三角形重心性质与杠杆原理-精选文档

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三角形的中心与重心定理

三角形的中心与重心定理三角形是几何学中最基本的图形之一。

在研究三角形的性质时，中心与重心定理是一个重要的定理。

本文将通过对该定理的详细论述，展示三角形的特性以及定理的证明。

一、中心与重心在介绍中心与重心定理之前，我们首先需要了解三角形的中心与重心的概念。

1.1 中心三角形的中心是指一个点，该点与三角形的三个顶点之间距离的平均数相等。

根据这个定义，我们可以得到三个中心：外心、内心和垂心。

- 外心是指可以将三角形的三个顶点作为圆心的圆完全包围住三角形的圆心。

- 内心是指与三角形的三边相切的圆的圆心。

- 垂心是指三角形的三条高线交于一点的点。

1.2 重心三角形的重心是指三角形的三条中线的交点。

中线是指三角形的每条边的中点与对向顶点之间的线段。

二、中心与重心定理中心与重心定理是中心和重心之间的一个重要关系。

该定理可以表述如下：对于任意一个三角形，它的重心到三个中心的距离是三条中线长的两倍。

证明过程如下：假设三角形的三个中心分别为O1、O2、O3，重心为G。

首先，我们可以得到以下结论：1. 三个中线的中点分别为M1、M2、M3。

2. 三角形的任意一边长的一半等于该边上中线的长度。

接下来，我们证明OG = 2GM1。

根据中心的定义，我们知道GO1 = GO2 = GO3。

由此可得GO1 + GO2 + GO3 = 3GO1。

同样地，我们知道GM1 = GM2 = GM3。

由此可得GM1 + GM2 + GM3 = 3GM1。

由于GM1 = 1/2MO1，GO1 = 1/2OO1，所以3GO1 = 3GM1。

由此可得GO1 = 2GM1。

同理可得GO2 = 2GM2，GO3 = 2GM3。

综上所述，OG = 2GM1 = 2GM2 = 2GM3，即重心到三个中心的距离是三条中线长的两倍。

三、应用与拓展中心与重心定理的应用和拓展广泛。

以下是一些常见的应用：3.1 三角形形心的性质通过中心与重心定理，我们可以得到三角形形心之间的关系。

三角形的重心的推导及其性质

三角形的重心的推导及其性质
● 了解重心的概念及其常用表达
● 掌握重心的有关性质
第一部分:
重心的概念的引入：一个物体保持平衡的中心点（生活引入：跷跷板）物理上的概念是：物体所受重力合力的作用点
举例：
三维世界平衡（质量相等）
举例：对于二维的平面图形（面积相等）
以三角形的重心为例讲解
也就是三角形内有一点O,将三角形ABC 分成了三个面积相等小三角形；则O 点就是三角形的重心。

A B C
寻找重心的方法：
S 3=21.BC.H 2
S =21.BC.H 1
S 3 =31S ABC
在三角形ADE 中，GF/PF/PG 是它的中位线,点G 是DE 的中点，AG 是中线，延长GF 交BC 于点Q,点Q 是BC 的中点。

