圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

合集下载

第6章斜率之积为定值一 wps

第6章斜率之积为22b a-2222222222b b b b b a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎧-⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧-⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎨-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎪⎩⎩中点弦椭圆中斜率之积斜率之积双曲线中斜率之积轨迹问题（一）斜率之积轨迹问题（二）斜率之积得应用与有关的定值问题（一）与有关的定值问题（二）本章主要探究圆锥曲线中两条相交直线的斜串之积为22b a -的等价条件,以及充分或必要条件。

6.1节聚焦于中点弦问题；6.2节阐述圆锥曲线斜率之积为22b a-这一问题；6.3节探索满足这一条件的点的轨迹方程。

读完本章，你会意识到其中的结论是多么方便实用，但我们却不希望这些结论仅仅只起到“结论”的作用，我们更希望引导你形成自主探索式的学习思维!6.1中点弦直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。

对于这个类型的题，首先设出弦的两端点然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。

【例6.1】 (2017全国1文 20改编)设A,B 为曲线2:4C x y =上两点,点A 与点B 的横坐标之和为4,则直线AB 的斜率为____【分析】由于点A 与点B 的横坐标之和为4,故求解直线AB 的斜率，只需代入点作差。

【解析】设()()1122,,?,A x y B x y ,因为A,B 是椭圆上两点，所以代入得22211212122244()4x y x x y y x y ⎧=⇒-=-⎨=⎩ 整理可得212121()()4y y x x x x -+=-，由题意212121()41()y y x x x x -+=⇒=-，可得直线AB 的斜率为1.故填1.【例 6.2】 (2018 全国Ⅲ 文理 20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A,B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >。

圆锥曲线中的一类定值问题

结论5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为_________.6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，且与直线:3l y x =+相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上点(2,1)A 作椭圆的弦AP ，AQ ，若AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，若MN 平行于l ，则OM ，ON 斜率之和是否为定值？7．已知A 、B 是双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O为坐标原点，射线OP 交椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点15,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求1C 的方程；（2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求ABQ ∆的面积；1122(,),(,x y B x y 也为定值.【答案】B【详解】由抛物线的定义知02pMF y =+，则00524p y y +=，解得02y p =，又点()01,M y 在抛物线C 上，代入2:2C x py =，得021py =，得01y =，12p =，所以()1,1M ，抛物线2:C x y =，因为斜率为k的直线l 过点()1,3Q -，所以l 的方程为()31y k x -=+，联立方程得()231y k x x y⎧-=+⎨=⎩，即230x kx k ---=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12123x x kx x k +=⎧⎨=--⎩，则直线AM 的斜率2111111AMx k x x -==+-，直线BM 的斜率2222111BM x k x x -==+-，()()121212111312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-.2．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【详解】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为y =±34x ，直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图，所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -==…………(2)，由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=.3．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（） A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】A【详解】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-，由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ，解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+- 1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120my my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++，代入（*）得121293433y y x y y -+==-， 14yk x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.4．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线于AB 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M 、N ，记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则12k k =________．【答案】2【详解】()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，则3411223412y y k x x k x x y y --=⋅--2212342234124444y y y y y y y y --=⨯--1234y y y y +=+，设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得2440y ny --=，∴134y y =-，同理可得424y y =-，有112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+，设直线AB 的方程为2x my =+，代入24y x =，整理得2480y my --=，∴128y y =-，∴11228244k y y k -===--.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为_________.【答案】12-【详解】设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，∴12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，∴椭圆的离心率22c e a ==，∴2a c =，又222a b c =+，∴22a b c ==，∴椭圆的方程可化为22222x y b +=， ∴直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，∴2221122x y b +=，2222222x y b +=，作差得()()2222121220x x y y -+-=，即()()222212122x x y y -=--，∴12121212122122221212y y y y y x y k k x x x x x -+=⋅-=--=-+， 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，且与直线:3l y x =+相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上点(2,1)A 作椭圆的弦AP ，AQ ，若AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，若MN 平行于l ，则OM ，ON 斜率之和是否为定值？【答案】（1）22163x y +=（2）OM ，ON 斜率之和是为定值0.【解析】（1）根据题意知,222222112b a c e a a -==-=，即222a b =，由2222312y x x y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得223121820x x b ++-=，因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线:3l y x =+相切，所以判断式()2144431820b ∆=-⨯-=，解得23b =，则26a =，所以椭圆的标准方程为22163x y +=. （2）因为AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，直线MN 平行于l ，所以1Q MN P K K ==，2也为定值.。

经典：斜率乘积为定值问题

2.热身练习
(数学之友P40第3题）
推广：
1 3
椭圆 k1 • k2=
b2 a2
双曲线 k1 • k2=
b2 a2
圆 k1 • k2= 1
3.例题讲解
例题1
(数学之友P46第5题）
一般结论：过椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1一点定p(x0 ,
y0 )
的直线l1, l2分别交椭圆与A，B。若kl1 kl2 = m
斜率乘积为定值问题
1.回归课本
选修2-1 P39第4题
在 A B C 中， B （ 6， 0）， C （ 6， 0）直线 AB， AC 的斜率乘积为 9 4，求顶点 A 的轨迹方程。
变式1
：9改为-9
4
4
变式2 ： 9 4改为m （m0)
变式3：乘积改为差 (教材2-1 P59）抛物线
(ⅱ) y1y2 2
(
x1x2 )2 2
x12 2
x22 2
(1
y12)(1
y22)
1 (y12 y22) y12y22，故y12 y22 1.
又( x12 2
y12
)
(
x22 2
y22)
2，故x12
x22
2.
所以OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 3.
评析：本题第(1)问主要考查椭圆及圆的几何性质的应用；第(2)问是定值问题，切入的关键在于设三点A， B，M的坐标，通过向量条件及三点在椭圆上，寻求出三来自坐标间的关系，从而使问题获解。
2
ⅰ( )设
A
(
x1，
y1

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(原卷版)

