高斯积分点以及有限元中应用
有限元平面单元 高斯积分点个数
有限元方法是一种工程分析中常用的数值计算方法，它可以有效地解决复杂结构的力学问题。
在有限元分析中，平面单元是一种常用的元素类型，通过对平面单元内部的高斯积分点进行数值计算，可以得到结构的受力状态和应变分布。
合理选择高斯积分点的数量对于有限元分析的准确性和计算效率都至关重要。
本文将从有限元平面单元的基本原理和高斯积分点的作用入手，探讨高斯积分点个数对于有限元分析的影响，并给出一些建议。
一、有限元平面单元基本原理1.平面单元的定义和分类在结构分析中，平面单元是一种用来模拟二维结构的有限元素。
按照形状的不同，平面单元可以分为三角形单元、四边形单元和多边形单元等。
这些不同类型的平面单元各有特点，适用于不同类型的结构分析。
2.平面单元的应力应变计算通过有限元平面单元的网格划分和材料特性定义，可以利用有限元方法计算结构的受力状态和应变分布。
平面单元内部的高斯积分点是进行数值积分运算的基本单位，它决定了计算的精度。
二、高斯积分点的作用1.高斯积分点的定义和选择在有限元分析中，高斯积分点是一种用来进行数值积分计算的特殊点。
通过在平面单元内部选择合适数量的高斯积分点，并配以适当的权重系数，可以对平面单元内部的物理量进行数值积分计算，如应力、应变、位移等。
2.高斯积分点的作用高斯积分点的选择直接影响了有限元分析的结果。
合理选择高斯积分点数量可以提高计算精度和效率，否则会导致计算结果不准确甚至发散。
在有限元分析中，高斯积分点的选择至关重要。
三、高斯积分点个数对有限元分析的影响1.高斯积分点个数对计算精度的影响在有限元分析中，增加高斯积分点的数量可以提高计算的精度，特别是对于曲率较大或者应力集中的区域。
然而，过多的高斯积分点会增加计算成本，降低计算效率，因此需要在精度和效率之间进行权衡。
2.高斯积分点个数对计算效率的影响适当减少高斯积分点的数量可以提高计算效率，减少计算时间和内存占用。
但是，过少的高斯积分点会导致计算结果的不准确，甚至出现数值不稳定的情况。
高斯积分点以及有限元中应用
解析法
对于一些简单的函数，可以通过解析法直接计算高斯积分点的函数值。
02
有限元方法简介
有限元方法的定义
有限元方法是一种数值分析方法，通 过将复杂的物理系统离散化为有限个 简单元（或称为元素）的组合，来模 拟和分析系统的行为。
高斯积分点在求解偏微分方程中的应用
高斯积分点被用于求解偏微分方程的数值解，通过将偏微分方程离散化，将连续的求解 问题转化为离散的求解问题。
具体应用
在有限元方法中，高斯积分点被用于求解弹性力学、流体力学等领域的偏微分方程，得 到结构的应力、应变和位移等数值结果。
高斯积分点在优化设计中的应用
优化设计的概念
高斯积分点在形状函数中的应用
在有限元的离散化过程中，高斯积分点被用于计算形状函数的数值 积分，以获得场变量的近似值。
具体应用
通过高斯积分点，可以计算出每个节点的位移、应力和应变等数值 结果，进而得到整个结构的近似解。
高斯积分点在求解偏微分方程中的应用
偏微分方程的求解
偏微分方程是描述物理现象的数学模型，求解偏微分方程可以得到描述物理现象的数值 解。
04
有限元的实现过程
建立模型
确定分析对象和边界条件
根据实际问题，明确分析对象及其所受的边界条件，为建立有限 元模型做准备。
建立几何模型
根据分析对象的几何形状，使用CAD软件建立几何模型。
定义材料属性
根据实际材料的物理属性，如弹性模量、泊松比等，定义材料属性。
划分网格
1 2
选择合适的网格类型
根据分析对象的几何形状和边界条件，选择合适 的网格类型，如四边形网格、六面体网格等。
高斯积分法讲义
多维高斯积分的误差分析
误差来源
误差估计
多维高斯积分的误差主要来源于 数值计算过程中的舍入误差、截 断误差以及算法本身的近似误差。
可以采用误差估计方法对多维高 斯积分的计算结果进行可靠性评 估。常用的误差估计方法包括残 差法、复化法、外推法等。
精度提高
为了提高多维高斯积分的计算精 度，可以采用更高阶的高斯积分 公式、增加随机样本数量、改进 网格划分等方法。同时，针对具 体问题选择合适的算法和参数设 置也是提高精度的关键。
金融学
高斯积分法在金融领域也有 广泛应用，如期权定价、风 险管理、投资组合优化等， 为金融决策提供科学依据。
02
高斯积分法的基本原理
高斯点的选取与性质
高斯点定义
高斯点是在积分区间内选取的一 组离散点，用于近似计算定积分。
高斯点性质
高斯点具有正交性和对称性，使得 在高斯积分法中能够高效地逼近被 积函数。
数值稳定性
在实现过程中，需要注意数值稳定性 问题。由于高斯积分涉及到浮点数运 算，可能会产生舍入误差。因此，在 实现时应选择合适的数值精度，并进 行误差控制。
一维高斯积分的误差分析
误差来源
一维高斯积分的误差主要来源于两个方面：一是由于数值计算引入的舍入误差；二是由于高斯点和权重的选择引 入的截断误差。
权函数的计算通常涉及到正交多项式和递推关系式，需要一定
的数学基础和编程技巧。
高斯积分法的精度与收敛性
01
精度分析
高斯积分法具有高精度逼近被积 函数的能力，其误差随着高斯点 数量的增加而减小。
收敛性分析
02
03
稳定性分析
高斯积分法具有指数级收敛速度， 即当高斯点数量增加时，误差呈 指数级下降。
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ，2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
