第三章 环与域
环与域的定义与基本性质
环与域的定义与基本性质环与域是抽象代数学中重要的概念，它们在数学和其它领域有着广泛的应用。
本文将介绍环与域的定义、基本性质以及它们在代数学中的应用。
一、环的定义与基本性质环是一个集合R，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. 加法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a+b∈R；2. 加法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)+c=a+(b+c)；3. 加法的交换律：对于任意的a、b∈R，a+b=b+a；4. 零元素的存在：存在一个元素0∈R，对于任意的a∈R，a+0=a；5. 加法逆元素的存在：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+(-b)=0；6. 乘法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a×b∈R；7. 乘法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a×b)×c=a×(b×c)；8. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c；9. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)×c=a×c+b×c。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈R，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈R，使得对于任意的a∈R，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 乘法的交换律：对于任意的a、b∈R，a×b=b×a。
二、域的定义与基本性质域是一个集合F，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. F构成一个交换环；2. F中非零元素构成一个乘法群。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素的唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈F，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈F，使得对于任意的a∈F，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 消去律：对于任意的a、b、c∈F，如果a×b=a×c且a≠0，则b=c。
近世代数(吴品三)习题解答第三章 环与域
k1 k2 ,b = m , m1 2 2 2
k1 2 m2 k 2 2 m1 .显然,经过约分之后, a ± b 仍是分母为 2 的非负整 2 m1 m2
k1 k 2 ∈ A. 2 m1 m2
数次方幂的既约分数,从而 a ± b ∈ A .同理, ab =
按环的定义,容易证得, A 关于数目加法、乘法作成一个环. 10. 设 S 表示 A 的一切不是(左零因子,也不是右)零因子的元的集合,证明, S 是( A ,·)的子半群. [证] a, b S ,今用反证法证明 ab 不是 A 的左零因子. 如 若 ab 为 A 的 左 零 因 子 , 则 有 c A , c ≠0, 使 得 ( ab)c =0. 所 以
(ab) 1 = b 1a 1 .
[ 证 ] 因 为 a , b 是 A 的 正 则 元 , 所 以 a , b
1 1
A , 使 得
aa 1 = a 1a =1, bb(bb1 )a 1 = aa 1 =1; 且
因为 E 是环,所以( f 1 - f 2 )∈ E ,( f 1 · f 2 )∈ E . 又因为 H 是 G 的子群 , f 1 ( x H ) f 1 ( x ) H , f 2 ( x H ) f 2 ( x ) H . 所以对 x G , h H ,有: ( f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H ); ( f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) · f 2 ( x ) + H ). 所以 x G , h H , ( f 1 - f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H =( f 1 - f 2 )( x )+ H ; ( f 1 · f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) + H =( f 1 f 2 )( x )+ H . 从而( f 1 - f 2 )∈ B H ,( f 1 · f 2 )∈ B H ,故 B H 是 E 的一个子环. 14*. 设( A ,+,·)是一个环,对 A 规定加法与乘法: f , g A A , x A ,命
环与域 高等代数中的抽象代数概念
环与域高等代数中的抽象代数概念高等代数是数学的一个分支，其中包括了许多抽象的代数概念。
在高等代数中，环与域是两个非常重要的概念。
本文将介绍环与域的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、环的定义和性质1.1 环的定义在抽象代数中，环是一个包含了加法和乘法两种运算的集合，同时满足一些基本的性质。
具体来说，一个环需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律和分配律。
1.2 环的性质在环的定义中，我们可以得到一些重要的性质：（1）加法运算满足交换律。
（2）乘法运算不一定满足交换律。
（3）环中存在一个乘法单位元素。
（4）任意元素都存在相反元素。
二、域的定义和性质2.1 域的定义域是一种广义的环，更加严格地定义了乘法运算。
具体来说，一个域需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律、存在单位元素。
（4）每个非零元素都存在乘法的逆元素。
2.2 域的性质与环相比，域更加严格，因此具有更多的性质：（1）加法运算和乘法运算都满足交换律。
（2）存在加法单位元素和乘法单位元素。
（3）每个非零元素都存在乘法逆元素。
（4）对于乘法运算满足消去律。
三、环与域的应用环与域作为抽象代数的基础概念，在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 线性代数线性代数中的向量空间和矩阵空间可以被看作是特定类型的环。
通过对环的研究，我们可以推导出许多线性代数中的重要结论和算法，例如矩阵的乘法、行列式的计算等。
3.2 代数几何代数几何研究的是通过代数方程和环的方法来研究几何问题。
环论在解析几何、射影几何等领域的研究中起着重要的作用，能够通过代数方法来描述和解决几何问题。
3.3 数论数论研究的是整数的性质和规律，而环论和域论在数论中扮演着重要的角色。
近世代数--第三章小结
第三章 环与域总结第一节 加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。
⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。
⑵元a 的唯一的逆元叫做a 的负元，记作-a ，简称负a 。
环的定义：〔•+,,R 〕①〔R +〕是交换群〔R 对+封闭〕；②· ：R R R →⨯满足结合律，即()()bc a c ab R c b a =∈∀,,,③+和·都满足分配律：即对R c b a ∈∀,,满足()ac ab c b a +=+()ca ba a c b +=+称R 在+和·运算下是环。
①.R 是一个加群；②.R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；③.这个乘法适合结合律：()()c ab bc a =，不管c b a ,,是R 的哪三个元；④.两个分配律都成立：()()bc ba a c b ac ab c b a +=++=+,，不管c b a ,,是R 的哪三个元。
环满足如下运算：①00a a =,对R a ∈∀②()ac ab c b a -=-()bc ac c b a -=-③()()()()ac c a ac c a c a =--=-=-,④()()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++m i nj j i n j j m i i n n b a b a b b b a a a 11112121 定义：〔•+,,R 〕，假设对R b a ∈∀,,有ba ab =,即满足交换律的环是交换环。
〔•+,,R 〕，假设R e ∈∃,对a ae ea R a ==∈∀,则称e 为R 的一个单位元。
一般地，一个环不一定有单位元。
〔•+,,R 〕，含有单位元e ，,R a ∈假设R b ∈∃，使得e ba ab ==,则称b 是a 的逆元。
〔•+,,R 〕，0,≠≠b b a ，假设0=ab ,则称a 为左零因子，b 为右零因子。
既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。
环的定义及性质
注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
16/20
域中除法及其性质
在域F中可以引入除法，如果a,b ∈F， a ≠ 0
，
则b有被以a除下记性为质b：/a，且b/a=a-1b.
