一元二次方程根的判别式公开课
一元二次方程根的判别式-公开课课件(1)教学提纲
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行
有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数
的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0(a0)
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ； （3） x2 4kx 2k 3。 提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0,
所以原方程无解。
（2）因为△ = b24ac=10，所以原方 程有两个不等的实根。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x50
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
因式分解法公式法对于 Nhomakorabea元二次方程 ax2bxc0(a0)一定有解
吗？
用配方法变形上述方程得到：a(x b )2 b2 c ，
2a 4a
即 (x b )2 b2 4ac 。
2a
4a2
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课教案_3
一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：一、 创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 二、 得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成） 三、 运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、 课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。
22.3 公式法——一元二次方程根的判别式 公开课精品课件
c a
＋
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下 三种情况:
(1) b2 4ac 0 (2) b2 4ac 0 (3) b2 4ac 0
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 表示它，即Δ＝b2－4ac.
(1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 41 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
知3－讲
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式 Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
归纳
知2－讲
方程有两个不相等的实数根，说明两点： 一是该方程是一元二次方程，即二次项系
这就是我们这节课要学习的内容.
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)．
移项，得 ax2 bx c.
二次项系数化为1，得
x2 b x c . aa
一元二次方程根的判别式(ppt课件)
练习4：关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，求a
的取值范围
解：①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0，a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0，（a-1）≠0
b2-4ac=（-2）2-4×（a-1）×1≥0，a≠1 解得：a＜2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2＋3x－4＝0； 有两个不相等的实数根
(2)x2－x＋1＝0；
4
有两个相等的实数根
(3)x2－x＋1＝0.
无实数根
练习 2：不解方程，判断下列方程根 的情况
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (3)4x2＋4x＋10＝1－8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根， (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 － 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝
小
0(a≠0)解决问题时，如果二次项系数中
（4）由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0
移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数划为 1：x2＋bx＝－c， aa
b
b
配方，得：x2＋bx＋
2a
2＝－
c
＋
2a
2，
a
a
b
x＋ 2a
2＝b2－4ac，
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时，方 程才有实数根，这样b²-
4ac就决定着一元二次方
17.3一元二次方程的根的判别式(第1课时)
2 3 2 x 3x 1 0
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。Fra bibliotek练一练
1、不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
例1、 不解方程，判别下列方程的根 的情况。
1 5x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
3.求判别式时，应该先将方程化为 一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前 提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次 项系数不为0.
课堂小结： 可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根 2 2 的情况由b -4ac来确定。我们把 b 4ac 叫做一元二次 方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△” 来表示，即△ =b2-4ac. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0), 当△ ＞0时，有两个不相等的实数根； 当△ = 0时，有两个相等的实数根；
b b 2 4ac , x2 2a
（2）当b2-4ac=0时
2 b 4ac 0 ，
，因此，方
程有两个相等的实数根：
b x1 x2 ; 2a
2
（3）b2-4ac＜0时，
b 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。
17.3一元二次方程的根的判别式(第2课时))
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
作业设置：
1、巩固复习：课本P34－P35 2、预习新课：课本P37－P39 3、当堂作业：课本P35－P36练习1、2 4、课堂作业：课本P36习题17.3第3、5 两题 5、课下作业：基础训练等完成到17.3
7、
2 2 已知关于的方程k x +(2k-
1)x+1=0有两个不相等的实数根x 1 x2 ①求k的取值范围 ②是否存在实数k，使方程的两个 实数根 互为相反数？如果存在， 求k的取值；如果不存在，请说明 理由
8、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
则k的取值范围是（ Ａ）k<１ Ｂ）k≤１ ） D Ｃ）k<１且k≠0
一元二次方程根的判别式
3:学习难点
灵活运用一元二次方程根的判别式，确定 方程中 待定系数的取值范围。
例1
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是 （ D ） A ）m ﹥0 m ﹥ 0 且m≠1 B）m≥0 D m ≥0且m≠1 C
2、不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ A ） A )有两个不相等的实数根 C) 没有实数根 B) 有两个相等的实数根 D)无法确定
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
本节课我们将学到……
1:学习目标
1.运用根的判别式判定一元二次方程根的情况。
华师版一元二次方程根的判别式-(中学课件201911)
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
m1 ．
4
∴m的取值范围是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴．b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
2.已知方程 2x 2 mx 1 0 的 判别式的值是16，则m＝ _____．
△＝0方程有两个相等的实数根．
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
一元二次方程根的判别式公开课课件
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。
公开课一元二次方程根的判别式
解：因为∆＝( 3 )2-4×2×1＝-5＜0，
所以原方程没有实数根.
随堂练习 1.不解方程，判别下列方程根的情况： (1)2x2－5x－4=0；
(2)7t2－5t+2=0；
(3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10
3 y.
(1)2x2－5x－4=0； 解：(1)因为∆ =(－5)2－4×2×(－4)=57＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)7t2－5t+2=0； 解：因为∆=(－5)2－4×7×2=－31＜0， 所以原方程没有实数根.
