N,n)
A— 到达规律， 分布a(t)（到达时间间隔） B— 服务规律， 分布b(τ )（服务时间间隔） m—窗口数 N—顾客源，潜在顾客数，省略为 n—截止队长，省略为，不拒绝
Network Laboratory
常见分布：
Network Laboratory
无后效性
Leabharlann Baidu
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
顾客到达和离去均为泊松流，均值λ，二阶 矩λ(λ+1) 相邻事件发生的间隔负指数分布，均值1/λ， 二阶矩1/λ2 具有马尔可夫性，称M分布称最简单流
Network Laboratory
（4）运行方式及规则规定：
排队系统的运行性能不仅与 上述的统计分布有关，还与系统 预先规定的工作方式有关。 包括服务规则和排队规则：
M—指数分布
服 到 务 达 b a ((t)) e e t M /M /m (N ,n) M M M //M M /M //m 1 /(1 (n n ))
Network Laboratory
将讨论:
基本：M/M/1 M/M/m(n) 中级：M/G/1 G/M/1 高级：G/G/1
Network Laboratory
平均队长
k
kpk
k0
(1) kk
k0
(1) kk1
k0
(1) d
k
dk0
(1)(11)2
(1)
k只与有关,顾客效 观率 点观 : 点 :(k短)
折衷取0.5以下
排队论基 础
Network Laboratory
§1 排队论基础
常见现象： 顾客+服务→排队系统 矛盾统一
Network Laboratory
广义化：
通信中：呼叫——线路 信息包——分组交换机 移动体——服务区
计算机：总线指令——CPU处理 数据流——存储器
其它：敌机——防空设施 客机——跑道
Network Laboratory
解法：
确定状态变量，如k 画状态转移图 列状态转移方程 求解目标参量
Network Laboratory
二、M/M/1问题
设平均到达率为，平均服务率为。 取队长为状态变量建立系统的差微分 方程。
1、状态图与状态方程
pk (t)—t时刻，系统内有k个顾客的概率 （k=0,1,2, …）
Network Laboratory
排队长度—t瞬间系统内的顾客数（含在窗口的）
队长k k—离散随机变量
三种观察： dk—顾客到达时观察队长为k的概率（不包括刚 到达的顾客）
rk—顾客服务完毕离去时观察队长为k的概率 （不包括正在离去的顾客）。
（以上为有条件抽样） pk—（服务员）随机观察队长为k的概率
Network Laboratory
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
Network Laboratory
(6)稳定性指标：对于不拒绝系统，当
到达率λ与服务率之比（称为排队系统 强度=λ / ）大于窗口数m时，平均 顾客到达数将大于平均顾客离去数，顾 客的队将越来越长，平均等待时间将趋 于无限大，系统不稳定。小于窗口数m时 ，系统是稳定的( <m)。对于截止型系统 ，因为队长被限制，即使排队强度大于m ，系统仍然可以稳定工作。
Network Laboratory
2.1.1、基本概念
1. 排队系统三要素: m，λ ，μ
m- 窗口数，表示资源的量。可同时向顾客提供 服务的设施数。（单窗口排队系统 m=1；多窗 口排队系统m>1） λ-顾客到达率（平均） μ-系统服务率（平均）
Network Laboratory
λ -顾客到达率（平均）
0
1
2
...... k ......
Network Laboratory
2、稳态解
物理意义：
到达与离去平衡，pk(t)与t无关
t , dk(p t)0,
数学描述：
dt
pk(t) pk
pk1ppk1 1(p0 0)pk 0
0
1
2
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
Δ t
k-1
k
k+1
Δ t
Δ t
1-Δ t-Δ t
1-Δ t
Δ t Δ t
0
1
2
......
