线性方程组与n维向量空间

x x 2x x 0,
1
2
3
4
4
x 1
6x 2
2x 3
2x 4
0,
3x 1
6x 2
9x 3
0
3
3
1
6
32
3
r +r 1 0 4 2
0
0 0
0 0
4 3 3
4 9
1 1 2 1 4
1 1 2 0 7
r (- 3 )
3 4
r 1
43
0 0
3 0
3 0
1
6
r (-
2
1)
3
0
1
1
0
3
1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
§ 4.1 线性方程组有解的条件
2 1
1 7
0 0
7 14
16 32
12 24
1 7
1 3 6 5 0
0 0
7 0
16 0
12 0
1 5
从矩阵( A ) 的行阶梯形矩阵知 R(A) 2 R(A, ) 3 ，故所给方程组无解.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
例4.3
2x x x x 0,
1
2
3
4
解下列方程组
(4.1.1a)
即线性方程组Ax=有解的充分必要条件是方程组(4.1.1a)有解.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
定理4.1 n元线性方程组Ax 有解的充要条件是 R( A) R( A ) r .
特别，当 R( A) R( A ) r n 时，由线性方程组(4.1.1a)得到线性方程组
§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.1 线性方程组的基本概念 4.1.2 线性方程组有解的条件
§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.1 线性方程组的基本概念
设含有m个变量n个未知数的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
2x 3
7,
①
① -③
②④+-③③
3x +3x 9,
2
3
x4 3,
② ③
0 0. ④
§ 4.1 线性方程组有解的条件
x 1
x 2
2x 3
7,
①
②(-1 )
3
x x 3, ②
2
3
x4 3, ③
0 0. ④
x 1
x 3
4,
①
①-②
x 2
x 3
3,
x4 3,
② ③
0 0. ④
§ 4.1 线性方程组有解的条件
例4.1的求解过程还表明，用消元法解方程组的过程中，参与运算的只是方程组中 未知量的系数和常数项，未知量本身并未参与运算，于是可把例4.1的求解过程用 方程组增广矩阵的初等行变换来表示，即
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
A
=
1 4
1 6
2 2
1 2
4
§ 4.1 线性方程组有解的条件
若方程组(4.1.1)右端的常数项 b1, b2 , (4.1.1)为非齐次线性方程组；当 b1, b2 , 齐次线性方程组.
bm 不全为零，则称方程组 bm 全为零时，则称方程组为
a a
11
12
记
A
a 21
a 22
a a
m1
m2
a 1n
x1
a 2n
x
x2
a11 a12
(A
)
a21
a22
am1 am2
a1n
b1
a2 n
b2
amn bm
则称矩阵(A β)为方程组的增广矩阵.
一个含m个方程n个未知量的线性方程组与其m(n+1)阶增广矩阵之间存在 一一对应关系，即可用方程组的增广矩阵完全代表该线性方程组.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
使方程组(4.1.1)的每个方程
a1'n xn， a2' n xn，
ar'n xn.
(4.1.1b)
如果取xr1=c1, xr2 c2 , , xn cnr，其中c1, c2 , , cnr为任意常数，
x1
d1
a' 1,r
1c1
x2
d2
a' 2,r
1c1
那么方程组(4.1.1b)有如下形式的解
xr
dr
ar' ,r1c1
例4.1
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
解线性方程
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
4x1 6x2 2x3 2x4 4,
3x 1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
(4.1.3)
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
①
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
解
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
4x1 6x2 2x3 2x4 4,
a mn
xn
b1
b2
bm
则方程组可以表示成 Ax
(4.1.2)
称矩阵A为方程组的系数矩阵，β为方程组的常数项矩阵，x为n元未
知量矩阵.方程(4.1.2)称为线性方程组的矩阵形式，也称之为向量方程.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
我们把方程组的系数矩阵A和常数项矩阵β放在一起构成一个m行n+1列矩阵
a x a x a x b (i 1, 2, , m)
i1 1
i2 2
in n
i
变成恒等式
a k a k
i1 1
i2 2
a k b (i 1, 2,
in n
i
, m)
的一个有序数组 (k , k , , k )叫做方程组(4.1.1)的一个解.
12
n
有解的线性方程组叫做相容方程组；无解的线性方程组叫做矛盾方程组.
上角r阶子式不为零，则线性方程组Ax=的增广矩阵
a a
11
12
(A
)
a 21
a 22
a a
m1
m2
1 0
0 1
a 1n
b 1
a 2n
b 2
初等行变换
0 0
0 0
a mn
b m
0 0
0 0
0 a' 1,r 1
0 a2' ,r1
1 ar' ,r1 0 0
0
a1' n
d1
a2' n d2
② ③
①③② 2
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
2x1 3x2 x3 x4 2,
② ③
3x 1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
④
3x1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
④
§ 4.1 线性方程组有解的条件
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
③②--22①①
④-3①
3x 2
+3x 3
x4
5x2 5x3 3x4
若(A) (i)( j) (B),则(B) (i)( j) (A)；
(i ) 1
若(A) ( (ki)0k) (B),则(B) k (A)；
若(A) (i)+k( j) (B),则(B) (i)-k( j)(A).
因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换都是方程组的 同解变换，所以最后求得的解(4.1.4)是方程组(4.1.3)的全部解，也称(4.1.4)为方程 组(4.1.3)的通解.
次初等行变换的过程，直到把方程组增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，便
能写出方程组的解.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
一般地，利用方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩，可以方便地讨论线性 方程组是否有解以及有解时方程组的解是否唯一等问题.