（3）当b2－4ac＜0时， b2 4ac 在实数范围内
没有意义， 因此方程没有实数根. 感悟新知： 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情 况由b2－4ac来确定，我们把b2－4ac叫做一元 二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式.通 常用符号“∆”来表示，即∆＝b2－4ac.
试一试：
1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的 根 A 的情况（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数） 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围 k＜ 1 是______.
3.方程(m－1)x2+2mx+m＝0有两个不相等的实数
b2－4ac≥0是二次根式的被开方数.
因为a≠0，所以 2 2 （1）当b －4ac＞0时， b 4ac 是正实数， 因此，方程有两个不相等的实数根：
2 b b 4ac b b 4ac x2 x1 2a 2a
2
（2）当b2－4ac＝0时， b2 4ac ＝0， 因此，方程有两个相等的实数根： b x1 x2 2a
2022年华师大版《一元二次方程根的判别式》公开课教案
【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解以下一元二次方程〔1〕x2+5x+6=0〔2〕9x2-6x+1=0〔3〕x2-2x+3=0解：〔1〕x1=-2,x2=-3〔2〕x1=x2=31〔3〕无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回忆已有知识. 二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示，即Δ=b2-4ac.我们回忆一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】〔1〕当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;〔2〕当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-ab2; 〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定以下方程的根的情况：解：〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕无实数根；〔4〕有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时，方程〔m+1〕x2-〔2m-3〕x+m+1=0, 〔1〕有两个不相等的实数根？〔2〕有两个相等的实数根？〔3〕没有实数根？解：〔1〕m＜41且m≠-1;〔2〕m=41;〔3〕m＞41.【教学说明】注意〔1〕中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解2-4x+4=0的根的情况是〔〕2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4〔1-m〕＜0,∴2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结〔1〕Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；〔2〕Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.〔3〕Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业〞局部.本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和开展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.第2课时 与面积相关的等可能事件的概率1．了解与面积有关的一类事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算；(重点) 2．能够运用与面积有关的概率解决实际问题．(难点)一、情境导入学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1〞“2〞“3〞“4〞表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，假设图①指针所指数字为奇数，那么甲获胜；假设图②指针所指数字为偶数，那么乙获胜；假设指针指向扇形的分界线，那么重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是多少？二、合作探究探究点一：与面积有关的概率如图，AB 、CD 是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为( )A.14B.15C.38D.23解析：根据题意，AB 、CD 是水平放置的轮盘上两条互相垂直的直径，即圆面被等分成4个面积相等的局部．分析图示可得阴影局部面积之和为圆面积的14，可知该小钢球最终停在阴影区域的概率为14.应选A.方法总结：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A ，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A 发生的概率．一儿童行走在如以下图的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影局部的概率是( )A.13B.12C.34D.23解析：观察这个图可知阴影区域(3块)的面积占总面积(9块)的13，故其概率为13.应选A.方法总结：当某一事件A 发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时，概率的计算方法是事件A 所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比，即P (A )＝事件A 所占图形面积总图形面积.概率的求法关键是要找准两点：(1)全部情况的总数；(2)符合条件的情况数目．二者的比值就是其发生的概率．探究点二：与面积有关的概率的应用如图，把一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A 、B 、C 、D 四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B 区域的概率为________．解析：∵一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A 、B 、C 、D 四个扇形区域，∴圆形转盘被等分成10份，其中B 区域占2份，∴P (落在B 区域)＝210＝15.故答案为15.三、板书设计1．与面积有关的等可能事件的概率 P (A )＝错误!2．与面积有关的概率的应用本课时所学习的内容多与实际相结合，因此教学过程中要引导学生展开丰富的联想，在日常生活中发现问题，并进行合理的整合归纳，选择适宜的数学方法来解决问题。
《一元二次方程的根的判别式》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (6)
一元二次方程的根的判别式一、素质教育目标〔一〕知识教学点：1．了解根的判别式的概念．2．能用判别式判别根的情况．〔二〕能力训练点：1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．2．进一步考察学生思维的全面性．〔三〕德育渗透点：1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．2．进一步渗透转化和分类的思想方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：会用判别式判定根的情况．2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕无实数根．〞3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．三、教学步骤〔一〕明确目标在前一节的“公式法〞局部已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac ＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．〔二〕整体感知在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac 为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比拟重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．