k
Δ t Δ t
Network Laboratory
得 :
p k(t t) tk p 1 (t) tk p 1 (t) p k(t)1 ( t t)
即 :
pk(t t)tpk(t)pk1(t)pk1(t)()pk(t)
t 0得导数
ddkp(tt)pk1(t)pk1(t)()pk(t)
即柯尔莫哥洛夫方程。
Network Laboratory
k=0, 需重写:
原1人,去1人 Δtp1(t) 原0人,无人到 (1-Δt) p0(t) p0(t+Δ t)= Δ tp1(t)+ (1-Δ t) p0(t)
Network Laboratory
目标参量：（分析排队系统时的主要求解指标) (1)队长k：某时刻观察系统内滞留的顾客数。 (2)等待时间w:顾客从到达至开始被服务这段时 间。 (3)服务时间 ：一个顾客被服务的时间 (4)系统时间s，或称系统停留时间 ：顾客从到 达至离开的这段时间。S=w+ (5)系统效率 ：平均窗口占用率
(T)k
k!
eT
——泊松分布
k为离散变量
Network Laboratory
（2）到达间隔t的概率密度a（t）
到达间隔t——连续变量 把t分N份，到达间隔为t的概率：
(1)N
（N个Δ 内无到达，第N+1个必到达）
若t的概率密度a（t）存在，则有：
a(t)(1)N
k在最简系统中，pk =rk =dk
—平均队长，又称系统数 Network Laboratory
等待时间w
从到达开始服务的时间，是连续随机变量， 其统计平均为：
w — 平均等待时间（网络中等待时延的主
要部分）
其它时延，如传输时延和处理时延较小
Network Laboratory
服务时间
t为k+1态，Δt内离去1人，无到达：
p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
t为k态，Δt内到达1人，离去1人:
pk(t)t2
t为k态，Δt内无到达，无离去: p k ( t ) ( 1 t ) ( 1 t ) p k ( t ) ( 1 t t )
t1 t2
t3 t4 τ1
t5 τ2 τ3 τ4 τ5
T
平均到达时间t: t lim 1
n n
i
ti
平均到达率λ ——单位时间到达顾客数
1 t
或 lim n(T)
T T
(n(T)——T内到达数）
λ ↓——负荷轻
Network Laboratory
μ ：系统服务率（平均）
T (=NΔ)
Δ内有1顾客到达概率——Δ·λ Δ内无顾客到达概率——1-Δ·λ
有2个到达概率—— ( )2
Network Laboratory
据无后效性, 独立 据二项分布, N个贝努利分布
T内有k个到达的概率:
pk
(T)
Nk
k
1
Nk
N
得pk
(T)
得: dd 0 p(tt)p1(t)p0(t)
至此，得M/M/1完整状态方程:
dpk(t)
dt
pk1(t)pk1(t)()pk(t)
dp0(t) dt
p1(t)p0(t)
Network Laboratory
上式，已由，表示转移，得状态转移图：
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
Network Laboratory
k的方差
母函数G ( z) p0 p1z p2 z 2 pk z k z k pk k 0
由归一性，G(1) pk 1 又 G(1) kpk k
G(1) ( kz k1 pk ) k (k 1) z k2 pk ｚ＝１
开始接受服务服务完毕离去
—平均服务时间
Network Laboratory
系统时间s，或称系统停留时间
到达离去
s=w+
s w
对任何排队系统，有
s(w )k lit公 tle式
Network Laboratory
系统效率
平均窗口占用率 共m个窗口，某时刻如有r个被占用，则
1
Network Laboratory
此三量可已知或可测出，但描述排队系统， 此三要素不充分。
主要取决于 ti 和τi的统计特性（分布）和排 队规则。
Network Laboratory
2、统计特性（分布）和排队规则。
常见排队系统的假设
平稳性：
[a，a+t]内到达k个顾客（或离去）的概率与a无关，只与t 有关。
Network Laboratory
按服务规则分： 1）先到先服务：常见情况 2）后到先服务：不常见情况 3）优先制服务：顾客分优先级
Network Laboratory
按排队规则分：
1）等待型：不拒绝系统。若窗口不空，就依次 排队等待，直到被服务完毕后离去。
2）截止型：分为损失制、拒绝系统 系统已有n个顾客等待，顾客到来时，就被拒绝 。分为如下2种 即 时 拒 绝 ： 如 窗 口 数 为 m,m=n, 满 ， 则 顾 客 到 达 后立即被拒绝，被拒绝排队等待 （电话网） 延迟拒绝：m<n,允许等待一定数量，超n，再拒 绝 (带缓冲存储的数据通信）
...... k ......