U e 1 (x( )) (x( ))dV 1 x2 Ee (x( )) (x( ))Aedx
2 e
2 x1
U e 1 1 EeB( )qeB( )qe Ae (le / 2)d
2 1
U e
1 qeT [
1
(l e
/
T
2)B
( )Ee AeB( )d ]qe
2
1
U e 1 qeT Keqe 2
x(,) N(,)xe
u(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe
N1
1 4
(1
)(1 )
N2
1 4
(1
)(1 )
N3
1 4
(1
)(1 )
N4
1 4
(1 )(1)
ε(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe B(,)qe
x
B(
, )
0
y
0
x 1 2 3 4 N1x1 N2x2 N3x3 N4x4
y
1
2
3
4
N1 y1
N2
y2
N3
y3
N4
y4
N1
高斯公式应用案例
高斯公式应用案例高斯公式是数学上非常重要且广泛应用的公式。
它可以帮助我们计算各种形状的定积分，例如曲线下面积、曲线围成的曲边梯形面积、曲线周长等。
在不同的领域中，高斯公式都有着重要的应用。
本文将介绍高斯公式在物理、工程、经济和生物等领域中的应用案例，以及其在实际问题中的重要性。
一、物理高斯公式在物理学中有着广泛的应用，特别是在电磁学和力学领域。
在电场和磁场中，高斯公式可以用来计算电场线和磁场线的通量，从而求解电荷和磁荷的分布情况。
在引入高斯公式后，可以简化问题求解的复杂度，从而更方便地研究电磁场的性质。
在静电学中，高斯定律描述了电场的产生和分布。
利用高斯公式，可以求解由不同电荷分布所产生的电场强度，进而解决电场环绕导体的分布问题。
高斯公式还可以对电场在不同介质中的分布情况进行精确的描述，为电场的应用提供了重要的理论基础。
在力学领域，高斯公式也常用于计算曲线轨迹下物体的运动状态。
当一个物体沿着曲线运动时，我们可以利用高斯公式来计算曲线上的力的合成，求解物体的加速度和速度等动力学问题。
高斯公式的应用使得复杂的动力学问题变得更加清晰和可计算，为物理学研究提供了重要的数学工具。
二、工程在工程领域，高斯公式也有着重要的应用价值。
特别是在结构分析和流体力学中，高斯公式可以帮助工程师解决各种复杂的结构计算和流体运动问题。
在结构分析中，高斯公式可以用来计算不同形状结构的受力情况。
利用高斯公式可以求解曲线形状的梁在受力作用下的变形和内应力分布，为结构设计提供了重要的数学工具。
在有限元分析中，高斯公式也可以用来建立与结构形状相关的数学模型，进而对结构进行精确的应力分析和应变计算。
在流体力学中，高斯公式被广泛应用于计算流体在不同形状容器中的流动情况。
在管道工程中，高斯公式可以用来计算管道中流体的流速分布和流量情况，从而指导管道的设计和运行。
高斯公式还可以对复杂的流场进行数值模拟和计算，为工程师提供了重要的工具来研究流体动力学问题。
高斯积分点以及有限元中应用
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度 矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计 算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在 单元内分布一些高斯点
这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应 变，其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε }={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积
1 1
nn
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j1
1 1 1
nnn
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j 1 k 1
高斯积分法
更好的精度。（减缩积分）
完全精确积分
减缩积分
线性单元
二次单元
有限元分析主要步骤
我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有 限元方程如下
{F}=[K]{U} 其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵； {U}---节点位移向量 在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节 点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一 组解，它是最精确的。 得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。 与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先 在积分点上获得的。
H 2 (C0
C1
C2
2 2
C3
3 2
)
高斯积分法
，
，
为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的，显然应有
H1 H2 2
有限元法及其应用_概述及解释说明
有限元法及其应用概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中各种结构、流体和热传导问题的分析与求解。
