§10.4对面积的曲面积分

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高数第四节.对面积的曲面积分 (1)

1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.

对面积的曲面积分

z x, y在Dxy上偏导数连续， z
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为

f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分

10.4第一类曲面积分

dz
o x
y
例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
x 2 a2 x 2 + a 2 dx = x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S . 解: S = ∫∫ dS ∫
Σ
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
+ ∫ d z∫
0
1
1z
0 1z
1 dx (1+ x)2 1 dy 2 (1+ y)
+ ∫ d z∫
0
1
0
3 3 = + ( 3 1) ln 2 2
3. 计算 ∫∫ ( x + y + z )ds , 其中 Σ 为平面
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分所截得的部分.
2 2
2
π
π
例6. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
+ z = 2(x + y + z).
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用重心公式
= 4∫∫ xd S = 4 x ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S

对面积的曲面积分

Σ 在 xOy 面上的投影区域
2 2 2
-0.5 -1 -1 -0.5 ≤ a − h .
2
面积元素 dS =
1 + z + z dxdy =
2 x 2 y
a a2 − x2 − y2
1
dxdy ，
极坐标 dS P 217 1 a a ∫∫ z ====D a2 − x2 − y2 ⋅ a2 − x2 − y2 dxdy = ⋯ = 2πa ln h . 公式( 2 ) ∫∫ Σ xy 9
6 ∫∫ (1 + x )d xd y .
D xy
14
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS =
Σ
∫∫
D yz
f ( x ( y , z ), y , z ) 1 + x 2 + x z2 dydz . y
(2)若Σ : y = y ( x , z ), Σ 在 xoz 面上的投影区域为 D xz ,
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS =
Σ
Σ 1 :x =0
Σ 2 : y =0
Σ 3 :z = 0
Σ 4 : z = 1− x − y
= 0+0+ 0+
Σ 4 : z = 1− x − y
xyzd ∫∫ xyzdS
= ∫∫ xy(1 − x − y) 1 + (−1)2 + (−1)2 dxdy
=
Dxy
D xy :0≤ y ≤1− x , 0≤ x ≤1.
∫∫
3 xy(1 − x − y )dxdy
1− x
= 3 ∫ xdx ∫
0
1
0
3 . y(1 − x − y )dy = 120

曲面积分1

Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS

2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】两类曲面积分的定义一个与的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类：面积投影第二类：有向投影 (4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面转化二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D

x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极坐标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则

曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数

《对面积的曲面积分》PPT课件

定义设Σ为光滑的有向曲面 , 函数在Σ上有界,把Σ分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy 面上的投影为 ( Si ) xy ,( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,

n
其中 f ( x , y, z )叫被积函数，叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS . f ( x, y, z )dS

1 2
3、对面积的曲面积分的计算法
z f ( x, y)
y
( s ) xy
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z( x , y )]dxdy
若取下侧, cos 0,

D xy
( Si ) xy ( ) xy ,
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
流向曲面一侧的流量
v
流量

A
0 n
A v cos 0 Av n v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
将dS换为 1 z . x z y dxdy
2 2
xyz dS 计算 , 其中为平面 x 0, y 0, x y z 1 所围成

对面积的曲面积分

2
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x

z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二对重称积性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则

f ( x , y , z )d S

1
f ( x , y , z )d S

2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的曲面Σ 关于yOz面对称,
则

f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I

( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)

对面积的曲面积分的几何意义

对面积的曲面积分的几何意义一、引言曲面积分是向量分析中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

而对于曲面积分的几何意义，是我们在学习和应用曲面积分时必须深刻理解的。

二、曲面积分的定义在数学中，曲面积分是对一个向量场在给定曲面上的积分。

具体来说，如果我们有一个向量场F(x,y,z)=(P,Q,R)，并且有一个参数化的曲面S，那么F在S上的曲面积分就可以表示为：∫∫S F·dS其中，“·”表示向量点乘，“dS”表示曲面元素。

三、曲面元素为了更好地理解曲面积分的几何意义，我们需要先了解一下什么是曲面元素。

对于任意给定点P(x,y,z)处定义一个切平面T，并且令dS为该平面上与z轴正方向夹角为θ（θ∈[0,π]）时z轴投影区域dA，则dS=dA/cosθ。

这个定义可以帮助我们计算出曲面上每个点处与该点相关联的小区域。

四、曲线与流量在理解了曲面元素的概念后，我们可以更好地理解曲面积分的几何意义。

曲面积分实际上是将向量场F投影到曲面S上，然后计算在这个投影下的流量。

具体来说，我们可以将曲面S看作是一个容器，向量场F看作是液体流入该容器内部的速度场。

那么，在单位时间内流入该容器内部的液体体积就等于F在S上的曲面积分。

五、对比一般积分与一般积分不同的是，在一般积分中，我们对函数f(x)在一个区间[a,b]上进行求和或平均值计算。

而在曲面积分中，我们对向量场F在一个参数化的曲面S上进行求和或平均值计算。

因此，曲面积分更加复杂和抽象。

六、实际应用曲面积分在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

例如，在电磁学中，我们可以利用曲面积分来计算电荷产生的电场强度；在流体力学中，我们可以利用曲面积分来计算涡旋流线等物理量；在机械工程中，我们可以利用曲面积分来计算物体的质心和转动惯量等。