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。

三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。

四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。

圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题--沈烨

含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
题型二斜率之和为定值
消y
x1 x2 , x1x2型
探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1x2型
探究实践、拓展提升
求出坐标隐含条件
探究实践、拓展提升
隐含条件消y
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
题型一斜率之积为定值
消x or y
y1 y2 , y1 y2型
韦达定理整体代入
设
而
特殊
不求
到整
一体
般代
入
题型一斜率之积为定值合理选择直线的设法可避免分类讨论，简化运算
题型一斜率之积为定值
消y后整体消除
题型二斜率之和为定值
x1 x2 , x1x2型
消y
定值问题常用方法：一般是在一些动态的事物（如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中寻求不变量. （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
3.做好这类题还需要什么？
探究实践、拓展提升
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
容
月
容
月
容
月
容
填空21 离心率选15 离心率选14 离心率选14 离心率
解答24
直线与填19 椭圆位置关系
（面积）
抛物线填20 性质
椭圆性填20 质
双曲线性质
解答24
直线与椭圆位置关系
（斜率之和）
解答24
直线与解答24 抛物线位置关系（斜率之积）

圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题

圆锥曲线题型技巧---斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
2
2
中，椭圆 2 + 2 = 1( >
> 0)的右焦点为
(1，0)，离心率为
2．分别过
2
，
的两条弦，相交于点（异于，两点），且 = ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．
2
【答案】(1) +
2 = 1;(2)详见解析.
,
④
同理由③得
y2 1 x2 2
4
x2 2
y2 1
,
⑤
由①④⑤得
x1 2
4 y1 1
x2 2
4 y2 1
0
,
化简得 x1y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑥
由①得 x1 y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑦
4 − 1)
= ⋅ 2( 1 2− 3 4)−( 1+ 2)+( 3+ 4)13 分
( 1− 3)( 2− 4)
= 0． 16 分
=
⋅ 2( 2
−2 2+
1
−
2( 2
( 1−
2 2
− +
1) 1
)
−
0
+
2
3)( 2 − 4)
4
2
2
+1
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
4k 2 1
x2 8kbx 4b2 8 0 ,
(**)
82
则
x1

圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 ppt课件

ppt课件
8
主要方法：设而不求整体代入
设而不求-----多个变量
整体代入-----减少变量
关键是消元
含x与y的式子统一消元为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
ppt课件
9
题型二斜率之和为定值
消y
ppt课件
7
定值问题常用方法：一般是在一些动态的事物（如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中寻求不变量.
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值
设而不求思想：
在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题目本身的特点，将未知数消去或代换，使问题的解决变得简捷。
消y
x1 x2 , x1x2型
ppt课件
10
探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1x2型
ppt课件
11
探究实践、拓展提升
求出坐标
隐含条件
ppt课件
12
探究实践、拓展提升
隐含条件消y
ppt课件
13
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
3.做好这类题还需要什么？
容
月
容
月
容
月
容
填空21 离心率选15 离心率选14 离心率选14 离心率
解答24
直线与填19 椭圆位置关系
（面积）
抛物线填20 性质
椭圆性填20 质

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10)---圆锥曲线中的定值定点问题1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.2.已知椭圆C ：22221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.<圆锥曲线中的定值定点问题>答案1.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.32c e a ==．从而四边形ABNM 的面积为定值．【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.3.解：（1）1::2:2c e a b c a ==⇒=，设左焦点()1,0F c -1PF ∴==，解得1c =2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D设()()1122,,,A x y B x y ，以AB 为直径的圆过()2,0D DA DB ∴⊥即DA DB ⊥ 0DA DB ∴⋅=()()11222,,2,DA x y DB x y =-=-()()()121212*********DA DB x x y y x x x x y y ∴⋅=--+=-+++= ①联立直线与椭圆方程：223412y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()()222348430k x mkx m +++-= ()2121222438,4343m mk x x x x k k -∴+=-=++ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m ∴=++=+++()22222222438312434343k m mk mk m k m k k k -⋅-=-+=+++，代入到① ()222222438312240434343m mk m k DA DB k k k --⋅=+⋅++=+++ 22222412161612312043m mk k m k k -++++-∴=+ ()()22716407220m mk k m k m k ∴++=⇒++=27m k ∴=-或2m k =- 当27m k =-时，22:77l y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ l ∴恒过2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭当2m k =-时，():22l y kx k k x =-=- l ∴恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l∴恒过2,0 7⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

2019届高三斜率乘积为定值的问题探究

ON // PB,PA PB ．
法三：设 P(s,t) ，则 C(s,0)
A(s, t) ， kAP

t s
， kAB
kAC

0t ss

t 2s
，即 kAP
2kAB ,
k1.k2=
.
问题 2．（类比迁移 1）点 P 是椭圆上 x2 y2 1上异于长轴端点以外的任一点，A、B 是该椭圆长轴的两个端点， 43
直线 PA,PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2=
.
问题
3.（引申拓展 1）求证：椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)
长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连
KABKPB=
b2 a2
=
1 2
．
图3
第1页共5页
法一：由题意设 P(x0, y0 ), A(x0, y0 ), B(x1, y1), 则C(x0, 0) ，
A、C、B 三点共线， y1 y0 y1 y0 , x1 x0 2x0 x1 x0
又因为点
P、B
在椭圆上， x02 y02 1, x12 y12 1 42 42
．
3.（2016
如东月考）已知椭圆 C
:
x2 2

y2
1
，点
M1, M 2 ,
, M5 为其长轴 AB 的 6
等分点，分别过这五点作斜率为 k(k 0) 的一组平行线，交椭圆 C 于点 P1, P2 , , P10 ,则
这 10 条直线 AP1 , AP2 , , AP10 的斜率的乘积为
1 32
求证：PA⊥PB．

圆锥曲线之定值定点问题经典例题+题型归纳+解析

又
y1
−
y2
=
k(x1
+
x2
−
4)
=−
8k 1 + 4k2
，
所以直线
PQ
பைடு நூலகம்的斜率
kPQ
=
y1−y2 x1 − x2
=
1 2
，所以直线
PQ
的斜率为定值
，该值为
21 .
方法二设直线 PQ 的方程为 y = kx + b，
点
P(x1,y1),Q(x2,y2)
则
y1
=
kx1
+
b,y2
=
kx2
+
b，所以
kPA
二、例题精讲
题型一: 斜率为定值
例1.
已知椭圆
C
： xa22
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
的离心率为
3 2
，且过点
A(2,1)．若
P
，Q
是椭圆
C
上的两个动
点，且使 ∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若
不是，请说明理由．
【解析】方法一：因为椭圆
由
y = kx +
x2 8
+
y2 2
b =
1
得（1
+
4k2)x2
+
8kbx
+
4b2
−
8
=
0
②则
x1
+
x2
=−
8kb 1 + 4k2