其他边同理，
C B
D
第二部分。

三角形杠杆原理

三角形杠杆原理
三角形杠杆原理是一种基于三角形稳定性和杠杆原理的应用，常用于结构设计和建筑领域。

它利用三角形的几何特性和力矩平衡的原理，通过合理布置支撑点和载荷分布，实现结构的稳定和平衡。

三角形杠杆原理的核心在于利用三角形的三条边作为杠杆，通过合理分配载荷和调整支撑点位置，使得整个结构达到平衡状态。

在三角形杠杆原理的应用中，需要注意以下几点：
1. 合理选择支点位置：支点是三角形杠杆中的关键点，它决定了载荷的分布和平衡状态。

在选择支点位置时，需要综合考虑结构的形式、载荷大小和方向等因素，以确保整个结构能够稳定工作。

2. 调整载荷分布：载荷是影响结构平衡的关键因素。

在应用三角形杠杆原理时，需要合理调整载荷的分布，以实现整个结构的平衡。

可以通过改变支点位置、增加或减少载荷等方式进行调整。

3. 利用三角形稳定性：三角形是一种具有良好稳定性的几何形状。

在应用三角形杠杆原理时，可以利用三角形的稳定性来提高结构的承载能力和稳定性。

例如，可以利用三角形结构作为支撑框架，或者在载荷作用下采用三角形布置来增加结构的稳定性。

4. 考虑环境因素：在应用三角形杠杆原理时，还需要考虑环境因素的影响。

例如，温度变化、地基沉降等因素可能会对结构的平衡状态产生影响。

因此，在设计和应用三角形杠杆原理时，需要综合考虑环境因素，并采取相应的措施来减小不利影响。

总之，三角形杠杆原理是一种基于三角形稳定性和杠杆原理的应用，它通过合理布置支撑点和载荷分布来实现结构的稳定和平衡。

在应用三角形杠杆原理时，需要注意支点位置、载荷分布、三角形稳定性和环境因素的影响，以确保整个结构能够安全、稳定地工作。

三角形重心知识点总结

三角形重心知识点总结在数学的几何世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。

而三角形的重心，则是三角形中的一个关键概念。

接下来，咱们就详细聊聊三角形重心的相关知识。

首先，什么是三角形的重心呢？三角形的重心是三角形三条中线的交点。

那中线又是什么呢？连接三角形一个顶点和它对边中点的线段就是中线。

为了更直观地理解重心，咱们可以通过一些实验或者实际操作来感受一下。

比如，用一块质地均匀的三角形木板，通过支撑点让它平衡，这个平衡的支撑点大致就是重心的位置。

重心有一些非常有趣且重要的性质。

其中一个重要性质是，重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ：1 。

也就是说，如果设重心为 G ，三角形的三个顶点分别为 A 、 B 、 C ，对应的三条中线分别为 AD 、 BE 、 CF ， D 、 E 、 F 分别为 BC 、 AC 、 AB 的中点，那么 AG ： GD ＝ BG ： GE ＝ CG ： GF ＝ 2 ： 1 。

这一性质在解决很多与三角形相关的问题时非常有用。

比如，在计算三角形内部某些线段的长度比例关系时，或者在证明一些几何定理时。

另外，三角形的重心还有一个特点，就是它把每条中线都分成了长度比为 2 ： 1 的两段。

这意味着，如果中线的长度为 L ，那么重心到顶点的距离就是 2L ／ 3 ，重心到对边中点的距离就是 L ／ 3 。

在实际应用中，重心的概念也经常出现。

比如在物理学中，如果把三角形看作一个均匀的薄板，那么重心就是薄板的质心。

当薄板在重力作用下平衡时，重心就在通过支撑点的铅垂线上。

我们还可以通过坐标法来确定三角形的重心坐标。

假设三角形的三个顶点坐标分别为 A （ x₁, y₁）、 B （ x₂, y₂）、 C （ x₃,y₃），那么三角形重心 G 的坐标为（（ x₁＋ x₂＋ x₃）／ 3, （ y₁＋ y₂＋ y₃）／ 3 ）。

通过这个坐标公式，我们可以方便地在已知三角形顶点坐标的情况下求出重心的坐标，进而解决一些与坐标相关的几何问题。

三角形的重心

三角形的重心在我们的数学世界中，三角形是一个基础而重要的图形。

而三角形的重心，作为三角形的一个重要特性，具有着独特的地位和意义。

首先，咱们来聊聊什么是三角形的重心。

简单来说，三角形的重心就是三角形三条中线的交点。

那什么又是中线呢？就是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。

比如说，在三角形 ABC 中，连接顶点 A 和对边 BC 中点的线段就是中线。

那为什么要研究三角形的重心呢？这是因为它有着很多有趣且实用的性质。

重心有一个非常重要的特点，就是它把每条中线都分成了 1 ： 2 的两段。

比如说，假设三角形 ABC 的中线 AD 与重心 G 相交，那么 AG ：GD ＝ 2 ： 1 。

这意味着，如果中线 AD 的长度是 6 ，那么 AG 的长度就是 4 ，GD 的长度就是 2 。

这个比例关系在解决很多与三角形相关的问题时非常有用。

三角形的重心还有一个有趣的性质，就是它到三角形三个顶点的距离的平方和最小。

这可能有点抽象，咱们来举个例子。

想象一下，有一个质量均匀的三角形薄板，如果你用一个手指去支撑它，让它能够保持平衡，那么你手指支撑的那个点大概率就是三角形的重心。

这是因为重心是这个薄板的“平衡点”，从物理的角度也能反映出它的特殊性质。

在实际生活中，三角形重心的概念也有着广泛的应用。

比如在工程设计中，当设计一个三角形的结构时，如果需要找到一个平衡点来保证结构的稳定性，那么重心就是一个关键的参考点。

在物理学中，研究物体的重心对于理解物体的运动和平衡状态也非常重要。

再来说说如何找到三角形的重心。

对于一个给定的三角形，我们只需要画出它的三条中线，它们的交点就是重心。

这个过程并不复杂，但需要我们仔细和准确地作图。

那么，三角形的重心和其他重要的点，比如外心、内心和垂心，又有什么区别和联系呢？外心是三角形外接圆的圆心，也就是三角形三条边的垂直平分线的交点；内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点；垂心则是三角形三条高的交点。

(完整版)三角形的五心几何性质

三角形的五心几何性质一．重心三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3)/3。

二．垂心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心.1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