Network Laboratory
令
得p1 p0
pk1
1
[(
) pk
pk1]
(
1)pk
pk1
令k 1,代入得p2 (1 )p1 p0 (1 )p0 p0 2 p0 k 2,代入得: p3 3p0
r
m
单窗口,即忙的概率 多窗口,需求r m
Network Laboratory
稳定性指标
=λ /
Network Laboratory
不拒绝系统：
m不稳定 .
(单)窗 1 w 口 或 w
Network Laboratory
截止型系统：
m
仍然稳定
Network Laboratory
a(t)li(m 1)Nli(m 1t)Net
N
N N
Network Laboratory
指数分布
（3）服务时间 的概率密度
以上结果亦适用于服务过程， 可得
b()et
Network Laboratory
上所述，在以上三个假设下？？？？？？：
排队系统表示符号： A/B/m(N,n)
A— 到达规律， 分布a(t)（到达时间间隔） B— 服务规律， 分布b(τ )（服务时间间隔） m—窗口数 N—顾客源，潜在顾客数，省略为 n—截止队长，省略为，不拒绝
Network Laboratory
常见分布：
Network Laboratory
无后效性
Leabharlann Baidu
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
顾客到达和离去均为泊松流，均值λ，二阶 矩λ(λ+1) 相邻事件发生的间隔负指数分布，均值1/λ， 二阶矩1/λ2 具有马尔可夫性，称M分布称最简单流
Network Laboratory
（4）运行方式及规则规定：
排队系统的运行性能不仅与 上述的统计分布有关，还与系统 预先规定的工作方式有关。 包括服务规则和排队规则：
M—指数分布
服 到 务 达 b a ((t)) e e t M /M /m (N ,n) M M M //M M /M //m 1 /(1 (n n ))
Network Laboratory
将讨论:
基本：M/M/1 M/M/m(n) 中级：M/G/1 G/M/1 高级：G/G/1
Network Laboratory
平均队长
k
kpk
k0
(1) kk
k0
(1) kk1
k0
(1) d
k
dk0
(1)(11)2
(1)
k只与有关,顾客效 观率 点观 : 点 :(k短)
折衷取0.5以下
排队论基 础
Network Laboratory
§1 排队论基础
常见现象： 顾客+服务→排队系统 矛盾统一
Network Laboratory
广义化：
通信中：呼叫——线路 信息包——分组交换机 移动体——服务区
计算机：总线指令——CPU处理 数据流——存储器
其它：敌机——防空设施 客机——跑道
Network Laboratory
解法：
确定状态变量，如k 画状态转移图 列状态转移方程 求解目标参量
Network Laboratory
二、M/M/1问题
设平均到达率为，平均服务率为。 取队长为状态变量建立系统的差微分 方程。
1、状态图与状态方程
pk (t)—t时刻，系统内有k个顾客的概率 （k=0,1,2, …）
Network Laboratory
排队长度—t瞬间系统内的顾客数（含在窗口的）
队长k k—离散随机变量
三种观察： dk—顾客到达时观察队长为k的概率（不包括刚 到达的顾客）
rk—顾客服务完毕离去时观察队长为k的概率 （不包括正在离去的顾客）。
（以上为有条件抽样） pk—（服务员）随机观察队长为k的概率
Network Laboratory
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
Network Laboratory
(6)稳定性指标：对于不拒绝系统，当
到达率λ与服务率之比（称为排队系统 强度=λ / ）大于窗口数m时，平均 顾客到达数将大于平均顾客离去数，顾 客的队将越来越长，平均等待时间将趋 于无限大，系统不稳定。小于窗口数m时 ，系统是稳定的( <m)。对于截止型系统 ，因为队长被限制，即使排队强度大于m ，系统仍然可以稳定工作。
Network Laboratory
2.1.1、基本概念
1. 排队系统三要素: m，λ ，μ
m- 窗口数，表示资源的量。可同时向顾客提供 服务的设施数。（单窗口排队系统 m=1；多窗 口排队系统m>1） λ-顾客到达率（平均） μ-系统服务率（平均）
Network Laboratory
λ -顾客到达率（平均）
0
1
2
...... k ......