该方法将实际问题转化为数学模型，并通过离散化方法将复杂的连续域分割成许多简单的子域，然后建立局部方程并组合求解得出整个系统的行为。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分来阐述有限元法及其应用。
首先是引言部分，在这部分中我们对有限元法进行综述和概括性介绍。
接下来是有限元法基础，包括定义与原理、离散化方法以及数学模型和方程组等内容。
第三部分是有限元法的应用领域，具体涵盖了结构力学分析、流体力学模拟以及热传导分析等方面。
紧接着是有限元法的优势与局限性的讨论，其中包含了优势点和局限性两个方面。
最后在结论与展望部分对目前取得的成果进行总结，并展望未来该领域发展的方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍有限元法及其应用，使读者对该方法有一个全面的了解。
通过分析有限元法的原理和数学基础，以及讨论其在结构力学、流体力学和热传导等不同领域中的应用，读者可以更好地理解该方法在实际工程问题中的作用和意义。
同时，通过对有限元法的优势和局限性进行深入讨论，读者也可以对该方法的适用范围和限制条件有一个清晰的认识。
最后，在总结现有成果并展望未来发展方向的部分，本文希望促进该领域进一步的研究和应用，并为相关领域从业人员提供参考与借鉴。
2. 有限元法基础：2.1 定义与原理：有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种工程数值分析方法，通过将复杂的连续体问题转化为离散的有限元模型，并通过求解一系列代数方程组来获得数值近似解。
它基于强大的计算能力和离散化技术，广泛应用于各个领域的工程问题求解。
有限元法原理包括两个基本步骤：离散化和解。
在离散化过程中，需要将复杂的连续体划分为多个单元，每个单元具有简单的几何形状（如线段、三角形或四边形）。
这些单元可以通过节点进行连接，并构成整个结构或区域。
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
高斯积分的计算方法
1 一维积分
通过一维高斯积分公式， 将定积分转化为有限个节 点上的数值积分。
2 二维积分
通过二维高斯积分公式， 将二维平面上的积分转化 为有限个节点上的数值积 分。
3 三维积分
通过三维高斯积分公式， 将三维空间中的积分转化 为有限个节点上的数值积 分。
高斯积分在有限元分析中的应用
等参元和非等参元
1 等参元
等参元使用相同数目的自由度描述几何和插 值，适用于规则和光滑变形的分析。
2 非等参元
非等参元使用不同数目的自由度描述几何和 插值，适用于非规则和大变形的分析。
高斯积分基本原理
1
节点和权重
2
高斯积分采用节点和权重的概念，通过
特定的节点和权重系法
应力分析
高斯积分方法可以计算复杂结构的应力分布， 帮助工程师评估结构的强度和稳定性。
流体流动
高斯积分方法可以求解流体流动方程，分析空 气动力学、水力学和流体力学问题。
热传导
高斯积分方法可以模拟热传导过程，预测工件 的温度分布和热传导性能。
电磁场
高斯积分方法可以计算电磁场的分布和力线， 用于分析电磁场和电磁设备。
总结和要点
1 有限元方法
2 等参元和非等参元
有限元方法是一种计算工程问题的数值分析 方法，通过离散化和数值积分求解连续问题。
等参元适用于规则和光滑变形的分析，非等 参元适用于非规则和大变形的分析。
3 高斯积分基本原理
高斯积分通过节点和权重的计算，实现对函 数定积分的数值近似。
4 高斯积分的优点
高斯积分能够提供精确的计算结果，同时具 有高效计算的特点。
高斯积分是一种数值积分方法，用于近 似计算基于数学函数的定积分。
第07讲 高斯积分-11_805707009
则：
I = ∫ f (ξ )d ξ = 2(C0 + C2 / 3)
−1
+1
若选两个高斯积分点 ξ1和ξ2, 相应得权系数为H1 和H2 ，则：
= f (ξ ) H + f (ξ ) H I 1 1 2 2
(6-26)
将f (ξ1) 和f (ξ2) 由(6-24)代入(6-26)：
= H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) + H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) I 1 0 1 1 2 1 3 1 2 0 1 2 2 2 3 2
ξ1 = −ξ 2 = −
(6-29)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
*两点高斯积分 上式表明，对三次多项式的被积函数，采用两点高 斯积分，并满足(6-29)，便可得到精确解。 两点高斯积分的几何定义如下图：
f (ξ )
ξ
-1
ξ1 = −1/ 3
ξ 2 = 1/ 3
+1
H1
H2
n × n − 高斯积分点数 H i H j − 权系数
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
6.5.2 二维和三维高斯积分 三维高斯积分
I =∫
1 −1 −1 −1
∫ ∫
j
1
1
= ∑∑∑ H H H f (ξ ,η , ζ ) f (ξ ,η , ζ )dξ dηdζ ≈ I i j k i j k
∫
1
-1
F (ξ )dξ ,
∫ ∫
1
有限元分析及应用
应力边界条件
58
.
