楚香凝8.30讲义
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例2：某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。 其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是 参观了三个景点的人数的4倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票？ A. 48 B. 72 C. 78 D. 84
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⑤隔板法：一组相同的元素分成若干不同的组，要求每组至少一个元素 将比所需要分组数目少1的插板元素之间形成分组，假定Ｍ个元素， 分成N组，方法数为：C（Ｍ-1，N-1）。注意插板法的三要件： ①相同元素分配；②所分组是不相同的；③每组至少分到一个；
天道-楚香凝第一期数算福利内容
1、关于M个球放到N个盒子里的详细分析 ①50个相同的球放到三个相同的盒子，有多少种方法？ ②50个相同的球放到三个不同的盒子，有多少种方法？ ③50个不同的球放到三个相同的盒子，有多少种方法？ ④50个不同的球放到三个不同的盒子，有多少种方法？ ⑤50个相同的球放到三个相同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？ ⑥50个相同的球放到三个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？ ⑦50个不同的球放到三个相同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？ ⑧50个不同的球放到三个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？
组合数公式：从n个不同元素中取出m（ｍ≤n）个元素的所有组 合数C(n,m)＝n（n-1）*（n-2）*…*（n-m+1）/ m!
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错位重排：1-6的错位排列数分别为0，1，2，9，44，265 递推公式：Dn=（n-1）*（Dn-2+Dn-1）
例2：4位同学分五个苹果,1个梨,每位同学至少分到一个苹果,有多少种 不同方法？ A.16 B.20 C.25 D.40
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容斥原理： ①两容斥公式：总数=│A│+│B│—│A∩B│+ 一个都不满足的 例：某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上 衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子， 29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？ A. 12 B. 14 C. 15 D. 29
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①特殊位置优先考虑法：对于题干中要求某一个或几个元素在指定的位 置或不在指定的位置，我们采取特殊位置优先考虑法，先考虑特殊元素， 再考虑其它元素。特殊元素优先考虑，特殊位置优先考虑。 例：某单位有老陶和小刘等5名工作人员，需安排在星期一至星期五的 中午值班，每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有其他的 事不能排在星期五，则不同的排法共有（ ）种。 【上海B2012】 A. 36 B. 48 C. 78 D. 96
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加法原理（分类）与乘法原理（分步）
①分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1 类办法中有m1种不同的方法，有第2类办法中有m2种不同的方法 ……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+……..+mn种不同的方法。（n类办法是相互独立的）
排列数公式：从n个不同元素中取出m（ｍ≤N）个元素的所有 排列数A(n,m)＝n（n-1）*（n-2）*…*（n-m+1） 当m=n时，为全排列An n = n（n-1）（n-2）…3*2*1=n!
组合：从n个不同元素中，任取m（ｍ≤n）个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2、多区域分块涂色
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3、特值法秒杀三元一次方程组的分析
4、调和平均数秒杀分析
5、楚香凝50题经典解析（一）
6、2014各省市数算真题解析17套
7、行程问题终极秘籍 ①走走停停问题 ②来回接送问题 ③变时运动和变速运动 ④多次相遇追击问题 ⑤上下坡、顺流逆流、追水壶、坏车、错车
圆周排列： 1、N个元素排成圆周，即环形排列问题。 2、公式：N个元素排成一个圆周，方法数为：N! / N=（N-1）!
