大学物理一复习第四章刚体的转动共52页文档
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➢几个力同时作用，合力矩为
即：
合力矩的大小等于 各力矩的代数和。
F3 F2
F1
r2
r3
r1
二、转动定律
熟练掌握
MJ
J描述刚体转动惯性大小的物理量。 ❖ 质量离散分布
J m jr j 2 m 1 r 1 2 m 2 r 2 2 m jr j 2
❖ 质量连续分布
J mjrj2r2dmVr2dV j
W重090 Md
090mg2lcosd
1 mgl 2
m,l
mg
始末两态动能：
Ek
1J2
2
,
由动能定理： WEkEk0
Ek00
1mgl1J20
22
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
小结
一、基本物理量
熟练掌握
L rm V
二、基本定理、定律
1、转动定律 2、动能定理
熟练掌握
3、角动量定理
h
P144作业 ４-11
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
mg J mR 2(g2t2h)
2h
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
第一类问题：已知J和力矩M ：求 和以及F。
书例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面 上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一
半径R、质量mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质 量为mB 物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间 无滑动， 滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两
掌握
1 刚体的角动量
LJ
2 刚体的角动量守恒定律
② 在冲击等问题中 M内M外L常量
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
例1：光滑水平桌面上 有一长为 2L、质量为 m 匀质细杆，可绕其中点且垂直于杆的竖直光滑 固定轴自由转动，转动惯量 mL2/3， 起初杆静 止，桌面上有两个质量均为 m 的小球，各自在 垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同 速率 v 相向运动，当两个小球同时与杆的两个 端点发生完全非弹性碰撞后，与杆粘在一起转 动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为:
T1
T2
mAmBg mA mB
2）物体B 由静止出发作匀加速直线运动
v2 v02 2as
第二类问题：已知运动情况和力矩M ，求 J。
例：测轮子的转动惯量用一 M,R
根轻绳缠绕在半径为 R、质
量为 M 的轮子上若干圈后，
一端挂一质量为 m 的物体，
从静止下落 h 用了时间 t ,求
m
轮子的转动惯量 J。
z
讨论
O
y
掌握
B
1） 是矢量、状态量 方向：右手定则确定
xA
大小：
2）角动量与参考点的选取有关
o
m
m
o
o
m
掌握
2、质点的角动量守恒定理
守恒条件：
(1) (2)
熟练掌握
例：彗星绕太阳作椭圆
r
轨道运动，太阳位于椭
圆轨道的一个焦点上，
问系统的角动量是否守
恒？近日点与远日点的
速度谁大？
二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律
（A）2 v 3L
（C）6 v 7L
4v （B）5 L
（D）8 v 9L
mv v om o
例2：如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、
质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长
的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量
为．一质量为m、速率为v的子弹在水平面内
沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，
设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速
熟练掌握
ωHale Waihona Puke Baidu d
dt
dω dt
d2
d2t
v rωe t
at r
an rω 2
an r a
et at v
a re trω 2e n
§4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
M r F
z
F
M Fsrin Fd O M drP*
M 的方向由右手法则确定
掌握
➢力矩的方向 对于定轴转动可用正、负号表示。
本章学习要点
1.角坐标、角位移、角速度、角加速度。 2.转动惯量、力矩，转动定律。 3.刚体转动的动能定理。 4.角动量定理、角动量守恒定律。
§4－1 刚体的平动与转动
1、角坐标、角速度、角加速度
P
角坐标 (t)
转动 o
平面
x
角速度 limd
t t0 dt
参考方向
角加速度 d
dt
2、角量与线量的关系
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成角时
的角加速度和角速度．
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l
FN
θ
mg O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
m,l FN
dt dθ dt d θ
θ
mg
3g
O
ωdω sinθdθ
2l
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ)
l
或由能量守恒： mgL(1-co)s=1J2
2
2
得： ω 3g(1cosθ)
l
§4-3 角动量 角动量守恒定律
r
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
1、质点的角动量
4、角动量守恒定律 条件：M=0
熟练掌握
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量 都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮 的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及 滑轮的角加速度．
度应为
B
mv
(A) ML
3m v
(B) 2 ML
1 v
5m v
(C) 3 ML
(D) 7 m v
4 ML
2
O 俯视图
v
{B}
期中考题
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
练习1：一细杆质量为m，
长度为l，一端固定在轴上， 静止从水平位置摆下，求
o
细杆摆到铅直位置时的角
速度。
解： 重力矩作功：
三、转动定律应用举例 M J
1. 矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2. 具有瞬时性且M、J、 是对同一轴而言的。
解题方法及应用举例
熟练掌握
1.确定研究对象。 2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程， 转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线 量关系)。
段绳索的张力各为多少？
A
(2) 物体 B 从静止落下
mA
C
mC
距离 y 时，其速率是多少？
mB B
解：隔离法，受力分析
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mBg
mAmBmC 2
T1