53
二维问题：应力边界条件
xlyxmX xylymY
59
.
54
圣维南原理（局部影响原理）
物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等
效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离
这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
60
.
55
61
.
56
62
.
57
均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。
工程领域中不断得到深入应用，现已遍及
宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、
海洋等工业，是机械产品动、静、热特性
分析的重要手段。早在70年代初期就有人
给出结论：有限元法在产品结构设计中的
应用，使机电产品设计产生革命性的变化，
理论设计代替了经验类比设计。
5
.
5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
-0 .0 2
-0 .0 0 1
-0 .0 4
-0 .0 0 2
-0 .0 6
-0 .0 0 3
0 .0 5 4
0 .0 5 6
0 .0 5 8
0 .0 6
X
-0 .0 8
-0 .1 0
0 .0 2
0 .0 4
0 .0 6
0 .0 8
0 .1
0 .1 2
X
29
.
27
30
.
28
受垂直载荷的托架
31
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中 未标出），是四面微分体的高。
56
.
51
设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分
有限元分析及应用第五章_第二部分
其中系数
∫ Cm
=
2m + 2
1
1 −1
Lm
(
x)q(
x)dx
特别，对于 n 次多项式 Pn(x)有
４、一维情况
n
∑ Pn (x) = Cm ⋅ Lm (x) m=0
设需要计算积分
1
I = ∫ f (x)dx −1
我们可以取 x1=0 为积分点（图 5-2４(a)），以常量 f(0) 代替 f(x) 进行积分，作为Ｉ的近似值
−1
−1
−1
−1
Rn−1 (x)为 n-1 阶多项式，因此仅需 n 个样点及其样点值即可精确重构该多项式，进而给出
精确的积分值，若取 Ln (x) 的 n 个零点为积分样点，则
( ) ( ) P2n−1 xi = Rn−1 xi (i = 1 ~ n)
结论：用 n 个 Legendre 多项式的零点作为积分样点，式(5-5-1)可以给出精确的积分值，这
)
根
x1、4 = m
15 + 120 , 35
x2、3 = m
15 − 120 35
L0=1
L1=x
L2
L3
1
1
x
x
x1
x2 x
x
-1
1 -1
1 -1
1 -1
1
-1/2
图 5-23
第 2 页 共 14 页
有限元分析与应用
霍战鹏
一般 n 阶 Legendre 多项式的定义为
Ｌ n
(x)
=
2
1 n⋅
n!
L２( x)
=
3 2
(x2
−
1) 3
高斯积分
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有
结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1
.
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
Rnf((2 2nn)()!) ab(x)wn2(x)dx
由此可见，高斯公式精确度是很高的
.
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
1 1
f(x) 1x2
d
n
x Akf(xk)
k1
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
co(2s k1)
2n
,A kn
.
3.Gauss - Laguerre 求积公式
其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.
• Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数 Ak都有表可以查询.
.