七、总结在本文中，我们介绍了曲面积分的定义、曲面元素的概念以及曲面积分的几何意义。

通过对曲面积分的深入理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题。

对面积的曲面积分的概念与性质

同上
d z d x Dz x : 0 z 1 , 0 x 1 z
xy
f ( x , y , 0 ) d xd y
机动
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P158 题4(1).
在 xoy 面上的投影域为
2
z
d S 1 z x 2 z y 2 d xd y
Dxy o
x
d S
S Dx y
2
y
1 4( x 2 y 2 ) d x d y
这是的面积 !
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P159 题7. 如图所示, 有
1 2 2 2 2 z d S ( x y ) 1 x y d xd y Dx y 2
z
令t 1 r
2
1
Dx y o
2
y
4 5
3
x
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结束
P184 题2. 设一卦限中的部分, 则有( C
d S R 2 sin d d
2

卫星覆盖面积为
o
x

R
A d S R 2 0 sin d 0 d

y
h 2 2 Rh
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故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为
第四节对面积的曲面积分
第十章
一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法
机动
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结束
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 求质

对面积的曲面积分

片光滑曲面
若是分片光滑的, 则有
例如分成两
• 线性性质.
4
f (x, y, z) g(x, y, z), 则
f (x, y, z)dS g(x, y, z)dS.
则 f (x, y, z)
也在上可积，且
f (x, y, z)dS f (x, y, z) dS.
(5) 若f (x, y, z)在上连续，则(,, )
D
其中 E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
9
例1. 计算曲面积分
被平面解:
其中是球面截出的顶部.
10
思考:
若是球面
出的上下两部分,
则
被平行平面 z =±h 截
11
例2. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设
Dxz
2) 若曲面为参数方程,
只要求出在参数意义下dS
的表达式 ,
也可将对面积的曲面积分转化为对参数的
二重积分.
8
曲面为参数形式
x x(u,v),
:
y
y( u, v ),
(u,v) D ,
z z(u,v),
f ( x, y, z)dS
f ( x(u,v), y(u,v), z(u,v)) EG F 2dudv ,
f (x, y, z)dS f (,, )S().
5
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
f (x, y, z) 在上连续,
则曲面积分
存在, 且有
证明: 由定义知
6
而
( 光滑)

对面积的曲面积分的定义

( ) yz 当cos 0 时
(S ) yz ( ) yz 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
前侧后侧
其中( ) yz 表示投影区域的面积 .
概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A(面积为 A)。
求单位时间流过 A 的流体的质量 (设密度为 1).
v
A
n 0
流量
A | v | cos
0
Av n .
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)的速度场
由 v ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的
cos 0
注意：曲面方程均是单值函数.
特别地，在上恒有，
(1) cos 0, 即平行于 x 轴， Pdydz 0; (2) cos 0, 即平行于 y 轴， Qdzdx 0; (3) cos 0, 即平行于 z 轴， Rdxdy 0.
例1 计算 xyz dxdy, 其中
右侧
Dzx
Q( x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdx
左侧
Dzx
一投：将曲面向 zox 面投影，得 Dzx . 二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三定号：右侧“”号；左侧“”号.
cos 0
质量.
z
1.分割
把曲面Σ分成 n小块 si

曲面积分的面积讲解

dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2 y2
1 arctan z
R
R
H 0
dy
HR 1
arctan
dy
R 0 R2 y2
而
R1
dy
0 R2 y2
瑕积分
lim R1 R1 R 0
1 R2 y2 dy (R1 R)
lim arcsin R1
z a h
O
a
Dxy
y
a
x
解的方程为z a2 x2 y2
它在xoy面上的投影区域 Dxy : x2 y2 a2 h2
z a h
曲面面积元素
O Dxy
a
a
y
dS
x
1
z
2 x

z
2 y
d

a
d
a2 x2 y2
的方程为z a2 x2 y2
dS
1
z
2 x

z
2 y
d
f ( x, y, z)dS

向xoy面投影Dxy 代入z z x, y
f x, y, zdS f x, y,z x, y
1

z
2 x

z
2 y
d

Dxy
1.若 : z z x, y
f x, y, zdS f x, y,z x, y
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面为 dS；
z
截切平面 T为 dA，
dA
M
则有dS dA.