17/20
练习1
1. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab.
以外都是域.
(2) 令2Z={2z | z∈Z}，则(2Z,+,·)构成交换环和无 零
因子环. 但不是含幺环和整环.
(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩 阵
加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环
和
14/20
无零因子环
定理1 环R是无零因子环当且仅当在R中乘法满足
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2
9/20
问题
初等代数中： ab=0 a=0或b=0 n≠0，na=0 a=0
环中： ab=0 a=0或b=0 ? n≠0，na=0 a=0 ?
或可换环.
(2) 若环中乘法 ·存在单位元，则称R是含幺环.
4/20
例1
环的实例
(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通 的
加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环
Q，实数环R和复数环C.
(2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和 乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环.
近世代数习题解答(张禾瑞)三章
近世代数习题解答第三章 环与域1 加群、环的定义1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+⇒∈,'0是S 的零元,即a a =+'0对G 的零元,000'=∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+⇒∈, S a S a ∈-⇒∈今证S 是子群由S S b a S b a ,,∈+⇒∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-⇒∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件:若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-⇒∈-⇒∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-⇒∈=-⇒∈00 故S b a b a S b a ∈+=--⇒∈)(,2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定:+ 0 a b c ⨯0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0c0 a b c证明,R 作成一个环 证 R 对加法和乘法的闭的.对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(=事实上.当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)(事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了.至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx剩下的情形就只有0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b∴R 作成一个环.2 交换律、单位元、零因子、整环1. 证明二项式定理n n nn n b b a a b a +++=+- 11)()(在交换环中成立. 证 用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的:k i i k k i k kk k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k++))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k kk ++++++=--1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a111111)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11kr k r k r -++=)即二项式定理在交换环中成立.2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环.证 设a 是生成元 则R 的元可以写成na (n 整数)2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma =3． 证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他条件的结果 (利用)11)((++b a ) 证 单位元是1,b a , 是环的任意二元,1)11(1)()11)((⋅++⋅+=++b a b ab a b a +++= )11()11(+++=b a b b a a +++=b b a a b a b a +++=+++∴ b a a b +=+4． 找一个我们还没有提到过的有零因子的环.证 令R 是阶为2的循环加群 规定乘法:R b a ∈,而0=ab 则R 显然为环.阶为2 ∴有R a ∈ 而 0≠a但 0=aa 即a 为零因子 或者R 为n n ⨯矩阵环.5． 证明由所有实数2b a + (b a ,整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说 是一个整环.证 令2{b a R +=b a ,(整数)}(ⅰ) R 是加群2)()()2()2(d b c a d c b a +++=+++ 适合结合律,交换律自不待言.零元 200+2b a +的负元2b a --(ⅱ)2)()2()2)(2(bc ad bd ac d c b a +++=++ 乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.(ⅲ)单位元 201+(ⅲ) R 没有零因子，任二实数00=⇒=a ab 或0=b3 除、环、域1. =F {所有复数bi a + b a ,是有理数}证明 =F 对于普通加法和乘法来说是一个域. 证 和上节习题5同样方法可证得F 是一个整环.并且 (ⅰ)F 有01≠+i(ⅱ) 0≠+bi a 即 b a , 中至少一个0≠022≠+∴b a 因而有,i b a b b a a 2222+-++ 使)((bi a +i b a bb a a 2222+-++1)= 故F 为域2. =F {所有实数,3b a + b a ,( 是有理数)} 证明 F 对于普通加法和乘法来说是一个域.证 只证明 03≠+b a 有逆元存在.则b a ,中至少有一个0≠ , 我们说0322≠-b a 不然的话,223b a =,0(≠b 若0=b 则 0=a 矛盾)223b a = 但 3 不是有理数既然0322≠-b a则 3b a + 的逆为3332222b a bb a a -+-4. 