Gauss - Legendre 求积公式
1
n
f(x)dx
1
Ak f(xk)
-1
wi f(xi)
的代数精度最高不
i0
证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
三角形单元数值积分
三角形单元数值积分一、引言数值积分是数值分析中的一个重要内容，它是利用数值方法来近似计算定积分的过程。
在实际应用中，很多函数都无法求出其解析式，因此需要采用数值积分方法来进行近似计算。
本文将重点介绍三角形单元数值积分的相关知识。
二、三角形单元三角形单元是有限元方法中最基本的单元之一，它由三个节点构成。
在实际应用中，我们通常采用局部坐标系来描述三角形单元。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，则可以定义局部坐标系x-y为：以AB边为x轴正方向，以C点到AB边垂线为y轴正方向。
三、三角形单元上的积分对于一个在三角形上定义的函数f(x,y)，我们需要对其进行积分。
根据高斯公式，可以将二维平面上任意闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分。
因此，在三角形内部进行二重积分时，可以将其转化为对该三角形边界上的积分。
四、高斯公式高斯公式是将一个闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分的公式。
对于一个在平面区域D上连续可微的函数f(x,y)，高斯公式可以表示为：∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，P和Q是f(x,y)的偏导数，C为D的边界曲线。
五、三角形单元数值积分在实际应用中，我们需要采用数值方法来进行三角形单元上的积分计算。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法、高斯积分法等。
其中，高斯积分法是一种比较常用和精确的方法。
六、高斯积分法高斯积分法是一种通过求解一组带权重系数和节点坐标的代数方程组来近似计算定积分的方法。
在三角形单元上进行高斯积分时，我们通常需要将其转化为在标准三角形（即顶点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)）上进行计算。
七、标准三角形上的高斯积分对于一个定义在标准三角形上的函数f(x,y)，可以采用如下公式进行高斯积分：∫∫f(x,y)dxdy=∑wi*f(xi,yi)其中，wi为权重系数，(xi,yi)为高斯积分点的坐标。
在实际应用中，通常采用2-3-4-5阶高斯积分公式进行计算。
高斯积分点坐标
高斯积分点坐标高斯积分点是一种在数值计算中常用的一种积分方法。
在计算复杂的积分时，通过使用高斯积分点，可以有效地提高计算的精度和效率。
高斯积分点的坐标是根据一定的积分权重和节点位置计算得出的。
在本文中，我们将详细介绍高斯积分点的计算方法和应用。
高斯积分点的计算方法主要有两种：Legendre法和Lobatto法。
Legendre法计算的是在[-1,1]区间上的高斯积分点，而Lobatto法计算的是在[-1,1]区间上的高斯积分点以及边界点。
在实际应用中常用的是Legendre法，因为它更简单且计算量更小。
要计算高斯积分点，首先需要确定积分的区间和权重函数。
在Legendre法中，积分区间为[-1,1]，权重函数为W(x)=1。
然后，需要确定使用的积分点的个数，一般可以根据需要的积分精度来确定。
积分点的个数决定了计算的精度和效率，但过多的积分点会增加计算的复杂度。
在Legendre法中，积分点的坐标可以通过解一个特定的代数方程组得到。
这个方程组的解对应于经过新蒙特卡罗变换的积分点坐标。
解这个方程组的方法有很多种，其中最常用的是牛顿法或割线法。
通过迭代计算，可以得到具体的积分点坐标。
高斯积分点的坐标和权重可以用一个表格来表示。
对于每个积分点，都有相应的坐标和权重。
积分点的坐标越靠近积分区间的端点，权重越大。
这是因为积分近似的精度与积分点的位置有关，越靠近端点的积分点具有更高的权重。
高斯积分点在众多科学计算领域中都得到了广泛的应用。
在数值分析中，高斯积分点可以用于数值积分、函数逼近和微分方程等问题的求解。
在工程领域中，高斯积分点可用于计算结构力学、流体力学和电磁场等问题。
例如，在计算机图形学中，高斯积分点可以用于计算图像的滤波和模糊效果。
通过在图像上应用高斯积分点，可以实现对图像进行平滑和模糊处理，使图像更加清晰和真实。
在物理学中，高斯积分点常用于量子力学中的波函数求解。
通过将波函数表示为高斯积分点的线性组合，可以更准确地描述量子体系的行为。
有限元高斯积分方法
有限元高斯积分方法我一开始接触有限元高斯积分方法的时候，说实话，那就是瞎摸索。
我就知道这是个很重要的东西，在有限元分析里经常用到，可到底怎么回事，完全一头雾水。
我最开始就去翻那些教科书，那上面的公式又长又复杂，什么被积函数乘以加权系数求和之类的。
就好比你要数一堆乱七八糟形状的东西，还得按照特定的规则数，那些规则又特别拗口，我当时看了就犯困，根本没理解透。
后来我想啊，干脆就从最简单的例子入手吧。
我找了个简单的线性函数，想用高斯积分来算它在一个区间上的积分。
我按照书上公式一点一点套，可算出的结果完全不对。
然后我就开始检查，发现是加权系数用错了。
这就像你做菜的时候，盐和糖放反了，那味道肯定不对。
我又重新仔细看加权系数那部分，才发现原来是它跟高斯点有关。
这里我要好好说说高斯点，这就像是一些特殊的观察点，在这些点上看这个函数，再按照特定的规则就能算出积分。
我当时把高斯点对应的加权系数记错了，那结果肯定就错嘛。
然后我又试了几个更复杂点的函数，每次都小心翼翼地确定高斯点和对应的加权系数。
我还做了个小本子，把一些常见的函数类型对应的高斯点和加权系数记下来，就像背单词一样。
这样下次再遇到类似的函数，就可以直接用了。
但是这里我得跟你说，我还是有一些不确定的地方。
比如说对于一些更高维的函数，到底要怎么选择合适的高斯点组合呢。
我试过用一些经验性的方法，不过有时候效果不是很好。
我的心得就是，多做计算对比，你可以用传统方法把积分算出来，再用高斯积分方法算，看看结果是不是一样。
