§10.4对面积的曲面积分

注2: 把曲面投影到哪一个坐标面, 取决于曲面方
程即方程的表达形式;
注3: 将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是
把被积函数化为二元函数;
注4: 切记任何时候都要换面积元.
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例1: 计算 ( x y z)dS, 其中 为平面y+z=5被
柱面x2+y2=25所截得的部分.
解: 积分曲面 : z=5–y,
( x2 y2 )dS
o
y
1 ( x2 y2 )dS 2 ( x2 y2 )dS
x
D ( x2 y2 )
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
D( x2
y2 )dxdy
D ( x2 y2 ) 2dxdy D( x2 y2 )dxdy
(
2 1)D ( x2 y2 )dxdy (
125 2.
例2: 计算 ( x2 y2 )dS, 其中 为锥面 z x2 y2
与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面. z
解: 将 分成两部分:
1 : z x2 y2 , 0 z 1, 2 : z 1, x2 y2 1.
1, 2在xoy面的投影区域:
D: x2+y21,
2 1
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
(2) 若曲面 为: y=y(z, x), 则
f ( x, y, z)dS Dxz f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz.
(3) 若曲面 为: x=x(y, z), 则
f ( x, y, z)dS
Dyz f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
x
i (i , i)
Dxy
y
Si
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
,
其中(i ,i)i , 对应曲面 上的点Pi(i ,i, i), 且有 i=z(i ,i). 作和式:
n
f (i ,i , i )Si
i 1
n
f (i ,i , z(i ,i ))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(i
,i
定义: 设曲面 是光滑的, 函数f(x, y, z)在 上有界,
把 任意分成n小块Si(同时Si也表示第 i 小块曲面 的面积), 设点(i, i, i)为Si上任意取定的点, 作乘积 f(i, i, i) Si,并作和
n
f (i ,i , i )Si ,
i 1
如果当各小块曲面的直径的最大值0时, 这和式的
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面 上对面
积的曲面积分或第一类曲面积分. 并记为:
f ( x, y, z)dS n
即
f
(
x,
y,
z)dS
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
.
其中f(x, y, z)叫作被积函数, 叫作积分曲面.
其物理意义是面密度为f(x, y, z)的曲面 的质量.
这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算 公式. 简述为:
一代、二换、三投影
代: 将曲面的方程z=z(x, y)代入被积函数;
换: 换面积元素dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy;
投影: 将曲面投影到xoy坐标面, 得投影区域Dxy.
注1: 这里积分曲面的方程必须是单值显函数, 否
则可利用可加性, 分块计算, 结果相加;
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
都有切平面, 且当点在曲面上连续移 动时, 切平面也连续转动.
分析: 我们同样可以使用“分 割,近似, 求和, 取极限”的方法讨论 该曲面的质量问题.
抽象概括得到对面积的曲面积分的概念:
其投影区域Dxy: x2+y225, 面积元素:
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)dS Dxy ( x y 5 y) 2 dxdy 2Dxy (5 x)dxdy
2(Dxy 5dxdy Dxy xdxdy) 2Dxy 5dxdy 0
且设被积函数f(x, y, z)在 上连续. 设 上的第 i 块小曲面Si(它
的面积也记作Si)在xoy面上的投
z
Pi
Si
z=z(x, y)
影区域为i (它的面积也记作i),
则Si可表示为二重积分:
Si i
1
z
2 x
(
x,
y
)
z
2 y
(
x,
y)dxdy.
o
由假设条件, 利用二重积分的 中值定理, 可得:
§10.4 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念和性质
前面已经介绍了两类曲线积分, 对第一类曲线积
分:
n
L
(
x,
y)ds
lim
0
(i
i 1
,i
)si
其物理背景是曲线型构件的质量, 在此质量问题
中若把曲线改为曲面, 线密度改为面密度, 小段曲线的
弧长改为小块曲面的面积, 相应地得和式
n
lim
1 f ( x, y, z)dS 2 f ( x, y, z)dS.
(3) 存在性定理: 若函数f(x, y, z)在曲面 上连续, 则f(x, y, z)在曲面 上对面积的曲面积分存在.
二、对面积的曲线积分的计算法
设积分曲面 的方程: z=z(x, y), 在xoy面上的投
影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有连续的偏导数,