证明 例3的乘法适合结合律.证),)](,)(,[(332211βαβαβα=),)(,(331212121βααββαββαα--+----+--=,)()[(3212132121βαββααββαα ---+--])()(3212132121ααββαβββαα 又 )],)(,)[(,(332211βαβαβα],)[,(3232323211--+-=αββαββααβα -----------------+--=)()([3232132321αββαβββααα, )]()(3232132321----------------++ββααβαββαα ),([32321321321----------+--=βββαβββαααα )](32321321321----------++αββαβαβαβαα,[321321321321αβββαβββαααα-------= ]321321321321βββααβαβαβαα-----++ ,)()[(3212132121βαββααββαα--+--= 3212132121)()(---++-ααββαβββαα )])()[(())]()([(332211333211βαβαβαβαβαβα=∴5. 验证,四元数除环的任意元 )(),(di c bi a ++ ,这里d c b a ,,,是实数,可以写成 ),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(i d c i b a +++的形式.证 ),(),(),(di bi c a di c bi a +=++ ),0()0,(),0()0,(di bi c a +++=),0)(0,()0,)(0,()1,0)(0,()0,(i d i b c a +++=4 无零因子环的特征1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.(a )的特征是2;(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程 证 (a ) 设F 的特征为P 则P 的(加)群F 的非零元的阶 所 4P (4是群F 的阶) 但要求P 是素数, .2=∴P (b ) 设},,1,0{b a F =由于2=P ,所以加法必然是,0=+x x ,而b a a a =+⇒≠+11 故有0 1 a b0 0 1 a b 1 1 0 b a A a b 0 1 Bb a 1 0 又 },,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是 1,=⇒≠≠ab b ab a ab1,22≠≠a a a (否则b a = )b a =⇒2故有.1 a b 11 a b a a b 1 bb a 1这样, b a , 显然适合12+=x x2. 假定 ][a 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素). 证 设][a x ∈ 且d n x =),( 则11,dn n dx x ==由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=⇒=-故有 ,a d ,且有 n d因为 1),(=n a 所以1=d3. 证明, 所有同 n 互素的模 n 的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ 来表示,并且把它叫做由拉φ函数)证]{[a G =而][a 同n 互素}G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G(ⅰ)G b a ∈][],[则][]][[ab b a =又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n abG ab ∈∴][(ⅱ)显然适合结合律.(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限. 若]][[]][['x a x a = 即][]['ax ax =由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴=即有][]['x x =另一个消去律同样可证成立.G 作成一个群4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)(n an ≡φ(费马定理)证 ),(n a 则G a ∈][而 ][a 的阶是G 的阶 )(n φ的一个因子 因此]1[][)(=n a φ即]1[][)(=n aφ)(1)(n a n ≡∴φ5 子环、环的同态1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.证 设N 是环的中心.显然N O ∈ N b a ∈,，x 是环的任意元N b a b a x xb x bx ax x b a ∈-⇒-=-=-=-)()( N ab ab x b xa b ax xb a bx a x ab ∈⇒=====)()()()()()(是子环,至于是交换环那是明显的.2. 证明, 一个除环的中心是个域.证 设!是除环！是中心 由上题知N 是R 的交换子环,1R ∈显然N ∈1,即N 包含非零元,同时这个非零元1是的单位元.R x N a ∈∈,即xa ax =N a x a xax axa xaa axa ∈⇒=⇒=⇒=------111111N ∴!是一个域3. 证明, 有理数域是所有复数b a bi a ,(+是有理数）作成的域)(i R 的唯一的真子域. 证 有理数域R 是)(i R 的真子域.设F !是)(i R 的一个子域,则R F ⊇(因为R 是最小数域) 若,F bi a ∈+ 而0≠b则)(i F F F i =⇒∈这就是说,R 是)(i R 的唯一真子域.4. 证明, )(i R 有且只有两自同构映射.证 有理数显然变为其自己. 假定α→i则由i i =⇒-=⇒-=αα1122或 i -=α这就证明完毕. 当然还可以详细一些:bi a bi a +→+:1φ bi a bi a -→+:2φ21,φφ确是)(i R 的两个自同构映射.现在证明只有这两个. 若bi a i +=→αφ:(有理数变为其自己)则由12)(12222-=+-=+⇒-=abi b a bi a i 1,0222-=-=b a ab若 102-=⇒=a b 是有理数,在就出现矛盾,所以有0=a 因而.1±=b在就是说, 只能i i → 或i i -→i5. 3J 表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群3J 的所有自同构映射,这找出域3J !的所有自同构映射.证 1）对加群3J 的自同构映射 自同构映射必须保持!00←→ 故有i i →:1φ2）对域3J 的自同构映射.自同构映射必须保持00←→，11←→所有只有i i →:φ6. 令R 是四元数除环, R 是子集=S {一切)}0,(a 这里a 阿是实数,显然与实数域-S 同构.令-R 是把R 中S 换成-S 后所得集合;替R 规定代数运算.使-≅R R ,分别用k j i ,,表示R 的元),,0(),1,0(),0,(i i ,那么-R 的元可以写成d c b a dk cj bi a ,,,(+++是实数）的形式(参看.3.3 习题5). 