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是34-，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠±问题2：椭圆22143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,A B -的连线的斜率之积是1234k k =-探究：（1）已知椭圆22221x y a b+=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 22b a -.（2）已知椭圆22221x y a b+=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 22b a -.（3）已知椭圆22221x y a b+=上两定点00(,),A x y ，椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的00(,)B x y --斜率之积是22 ba -.结论1.设A、B是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则2122bk ka=-．探究：设A、B是双曲线22221(0)x ya ba b-=>>上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．结论2.设A、B是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则2122bk ka=．应用拓展：1.设椭圆的左、右顶点分别为,A B，点P在椭圆上且异于,A B两点，若直线AP与BP的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为.解析：利用k AP·k BP＝22ba -，22221(0)x ya b a b+=>>可以得到2c e a ====.2.椭圆C:22143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是A. 13[,]24B. 33[,]84C. 1[,1]2D. 3[,1]4解析：因为122234PA PA b k k a ⋅=-=-，所以1234PA PA k k -= ,∵2[2,1]PA k ∈--,∴133[,]84PA k ∈,故选B.3.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为．22221(0)x y a b a b+=>>解析：由已知可得21227cos cos 2cos 125F BF OBF ∠=∠-=，所以24cos 5b OBF a ∠==，所以35c a =，又因为BD bk c=-，且BD CDk k ⋅=22b a-，所以22CD b b k c a-⋅=-，即43125525CD b c k a a =⋅=⋅=．3.已知椭圆22:12x C y +=，点125,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P ,则这10条直线1AP ,210,,AP AP 的斜率的乘积为132-.。

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版)