〔三〕重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问〔1〕平方根的性质是什么？〔2〕解以下方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．问题〔1〕为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题〔2〕通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕用配方法将〔1〕当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．〔3〕当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△〞表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反之亦然．注意以下几个问题：〔1〕∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下〞的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．〔2〕当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕没有实数根〞比拟好．有时，也说“方程无解〞．这里的前提是“在实数范围内无解〞，也就是方程无实数根〞的意思．4．例1 不解方程，判别以下方程的根的情况：〔1〕2x2＋3x-4＝0；〔2〕16y2＋9＝24y；〔3〕5〔x2＋1〕-7x＝0．解：〔1〕∵△＝32-4×2×〔-4〕＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．〔2〕原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝〔-24〕2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．〔3〕原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝〔-7〕2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，〔1〕化方程为一般形式，确定a、b、c的值；〔2〕计算b2-4ac的值；〔3〕判别根的情况．强调两点：〔1〕只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．〔2〕判别根的情况，不必求出方程的根．练习．不解方程，判别以下方程根的情况：〔1〕3x2+4x-2=0；〔2〕2y2+5=6y；〔3〕4p〔p-1〕-3＝0；〔4〕〔x-2〕2＋2〔x-2〕-8＝0；学生板演、笔答、评价．〔4〕题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．又∵不管k取何实数，△≥0，∴原方程有两个实数根．教师板书，引导学生答复．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．练习：不解方程，判别以下方程根的情况．〔1〕a2x2-ax-1＝0〔a≠0〕；〔3〕〔2m2＋1〕x2－2mx＋1=0．学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．〔3〕解：△＝〔-2m〕2-4〔2m2＋1〕×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．∵不管m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴方程无实数解．由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．〔四〕总结、扩展〔1〕判别式的意义及一元二次方程根的情况．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△〞表示②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反之亦然．〔2〕通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．四、布置作业教材P．27中 A 1、2五、板书设计12．3 一元二次方程根的判别式〔一〕一、定义：……三、例………………二、一元二次方程的根的情况……练习：……〔1〕…………〔2〕……四、例……〔3〕…………有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程判别式
• 反过来方程ax2 +bx+c=0有两个实数根时b2-4ac＞0 • 有两个相等的根时b2-4ac=0 • 没有实数根时b2-4ac＜0 • 由此可见b2-4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所
以把它叫一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别 式。记作“△”读作“delta”
一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
=所1以-4×原方41×程1有=0两，
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
方程有两个不相
数根
等的根
一元二次方程判别式
一元二次方程判别式
课件制作 主 讲 余小芳
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
有什么关系？
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与b -24ac的 符号有会么关系？
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精讲提升、拓展延伸
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0
有两个实数根，求m的取值范围.
解：要使方程有两个实数根，需满
足 m00， ∴ [(2m 1)]2 4m m ，0
• 4m＋1≥0， ∴ m 1 ．
•
∴m的取值范围是
m
4
1且
4
m≠0．
达标检测、反馈巩固
4．如果关于x的方程 x 2 5x 没有实数根，则c的取值范围 c
c
25
4
0
。
扩5展:ห้องสมุดไป่ตู้关于x的方程(m2 2)x2 2(m 1)x 1 0 有实数根，求m的取值范围
解：（2）当m2 2 0,即m 2时原方程是一元二次方程，
2( m 1)2 4( m2 2 )1
4( m2 2m 1) 4m2 8 8m 12
1、讨论二次方程根的个数有什么决定？ 2、预习课本回答问题：
根的判别式的符号是什么？ 什么叫根的判别式？ 3、总结根的判别式与方程根的关系。
反馈展示、质疑释疑
一元二次方程 ax2 bx 的c 根 0有三种情况：
①有两个不相等的实数根；
②有两个相等的实数根；
③没有实数根．而根的情况，由
的值来确定．
一元二次方程根的判别式公开 课
导入新课、自学指导
1、用公式法求下列方程的根:
1)2x2 x 2 0
2) 1 x2 x 1 0 4
x1 1 417 x2 1 417
x1 x2 2
34)x2 x 1 0
无解
2、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有哪几种情况？
自主学习、合作探究
∴ 52 43 2 25 24 1 0
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝4，b＝－2，c＝ 1，
∴
22
4
4
1
4
4
4
0
4
∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式:
4y2 7y 4 0
• ∵a＝4，b＝7，c＝4，
• ∴ 72 4 4 4 49 64 0
Q 方程有实数根， 0，即8m 12 0 得：m 3 2
当m 3 且m 2时方程有实数根. 2
归纳小结
利用一元二次方程的根的判别式来解题的 一般步骤： 1.将方程化成ax2+bx+c=0的形式； 2.判断a的值是否为零； 3.若a≠0，则再考虑b2-4ac的取值.
b 2 4ac
因此
叫做一元二次方程的根的判别
式． b2 4ac
结论：
△>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．
例1 不解方程，判别下列方程的根的 情况：
13x2 5x 2;
2 4x2 2x 1 0;
4
34 y
2
1 y 0.
解：(1)∵a＝3，b＝-5，c＝2，
1.方程4x 2 3x 2 0的根的判别式 △＝___-2_3____，它的根的情况是 ___无__实__数_根_____．
2.已知方程 2x 2 mx 1 0 的判别
式的值是16，则m＝__2__3_．
3.方程 9x 2 (k 6)x k 1 0有两个相等 的实数根，则k＝_0_或_2_4__．