验证.1222-===k j i ，.,,j ik ki i kj jk k ji ij =-==-==-=证 1）对a a →)0,(:φ来说显然-≅S S 2）=S {一切)}0,(a a 实数 =-S {一切（)0,a a 实数 βα,{(=R 一切)}0,(a 复数对)(αβ是不属于S 的R 的元. =-R βα,{(一切}a规定a a →→)0,(),,(),(:βαβαψ由于S 与-S 的补足集合没有共同元,容易验证ψ是R 与-R 间的一一映射. 规定-R 的两个唤的和等于它们的逆象的和的象. -R 的两个元的积等于它们的逆象的积的象.首先,这样规定法则确是-R 的两个代数运算.其次,对于这两个代数运算以及R 的两个代数运算来说在ψ之下-≅R R（3）由.3.3习题5知),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(),(i d c i b a di c bi a +++=++ 这里 d c b a ,,, 实数这是因为令),0(),1,0(),0,(i k j i i ===（4）1)0,1()0,)(0,(2-=-==i i i1)0,1()1,0)(1,0(2-=-==j 1)0,1()1,0)(1,0(2-=-==k k i ij -===)1,0()1,0)(0,( k i i ji -=-==),0()0,)(1,0(同样j ik ki i kj jk =-==-=,6 多项式环1. 证明, 假定R 是一个整环,那么R 上的一个多项式环][x R 也是一个整环. 证 R !是交换环][x R ⇒交换环, R 有单位元11⇒是][x R 的单位元, R 没有零因子][x R ⇒没有零因子事实上，0,)(10≠++=a x a x a a x f n n0,)(10≠++=m m m b x b x b b x g则m n m n x b a b a x g x f +++= 00)()( 因为R 没有零因子,所以0≠m n b a 因而0)()(≠x g x f 这样][x R 是整环2． 假定R 是模7的剩余类环,在][x R 里把乘积 ])3[]4])([4[]5[]3([23+--+x x x x 计算出来解 原式=]2[]5[]4[]5[]5[]5[]3[]5[345345++++=-++-x x x x x x x x 3. 证明:(ⅰ) ],[],[1221ααααR R =(ⅱ) 若n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元,那么每一个i x 都是R 上的未定元. 证 （ⅰ）=],[21ααR {一切}211221i i i i aαα∑{],[12=ααR 一切}112212j j j j a αα∑由于=∑211221i i i i aαα112212j j j j a αα∑因而=],[21ααR ],[12ααR（ⅱ）设00=∑=nk k ik xa即∑=+-nk ni h i i k x x x xx a 00010101 因为n x x x ,,21是R 上的无关未定元,所以即i x 是R 上的未定元4. 证明:(ⅰ) 若是n x x x ,,21和n y y y ,,21上的两组无关未定元,那么],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅(ⅱ) R !上的一元多项式环][x R 能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)),,(),,(:2121n n y y y f x x x f →φ 根据本节定理3 ],,[~],,[2121n n y y y R x x x R容易验证),,(),,(212211n n x x x f x x x f ≠),,(),,(212211n n y y y f y y y f ≠⇒ 这样],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅（ⅱ）令{][=x R 一切}2210n n x a x a a +++显然][][2x R x R ⊂ 但][2x R x ∉不然的话m m m m x b x b x b x b x b b x 22102210 ++-⇒++=这与x 是R 上未定元矛盾. 所以][2x R 是][x R 上未定元显然 故有（ⅰ）}[][2x R x R ≅这就是说,][2x R 是][x R 的真子环,且此真子环与][x R 同构.7 理想1. 假定R 是偶数环,证明,所有整数r 4是ϑ的一个理想,等式!对不对? 证 R r r r r ∈∈2121,,4,4ϑϑ∈-=-)(4442121r r r r R r r ∈-21 ϑ∈=∈)(4)4(,'1'1'r r r r R r R r r ∈'1 ϑ∴ 是R 的一个理想. 等式 )4(=ϑ不对这是因为R 没有单位元,具体的说)4(4∈但ϑ∉42. 假定R 是整数环,证明.1)7,3(=证 R 是整数环,显然)1(=R .1)7,3(=又 )7,3()7(13)2(1∈+-=1)7,3(=∴3. 假定例3的R 是有理数域,证明,这时),2(x 是一个主理想.证 因为2与x 互素,所以存在)(),(21x P x P 使),2(11)()(221x x xP x P ∈⇒=+),2()1(][x x R ==∴ 。
近世代数(3-1)
2021/4/9
14
最大理想(续)
定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是 R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R 的最大理想.
证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故 由定理3.8.3A是R的最大理想.
充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理 想与单位理想,要证K是域.设0aK,则(a)=K.说 明1=a*a,a*K,K是域.
2021/4/9
10
理想(续2)
例3 整系数多项试环Z(x)中(2,x)不是主 理想环. 证 首先 (2,x)={2f(x)+xg(x)|f(x),g(x)Z(x)}.
若(2,x)=(p(x)),则2(p(x)),2=p(x)q(x). 因此p(x)=aZ.又因x(p(x)),故a=1.但
(1)=Z(x), 矛盾,因此(2,x)不是主理想.
2021/4/9
7
多项式环(续)
定理3.6.3 设R是一个有单位元的交换环， x1，…，xn是R上的无关未定元α1…，αn是R上的 任意元，则有环同态R[x1…，xn]～R[α1…αn]. 特别地,R[x] ～R[α].
注 无关未定元含义: ax2+bx+c=0a、b、c=0
例 Z[x] ～Z(i), Q(x) ～Q[ 2 ]
2021/4/9
11
环同态
重点 与群的同态基本定理(2.11.2)一样也有环 的同态基本定理(3.8.2).
定义1. 设φ:R～ 是环同态，则 A=Kerφ={x∈R|Rφ(X)=0} 称为φ的核。
定义2. 设A是环R的理想,则R/A={x+A|x∈R}在 加乘(x+A)+(y+A)=(x+y)+A,(x+A)(y+A)=xy+A 之下成为一个环,这个环称为剩余类环,其元素 通常记为x+A=[x].