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.题型一：定值问题解答圆锥曲线定值问题的策略：1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法是“方程铺路、参数搭桥”，解题的关键是对问题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，恰当引参，巧妙化归.2、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关，即特殊到一般的思想.1、两点间的距离为定值例1：（2021·广东中山市高三期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x y a b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 解题思路：设动点()00,P x y ，由题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可.2、求某一代数式为定值例2：（2021·全国高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，离心率2e =，焦距为4. （1）求双曲线C 的方程；（2）设M 是双曲线C 上任意一点，且M 在第一象限，直线MA 与MF 的倾斜角分别为1α，2α，求122αα+的值.【答案】（1）2213y x -=；（2）π. 【详解】（1）由242c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，得12a c =⎧⎨=⎩，所以2223b c a =-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）由（1）知双曲线C 的方程为2213y x -=，所以左顶点()1,0A -，右焦点()2,0F .设()()0000,0,0M x y x y >>，则22013y x -=.当02x =时，03y =，此时1MA k =，1π4α=，2π2α=，所以122παα+=；当02x ≠，010tan 1MA y k x α==+，020tan 2MF yk x α==-.因为()220031y x =-，所以()()()()()00000001222220000000221211tan 22113111y x y x y x y x x y x x y x α+++-====-+-+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭，又由点M 在第一象限，易知1π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πα∈，所以122παα+=. 综上，122αα+的值为π.解题思路：利用点在双曲线上，满足22013y x -=，利用整体代换思想求出1tan 2α和2tan α相反.例3：（2021·安徽安庆市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆左焦点F 的直线0x -+=与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA ､MB 交椭圆分别于A ､B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证∶直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）直线0x -+=过左焦点F ，所以()F ，c =又由124OMF M S y ∆==可知1=2M y从而椭圆经过点12M ⎫⎪⎭由椭圆定义知1242a =+=，即2a = 故椭圆的方程为22:14x C y +=.（2）由条件知，直线MA MB 、斜率存在，且两直线斜率互为相反数，设直线(12MA y k x -=：交椭圆于点()11,A x y ，直线(12MB y k x -=--：交椭圆于点()22,B x y ，由(221244y k x x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得()()22224141230k x k x k +-++--=1=1x =，112y =+故1)2A +，同理可得221)2B +，k ===即证直线AB. 解题思路：将直线(12MA y k x -=：与椭圆方程联立求出交点221)2A +的坐标，再将A 中的k 用k -替换，即可求出B 点坐标，，再利用斜率公式，化简，即可.例4.（2021·河南高三月考（理））已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34-，记动点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒. ①求证：点P 在定直线上；②求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）解：由题意，得()32224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简，得()221243x y x +=≠±，所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点. （2）证明：①由题设知，直线MA ，NB 的斜率存在且均不为0. 设直线AM 的方程为()20x ty t =-≠，由AM AN ⊥，可知直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t=--.由2212,{3412,x y t x y =--+=得()2243120t y ty ++=，解得21243N ty t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线NB 的斜率为222120343684243NBtt k t tt --+==--+，则直线BN 的方程为()324y x t =-，将()324y x t=-代入2x ty =-，解得14x =-，故点P 在直线14x =-上.②由（1），得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，所以3394416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.结合1NA MA k k ⋅=-，得916MB NB k k ⋅=-为定值.即直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.解题思路：①设直线AM 的方程，由AM AN ⊥，可得直线AN 方程，与椭圆联立可求点N 坐标，进而可求得直线BN 方程，与AM 联立即可得证点P 在定直线上；②由（1）得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，又AM AN ⊥，进而可得直线NB与直线MB 的斜率之积.例5、（2021·江苏南通市高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMBAMNS S △△为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）53. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22911,214c a a b +==，又222a b c =+，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，因为点M 为线段OA 的中点，所以11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，因为B ，M ，N 三点共线，所以BN BM λ=，所以()()3123121,122x x x y y y λλλλ=+-=+-，又因为A ，B 点在椭圆上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又因为直线OA ，OB 的斜率之积为34-，所以1212340x x y y +=，因为点N 在椭圆上，所以2233143x y +=，即()()()()()12122222221122341341482261x y x y x x y y λλλλ++-+-+=+，所以()22114λλ+-=，解得85λ=，所以85BN BM =,则53BM MN =，所以152132BOMB B AMNN N OM d BM Sd Sd MN AM d ⋅⋅====⋅⋅为定值.解题思路：设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，根据M 为线段OA 的中点和B ，M ，N 三点共线，由BN BM λ=，表示点N 的坐标，再根据A ，B ，N 在椭圆上，结合直线OA ，OB 的斜率之积为34-，求得λ，从而得到BM 与MN 的比值，然后由1212BOMB B AMNN N OM d BM S dSd MN AM d ⋅⋅===⋅⋅求解. 例6、（2021·山东泰安市高三期末）已知椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为)(2,0A -，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过橢圆C 的右焦点F 作斜率为)(0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与直线2b x c=交于点P ，Q ，则FP FQ ⋅是否为定值？请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，94-. 【详解】（1）∵2a =，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上，∵219144b +=，∵23b =，∵椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）是定值94-，理由如下：设)(11,M x y ，)(22,N x y ，直线l 的方程为)()(10y k x k =-≠，由)(221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得)(22224384120k x k x k +-+-=，∵2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，则11322P y y x =++，∵)(111151522P k x y y x x -==++，同理可得)(22512Q k x y x -=+，∵)(11512,2k x FP x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝，)(22512,2k x FQ x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝， ∵)()()()()()(212121221212122511144252224k x x x x x x FP FQ kx x x x x x ---++⋅=+=++++++222222222412819434342541216444343k k k k k k k k k --+++=+=--++++，∵FP FQ ⋅为定值94-．解题思路：设直线l 的方程，与椭圆方程联立，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，由三点共线可得P y ，Q y ，结合韦达定理坐标表示FP FQ ⋅可得.3、求某一个量为定值例7、（2021·江苏盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值.【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故C 的标准方程为22195x y +=. （2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，由010133TA PA y yk k x x =⇒=++'①， 020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-，所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+.所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③ 由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，（直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率）代入22195x y +=整理，得22(902)5250m y my ++-=，把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=解得092x =. 所以点T 横坐标为定值92. 解题思路：设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据TA PA k k =，TB QB k k =可得0126123333x y x x x y --=⋅++，根据11(,)P x y 在椭圆C 上，代入方程化简整理可得0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---，设直线PQ 的方程为2x my =+，与椭圆C 联立，得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,y y y y +⋅的表达式，代入上式即可.例8、（2021·湖北武汉市高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，43PD BD ==. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AP ，AQ 和直线l ：x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）29t =-或103t =.【详解】（Ⅰ）由43BD =，得24233a =+=，故C 的方程为22214x y b+=，此时24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.代入方程2116199b +=，解得22b =，故C 的标准方程为22142x y +=. （Ⅱ）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立.得()224322039m m y y ++-=.设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()()1221224323292m y y m y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.①此时直线AP 方程为11(2)2y yxx ，与x t =联立.得点11(2),2t y M t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理，点22(2),2t y N t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.由MD ND ⊥，1MD ND k k ⋅=-.即()()1212(2)(2)1222233t y t y t x t x ++⋅=-⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以221212288(2)0333t y y t my my ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()2221212122864(2)0339m t y y t m y y y y ⎛⎫⎡⎤++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 将①代入得：()()()222222232(2)2323264039929292t m m t m m m ⎡⎤-+-⎛⎫⎢⎥+--+= ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 化简得：()22222232(2)323264203t t m m m ⎛⎫⎡⎤-++---++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 即222(2)403t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.2223t t ⎛⎫+=±- ⎪⎝⎭.解得29t =-或103t =.解题思路：设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理得1212,y y y y +，再联立AP 方程得M 同理得N 坐标，结合MD ND ⊥恒成立得1MD ND k k ⋅=-，化简计算可得参数t 值.例9、（2021·陕西榆林市高三一模（理））已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)C x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且1AB =.（1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F 为圆心，F 交于M ，N 两点，求证：MN 为定值.【答案】（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a可得焦点(，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p =①，由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得22214p x a +=，解得x =，所以1AB ==②，由①②可得：24a =，p =所以椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F的方程为：22(5+-=x y ，所以直线MN的方程为：(10+--=mx n y ，设点F 到直线MN 的距离为d ，则2d ====.||2MN ==. 所以MN 为定值.解题思路：设(,)P m n ，则2214+=n m ，写出圆P 和圆F 的方程，两个圆的方程相减可得直线MN 的方程，计算点F 到直线MN 的距离为d ，再利用||MN =.题型二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题解答圆锥曲线的定点问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.1、直线过定点问题例10、（2020·江西吉安市高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎭，且离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =所以22221b e a =-=⎝⎭，即224a b =，又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点12P ⎫⎪⎭，代入椭圆方程可得223114a b +=，联立方程组可得222231144a b a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+， 122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，AQ BQ k k +===，即()()1221kx m x kx m x ⎛⎛+++ ⎝⎭⎝⎭()121220kx x m x x ⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭得()()22244814033k m km m m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得m =，直线l 的方程为(y k x =-，所以，直线l 恒过定点).