要是不一样，就说明这里面肯定有哪里出问题了。
慢慢积累这些经验，就能更好地掌握有限元高斯积分方法了。
虽然说我现在不能说完全精通，但至少比一开始强多了。
还有对于那些很不规则的函数，我还在探索怎么能更高效地用这个方法。
反正实践是最重要的，多做实际的计算例子才能更好地上手这个有限元高斯积分方法。
另外我发现，如果能把函数先进行一些化简，再用高斯积分方法会简单很多。
各单元高斯点
各单元高斯点在有限元分析中，高斯点是一种用于数值计算的重要概念。
在分析结构或材料时，通常会将其离散成有限个单元来进行计算。
而每个单元都会包含若干个高斯点，用来近似表示单元内的物理量。
在这篇文章中，我将讨论各单元高斯点的重要性及其在有限元分析中的应用。
首先，让我们来了解一下高斯点的概念。
高斯点是一种数值积分点，通过在这些点上对被积函数进行数值积分，可以得到近似的积分值。
在有限元分析中，高斯点通常被用来近似表示单元内的应力、应变、位移等物理量。
通过在高斯点上对这些物理量进行插值，可以得到整个单元内的近似解。
在有限元分析中，单元是构成整个结构或材料的基本单位。
不同类型的单元可以用来表示不同的几何形状，比如一维线元、二维三角形元、四边形元等。
而每个单元内都包含若干个高斯点，这些高斯点的数量通常是提前确定的。
在进行有限元计算时，我们需要在每个单元内对物理量进行数值积分，而高斯点就是用来指定积分的位置和权重的。
在有限元分析中，各单元高斯点的选择对计算结果的精度和稳定性有着重要的影响。
一般来说，高斯点的数量越多，计算结果越精确，但计算量也会增加。
因此，在实际应用中，需要在计算精度和计算效率之间进行权衡。
通常情况下，工程师会根据具体问题的需求和计算资源的限制来选择合适的高斯点数量。
除了高斯点的数量，高斯点的位置也是至关重要的。
在有限元分析中，高斯点的位置通常被选取在单元的几何中点或者重心附近。
这样可以保证在近似表示单元内物理量时，能够更好地反映单元内部的特性。
而如果高斯点的位置选择不当，可能会导致计算结果出现偏差，甚至无法收敛。
在实际工程中，有限元分析是一种非常重要的工具，可以用来分析结构的应力、变形等物理量。
而各单元高斯点的选择是有限元分析中一个至关重要的环节。
通过合理选择高斯点的数量和位置，可以提高计算结果的精度和可靠性。
因此，在进行有限元分析时，工程师需要仔细考虑各单元高斯点的选择，以确保得到准确的计算结果。
高斯积分点 三角形 科普
高斯积分点三角形科普高斯积分点是数值分析中常用的数值积分方法之一，它在三角形中的应用也是非常广泛的。
本文将科普高斯积分点在三角形中的原理和应用。
一、高斯积分点的基本原理高斯积分点是一种数值积分方法，它通过在特定位置上选取一些积分点，然后根据这些积分点的位置和权重来近似计算积分值。
对于三角形而言，高斯积分点的选取是基于三角形的几何特性和高斯积分公式来进行的。
在三角形中，高斯积分点通常是通过将三角形映射为标准区域（如单位正三角形）上的积分来实现的。
然后，在标准区域上选取一些积分点，再通过坐标变换将这些积分点映射回原始三角形上，即可得到在原始三角形上的高斯积分点。
二、高斯积分点的应用高斯积分点在三角形中的应用非常广泛，以下列举几个常见的应用领域。
1. 有限元法有限元法是一种常用的数值分析方法，它在求解偏微分方程问题时需要进行积分计算。
而高斯积分点正是在有限元法中用于进行积分计算的主要方法之一。
通过选取适当数量的高斯积分点，可以高效准确地进行积分计算，从而得到精确的数值解。
2. 三角形网格生成三角形网格生成是计算机图形学和计算机模拟中的一个重要问题。
在三角形网格生成过程中，需要将复杂的几何体离散化为由三角形组成的网格。
而高斯积分点可以用于计算每个三角形的质心、面积等几何属性，从而帮助生成高质量的三角形网格。
3. 图像处理在图像处理领域，高斯积分点也有着重要的应用。
例如，高斯滤波是一种常用的图像平滑方法，它通过对图像进行高斯加权平均来降低噪声和纹理。
而高斯积分点可以用于计算图像中每个像素周围的加权平均值，从而实现高效的高斯滤波算法。
4. 计算几何学在计算几何学中，高斯积分点也有广泛的应用。
例如，计算三角形的面积、重心、外接圆等几何属性时，可以使用高斯积分点进行数值计算。
通过选取适当的高斯积分点，可以提高计算准确度和效率。
高斯积分点在三角形中的应用非常广泛，涉及到有限元法、三角形网格生成、图像处理、计算几何学等多个领域。
有限元中的梯度计算
有限元中的梯度计算有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，用于求解复杂结构的物理问题。
在有限元法中，梯度计算是一项重要的任务，用于评估解决方案的准确性和收敛性。
本文将介绍有限元中的梯度计算的原理、方法和应用。
梯度是指函数在每个点的变化率或斜率，用于描述函数值在不同位置的变化情况。
在有限元法中，梯度计算通常指的是对解决方案的数值近似进行梯度估计。
这在许多工程和科学领域中都是非常重要的，例如结构力学、流体力学和电磁场。
梯度计算的目标是求解函数的局部导数，即求解函数在每个节点上的梯度。
有限元法可以将求解域离散化为一组有限元，并近似表示函数在每个元素内的解。
在这种情况下，梯度是通过在元素内部和边界上进行插值来计算的。
最常见的梯度计算方法是有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）。
这种方法通过在节点上进行函数值差分来估计梯度。
然而，有限差分法需要函数值在节点上的准确度，这可能会导致数值误差的积累。
相比之下，有限元法可以更精确地估计梯度，因为它利用了元素之间的连续性。
有限元法使用形函数（Shape Function）来插值函数的近似解，并通过对形函数的偏导数进行积分来计算梯度。
这种方法可以减小数值误差，并提高梯度计算的精度。
间接法是一种更常用的方法，它使用插值函数的形函数以及节点的函数值来计算梯度。
这种方法通过在元素内部和边界上进行插值来逼近梯度。
常用的间接法有高斯积分法和拉格朗日乘子法。
高斯积分法是一种经典的梯度计算方法，它使用高斯积分点来逼近梯度。
在每个高斯积分点上，通过插值函数的形函数和节点的函数值来计算梯度。
然后将高斯积分点上的梯度进行加权平均，得到元素内部的梯度。