例1：用六颗不同颜色的珠子编成一条手链，有几种编织方法？ A.60 B.120 C.360 D.720
例2：8人围圆桌聚餐，甲乙两人必须相邻，乙丙不得相邻，问有几 种坐法? A.1000 B.1200 C.1320 D.9600
例1：甲乙丙丁四个人排队，甲不站第一位、乙不站第二位、丙不站 第三位、丁不站第四位的情况数有多少种？ A.8 B.9 C.12 D.44
例2：甲乙丙丁戊五个人排队，甲不站第一位、乙不站第二位、丙不站 第三位、丁不站第四位的情况数有多少种？ A.9 B.44 C.45 D.53
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十大模块
1、数字特性 2、计数模型 3、日期问题（年龄、钟表问题） 4、工程行程 5、排列组合（概率） 6、抽屉原理 7、经济利润（溶液浓度、十字交叉法） 8、容斥原理 9、牛吃草 10、几何问题
150页的纸质讲义，知识点+50道配套练习题，学完及时巩固，效果加倍！ 天道QQ群：35318186 楚香凝QQ：6872565 微信号：chu6872565
比如说从甲地到乙地，一天中，火车有3趟，汽车有2趟，那么 一天中从甲地到乙地有几种方式？ 选择火车有3种+选择汽车有2种=5种
②分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×. …..×mn种不同 的方法。（n步是缺一不可的）
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③三容斥之不包含的容斥原理： 总数=│A│+│B│+│C│—只满足两个条件的—2*只满足三个条
件的+一个都不满足的
例：某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个 客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用 无线网络上网。如果使用不止一种上网方式的有352个客户，那么三种 上网方式都使用的客户有多少个? 【河北2012】 A. 148 B. 248 C. 350 D. 500
比如说从甲地到丙地，必须先经过乙地，一天中，从甲地到乙地火 车有3趟，从乙地到丙地汽车有2趟，那么一天中从甲地到丙地有几种方 式？ 甲到乙有3种*乙到丙有2种=6种 天道QQ群：35318186 楚香凝QQ：6872565 微信号：chu6872565
排列（有序）与组合（无序）
排列：从n个不同元素中，任取m（ｍ≤n）个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
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③插空法：求某两个或某几个物体不相邻，待求符合要求的种数。 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将 不相邻的元素在已排好的元素间及两者的空隙之间插入即可。 例：一张节目表上原有8个节目，如果保持这8个节目的相对顺序不变， 再添加进去3个新节目，有多少种安排方法？ A.720 B.990 C.1320 D.360
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②三容斥之包含的容斥原理： 总数=│A│+│B│+│C│—│A∩B│—│A∩C│—│B∩C│
+│A∩B∩C│+ 一个都不满足的
例：对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如 下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7 种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7 种，则三种维生素都含的有多少种？ 【北京2009】 A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
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例1：五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班， 35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种 特长培训班都参加的有6人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。 A.45 B.33 C.29 D.22
例：将6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共多少种分法？ A.60 B.120 C.20 D.28
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例1：10对夫妇在一次聚会上相遇，每位男宾都与除了自己夫人以外 的所有人握手，女宾之间不握手，他们共握了几次手？ A. 90 B. 75 C. 135 D. 45
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⑤隔板法：一组相同的元素分成若干不同的组，要求每组至少一个元素 将比所需要分组数目少1的插板元素之间形成分组，假定Ｍ个元素， 分成N组，方法数为：C（Ｍ-1，N-1）。注意插板法的三要件： ①相同元素分配；②所分组是不相同的；③每组至少分到一个；
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1、关于M个球放到N个盒子里的详细分析 ①50个相同的球放到三个相同的盒子，有多少种方法？ ②50个相同的球放到三个不同的盒子，有多少种方法？ ③50个不同的球放到三个相同的盒子，有多少种方法？ ④50个不同的球放到三个不同的盒子，有多少种方法？ ⑤50个相同的球放到三个相同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？ ⑥50个相同的球放到三个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？ ⑦50个不同的球放到三个相同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？ ⑧50个不同的球放到三个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？
组合数公式：从n个不同元素中取出m（ｍ≤n）个元素的所有组 合数C(n,m)＝n（n-1）*（n-2）*…*（n-m+1）/ m!