设线性方程组Ax=的系数矩阵A的秩为r，即R(A)=r,并不妨假定A的左
第4章 线性方程组与n维向量空间
线性方程组在数学许多分支以及其它领域中都有广泛的应用，求解线性方 程组是代数学讨论的核心问题之一. 在第一章中介绍过利用克拉默法则求解线性方 程组的方法, 但它要求线性方程组中方程个数与未知数个数相等，且方程组的系数 行列式不等于零. 然而，实际问题中所遇到的线性方程组在很多情形并不满足克拉 默法则的条件，因此需要寻找求解线性方程组的其它方法.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
例4.2
解下列方程组
5
x 1
x 2
2x 3
x 4
7,
2
wk.baidu.com
x 1
x 2
4x 3
2x 4
1,
x 1
3x 2
6x 3
5x 4
0.
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
解
(A
)
2 1
1 3
4 6
2 5
1 0
2 5
1 1
4 2
amn xn bm.
(4.1.1)
其中 x , x ,
1
2
,
x n
代表n个未知量；m是方程的个数，aij
(i 1, 2,
, m, j 1, 2,
, n)
表示第i个方程中第j个未知量的系数，称之为方程组的系数；bi (i 1, 2, , m)
称为方程组的常数项.
注意 方程组中方程的个数m与未知量的个数n可能不相等.
ar' n dr
0
dr
1
0 0
0 0
§ 4.1 线性方程组有解的条件
于是线性方程组Ax=的同解方程组为
x1
a x ' 1,r 1 r 1
x2
a x ' 2,r 1 r 1
xr
a x ' r ,r 1 r 1
a1'n xn d1，
a2' n xn
d
，
2
ar'n xn
d
，
r
0 dr1.
对于n元齐次线性方程组Ax=0，显然有R(A,0)=R(A), 即齐次线性方程组永远有解.
推论4.1 n元齐次线性方程组 Ax 0有非零解的充要条件 R( A) n.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
综合上述讨论得到 求解线性方程组的方法：对于齐次线性方程组，只要将系数矩阵用初等行
变换化成简化行阶梯形矩阵，便可写出其通解；对于非齐次线性方程组，先将 增广矩阵用初等行变换化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解。若有解，则 继续用初等行变换把增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，便能写出其通解。
x1 d1，
Ax
的唯一解
x2
d
，
2
xn dn.
R( A) R( A ) r n 时，线性方程组Ax=有无穷多解，
此时由线性方程组(4.1.1a)得到
§ 4.1 线性方程组有解的条件
x1
d1
a x ' 1,r 1 r 1
x2
d2
a' 2,r
1xr
1
xr
dr
ar' ,r1xr1
4
r r
1
2
r 1
32
2 2
1 3
1 1
1 1
2
2
3 6 9 7 9
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
0 r +r (-2) 2 1 r +r (-2) 0 r3 +r1 (-3)
3 5
3 5
1
6
3 6
41
0 3 3 4 3
1 1 2 1 4
r +r (- 5)
xr 1 =c1，
xr
2
=c2，
xn =cnr .
a1'ncnr，
a2'
ncn
，
r
ar'ncnr，
(4.1.5)
§ 4.1 线性方程组有解的条件
(4.1.5)为方程组(4.1.1)的无穷多个解的一般形式，称式(4.1.5)为方程组(4.1.1)的 全部解(或通解).
因此，n元线性方程组Ax=有没有解，以及有解时解是否唯一，都可以通过 对方程组的增广矩阵作初等行变换进行判定.
本章首先以矩阵为工具讨论线性方程组有解的条件及求解方法，其次引入n维 向量与向量空间的概念，在向量组、矩阵与线性方程组之间建立联系，然后以向 量组、矩阵为工具，讨论线性方程组有无穷多个解时，线性方程组的解的结构.
第4章 线性方程组与n维向量空间
§4.1 线性方程组有解的条件 §4.2 n维向量空间的概念 §4.3 向量组的线性相关性 §4.4 向量组的秩 §4.5 线性方程组解的结构
令c为任意常数，方程组的解可记作
x1 c 4
x
x2
c
3
x3
c
x4 3
x1 1 4
x
x2
c
1
3
x3
1 0
x4 0 3
这表明方程组(4.1.3)有无穷多个解.
x 1
x +4, 3
x 2
x +3, 3
x4 3，
§ 4.1 线性方程组有解的条件
6, 6,
3x 2
3x 3
4x4
3.
①
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
② ③
③-5②
④ +3②
④
3x +3x
2
3
x4
6,
4 3 x4 4,
3x4 9.
② ③ ④
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
③(- 3)
④14 3
3x +3x
2
3
x4
6,
x4 3,
② ③
x4 3. ④
x 1
x 2
方程组的所有解的集合叫做方程组的解集(解集的元素都是有序数组). 矛盾方程组的解集是空集.
解集相同的两个方程组叫做同解方程组.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.2 线性方程组有解的条件
在初等数学中，已学过用消元法解简单的线性方程组，这一方法也适用于求解一
般的线性方程组(4.1.1)，并可用方程组增广矩阵的初等行变换表示其求解过程.
由例4.1的求解过程可见，用消元法解线性方程组的过程中，始终把方程组看作 一个整体，用到三种变换：交换第i个方程与第j个方程的次序(方程i与方程j相互 交换)；用不等于零的数k乘以第i个方程(以i×k替换方程i)；第i个方程加上第j个 方程的k倍(以i+kj替换方程i).由于这三种变换都是可逆的，即
1
r (-
2
1)
3
0
0
1 1 0
2 0 1 0 01
7
3
3
1
r +r (-1) 12
0
0
0 1 0
0
0
0
0
0
0
0
x 1
x +4, 3
由最后一个矩阵得到方程组的解
x 2
x +3, 3
x4 3，
1 0 4
1 0
3
0 1 3
0
0
0
其中x3可任意取值.
(4.1.4)
上述表明，用消元法解方程组的过程就是对方程组的增广矩阵作有限