圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线中斜率乘积问题
为定值的问题
Prepared on 24 November 2020
经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题
温县第一高级中学数学组 任利民
问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是
3
4-
，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± .
问题2：椭圆22
143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之
积是
1234k k =-
.
探究：（1）已知椭圆22
221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于
A 、
B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2
2
b a -.
（2）已知椭圆22
221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的
点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2
2
b a -.
（3）已知椭圆22
221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --，椭圆上任意异
于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2
2
b a -.
结论1.设 A 、B 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是
该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则
2
122
b k k a =-．
探究：（3）设 A 、B 是双曲线22
221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，
点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值并给予证明．
结论2.设 A 、B 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点
P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，
则
2
122
b k k a =． 应用拓展：
1.设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>
,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与斜率之积为12
-，则椭圆的离心率为 .
解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2c e a ====.
2.椭圆C:22
143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜
率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是
A. 13[,]24
B. 33[,]84
C. 1[,1]2
D. 3
[,1]4
解析：因为122
2
34
PA PA b k k a ⋅=-
=-，所以123
4PA PA k k -
= ,∵2
[2,1]PA k ∈--
∴133
[,]84
PA k ∈,故选B.
3.如图2，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别为椭圆22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、
右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2
＝
7
25，则直线CD的斜率为．
解析：由已知可得2
122
7
cos cos2cos1
25
F BF OBF
∠=∠-=，所以
2
4
cos
5
b
OBF
a
∠==，所以
3
5
c
a
=，又因为
BD
b
k
c
=-，且
BD CD
k k⋅=
2
2
b
a
-，所以
2
2
CD
b b
k
c a
-⋅=-，即
4312
5525
CD
b c
k
a a
=⋅=⋅=．
3.已知椭圆
2
2
:1
2
x
C y
+=，点
125
,,,
M M M为其长
轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)
k k≠的一
组平行线，交椭圆C于点
1210
,,,
P P P,则这10条直线
1
AP,
210
,,
AP AP的斜率的乘积为1
32
-
.
P
10
P
9
P
8
P
7
P
6
P
5
P
4
P
3
P
2
P
1
y
x
B
A O