[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件

a 2 d 0
0
a2h2
a2
1
2
d
a212lna(2
2)
a2h2 0
2alnah.
.
11
例2. 计 (x 算 2 y 2 z 2 ),其 S :x 中 2 y 2 z 2 a 2 .
S
解I: SS1S2
.
z
S1: z a2x2y2,
a
S2: za2x2y2.
S1
D xy o
ay
将曲 S1,面 S2向xo面 y 投影，a 得S 2
S
f(x ,y,z)d S g (x ,y,z)d S ;
S
S
(3) 积分曲.面如 ( : S 可 S1 加 S2)性
f(x ,y ,z )d S f(x ,y ,z )d S g (x ,y ,z )d S .
S
S 1
S 2
(4) 1dSS的面.积
S
.
5
二、对面积的曲面积分的计算法定理: 设有光滑曲面 S:zz(x,y),
f ( x ,y ,z ) d S f ( z ,x ,y ) d S f ( y ,z ,x ) d S
S
S
S
轮换不变性
若曲面有轮换对称性, 则曲面上的第一类曲面积分有轮换不变性.
.
29
例9. 设曲 xy面 z1(x0 ,y0 ,z0 )
求 (xy)d S 与 x d S .
S
S
解: 曲面 xyz1有轮换对 , 称性
其S 中是界 z0 于及 zH间的圆 x2柱 y2面 R2.
解：SS1S2,
z
S1: x R2y2,
H
S2: x R2y2.

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Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
都有切平面, 且当点在曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
分析: 我们同样可以使用“分割,近似, 求和, 取极限”的方法讨论该曲面的质量问题.
抽象概括得到对面积的曲面积分的概念:
极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面上对面
积的曲面积分或第一类曲面积分. 并记为:
f ( x, y, z)dS n
即
f
(
x,
y,
z)dS
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
.
其中f(x, y, z)叫作被积函数, 叫作积分曲面.
其物理意义是面密度为f(x, y, z)的曲面的质量.
且设被积函数f(x, y, z)在上连续. 设上的第 i 块小曲面Si(它
的面积也记作Si)在xoy面上的投
z
Pi
Si
z=z(x, y)
影区域为i (它的面积也记作i),
则Si可表示为二重积分:
Si i
1
z
2 x
(
x,
y
)
z
2 y
(
x,
y)dxdy.
o
由假设条件, 利用二重积分的中值定理, 可得:
注2: 把曲面投影到哪一个坐标面, 取决于曲面方
程即方程的表达形式;
注3: 将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是
把被积函数化为二元函数;
注4: 切记任何时候都要换面积元.
例1: 计算 ( x y z)dS, 其中为平面y+z=5被
柱面x2+y2=25所截得的部分.
解: 积分曲面 : z=5–y,
这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式. 简述为:
一代、二换、三投影
代: 将曲面的方程z=z(x, y)代入被积函数;
换: 换面积元素dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy;
投影: 将曲面投影到xoy坐标面, 得投影区域Dxy.
注1: 这里积分曲面的方程必须是单值显函数, 否
则可利用可加性, 分块计算, 结果相加;
x
i (i , i)
Dxy
y
Si
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
,
其中(i ,i)i , 对应曲面上的点Pi(i ,i, i), 且有 i=z(i ,i). 作和式:
n
f (i ,i , i )Si
i 1
n
f (i ,i , z(i ,i ))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(i
,i
125 2.
例2: 计算 ( x2 y2 )dS, 其中为锥面 z x2 y2
与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面. z
解: 将分成两部分:
1 : z x2 y2 , 0 z 1, 2 : z 1, x2 y2 1.
1, 2在xoy面的投影区域:
D: x2+y21,
2 1
定义: 设曲面是光滑的, 函数f(x, y, z)在上有界,
把任意分成n小块Si(同时Si也表示第 i 小块曲面的面积), 设点(i, i, i)为Si上任意取定的点, 作乘积 f(i, i, i) Si,并作和
n
f (i ,i , i )Si ,
i 1
如果当各小块曲面的直径的最大值0时, 这和式的
§10.4 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念和性质
前面已经介绍了两类曲线积分, 对第一类曲线积
分:
n
L
(
x,
y)ds
lim
0
(i
i 1
,i
)si
其物理背景是曲线型构件的质量, 在此质量问题
中若把曲线改为曲面, 线密度改为面密度, 小段曲线的
弧长改为小块曲面的面积, 相应地得和式
n
lim
1 f ( x, y, z)dS 2 f ( x, y, z)dS.
(3) 存在性定理: 若函数f(x, y, z)在曲面上连续, 则f(x, y, z)在曲面上对面积的曲面积分存在.
二、对面积的曲线积分的计算法
设积分曲面的方程: z=z(x, y), 在xoy面上的投
影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有连续的偏导数,
其投影区域Dxy: x2+y225, 面积元素:
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)dS Dxy ( x y 5 y) 2 dxdy 2Dxy (5 x)dxdy
2(Dxy 5dxdy Dxy xdxdy) 2Dxy 5dxdy 0
( x2 y2 )dS
o
y
1 ( x2 y2 )dS 2 ( x2 y2 )dS
x
D ( x2 y2 )
1
z
2 xz2 y来自dxdyD( x2
y2 )dxdy
D ( x2 y2 ) 2dxdy D( x2 y2 )dxdy
(
2 1)D ( x2 y2 )dxdy (
(2) 若曲面为: y=y(z, x), 则
f ( x, y, z)dS Dxz f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz.
(3) 若曲面为: x=x(y, z), 则
f ( x, y, z)dS
Dyz f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.