解题思路：设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，又因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，将韦达定理代入得出答案.例11、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=，即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解题思路：设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点.例12、（2021·山东德州市高三期末）已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=，所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线，所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mk km k m k k --+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）.解题思路：先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）."设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.2、动点在定直线上的问题例13、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【详解】解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92，所以()212922b ac a +⋅= 解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=. 显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--，联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+，代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++，解得4,x =故点M 在定直线4x =上.解题思路：设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线BO 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.例14、（2021·福建高三模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，12P ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于AB 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T .求证：点T 恒在一定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为点1,24P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，所以222141a b ⎝⎭+=，又12c e a ==，222a b c =+，所以24a =，23b =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(10x ≠，20x ≠).()222214388034120y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩， 122843kx x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +=. 1122::AEBFy l y x x y l y x x ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(10x ≠，20x ≠) 11111y kx x x +====，故1y ⎤=⎥⎦2kx x xx x x +++-=3x x x x +-=3=故点T 恒在一定直线3y =上.解题思路：设出直线1y kx =+，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理求出,AE BF 的直线方程，联立求出交点纵坐标为3，进而可得结果.3、圆过定点问题例14、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，证明见解析，定点为(1,0),(1,0)-. 【详解】解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =，椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=，解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--. 在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.解题思路：设00(,)P x y ，设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，与椭圆方程联立由0∆=，求出切线的斜率0034x k y =-，得出切线方程000334x x y y y =-+，由条件求出12,B B 坐标，在x 轴上取点(),0M t ，由120MB MB ⋅=得出答案.【巩固训练】1、（2020·广东高三一模）已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．【答案】（1）22163x y +=，离心率为2；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题设，得22411a b+== 由①②解得26a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=，椭圆C 的离心率为2c e a ===．（2）直线AB 的斜率为定值1.证明：设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，记11(,)A x y ，22(,)B x y ．设直线PA 的方程为1(2)y k x +=+，与椭圆C 的方程联立，并消去y 得()()222212848840k x k k x k k ++-+--=，则2-，1x 是该方程的两根，则212884212k k x k ---=+，即21244212k k x k-++=+．设直线PB 的方程为1(2)y k x +=-+，同理得22244212k k x k --+=+．因为()1112y k x +=+，()2212y k x +=-+，所以()()()212121212121228224121812ABkk x k x k x x y y k k k x x x x x x k +++++-+=====---+，因此直线AB 的斜率为定值．2、（2021·山西阳泉市高三期末（理））已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）12S S +是否为定值，为54π．证明过程见解析．【详解】（1）设(,)D x y ，则有(,2)P x y ，又P 在已知不上，∴2244x y +=，所以曲线E 的方程为2214x y +=；（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x ktx t +++-=，2222644(14)(44)0k t k t ∆=-+->， ∴122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+， 111y k x =，222y k x =，∵1k ､k ､2k 成等比数列，∴2121212y y k k k x x ==，∴2221212121212()()()kx t kx t k x x kt x x t k x x x x +++++==，212()0kt x x t ++=，又0t ≠，∴12()0k x x t ++=，228014k tt k -+=+，解得12k =±．1228414kt x x kt k +=-=-+，22122442214t x x t k-==-+， 22222222121212()2162(22)4444x x x x x x k t t t t +=+-=--=-+=，22222222121122()()2244OM ON S S OM ON x y x y ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222222222211221212124()()4()2()2x y x y kx t kx t k x x kt x x t +++=++++=+++++222244825k k t t =+-+=，∴1254S S π+=为定值． 3、（2021·湖北宜昌市高三期末）已知点A 、B坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-．（1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P 的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上，由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，()12422m y m -=+，()22422m y m +=+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+2222(4)3)2222x x m m my my +-+++==++ ∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-.4、（2021·安徽池州市高三期末（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点、右焦点分别为A ，F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，直线AD ，AE 斜率分别为1k ，2k ，证明：12kk kk +为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意可得2222222312112a b c a a b c ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可知()1,0F ，则直线l 的方程为()1y k x =-.联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=.设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，所以()()1212121212112222k x k x y yk k x x x x --+=+=+++++12331122k x x ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭()()()()()12121212123434222224x x x x k k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=-=-⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦2222228344324128244343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222223816122412161612k k k k k k ⎡⎤++⎢⎥=--+++⎢⎥⎣⎦ 222112k k k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以1211kk kk k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭（定值）.5、（2021·安徽蚌埠市高三二模（理））已知圆()22:224E x y ++=，动圆N 过点()2,0F 且与圆E 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个动点，且OP OQ ⊥，记PQ 中点为M ，OP OQ t OM ⋅=，证明：t 为定值.【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）点()2,0F 在圆()22:224E x y ++=内，∴圆N 内切于圆E，∴NE NF EF +=>，所以N 点轨迹是以E ，F为焦点的椭圆，且a =2c =，从而b =故点N 的轨迹C 的方程为：22162x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，联立22162y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222136360k x kmx m +++-=，122613km x x k -+=+，21223613m x x k-=+ 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，即12220x x y y +=.化简得：()()22121210k x x km x x m ++++=，即()22222366101313m km k km m k k--+⋅+⋅+=++，从而，222330m k --=，①因为OP OQ ⊥，且M 为PQ 中点，所以2PQ OM =，在直角ABC 中，记原点O 到直线PQ 的距离为d ，则2OP OQ d PQ d OM ⋅==，由①知，原点O 到直线l的距离为d ===所以t.若直线PQ 斜率不存在，设直线PQ 方程为x n =，联立22162x n x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得p n ⎛ ⎝，,n ⎛ ⎝ 由OP OQ ⊥得n =t = 综上，t.6、（2021·江苏无锡市高三月考）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）(4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析.【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-可得22411a b +=且2c e a ==，又由222c a b =-，解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,x y ==当5,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；当5,,(1,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；所以直线MN的方程为4)y x =-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+，设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=，所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-，又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---，交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.7、（2021·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =，设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，，从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，，所以()111x x m λ=-，从而111xm x λ=-，同理222xm x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 8、（2020·湖北高三月考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若平面上一点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7. （1）求抛物线C 的方程；（2）又已知点P 为抛物线C 上任一点，直线PA 交抛物线C 于另一点M ，过M 作斜率为43k =的直线MN 交抛物线C 于另一点N ，连接.PN 问直线PN 是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）过定点，1,34⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】(1)由已知，定点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7.272p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4p =，即抛物线的方程28y x =(2)设11(,)P x y ，22(,)M x y ，33(,)N x y ，则121211212222888PM y y y y k y y x x y y ++=-=+=-，同理：238MNk y y =+，138PN k y y =+，由23843MN k y y ==+知：236y y +=，即236y y =- ① 直线11128:()PM y y x x y y -=-+，即1212()8y y y y y x +-=过(2,3)A 求得1211633y y y -=- ② 同理求直线PN 方程1313()8y y y y y x +-= ③ 由①②得13133()2y y y y =+- 代入③得1313()3()28y y y y y x +-++=13()(3)280y y y x +-+-=故3y =且280x -=时，直线PN 恒过点1,34⎛⎫⎪⎝⎭. 9、（2021·北京高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上. ②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120kx k x k+-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+. 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162=+y y x . 直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-. 所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦. ()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦ ()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭. 所以点Q 在直线4x =上.10、（2021·安徽高三月考（理））已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点．（ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率；（ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）12-；（ii ）证明见解析．【详解】解：（1）由题意得：222221a b c ba ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2,1,a b c ===得椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=。