拉格朗日乘子法是一种基于变分原理的梯度计算方法。
它使用拉格朗日乘子对梯度进行约束，并通过求解拉格朗日方程来得到梯度。
这种方法可以精确计算梯度，但是对于高维问题，计算复杂度可能很高。
八结点六面体高斯积分点
八结点六面体高斯积分点
八结点六面体高斯积分点是一种在数值计算中常用的积分方法。
通过使用这些预定义的积分点，在离散化求解问题时可以准确地近似连续函数的积分。
一八结点六面体高斯积分点的定义如下：
1. (-1, -1, -1)
2. (1, -1, -1)
3. (-1, 1, -1)
4. (1, 1, -1)
5. (-1, -1, 1)
6. (1, -1, 1)
7. (-1, 1, 1)
8. (1, 1, 1)
这些积分点是为六面体体积计算而设计的，其特点是对称分布在六面体的各个方向，并且都落在[-1,1]的范围内。
使用这些积分点可以将六面体的体积分成八个小立方体，并在每个小立方体中进行积分。
在计算中，通过将函数在这些积分点上的值进行加权求和，可以近似得到连续函数在整个六面体上的积分值。
每个积分点都有一个权重系数，这些系数被预先计算好并储存在积分表中。
八结点六面体高斯积分点可以被广泛应用于各种数值计算方法中，特别是有限元分析和计算流体力学等领域。
通过使用这些积分点，可以准确地近似复杂六面体的体积，并在数值求解过程中提高计算的准确性和稳定性。
总之，八结点六面体高斯积分点是一种在离散化求解中广泛应用的方法，通过使用这些预定义的积分点可以准确近似连续函数的积分。
它在数值计算中有着重要的作用，并在多个领域中得到应用。
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积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工 作量。
积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全 精确积分）
很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精 确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分
更好的精度。（减缩积分）
完全精确积分
减缩积分
线性单元
二次单元
有限元分析主要步骤
我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有 限元方程如下
高斯积分法
例如，n=1时 不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H１=2，
ξ1＝０，上式均是精确成立的。因为
1
I 1 f ( )d H1 f (1 )
f ( ) C0 C1
1
I 1 f ( )d 2C0 2 • f (0)
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
{F}=[K]{U} 其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵； {U}---节点位移向量 在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节 点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一 组解，它是最精确的。 得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。 与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先 在积分点上获得的。
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j1 k 1
中的n，m，l是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。
各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出 现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常 在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值
1 1
C1
C2
2 2
C3
3 2
)
高斯积分法
，
，
为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的，显然应有
H1 H2 2
H11 H 22 0
H
2
11
H
2
2 2
2 3
H
3
11
H
2
3 2
0
1 2
1 3
0.577 ,350,269,2
高斯积分法
高斯积分法
在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度 矩阵时，需用到如下形式的定积分：
11
f ( ,)dd 1 1
111
f ( ,, )ddd 1 1 1
其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很 复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也 是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函 数的定积分。
或改写成
1 1
nm
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j 1
这就是二维的高斯积分公式。
高斯积分法
三维积分的高斯公式
同样，可以求得三维高斯积分公式：
1 1 1
nm l
f ( ,, )ddd
1 1 1
所以，应取
H1 H 2 1.000,000,000,0
高斯积分法
n个插值结点非等距分布
结点和积分权系数可以查表
1
n
f ( )d
1
Ai f (i )
i 1
高斯积分法
二维积分的高斯公式
以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维