第三章 环与域
注 1) R 中左零因子和右零因子这两个概念是彼 此依赖,彼此依托 —“共存亡”:有左零因子 有右零因子.
由上可知,欲说明 a 0 是左零因子,则只需 证明存在 b 0 使 ab = 0. 欲说明 a 0 不是左 零因子,则只需证明任一个 b 0 都有 ab 0(或 一旦 ab = 0 b = 0).
证毕. 定义3 如果环 R 中有元素 e, 它对R 中每个 元素 a 都有e a = a,则称 e 为环 R 的一个左单位 元;如果环 R 中有元素 e,它对 R 中每个元素 a 都有 ae = a,则称 e 为环 R 的一个右单位元.
6
环 R 中既是左单位元又是右单位元的元素, 叫做 R 的单位元. 实际上,由于环 R 对其乘法显然作成一个半群， 故 R 的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右 单位元或单位元. 例3 证明:集合 M 的幂集 P(M) 对运算 A + B = A∪B A ∩ B AB = A ∩ B A, B M 作成一个有单位元的交换环.这个环称为 M 的幂集环. 证明：显然,上述加法是P(M)的代数运算且满足 交换律;又显然空集是 P(M) 的零元，而 A 的负元为 A 自身. 因此,欲证 P(M ) 作成加群只剩下证该代数 运算满足结合律.
17
对没有零因子的环 R 中任意元素 a 0 , b, c 有 ab = ac b = c
ba = ca b = c
,左消去律成立; ,右消去律成立.
推论 当环 R 无左(或右)零因子时,则消去律 成立;反之,若 R 中有一个消去律成立,则 R 中无 左及右零因子,且另一个消去律也成立. 定义2 无零因子、有单位元的交换环称为整环.
n m n m
a )( b ) a b
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
第15讲 第3章第1-2节环的定义,交换律,单位元,零因子
(1) (a m )n a mn (2) a a a
m n mn
( n, m为正整数)
注意: 如果环 R 不是交换环, 则等式
( a b) n a n b n 一般不成立.
环的加法满足的性质足够完美，故研究环 是侧重对其乘法进行研究。一些概念是针 对乘法而言的。
如果环 R 的乘法还满足交换律, 则称 R 为交换环. 定义4
上定义
a b a b , [a ],[b] Z n
则它是一个交换群，叫做模n的剩余类加群；
再规定乘法： b ab , [a ],[b] Z n a
则它做成一个交换环，叫模n的剩余类环，仍记为 Z n 零元为[0],单位元为[1].
例如Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}中 [2] ≠[0],[3] ≠[0],但[2][3]=[0],此环中有零因子
14) ( ai )b (ai b), a( bi ) (abi )
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
15) (na)b a(nb) n(ab)
a R, n N , 规定 规定方幂: 设
a a a a
n n
则有下列指数法则:
1 1 1 1 A , B 1 1 0 0
定义8 一个没有零因子的环称为无零因子环.
定义9：设a是环R非零元。
若ab=ac，必有b=c，则称环R满足左消去律；
若ba=ca，必有b=c，则称环R满足右消去律。
定理 无零因子环 R 中,两个乘法消去律都成立；
即在有单位元的环R里，规定 a 0 1R , 0 a R.
定义 6 设 R 为有单位元 1 R 的环, a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
离散数学ch12[1]环与域
![离散数学ch12[1]环与域](https://img.taocdn.com/s3/m/a43de24ae45c3b3567ec8b57.png)
环:定理 定理
定理 设<R,+,>是环,则 (1) a∈R, a0 = 0a = 0 (2) a,b∈R, (-a)b = a(-b) = -ab (3) a,b,c∈R, a(b-c) = ab-ac, (b-c)a = ba-ca (4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)
环:实例 实例
环的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通 的加法和乘法构成环,分别称为整数环 有理数 整数环Z,有理数 整数环 有理数Q, 实数环R和复数环 复数环C. 实数环 复数环 (2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法 和乘法构成环,称为n阶实矩阵环 阶实矩阵环。 阶实矩阵环 (3)集合的幂集ρ(B)关于集合的对称差运算和交运 算构成环。 (4)设Zn＝{0,1,...,n－1}, ⊕ 和 分别表示模n的加 法和乘法,则<Zn, ⊕ , >构成环,称为模n的整数环 的整数环。 模 的整数环
环的同态
定义 设R1和R2是环。 ：R1→R2, 若对于任意的x,y∈R1有 (x+y)= (x)+ (y)， (xy)= (x) (y) 成立,则称是环R1到R2的同态映射 同态映射,简 同态映射 称环同态 环同态。 环同态 类似于群同态,也可以定义环的单同态, 满同态和同构等。
