一元二次方程的解法全

一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什 么？
即 x2 ? a （a≥0）则x叫做a的平
方根，表示为： x ? ? a
下列各数有平方根吗?若有,你能求出它
的平方根吗?
25 ;
0
;
25 16
; 2;-3;3 4
例题解析： 例1 解方程 先移项，得
x2 ? 4 ? 0
x2 ? 4
可见，上面的
x 2 ? 4 实际 上就是求4的平 方根。
共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是 2的整式方程 叫做一元二次方程。
2、一元二次方程通常可写成如下的 一般形式：
a≠0
ax2+bx+c=0
3、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把 握三点： ①：方程是整式方程；②：只含有一个未知数 ③：可化为 ax2+bx+c=0（ a≠0 ）的形式
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根，
所以当b<0时，原方程无解。
知识回顾
大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？
(1)x(x ? 2)A?B0=0? A=0x或1 ?Ｂ0＝, ０x2 ? 2
(2)(x ? 2)(x ? 3) ? 0 x1 ? ?2, x2 ? 3
(3)(3x ?
2)(2x ? 1) ?
∴ x1=-2 ,x2=2
x2－4=（x－2）（x＋2）
以上解某些一元二次方程的方法叫 做因式分解法。
初试锋芒 解下列方程：
（1）16 x2 ? 25 ? 0
（2）4x2 ? 9 ? 0
例3 解下列方程：
(1)3x(x ? 2) ? 5(wenku.baidu.com ? 2)
(2)9 x2 ? 6x ? 1 ? 0
(1)3x(x ? 2) ? 5(x ? 2)
0 x1
?
?
2 3 , x2
?
1 2
例 解方程x2 ? 4 ? 0。
解: (直接开平方法):
x ? ? 4,
? x1 ? 2, x2 ? ?2.
例2：解方程x2- 4=0. 另解：原方程可变形为
(x+2)(x －2)=0
x+2=0 或 x－2=0
我们观察可以
发现 x2 ? 4? 0
可以使用平方 差公式
两个一元∴一次x方1=程2 的,x解2=就-4是原方程的解
拓展练习1：辨析
(1)、x2 ? x
解：方程的两边同时除 以x，得 x ? 1.
? 原方程的解为x ? 1.
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的
数，所得的方程与原方程 同解。
2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在 哪？
? 此方程无解。
方程 ax2 ? c? 0 ?a? 0? 一定有解吗?
?
a?0 ?
x2
?
?
c a
;
?1?当 ?
c a
?
0时，方程的根是 x
?
?
?
c a
;
?2?当 ?
c a
?
0时，原方程无实数根。
提问：下列方程有解吗？
(1) ?x ? 4?2 ? 3; (2) ?3x ? 1?2 ? ?3;
归纳 小结
解方程 (x ? 5)(x ? 2) ? 18 解： 原方程化为
? (x ? 5)(x ? 2) ? 3? 6 ( )
由x ? 5 ? 3，得x ? 8; 由x ? 2 ? 6，得x ? 4. ? 原方程的解为x1 ? 8或x2 ? 4.
拓展练习2：解方程
解下列方程：
(1) (x＋1)(x+2)=2 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
?5??x? 5?2 ? 36? 0; ?6??6x?1?2 ? 25;
1、用直接开方法解方程：
你会变 吗？
3?2x ? 5?2 ? 12 ? 2?2x ? 5?2 ? 4
2、用直接开方法解方程：
9?3m ? 5?2 ? 3 ? 0
?3m ?
5?2
?
?
1 3
? 无论m取何值，?3m ? 5?2 ? 0;
1 . 方程右边不为零的化为 零 。 2 . 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 . 至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 . 两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
解题步骤演示
例 (x+3)(x －1)=5 解：原方程可变形为 方程x2右+2边x－化8为=零0
左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
1）2x2 ＋3x－1＝0 x
2） x 2－y＝0
3）ax2＋bx ? c＝0 4）(m2 ? 1)x 2 ? 2x - 3＝0
2．m何值时，方程 (m ? 1) x 4m ? 2 ? 27 mx ? 5 ? 0 是关于χ的一元二次方程?
合作学习 共同回顾 ?
解：移项，得
3x(x ? 2) ? 5(x ? 2) ? 0
(x? 2)(3x ? 5) ? 0
x+2=0或3x－5=0
∴
x1=-2
,
x2=
5 3
(2)9 x2 ? 6x ? 1 ? 0
解：原方程可变形为
（3x ? 1）2 ? 0
所以3x ? 1 ? 0.
所以 x1
?
x2
=-
1 3
.
归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
x 2 ? b ?b ? 0?或 ?x ? a ?2 ? b ?b ? 0?.
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x 2 ? b ?b ? 0?或 ?x ? a ?2 ? b ?b ? 0?;
(b≥0）的形 式,再求解
再显身手
例2 解方程:
(1) ?x ? 1?2 ? 4 ? 0
将方程化成
(x ? a)2 ? b
(b≥0）的形 式,再求解
(2) 12(2 ? x)2 ? 9 ? 0
解下列方程：
?1?x2 ? 9 ? 0;
?2?t2 ? 45? 0
?3?16x2 ? 49? 0; ?4??2x? 3?2 ? 5;
所以 x ? ? 4
x ? ?2
? x1 ? 2 ; x2 ? ? 2
以上解某些一元二次方程的方法叫 做直接开平方法。
初试锋芒 用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 ? 121? 0 ;
（2） x2 ?2 ? 0
(3) 16x2 ? 25 ? 0
（4） 2 x 2
?
1 2
?
0;
将方程化成
x2 ? b
(3) 2 y2=3y
(4) (4x－3)2=(x+3)2
x2 ? 3 x(3 ? 2x) x(3x ? 1)