mAmBg mAmBmC
2
T2
(mAmC 2)mBg mAmBmC 2
如令 mC 0，可得：
即：
合力矩的大小等于 各力矩的代数和。
F3 F2
F1
r2
r3
r1
二、转动定律
熟练掌握
MJ
J描述刚体转动惯性大小的物理量。 ❖ 质量离散分布
J m jr j 2 m 1 r 1 2 m 2 r 2 2 m jr j 2
❖ 质量连续分布
J mjrj2r2dmVr2dV j
W重090 Md
090mg2lcosd
1 mgl 2
m,l
mg
始末两态动能：
Ek
1J2
2
,
由动能定理： WEkEk0
Ek00
1mgl1J20
22
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
小结
一、基本物理量
熟练掌握
L rm V
二、基本定理、定律
1、转动定律 2、动能定理
熟练掌握
3、角动量定理
h
P144作业 ４-11
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
mg J mR 2(g2t2h)
2h
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
第一类问题：已知J和力矩M ：求 和以及F。
书例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面 上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一
半径R、质量mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质 量为mB 物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间 无滑动， 滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两
掌握
1 刚体的角动量
LJ
2 刚体的角动量守恒定律
② 在冲击等问题中 M内M外L常量
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
例1：光滑水平桌面上 有一长为 2L、质量为 m 匀质细杆，可绕其中点且垂直于杆的竖直光滑 固定轴自由转动，转动惯量 mL2/3， 起初杆静 止，桌面上有两个质量均为 m 的小球，各自在 垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同 速率 v 相向运动，当两个小球同时与杆的两个 端点发生完全非弹性碰撞后，与杆粘在一起转 动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为:
T1
T2
mAmBg mA mB
2）物体B 由静止出发作匀加速直线运动
v2 v02 2as
第二类问题：已知运动情况和力矩M ，求 J。
例：测轮子的转动惯量用一 M,R
根轻绳缠绕在半径为 R、质
量为 M 的轮子上若干圈后，
一端挂一质量为 m 的物体，
从静止下落 h 用了时间 t ,求
m
轮子的转动惯量 J。
z
讨论
O
y
掌握
B
1） 是矢量、状态量 方向：右手定则确定
xA
大小：
2）角动量与参考点的选取有关
o
m
m
o
o
m
掌握
2、质点的角动量守恒定理
守恒条件：
(1) (2)
熟练掌握
例：彗星绕太阳作椭圆
r
轨道运动，太阳位于椭
圆轨道的一个焦点上，
问系统的角动量是否守
恒？近日点与远日点的
速度谁大？
二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律
（A）2 v 3L
（C）6 v 7L
4v （B）5 L
（D）8 v 9L
mv v om o
例2：如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、
质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长
的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量
为．一质量为m、速率为v的子弹在水平面内
沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，
设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速
熟练掌握
ωHale Waihona Puke Baidu d
dt
dω dt
d2
d2t
v rωe t
at r
an rω 2
an r a
et at v
a re trω 2e n
§4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
M r F
z
F
M Fsrin Fd O M drP*
M 的方向由右手法则确定
掌握
➢力矩的方向 对于定轴转动可用正、负号表示。
本章学习要点
1.角坐标、角位移、角速度、角加速度。 2.转动惯量、力矩，转动定律。 3.刚体转动的动能定理。 4.角动量定理、角动量守恒定律。
§4－1 刚体的平动与转动
1、角坐标、角速度、角加速度
P
角坐标 (t)
转动 o
平面
x
角速度 limd
t t0 dt
参考方向
角加速度 d
dt
2、角量与线量的关系
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成角时
的角加速度和角速度．
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l
FN
θ
mg O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
m,l FN
dt dθ dt d θ
θ
mg
3g
O
ωdω sinθdθ
2l
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ)
l
或由能量守恒： mgL(1-co)s=1J2
2
2
得： ω 3g(1cosθ)
l
§4-3 角动量 角动量守恒定律
r
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
1、质点的角动量
4、角动量守恒定律 条件：M=0
熟练掌握
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量 都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮 的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及 滑轮的角加速度．
度应为
B
mv
(A) ML
3m v
(B) 2 ML
1 v
5m v
(C) 3 ML
(D) 7 m v
4 ML
2
O 俯视图
v
{B}
期中考题
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
练习1：一细杆质量为m，
长度为l，一端固定在轴上， 静止从水平位置摆下，求
o
细杆摆到铅直位置时的角
速度。
解： 重力矩作功：
三、转动定律应用举例 M J
1. 矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2. 具有瞬时性且M、J、 是对同一轴而言的。
解题方法及应用举例
熟练掌握
1.确定研究对象。 2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程， 转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线 量关系)。
段绳索的张力各为多少？
A
(2) 物体 B 从静止落下
mA
C
mC
距离 y 时，其速率是多少？
mB B
解：隔离法，受力分析
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mBg
mAmBmC 2
T1
mAmBg mAmBmC
2
T2
(mAmC 2)mBg mAmBmC 2
如令 mC 0，可得：