整环
整环
设<R,+,>是环, (1) 若环中乘法适合交换律,则称R是交换环 交换环。 交换环 (2) 若环中乘法存在单位元,则称R是含幺环 , R 含幺环 含幺环。 (3) 若 a,b∈R,ab=0 a=0∨b=0,则称R是无零因子环。 无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环, 则称R是整环 整环。 整环
近世代数基础第三章环与域
近世代数基础第三章环与域第三章环与域本章主要讨论两种代数系统，在⾼代中看到了，全体整数作⼀个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作⼀个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。
§3.1 加群、环的意义●课时安排约1课时●教学内容本书P80-84定义：⼀个交换群叫做⼀个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且⽤符号+来表⽰。
在群中有零元、负元定义：⼀个集R叫做⼀个环，假如：1、R是⼀个加群；‘2、R对乘法运算封闭3、适合结合律4、两个分配律成⽴●教学重点加群和环的定义●教学难点环的运算性质的证明●教学要求了解加群和环的关系●布置作业P84 2●精选习题P84 1§3.2 交换律、单位元、零因⼦、整环●课时安排约1课时●教学内容本书P84-P89定义：⼀个环R叫做⼀个交环环，假如ab=ba不管a1b是R的哪两个元定义：⼀个环R的⼀个元e叫做⼀个单位元。
假如对R的任意元a来说，都有：ea = ae = a例1：书上P85定义：⼀个有单位元环的⼀个元b叫做a的⼀个逆元。
假如：ba=ab=1例2：P86定义：若是在⼀个环⾥a≠0，b≠0，但ab=0则a是环的⼀个左零因⼦，b是⼀个右零因⼦。
例3：P88定理：在⼀个没有零因⼦的环⾥两个消去律都成⽴。
a≠0,ab=ac=>b=c a≠0,ba=ca=>b=c反之也成⽴推论：在⼀个环⾥如果有⼀个消去律成⽴，那么另⼀个消去律也成⽴。
定义：⼀个环R叫做⼀个整环，假如：1、乘法适合交换律：ab=ba；2、R有单位元1：|a=a|=a3、R没有零因⼦：ab=0=>a=0或b=0●教学重点交换环、整环、单位元、零因⼦●教学难点剩余类环和定理的证明●教学要求掌握以上内容●布置作业P89 1，2，5●精选习题P89 3，4§3.3 除环、域●课时安排约1课时●教学内容P89-93例1：P90例2：P90定义：⼀个环R叫做⼀个除环，假如：1、R⾄少包含⼀个不等于零的元；2、R有⼀个单位元；3、R的每⼀个不等于零的元有⼀个逆元。
第三章 环与域
注: 在除环 中 ∀a(≠ 0) ∈R,b∈R ， −1b 与 ba −1未必相等． 在除环R中 未必相等． a b
−1 −1
若R是域，则 a b = ba ，统一记为 a ，称为b除以 的 是域， 称为 除以a的 是域 除以 商，易知商具有与普通数相似的一些性质
H = {a0 + a1i + a2 j + a3k | a0 , a1, a2 , a3 ∈ℝ} 是实数域
） 注: （1）并非所有的环都是含幺环 如 2Z ＝{所有偶数 ．R对于数的普通加法和乘法 所有偶数}． 对于数的普通加法和乘法 所有偶数 作成一个环，但是 没有单位元 没有单位元． 作成一个环，但是R没有单位元 是有单位元的非零环， （2）若R是有单位元的非零环，则R中的零元与单位元 ） 是有单位元的非零环 中的零元与单位元 一定不相等．注意， 也是一个含幺环． 一定不相等．注意，零环 R = {0} 也是一个含幺环． 故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环． 故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环． （3）含幺环中的单位元总是惟一存在的． ）含幺环中的单位元总是惟一存在的． （4）在含幺环 中，规定 a0 =1,∀a∈R. ）在含幺环R中 的一个逆 定义 3.1.4 一个有单位元环的一个元 叫做元 的一个逆 元，假如 是一个可逆元 ，此时也称a是一个可逆元 记 此时也称 是一个可逆元,记
不是整环． 不是整环． 去律. 去律
R是无零因子环 ⇔ " ∀a, b ∈ R, ab = 0有a = 0或b = 0" 是无零因子环 ⇔ R中非零元素之积仍非零． 中非零元素之积仍非零． 中非零元素之积仍非零
定义3.1.8 一个环 叫做一个除环（或体、斜域），假如 一个环R叫做一个除环（ 叫做一个除环 斜域）， ），假如 定义
近世代数之环与域
证 （1）由第一章知，剩余类的加法是 Z m 的代 数运算. 由第二章知 Z m , 是加群. 下面证明乘法 “·” :
[i ] [ j ] [i j ] 是 Z m 的代数运算.
假设 i [i ], j [ j ]，那么 按照定义，有
[i[ [i],[ j] [ j ]
[i] [ j] [i j]
（2）
（1） ， （ 2 ）两式的左端是相等的， 即
[i] [ j] [i ] [ j ].
如果它们的右端不一样，就有
[i] [ j] [i ] [ j ]，
那么，规则“· ”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“· ”得到 两个不同的值了.