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错位重排：1-6的错位排列数分别为0，1，2，9，44，265 递推公式：Dn=（n-1）*（Dn-2+Dn-1）
例2：4位同学分五个苹果,1个梨,每位同学至少分到一个苹果,有多少种 不同方法？ A.16 B.20 C.25 D.40
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容斥原理： ①两容斥公式：总数=│A│+│B│—│A∩B│+ 一个都不满足的 例：某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上 衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子， 29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？ A. 12 B. 14 C. 15 D. 29
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①特殊位置优先考虑法：对于题干中要求某一个或几个元素在指定的位 置或不在指定的位置，我们采取特殊位置优先考虑法，先考虑特殊元素， 再考虑其它元素。特殊元素优先考虑，特殊位置优先考虑。 例：某单位有老陶和小刘等5名工作人员，需安排在星期一至星期五的 中午值班，每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有其他的 事不能排在星期五，则不同的排法共有（ ）种。 【上海B2012】 A. 36 B. 48 C. 78 D. 96
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加法原理（分类）与乘法原理（分步）
①分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1 类办法中有m1种不同的方法，有第2类办法中有m2种不同的方法 ……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+……..+mn种不同的方法。（n类办法是相互独立的）
排列数公式：从n个不同元素中取出m（ｍ≤N）个元素的所有 排列数A(n,m)＝n（n-1）*（n-2）*…*（n-m+1） 当m=n时，为全排列An n = n（n-1）（n-2）…3*2*1=n!
组合：从n个不同元素中，任取m（ｍ≤n）个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
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4、调和平均数秒杀分析
5、楚香凝50题经典解析（一）
6、2014各省市数算真题解析17套
7、行程问题终极秘籍 ①走走停停问题 ②来回接送问题 ③变时运动和变速运动 ④多次相遇追击问题 ⑤上下坡、顺流逆流、追水壶、坏车、错车
圆周排列： 1、N个元素排成圆周，即环形排列问题。 2、公式：N个元素排成一个圆周，方法数为：N! / N=（N-1）!
例1：用六颗不同颜色的珠子编成一条手链，有几种编织方法？ A.60 B.120 C.360 D.720
例2：8人围圆桌聚餐，甲乙两人必须相邻，乙丙不得相邻，问有几 种坐法? A.1000 B.1200 C.1320 D.9600
例1：甲乙丙丁四个人排队，甲不站第一位、乙不站第二位、丙不站 第三位、丁不站第四位的情况数有多少种？ A.8 B.9 C.12 D.44
例2：甲乙丙丁戊五个人排队，甲不站第一位、乙不站第二位、丙不站 第三位、丁不站第四位的情况数有多少种？ A.9 B.44 C.45 D.53
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1、数字特性 2、计数模型 3、日期问题（年龄、钟表问题） 4、工程行程 5、排列组合（概率） 6、抽屉原理 7、经济利润（溶液浓度、十字交叉法） 8、容斥原理 9、牛吃草 10、几何问题
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比如说从甲地到乙地，一天中，火车有3趟，汽车有2趟，那么 一天中从甲地到乙地有几种方式？ 选择火车有3种+选择汽车有2种=5种
②分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×. …..×mn种不同 的方法。（n步是缺一不可的）
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③三容斥之不包含的容斥原理： 总数=│A│+│B│+│C│—只满足两个条件的—2*只满足三个条
件的+一个都不满足的
例：某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个 客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用 无线网络上网。如果使用不止一种上网方式的有352个客户，那么三种 上网方式都使用的客户有多少个? 【河北2012】 A. 148 B. 248 C. 350 D. 500
比如说从甲地到丙地，必须先经过乙地，一天中，从甲地到乙地火 车有3趟，从乙地到丙地汽车有2趟，那么一天中从甲地到丙地有几种方 式？ 甲到乙有3种*乙到丙有2种=6种 天道QQ群：35318186 楚香凝QQ：6872565 微信号：chu6872565
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排列：从n个不同元素中，任取m（ｍ≤n）个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
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③插空法：求某两个或某几个物体不相邻，待求符合要求的种数。 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将 不相邻的元素在已排好的元素间及两者的空隙之间插入即可。 例：一张节目表上原有8个节目，如果保持这8个节目的相对顺序不变， 再添加进去3个新节目，有多少种安排方法？ A.720 B.990 C.1320 D.360
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②三容斥之包含的容斥原理： 总数=│A│+│B│+│C│—│A∩B│—│A∩C│—│B∩C│
+│A∩B∩C│+ 一个都不满足的
例：对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如 下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7 种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7 种，则三种维生素都含的有多少种？ 【北京2009】 A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
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例1：五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班， 35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种 特长培训班都参加的有6人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。 A.45 B.33 C.29 D.22
例：将6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共多少种分法？ A.60 B.120 C.20 D.28
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