Network Laboratory
2、稳态解
物理意义：
到达与离去平衡，pk(t)与t无关
t , dk(p t)0,
数学描述：
dt
pk(t) pk
pk1ppk1 1(p0 0)pk 0
0
1
2
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
Δ t
k-1
k
k+1
Δ t
Δ t
1-Δ t-Δ t
1-Δ t
Δ t Δ t
0
1
2
......
k
Δ t Δ t
Network Laboratory
得 :
p k(t t) tk p 1 (t) tk p 1 (t) p k(t)1 ( t t)
即 :
pk(t t)tpk(t)pk1(t)pk1(t)()pk(t)
t 0得导数
ddkp(tt)pk1(t)pk1(t)()pk(t)
即柯尔莫哥洛夫方程。
Network Laboratory
k=0, 需重写:
原1人,去1人 Δtp1(t) 原0人,无人到 (1-Δt) p0(t) p0(t+Δ t)= Δ tp1(t)+ (1-Δ t) p0(t)
Network Laboratory
目标参量：（分析排队系统时的主要求解指标) (1)队长k：某时刻观察系统内滞留的顾客数。 (2)等待时间w:顾客从到达至开始被服务这段时 间。 (3)服务时间 ：一个顾客被服务的时间 (4)系统时间s，或称系统停留时间 ：顾客从到 达至离开的这段时间。S=w+ (5)系统效率 ：平均窗口占用率
(T)k
k!
eT
——泊松分布
k为离散变量
Network Laboratory
（2）到达间隔t的概率密度a（t）
到达间隔t——连续变量 把t分N份，到达间隔为t的概率：
(1)N
（N个Δ 内无到达，第N+1个必到达）
若t的概率密度a（t）存在，则有：
a(t)(1)N
k在最简系统中，pk =rk =dk
—平均队长，又称系统数 Network Laboratory
等待时间w
从到达开始服务的时间，是连续随机变量， 其统计平均为：
w — 平均等待时间（网络中等待时延的主
要部分）
其它时延，如传输时延和处理时延较小
Network Laboratory
服务时间
t为k+1态，Δt内离去1人，无到达：
p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
t为k态，Δt内到达1人，离去1人:
pk(t)t2
t为k态，Δt内无到达，无离去: p k ( t ) ( 1 t ) ( 1 t ) p k ( t ) ( 1 t t )
t1 t2
t3 t4 τ1
t5 τ2 τ3 τ4 τ5
T
平均到达时间t: t lim 1
n n
i
ti
平均到达率λ ——单位时间到达顾客数
1 t
或 lim n(T)
T T
(n(T)——T内到达数）
λ ↓——负荷轻
Network Laboratory
μ ：系统服务率（平均）
T (=NΔ)
Δ内有1顾客到达概率——Δ·λ Δ内无顾客到达概率——1-Δ·λ
有2个到达概率—— ( )2
Network Laboratory
据无后效性, 独立 据二项分布, N个贝努利分布
T内有k个到达的概率:
pk
(T)
Nk
k
1
Nk
N
得pk
(T)
得: dd 0 p(tt)p1(t)p0(t)
至此，得M/M/1完整状态方程:
dpk(t)
dt
pk1(t)pk1(t)()pk(t)
dp0(t) dt
p1(t)p0(t)
Network Laboratory
上式，已由，表示转移，得状态转移图：
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
Network Laboratory
k的方差
母函数G ( z) p0 p1z p2 z 2 pk z k z k pk k 0
由归一性，G(1) pk 1 又 G(1) kpk k
G(1) ( kz k1 pk ) k (k 1) z k2 pk ｚ＝１
开始接受服务服务完毕离去
—平均服务时间
Network Laboratory
系统时间s，或称系统停留时间
到达离去
s=w+
s w
对任何排队系统，有
s(w )k lit公 tle式
Network Laboratory
系统效率
平均窗口占用率 共m个窗口，某时刻如有r个被占用，则