重积分
11
f ( ,)dd 1 1
有限元分析主要步骤
总之，求解节点应力的步骤是： （1）根据总体方程，得到节点的位移解。 （2）根据几何方程，得到单元高斯点的应变解。 （3）根据物理方程，得到单元高斯点的应力解。 （4）在某一个单元内，基于形函数，将高斯点的应力外 推到该单元的所有节点。 （5）对于某一个公共节点，将该节点关联的所有单元所 推出的该节点的应力解进行平均，最终得到该节点的应力 解。
积分点与节点的关系
我们需要对应变在单元内的面积上进行积分时，因为 节点的应力、位移显然与x,y无关，我们只需要考虑对形 函数积分。
采用Gauss-Legendre多项式计算积分时，我们只需要 计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可 以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可 以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为 形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。
1
n
f ( )d
1
H i f (i )
i 1
其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi处的数值，Hi为 加数系数，n为积分点数目。
对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点 位置，能够使式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时 精确成立。
由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应 于大多数函数。
反过来，对于m次多项式的被积函数，为了积分值 完全精确，积分点的数目必须取 。
高斯积分法
高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权 系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数 值，加权后求和，就得到了该函数的积分。
高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个 积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也 就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式， 用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分 结果。
的数值时，可以先对ξ、η进行积分，
1
n
f ( ,)d ห้องสมุดไป่ตู้
1
H i f (i ,) ()
i 1
1
m
()d
1
H j ( j )
j 1
1 1
m
n
f ( ,)dd
1 1
Hj
H i f (i , j )
j 1
i 1
高斯积分法
数值积分：在积分区域内按一定规则选出 一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ， η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相 应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法 可以用相同的积分点数达到较高的精度，或 者说用较少的积分数达到同样的精度。
高斯积分法
一、一维积分的高斯公式
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度 矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计 算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在 单元内分布一些高斯点
这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应 变，其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε}={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积
应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节 点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点 具有更高阶的误差。
f ( ) C0 C1 C2 2 C3 3
其精确积分为 数值积分为
I
1
f ( )d
1
2C0
2 3
C2
2
I H i f (i ) H1 f (1 ) H 2 f (2 ) i 1
H1 (C0
C1
C
2
21
C313 )
H 2 (C0
nn
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j1
1 1 1
nnn
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j 1 k 1
高斯积分法
由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时 ，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高 斯求积公式求得的积分值是完全精确的。
分点的应力。:{σ}={D}{B}{U}
有限元分析主要步骤
可见，在应变和应力计算方面，高斯积分点的应变 和应力是最最准确的。
利用特定单元的形函数以及高斯点的应力，应变值， 将这些值外推到该单元的节点上，就得到了单元上节点的 应力应变值。
显然，不同的单元会共用一些节点，而从不同单元内 的积分点外推到这些公共节点的应变值和应力值一般不相 同,将一个公共节点的多个应力进行平均，以代表该节点 的应力值。