圆锥曲线定值,定点

过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。

数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。

当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。

例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。

解题的方法步骤为：（1）平移直线；（2）联立方程并齐次化；（3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。

优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。

一．构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线２ｐ（ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。

微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)

微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
析典例 ·举题破难
第3页
栏目导航
高考总复习一轮复习导学案 ·数学
微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
若 AB 是圆 O：x2＋y2＝r2 的直径，P 是圆 O 上一点，且 PA，PB 都存在非
零斜率 kPA，kPB，则 kPA·kPB＝－1；若 M 是 AB 的中点，且 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB·kOM＝－1.
通过类比得到如下结论：AB 是过椭圆xa22＋by22＝1(a>0，b>0)中心的弦，P 是椭圆上任意一点，且 PA，PB 都存在非零斜率 kPA，kPB，则 kPA·kPB＝__－__ba_22___；若 M 是 AB 的中点，且 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB·kOM＝__－__ba_22___.(填空并证明此
所以 P23，43，A－23，－43，所以 C23，0，则直线 AC 的斜率为 1，故直线 AB 的方
程为
x－y－23＝0，所以点
P
到直线
AB
的距离为
d＝23－143＋－123＝2
3
2 .
第10页
栏目导航
高考总复习一轮复习导学案 ·数学
微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
y1
＋
y2
＝
0
，
y1y2
＝
－
36 7
，
x1
＋
x2
＝
0
，
x1x2
＝
－
4×
36 7
.
由
kPA·kPB
＝
y0－y1 x0－x1

2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题

2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。

关键词：斜率之积定值数学运算一、斜率之积问题的课本溯源：普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修 2-1) 人教 A版的探究题：点的坐标分别是直线相交于点 , 且它们的斜率之积是 , 试求点的轨迹方程, 并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。

思考1 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？思考2 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？思考3 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。

斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。

下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。

二、模拟题中的问题呈现及变式探究（2020年青岛二模节选）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为 .1.求椭圆的标准方程；2.若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为证明： .解析：（1）椭圆方程为，过程略。

（2）设 ,则．设由点在椭圆上，得:① ，②两式相减并整理，得即模拟题的解题溯源：椭圆 (a＞b＞0)上任一动点 P( x，y)到椭圆任意一条直径(过椭圆中心的弦)的两个端点的斜率乘积等于多少?解：设椭圆 (a＞b＞0)的任意一条直径为 ,∵是直径∴点关于原点称．设 ,则．由点在椭圆上，得:① ②两式相减并整理，得即点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。

斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究
【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求” 、 “整体代换”在简化运算中作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学过程】
一．基础知识、基本方法梳理
问题 1．已知 AB 是圆 O 的直径，点 P 是圆 O 上异于 A，B 的两点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1.k2= .
y
长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为
y
A
P
b2 ． a2
o
Bx
x2 y 2 1(a b 0) 上关于原点对称的两点，点 P a 2 b2 是该椭圆上不同于 A，B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2 是否为定值？并给予证明．
第 2 页共 13 页
kCD
b c 4 3 12 ． a a 5 5 25
x2 y2 1 ，点 2
3.（ 2016 如东月考）已知椭圆 C :
分别过这五点作斜率为 M 1 , M 2 , , M 5 为其长轴 AB 的 6 等分点，
k (k 0) 的一组平行线，交椭圆 C 于点 P 1, P 2 , , P 10 ,则这 10 条
x2 y2 1， 4 2
过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k，对任意 k 0 ，求证：PA⊥PB．分析：可以转化为证明 KPAKPB=-1，注意到 KABKPB=
x2 y 2 1 联立 4 ，消去 y ，得 (1 2k 2 ) x 2 4kmx 2m 2 4 0 ， 2 y kx m 因为 2m 2 2k 2 1 ， m 0 ，所以 (4km) 2 4(1 2k 2 )(2m 2 4) 0 恒成立，

圆锥曲线中直线斜率乘积为定值的问题

教学设计
=，为定
2
a
-
2
a
椭圆性质3：
过原点的
A 、
B 两点，P 为椭圆上的任一点，连接AP 、BP ，证明：
2
2AB OP
b k k a
=-，，为定值.
三、类比
提出问题：双曲线中是否有类似的结论？双曲线性质1：
不平行于坐标轴的直线l 与椭
圆22
221(a 0,b 0)x y a b
-=>>相
交于A 、B 两点，P 为弦AB 中点，证明：2
2AB OP
b k k a
=，为定值
双曲线性质2：
不平行于坐标轴的直线l 与椭
圆22
221(a 0,b 0)x y a b
-=>>相
切与点P ，连接OP ，证明：
2
2l OP
b k k a
=，为定值。

双曲线性质3：
过原点的直线l 与椭圆
22
22
1(a 0,b 0)x y a b -=>>相交于A 、B 两点，P 为椭圆上的任一点，连接AP 、BP ，证明：
2
2HG GI
b k k a
=，为定值.
类比椭圆的性质，猜想论证双曲线的性质 1、
2、
3、
让学生感受圆锥曲线的统一性
-
m
2：
-
m
l过圆心
-
m
真题一：（2015。

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：1.椭圆方程中有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-2.双曲线方程中有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=，即2020ABb x K a y =。