a a a (a) (a) a 0, a R; (a ) a, a R;
a b c b a c, a, b, c R;
性质5 (a b) a b, (a b) a b, a, b R; 性质6 m(na) (mn)a, n(a b) na nb, m, n Z , a, b R;
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 三 章
环 和 域
群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统 “· ” R, , 中设 Z 为整数集,
数学的环与域
环与域的研究方向
同调代数：研究 环与模的同调性 质及其在几何、 拓扑中的应用
代数几何：将代 数与几何相结合， 研究环与域在几 何对象上的表示 和性质
代数编码：研究 环与域在编码理 论中的应用，如 纠错码和密码学 等
算术代数几何： 研究环与域在数 论和代数几何中 的交叉应用，如 Diophantine方 程和代数曲线等
THANK YOU
汇报人：XX
环和域的应用领域
代数方程求 解
线性代数
矩阵计算
微分方程求 解
环与域的实例
整数环
定义：整数环是由整数构成的环，满足加法和乘法的封闭性 例子：如加法群Z，乘法群Z等 性质：整数环具有加法和乘法的可交换性、可结合性和有单位元等性质 应用：整数环在代数、数论等领域有广泛的应用
域的扩张
定义域的扩张为在某个数集中增加一些元素，使得该数集在某种运算下封闭。 域扩张的方法包括有限扩张、代数扩张和超越扩张。 有限扩张是最简单的域扩张，可以通过有限次添加有限个元素实现。 代数扩张是从一个多项式出发，通过添加其根元素实现域扩张。
代数几何中的环与域
代数几何中，环与域是基本的数学概念，用于描述代数对象的集合和代数对象的运算规 则。
环是由满足特定代数性质的代数对象的集合构成的代数结构，而域是特殊的环，其中加 法和乘法都是可交换的。
在代数几何中，环和域的概念被广泛应用于研究代数曲线、代数曲面以及更高维度的代 数对象。
通过环与域的理论，代数几何学家可以深入理解代数对象的几何性质和代数性质，进一 步推动数学的发展。
环与域的研究方法
代数方法
定义：环与域的代数性质和结构
证明：环与域的证明方法和技巧
添加标题
添加标题
第三章环与域
第三章环与域第三章环与域与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。
但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。
在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。
§1 加群、环得定义一、加群在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。
因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。
由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。
如:(1)加群得单位元用0表示,叫做零元。
即,有。
(2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。
即有。
利用负元可定义加群得减法运算:。
(3)。
(4)。
(5)(6),且有请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。
加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。
加群得子群得陪集表示为:。
二、环得定义设就是一个非空集合,“+”与“。
”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若1、对于“+”作成一个加群。
2、对于“。
”就是封闭得。
3、 ,有,即乘法适合结合律。
4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。
则称关于“+”与“。
”作成一个环。
由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。
例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。
分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。
例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。
例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。
环与域知识点
环和域是抽象代数中的重要概念。
它们是代数结构的特殊类型，具有一些特定的性质和规则。
以下是关于环和域的一些知识点：
1.环：环是一个集合，配合两个二元运算（通常用加法和乘法表示），满足一些特定的性质。
一个环必须满足以下条件：
加法运算形成一个阿贝尔群（交换、结合、零元素和逆元素）。
乘法运算满足结合律。
乘法满足分配律（左分配律和右分配律）。
环中的乘法不一定要满足交换律。
2.域）：域是一个更严格的代数结构，它是一个满足特定条件的环。
一个域必须满足以下条件：
加法运算形成一个阿贝尔群。
乘法运算形成一个阿贝尔群（不包括零元素）。
乘法满足分配律。
域中的乘法满足交换律。
3.子环和子域：如果一个环或域的一个子集满足环或域的定义和性质，那么它就是该环或域的子环或子域。
4.单位元素：环和域中的加法和乘法都有一个单位元素（零元素和一元素）。
加法的单位元素通常表示为0，乘法的单位元素通常表示为1。
5.零因子和整环：环中的非零元素a和b称为零因子，如果ab=0。
零因子的存在可能导致环中不存在乘法逆元素。
6.有限环和无限环：环和域可以是有限的（元素个数有限）或无限的（元素个数无限）。
7.特殊环和域：例如，交换环（乘法满足交换律）和整数环（满足整数加法和乘法规则的环）是一些特殊类型的环。
而有理数域和实数域是一些常见的域。
以上是环和域的一些基本知识点。
在抽象代数中，环和域是广泛应用的代数结构，在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。
但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。
在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。
§1 加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。
因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。
由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。
如：（1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。
即a G ∀∈，有00a a a +=+=。
（2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。
即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：()a b a b-+-。
（3）()a a--=。
（4）a c b c b a+=⇔=-。
（5）(),()a b a b a b a b-+=----=-+（6）(00()()a a a n a nna nn a n+++⎧⎪==⎨⎪--⎩个相加）为正整数为负整数，且有(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。
加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S⇔∀∈，有,a b a S+-∈,a b S⇔∀∈，有a b S-∈。
加群G的子群H的陪集表示为：a H H a+=+。
二、环的定义设R是一个非空集合，“+”与“。
”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若1. R对于“+”作成一个加群。
2. R对于“。
”是封闭的。
3. ,,a b c R∀∈，有()()a bc ab c=，即乘法适合结合律。
4. ,,a b c R∀∈，有(),()a b c a b a c b c a b a c a+=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。
则称R关于“+”与“。
”作成一个环。
