概率论与数理统计复习题答案

《概率论与数理统计》期（末）练习卷答案

一、填空题 ( 每空2分,共30分)

设A 、B 、C 为三事件，则事件“A 发生B 与C 都不发生”可表示为_____________;事件“A 、B 、C 不都发生”可表示为_______________；事件“A 、B 、C 都不发生”可表示为______________。（C B A ；C B A ⋃⋃;C B A ⋂⋂）100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________（只写算

式）。（5100

2

90

310C C C ）3. 已知随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3

,132,5.021,4.01

,0x x x x x F ，则P(X=1)=__，P(X=2.5)=__。

解： F(x)的跳跃点分别是1，2，3，对应的跳跃高度为0.4，0.1，0.5。故其分布律为

∴P(X=1)=0.4, P(X=2.5)=0

4. 设()3,1~N X ，则X 的函数Y=~ N(0,1)。（3

1-X ）

5. 设二维随机变量

()

Y X ,的联合分布律为{}

12

1

,=

==j i y Y x X P ，;3,2,1=i 4,3,2,1=j ，则{}==1x X P __________。

解：

∴{}=

=1x X P 3

6. 已知5.1=EX ，62=EX ，则()_______2=X E ，_______)(=X D ，

()______2=X D 。

解： 35.1*2)(2)2(===X E X E

75.35.16)()()(222=-=-=EX X E X D

1575.3*4)(4)2(===X D X D

7. 在假设检验中若原假设0H 实际为真时却拒绝0H ，称这类错误为。弃真（第一类错误） 8. 设随机变量()p n b X ,~，且4.2=EX ，44.1=DX ，则________=n ；

__________=p ；()________0==X P 。

解：64

.06.044.1)(4.2)(=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧====n p q npq X D np X E {}()66.00==x p

二、解答题（共70分）

（8分）将两信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为02.0，而B 被误收作A 的概率为01.0。信息A 与信息B 传送的频率程度为1:2。1）若接受站收到一信息，是A 的概率是多少？

2）若接受站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？

解：设1A ，2A 分别表示发出A ，B ； 1B ，2B 分别表示收到A ，B ，则

1）()()()()()

2121111A B P A P A B P A P B P +=01.03

1

98.032⨯+⨯=

6567.0= 2）()()()()9949.0197

196

6567.098.032

111111==⨯==

B P A B P A P B A P

2. （8分）设X 是连续型随机变量，已知X 的密度函数为⎩⎨

⎧<≥=-0

00x ,

x ,

Ae )x (f x λ， 其

中λ为正常数。

试求 (1)常数A 。 (2)X 的分布函数)x (F 。 解： （1）由

10)(0

0==

+=⎰

⎰

⎰∞

+-∞

+∞

-∞

-λ

λA

dx Ae dx dx x f x 得λ=A -

（2）⎰

∞

-=

x

dx x f x F )()(

当 0

∞

-x

dx x F

当0≥x 时，x x

x

x e dx e dx dx x f x F λλλ-∞

-∞

---=+==

⎰

⎰⎰10)()(0

所以⎩⎨

⎧<≥-=-0

1)(x x e x F x

λ 3. （10分）二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

()()⎩

⎨

⎧≤≤≤≤-=其他,00,10,1,x

y x y Ay y x f （1） 试确定常数A ；

（2） 求关于X 和Y 的边缘密度函数； （3） 判断X 和Y 是否相互独立。

解：(1)由

()()dy y Ay dx dxdy y x f x ⎰⎰⎰⎰

-=+∞∞-+∞

∞

-0101,112321032==⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=⎰A

dx x A x A

得：12=A (2)()()⎩⎨⎧≤≤-=⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-==

⎰⎰

∞

+∞

-其他其他,01

0,46010)1(12,320x x x x dy y y dy y x f x f x X

⎩⎨

⎧≤≤-=⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-==⎰

⎰∞

+∞

-其他

其他01

0)

1(12010)1(12),()(21y y y y dx y y dx y x f y f y Y

(3)()()()y f x f y x f Y X ⋅≠, 所以X 与Y 不相互独立。

（8分）某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为E 千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供