(2)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,A A 为双曲线的实轴顶点，P 点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a= (3)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,B B 为双曲线的虚轴端点，P 点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有1222PB PB b K K a= (4) 双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a= 典型例题：例1．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.例2.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（）A. 12⎛ ⎝⎭B. ⎝⎭C. 14⎛ ⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭例3.设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A.51B.22C.54D.23例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ，2F ，12F F =，经过点1F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，△2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为1k ，2k （10k ≠，20k ≠）的两条直线分别与椭圆C 相交于异于点Q 的M ，N 两点.若M ，N 关于坐标原点对称，求12k k 的值巩固提升：1．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4， A ， B 是其长轴顶点， M 是椭圆上异于A ， B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若动点R 在直线6x =上，直线AR ， BR 分别交椭圆C 于P ， Q 两点.请问：直线PQ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2.如图,设点,A B 的坐标分别为()),,直线,AP BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为23-．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ,点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点,且满足//,//AP OM BP ON ,求证：MON ∆的面积为定值．3．已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为25，离心率为32，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线1y k x=与直线2y k x=为圆E的两条切线．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：12*k k是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的离心率为12，右准线的方程为4,x=1,F2F分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过(,0)T t()t a>作斜率为k(0)k<的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且12//F M F N，设直线AM，BN的斜率分别为1,k2k，求12k k⋅的值．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1M 在椭圆上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A ､B 为椭圆上不同的两点．①设线段AB 的中点为点T ，证明：直线AB ､OT 的斜率之积为定值；②若A ､B 两点满足()0OA OB OM λλ+=≠，当OAB ∆的面积最大时，求λ的值．6．已知椭圆E ：，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．若，点K 在椭圆E 上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；若l 过点，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．2229(0)x y m m +=>()13m =1F 2F 12KF KF ⋅()2()3,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散引例1:设点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第40页例3）拓展研究：动点M 与两定点()()00,a B ,,a A -连线斜率之积为()022>>-b a ab ，则动点M 的轨迹方程为_____________.引例2:设ABC ∆的两顶点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，且直线BC ,AC 的斜率之积为()0m m ≠，试探究顶点C 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第80页复习参考题第10题）变式探究：对m k k BC AC =∙()0≠m 进行了探究，那么()，0≠=m m k k BCAC ()，0≠=+m m k k BC AC ()0≠=-m m k k BC AC 应用举例：设点B ,A 的坐标为()()0101,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，求满足下列条件点M 的轨迹方程。

⑴2=BM AM k k ⑵2=+BM AM k k ⑶2=-BM AM k k 反馈练习：1、已知椭圆C :1222=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为（）.A 161-.B 321-.C 641.D 10241-2、设双曲线116922=-x y :C 与函数3x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在双曲线C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]23--,，那么直线1PA 斜率的取值范围是.3、在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于N ,M 两点,M 在x 轴的上方,直线AM 与圆O 的另一交点为P ,直线AN 与圆O 的另一交点为Q ,⑴若AM AP 3=,求直线AM 的斜率;⑵设AMN ∆与APQ ∆的面积分别为21S S ，,求21S S 的最大值.变式：在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于C ,B 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-056，D ．设直线AC ,AB 的斜率分别为21k ,k ．（1）求21k k ∙的值；（2）记直线BC ,PQ 的斜率分别为BC PQ k ,k ，是否存在常数λ，使得BC PQ k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．引例3：已知椭圆191222=+y x ，点()12，P 为椭圆内一点，是否存在以点P 为中点的所在直线方程___________.结论：1、在椭圆()012222>>=+b a by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦AB 所在直线斜率2020b x k a y =-；且22ab k k OP AB -=∙2、在双曲线()0012222>>=-b a by a x ，中,以00(,)P x y 为中点AB 的弦所在直线斜率2020b x k a y =；且22ab k k OP AB =∙3、在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0py k =.1、已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的离心率为22，点()22，在C 上，⑴求椭圆C 的方程；⑵直线l 不经过原点O ，且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点B ,A ,线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值。