由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
例1 整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。
分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。
例2 数域P上所有n阶方阵作成的集合n nP⨯关于矩阵的加法和乘法作成环。
例3 2{2|}=∈关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数Z k k Z环。
问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？答：否。
因为关于加法不构成加群。
由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。
此外，环还有下列基本性质：（7）(),()-=--=-a b c ab ac b c a ba ca证明：由两个分配律以及负元的定义，有-+=-+=+-+=+-+=+=()[()][(()))][((()](0)a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab-+=-+=+-+=+-+=+=b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba()[()][(()))][((()](0)再由（4）得，(),()-=--=-。
a b c ab ac b c a ba ca（8）000==a a证明：0()0,0()0=-=-==-=-=a a a a aa aa a a a a aa aa（9）()()-=-=-a b a b ab证明：因为+-=+-==ab a b a a b b()(())00+-=+-==()(())00ab a b a b b a所以()()-=-=-。
a b a b ab（10）()()a b ab --=证明：()()[()]()a b a b ab ab --=--=--=（11）1212()n n a b b b ab ab ab +++=+++1212()n n b b b a b a b a b a +++=+++证明略（12）11111()()m n n m n a a b b a b a b a b ++++=++++即111()()m n m ni j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑。
证明略（13）()()()na b a nb n ab ==证明略（14）定义：n n a aa a = （n 是正整数），并称n a 为a 的n 次乘方（简称n 次方或n 次幂）。
对任意正整数,m n 有,()m n m n m n mn a a a a a +==证明略由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。
§2 交换律、单位元、零因子、整环前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P 上所有n 阶方阵集合n n P ⨯关于矩阵的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。
由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。
1、交换律因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环R 里对,a b R ∀∈，未必有ab ba =。
如矩阵环n n P ⨯就不适合交换律，当然也有适合交换律的环，如整数环。
若环R 的乘法适合交换律（即,a b R ∀∈，有a b b a =），则称环R 为交换环。
当环R 是交换环时，,a b R ∀∈，,0n Z n ∀∈>，有()n n n ab a b =例 若环R 的每一个元素a 都适合2a a =，则称R 是布尔环。
证明，布尔环是交换环。
证明：,a b R ∀∈，有22,(2)()2a a b a b a +=+=，于是有222,42a a ab ba b a b a +++=+=，即,200a ab ba +==，即,()a ab ba b a a =-=-=-，所以ab ba =，故布尔环R 是交换环。
2、单位元在群论里。
我们已经看到了单位元的重要性。
在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。
事实上，有些环确实有单位元，如：整数环Z 就有乘法单位元1；数域P 上n 阶方阵环n n P ⨯也有乘法单位元，即单位矩阵E 。
但并不是所有环都有单位元，如偶数环2Z 就没有乘法单位元。
若环R 存在元素e ，使得a R ∀∈，有ea ae a ==，则称e 是R 的单位元。
此时环R 也叫做有单位元环。
一般地，一个环未必有单位元。
但如果有的话，一定是唯一的。
因为，若/,e e 都是环R 的单位元，则/e ee e ==。
例1（85P ）在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1来表示。
注意，这里的1不是普通的整数1.在有单位元的环R 里，和群一样，规定01()a a R =∀∈。
设R 是有单位元1的环，,a b R ∈，若1a b b a ==，则称()a b 是可逆元，()b a 是()a b 的一个逆元。
在有单位元的环R 里，未必每个元素都有逆元，如整数环Z 是一个有单位元的环，但除了1±外，其它的整数都没有逆元。
又如在矩阵环n n P ⨯中非可逆矩阵就没有逆元。
但是如果a R ∈有逆元，则其逆元是唯一的。
因为，若a 有两个逆元b 和/b ，则////1()()1b b b ab ba b b b =====。
当a 是可逆元时，其唯一的逆元记作1a -。
并规定1()n n a a --= （n 是正整数）这样规定以后，当a 是可逆元时110()n n n aa a n a n a n --⎧⎪⎪==⎨⎪⎪⎩ 是正整数是负整数公式,()m n m n m n mn a a a a a +==对任何整数,m n 都成立。
3、零因子前面在讨论环R 的运算性质时，曾有结论000a a ==，即当环R 中的两个元素,a b 中有一个是零元时，0ab =。
那么，反过来当0ab =时，是否也有0a =或0b =呢？结论是在一般的环里是不成立的。
例2（86P ） 在模n 剩余类集合{[0],[1],,[1]}n Z n =- 中，我们在第一章定义了加法和乘法：[][][],[][][]([],[])n a b a b a b ab a b Z +=+=∀∈ 并在第二章证明了n Z 关于加法构成加群。
又因为([][])[][][][()][()][][][]([][])a b c ab c ab c a bc a bc a b c ===== []([][])[][][()][][][][][][][]a b c a b c a b c ab ac ab ac a b a c +=+=+=+=+=+([][])[][][][()][][][][][][][]b c a b c a b c a ba ca ba ca b a c a +=+=+=+=+=+所以n Z 关于剩余类的加法和乘法构成一个环。
这个环叫做模n 剩余类环，它有单位元[1]。
当(1)n >不是素数时，(1,)n ab a b n =<<，则|,|n a n b //，于是在n Z中[][0],[][0]a b ≠≠，而[][][][0]a b ab == ，这里[0]是n Z 的零元素。
定义 若环R 中两个非零元,a b ，使得0ab =，则称a 是环R 的左零因子，b 是环R 的右零因子。
注：左，右零因子统称零因子。
若R 是交换环，则它的一个左零因子也是右零因子，反之也一样。
但在非交换环中，一个左零因子未必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。
另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环Z 就没有零因子。
显然，,a b R ∀∈，由0ab =可推出0a =或0b =当且仅当环R 没有零因子。
例3 设[]n a Z ∈，则[]a 不是n Z 零因子⇔(,)1a n =。
证明：（⇐）因为(,)1a n =，所以存在,p q Z ∈，使得1pa qn +=。
[]n b Z ∀∈，若[][][0]a b =，则由pab qnb b +=，有[][][][][][][][][][0][][0][][0]b pab qnb p a b q n b p q b =+=+=+=，所以[]a 不是n Z 零因子。