离散数学 第2章 计数问题

[ 法二 ] 若令狐冲被选为主席，共有 5×4 = 20种方 法确定其他职位；若岳不群为主席，同样有20种方 法确定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交， 所以根据加法原理，共有20＋20 = 40种选法；
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例2.2.4 解(续)
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例2.2.2
Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前 50 个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病 毒非常快速地转发邮件，将被转发的邮件临时存储在 解 根据Melissa病毒的扩散原理，经过四次转发， 某个磁盘上，当磁盘占满后，系统将会死锁甚至崩溃。 共有 问经过四次转发，共有多少个接收者？ 50×50×50×50+50×50×50+50×50+ 50 +1 = 6377551个接收者。
玉米片(Co) 色拉(Sa)
2.15 1.90
汉堡(H) 三明治 (S) 鱼排(F)
3.65
3.15
牛奶 (M)
可乐 (C) (B)
0.85
0.75
包含一种开胃食品、一种主食和一种饮料 包含一种主食和一种饮料的午餐有多少种 啤酒 0.75 不同的选择？ 的午餐有多少种不同的选择？
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定理2.3.3
含n个不同元素的集合的环形r-排列数Pc(n,r)是
P(n, r) n! Pc(n, r)= = r r×(n - r)!
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离散数学
电子科技大学计算机科学与工程学院
2015年12月25日星期五
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第2章 计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167) 和法国数学家、哲学家、天文学家 Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家 Blaise Pascal 还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
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1.1 本章学习要求
重点掌握 1
1. 乘法原理和加 法原理 2. 排列组合的计 算 3. 利用容斥原理 计算有限集合 的交与并 2015/12/25
一般掌握
了解 3
1. 离散概率 2. 离散概念的计 算公式及性质
2
1. 鸽笼原理 2. 鸽笼原理的简 单应用 3. 递归关系 4. 递归关系的建 立和计算
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2.3.2
组合问题
定义 2.3.2 从含有 n 个不同元素的集合 S 中无序选 取的 r个元素叫做 S 的一个 r -组合，不同的组合总 数记为C(n, r)。 当n≥r = 0时，规定C(n, r) = 1。 显然，当r＞n时，C(n, r) = 0。
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定理2.3.1
对满足r≤n的正整数n和r有
P(n, r)= n×(n - 1)(n -(r - 1))
第1位 第2位 第3位 第r-1位 第r位
n
n-1
n-2 … … n-(r-2) n-(r-1)
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10!× P(11, 5) =（10!×11!)/6! 。
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例2.3.4 解（续）
（ 2 ） 根据定理 2.3.3 ， 10个男孩站成一个圆圈的 环排列数为9！，5个女孩插入到10男孩形成的10个 空中的插入方法数为P(10, 5)。根据乘法原理，10 个男孩和 5 个女孩站成一个圆圈，没有两个女孩相 邻的排列法为： 9!× P(10, 5) =（9!×10!)/5!。
(3)[ 法一 ] 将确定职位分为 3 步：确定任我行的职 位,有 3种方法；确定余下的较高职位人选 , 有5 个 人选；确定最后一个职位的人选 , 有 4 个人选。根 据乘法原理，共有3×5×4 = 60种选法； [法二] 根据(1)的结论，如果任我行为主席，有20 种方法确定余下的职位；若任我行为秘书，有20种 方法确定余下的职位；若任我行为出纳员，也有20 种方法确定余下的职位。由于三种选法得到的集合 不相交，根据加法原理，共有 20＋20＋20 = 60种选法；
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定理2.3.4
对满足0< r ≤n的正整数n和r有，即
n! C(n, r)= r!(n - r)! 证明 先从 n 个不同元素中选出 r 个元素，有 C(n, r)种选法，再把每一种选法选出的 r个 元素做全排列，有r！种排法。
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例2.3.1
从含 3 个不同元素的集合 S中有序选取 2个元素的排 列总数。 解 从含 3个元素的不同集合 S中有序选取 2个元素 的排列总数为6种。 如果将这3个元素记为A、B和C，则6个排列为 AB, AC, BA, BC, CB, CA。
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例2.2.4 解(续)
（ 4 ）将给田伯光、东方不败和另一个人指定职位 分为3步： 给田伯光指定职位，有3个职位可选； 给东方不败指定职位，有2个职位可选； 确定最后一个职位的人选，有4个人选。 根据乘法原理，共有3×2×4 = 24种选法。
解
每个点有256( = 28) 种不同的取值。
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2.2.2
加法原理
假定 X1, X2, …, Xt 均为集合，第 i 个集合 Xi 有 ni 个元素。如 X1, X2, …, Xt 为两两不相交的集合， 则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为： n 1 + n 2 + … + n t。
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2.2.1 乘法原理
如果一些工作需要 t 步完成，第一步有 n1 种 不同的选择，第二步有 n2 种不同的选择， … ， 第 t 步有 nt 种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
n1 ×n2 ××n t
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（ 4 ）若田伯光和东方不败都有职位，共有多少种 选法？
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例2.2.4 解
（ 1 ）根据乘法原理，可能的选法种数为 6×5×4= 120；
（2） [法一 ] 根据题意，确定职位可分为 3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有 4 个人选。根据乘法 原理，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
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2.3
排列与组合
郭靖、杨康、黄蓉和丘处机四个候选人竞选同 一职位。为了使选票上人名的次序不对投票者产生 影响，有必要将每一种可能的人名次序打印在选票 上。会有多少种不同的选票呢？ 从某个集合中有序的选取若干个元素的问题，称为 排列问题。
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2.3.1
排列问题
定义 2.3.1 从含 n个不同元素的集合 S 中有序选取 的 r个元素叫做 S的一个 r - 排列，不同的排列总数 记为 P(n, r) 。如果 r = n，则称这个排列为 S 的一 个全排列，简称为S的排列。 显然，当r＞n时，P(n, r) = 0。
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1 + n2 + … + nt个元素。
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例2.2.4
由令狐冲、岳不群、左冷禅、田伯光、任我行和东 方不败六个人组成的委员会，要选出一个主席、一 个秘书和一个出纳员。
（1）共有多少种选法？ （ 2 ）若主席必须从令狐冲和岳不群种选出，共有 多少种选法？ （3）若任我行必须有职位，共有多少种选法？
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例2.2.3
在一幅数字图像中，若每个像素点用 8 位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位， … ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。