谈齐次化构造法解决两直线的斜率和与积问题——以２０２２年新高考Ⅰ卷圆锥曲线为例

试题研究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀谈齐次化构造法解决两直线的斜率和与积问题以２０２２年新高考Ⅰ卷圆锥曲线为例◉华南师范大学㊀叶晓茵㊀陈伟连㊀㊀摘要:本文中以２０２２年新高考Ⅰ卷第２１题为切入点,运用齐次化构造法解决斜率和与斜率积的问题,并将问题推广到更加一般的情况,得到曲线外的点和曲线上的点与曲线上两点连线的斜率和与积的一些有趣结论．关键词:齐次化构造法;定点;定值;定斜率１试题呈现图１如图１,已知点A (２,１)在双曲线C :x２a ２－y ２a ２－１＝１(a ＞１)上,直线l 交C 于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 的斜率之和为０．(１)求l 的斜率;(２)若t a n øP A Q ＝２２,求әP A Q 的面积．２试题剖析本题考查椭圆方程的求法,直线和椭圆的交点与曲线上的点连接的斜率和问题,涉及转化和化归能力以及代数运算能力．第(１)问可以用常规方法设直线,再运用韦达定理,算出点P ,Q 的坐标,运用条件化简得到关于直线l 斜率的式子就可以解决,但是这种方法运算量偏大,出错率高．本文中应用齐次化构造法来解决这类斜率和与积的问题进行解决,以彰显这种方法处理该类问题的强大之处．３试题第(１)问的解答利用齐次化构造法解答第(１)问的过程如下:易求得C 的方程为x２２－y ２＝１．因为直线l 不过点A (２,１),所以设直线l 的方程为m (x －２)＋n (y －１)＝１．由x ２２－y ２＝１,得(x －２＋２)２２－(y －１＋１)２＝１．联立m (x －２)＋n (y －１)＝１,(x －２)２２＋２(x －２)－(y －１)２－２(y－１)＝０,{齐次化整理得－(２n ＋１)(y －１x －２)２＋(２n －２m )(y －１x －２)＋(２m ＋１２)＝０,即－(２n ＋１)k ２＋(２n －２m )k ＋(２m ＋１２)＝０．由韦达定理,得k A P ＋k A Q ＝y １－１x １－２＋y ２－１x ２－２＝－２n －２m－(２n ＋１)＝０．所以m ＝n ．故直线l 的斜率为－mn＝－１．评注:解决此类有关斜率的问题,常用的方法有点差法㊁设一直线法㊁设两直线法㊁设三直线法㊁对偶法以及齐次化构造法．对比这些解法,齐次化构造法的计算量最小．学生如果能够理解并运用齐次化构造法,将会节省计算时间,快速解决有关斜率和与积的问题．４使用步骤为方便大家更好地利用齐次化构造法解决解析几何中以上类型问题,笔者总结归纳了使用该方法的步骤,如图２所示．明条件已知定点A (a ,b ),直线l 交圆锥曲线于P ,Q两点,且有k A P ＋k A Q ＝λ(或k A P k A Q ＝λ,或１k A P ＋１k A Q＝λ)设直线设直线方程为m (x －a )＋n (y －b )＝１凑形式圆锥曲线方程的一般形式为A x ２＋B y ２＋Cx ＋D y ＋E ＝０,将方程配凑成A (x －a )２＋B (y －b )２＋(２A a ＋C )(x －a )＋(２B b ＋D )(y －b )＋E ＋A a ２＋C a ＋B b ２＋D b ＋E ＝０(∗)化齐次将直线方程与曲线方程(∗)联立,得到关于y －bx －a的一元二次方程用韦达根据韦达定理和题目条件,得到k A P 和k A Q 的关系式,最终求得目标结论㊀⇩㊀⇩㊀⇩㊀⇩图２８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀５结论推广５．１类别一:点M 在曲线上探究１㊀已知圆锥曲线过点M (m ,n ),直线l 交圆锥曲线于P ,Q 两点,且有k M Q ＋k M P ＝０,求直线l 的斜率．结论１:对圆锥曲线进行分类,得到如表１所示的关于直线l 斜率k 的结论．表１圆锥曲线方程k M P ＋k M Q ＝０x ２a ２＋y ２b ２＝１k ＝m n b ２a ２x ２a ２－y ２b２＝１k ＝－m n b ２a ２y ２＝２px k ＝－pn㊀㊀说明:若点M (m ,n )在圆锥曲线上,不过点M 的直线l 交曲线于P ,Q 两点．直线l 的斜率与直线M P ,M Q 的斜率之和与积的结论详见参考文献[１Ｇ２]．５．２类别二:点M 不在曲线上由于m ＝０,p ＝０或直线l 斜率不存在,这种方法没有明显优势,因此以下的讨论都是基于p ʂ０,m ʂ０,p ʂm ,且直线l 的斜率均存在的情况．探究２㊀(点M 在x 轴上)设曲线C ,点M (m ,０)不在曲线C 上,过点F (p ,０)的直线l 交曲线于A ,B 两点,p ʂm ʂ０,探求k M A ＋k M B ,k M A k M B 的值．解:以曲线C :x ２a ２＋y ２b２＝１为例．平移M 到原点,将x ＝x １＋m ,y ＝y １{代入曲线C 的方程,得x ２１＋m ２＋２m x １a ２＋y ２１b２＝１．设直线l 为c x １＋d y １＝１,且过F １p －m ,０(),则c ＝１p －m．齐次化,得(A d ２＋１b ２)(y １x １)２＋(２A c d ＋２m d a２)y １x １＋１＋２m c a ２＋A c ２＝０,其中A ＝m ２a２－１．若k M A ＋k M B ＝－２A c d ＋２m da２A d ２＋１b２＝λ,当λ＝０时,a ２＝m p ．若k M A k M B ＝１＋２m c a ２＋A c ２A d ２＋１b２＝λ,当λ＝０时,p ２＝a ２．结论２:以下将列出其他曲线的情况,得到如表３所示的关于直线l 的斜率与直线M A ,M B 的斜率之和与积的结论．表２圆锥曲线方程k M A ＋k M B ＝λk M A k M B ＝λC :x ２a ２＋y ２b ２＝１当λ＝０时,a ２＝m p λ＝０,p ２＝a ２C :x ２a ２－y ２b２＝１当λ＝０时,a ２＝m p λ＝０,p ２＝a ２C :y ２＝２p １x 当λ＝０时,p ＋m ＝０无类似性质㊀㊀探究３㊀(点M 在y 轴上)设曲线C ,点M (０,n )不在曲线C 上,过点F (p ,０)的直线l 交曲线于A ,B 两点,探求k M A ＋k M B ,k M A k M B 的值．结论３:以下将列出其他曲线的情况,得到如表４所示的关于直线l 的斜率与直线M A ,M B 斜率之和与积的结论．表３圆锥曲线方程k M A ＋k M B ＝λk M A k M B ＝λC :x ２a ２＋y ２b２＝１无类似性质λʂ０,当λ＝n ２p ２时,k ＝－３n a ２＋n pp (a ２＋p ２)C :x ２a ２－y ２b ２＝１λʂ０,２n ＋λp ＝０时,k ＝－b ２＋n ２(１－p )p n (１－p )λʂ０,λ＝n ２p ２时,k ＝－n (a ２＋p ２)p (p ２－a ２)C :y ２＝２p １x 当λʂ０,pλ＋２n ＝０,λ２＝４n ２p－２p １λ＝０,n ２＝２p １㊀㊀结合以上性质,可以对２０２２年高考题进行以下变式:变式１㊀设曲线C :x ２a ２＋y ２b２＝１,点M (m ,０)不在曲线C 上,直线l 交曲线于A ,B 两点,k M A ＋k M B ＝０．求证:直线l 过定点．变式２㊀设曲线C :x ２a ２＋y ２b２＝１,点M (０,n )不在曲线C 上,过点F (p ,０)直线l 交曲线于A ,B 两点,且有k M A k M B ＝λ．当λ＝n ２p２时,求直线l 的斜率．通过上面高考题的两道变式我们发现,在解析几何中,涉及曲线上的点M 与曲线上两个点连线的斜率和与积的问题,或者在x 轴或y 轴上且不在曲线上的点M 与曲线上两点连线的斜率和与积的问题,都可以运用齐次化构造法．参考文献:[１]刘大鹏．斜率和(或积)为定值条件下圆锥曲线的性质[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２０(５):４４Ｇ４５．[２]陈斌,杨彩清．对椭圆㊁双曲线中两直线斜率乘积为定值的探究[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０１７(７):４２Ｇ４３,５０．Z９６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

第6章 斜率之积为定值一 wps

圆锥曲线中的一类定值问题

经典：斜率乘积为定值问题

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(原卷版)

圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题--沈烨

圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题

圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 ppt课件

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高三斜率乘积为定值的问题探究

圆锥曲线之定值定点问题 经典例题+题型归纳+解析

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版)

圆锥曲线定值,定点

微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)

2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题

斜率乘积为定值的问题探究

圆锥曲线中直线斜率乘积为定值的问题

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散

谈齐次化构造法解决两直线的斜率和与积问题——以２０２２年新高考Ⅰ卷圆锥曲线为例

第6章斜率之积为定值一 wps

圆锥曲线之定值定点问题经典例题+题型归纳+解析