垂心的坐标A（x1，y1)B(x2，y2)C(x3,y3)，垂心H（x0，y0）用斜率是负倒数关系Kbc=y3—y2/x3—x2 Kah=y1—y0/x1—x0 Kah=-1/Kbc得到方程(y3—y2）/（x3-x2)=-（x1-x0）/(y1—y0）同理可得方程（y2-y1）/（x2-x1)=-(x3-x0）/（y3—y0)解出x0，y0即可，三．内心三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO：ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC）：BC3、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心,∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b， CP/PA=a/c，BR/RA=a/b.4、△ABC中,A（x1，y1）,B（x2，y2)，C(x3，y3），那么△ABC内心坐标是：（ax1/(a+b+c）+bx2/(a+b+c）+cx3/(a+b+c），ay1/(a+b+c）+by2/（a+b+c）+cy3/（a+b+c))．法一:向量法设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A（x1，y1）,B（x2,y2），C(x3,y3） BC=a,CA=b,AB=c内心为I（X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）MA=（X1—X,Y1—Y）MB=（X2-X，Y2—Y)MC=(X3—X，Y3-Y）则:a（X1—X）+b（X2-X)+c(X3-X）=0，a(Y1—Y)+b(Y2—Y)+c（Y3—Y）=0∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）∴I（（aX1+bX2+cX3）/（a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）)几何法：设A（x1，y1）B（x2，y2)C（x3，y3）,AB=c,BC=a,AC=b，内心为I,AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB 与F由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD＊DI/IA=1b/a*（b+c）/b＊DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA＊a/(b+c)BD=c/b*DC D (（x2+c/b＊x3）/(1+c/b）,（y2+c/b＊y3)/（1+c/b）)（bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c）+a/(b+c）＊x1］/［1+a/（b+c)］ Yi=[（cy2+by3）/(b+c)+a/（b+c)＊y1］/[1+a/（b+c）]I((ax1+bx2+cx3）/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3）/（a+b+c)）四．外心三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

三角形重心的判定定理

三角形重心的判定定理哎，今天咱们聊聊三角形重心的判定定理。

可能有人会问，重心有什么了不起的？其实啊，这个小家伙可厉害了，跟咱们的日常生活息息相关，就像吃饭、睡觉一样，必不可少。

想象一下，你在画三角形的时候，总会发现它的三个顶点。

哎，这时候，重心就像是个调皮的小孩子，坐在这三个顶点的“正”，随时准备把这场派对搞得热闹非凡。

重心到底在哪儿呢？简单来说，重心就是三角形内部，三条中线的交点。

你没听错，就是那条从一个顶点画到对边中点的线。

把这条线和其他两条中线交叉，咔嚓一声，重心就出现了。

有人可能会想，这么简单？那我干嘛还要研究？重心在物理学、建筑设计，还有力学上都有大用场。

比如说，想象你在骑自行车，如果重心不稳，可能就摔得四脚朝天了，哈哈，这可不是我想看到的场景。

在几何里，重心还有个牛逼的特性，就是它把三角形的面积分成了三份相等。

想象一下，你把三角形分成三块儿，一块儿在一边，另一块儿在另一边，重心就像是个“裁判”，把每块儿的份儿平分。

这样的话，不论你怎么转，怎么摆，重心总是在那儿，稳如老狗，哈哈！这就是重心的魅力，让我们不得不赞叹。

再说到重心的判定定理，嘿嘿，这可是三角形界的“定海神针”。

如果你想通过已知条件来找出重心，定理就告诉你，三角形的重心总是在三条中线交点那里。

说得简单点，假如你知道了三个顶点的位置，没问题，拿出你的计算器，简单一算，重心就跑出来了。

这就像是在做数学题，公式到手，答案自然明了，毫不费力。

那大家可能会问，这个判定定理的应用有啥用呢？嗯，拿建筑举例。

想想如果一个大楼的重心不在，风一吹，立马就得东倒西歪，生怕哪天就“开花”了。

因此，建筑师们在设计的时候，就得小心翼翼地把重心放好，避免“翻船”的尴尬。

再比如说，赛车手在赛道上飞驰，车的重心设计得妥妥的，才能够在高速转弯的时候，稳稳当当地贴地而过。

有趣的是，生活中其实也有不少地方体现了重心的智慧。

比如说，打羽毛球时，选手们的重心位置控制得当，才能轻松地击球。

关于三角形重心的知识点

关于三角形重心的知识点
嘿，你知道三角形的重心吗？这可太神奇啦！就好像是三角形的“心脏”一样呢！比如说，你看那个三脚架，它能稳稳地立在那里，为啥呀？就是因为它的重心在那呀！
咱来仔细说说，三角形的重心呢，就是三条中线的交点。

哎呀，想象一下，这就像是三角形里有一个特别重要的点，把三角形给“抓”住了！比如咱在生活中玩跷跷板，跷跷板能平衡就是因为找到了重心呀，是不是很有意思？
嘿，你再想想，如果一个三角形摇摇晃晃的，那不就是重心没找好嘛！就好比你走路不稳，那就是没找到平衡的那个点呀。

那怎么找这个神奇的重心呢？嘿，很简单呀，把三条边的中点都找到，然后把它们连起来，那个交点就是啦！
三角形的重心有好多特点呢！它到三角形顶点的距离是中线长的三分之二。

哇塞，这多酷呀！就好像在一个团队里，有个人有着特别重要的地位和作用。

我觉着呀，了解三角形的重心真的很重要，它能帮我们解决好多问题呢，在生活中也有很多应用呀！你觉得呢？。

三角形的重心知识点详解2024人教版

三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。

本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。

一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。

中线是从一个顶点到对边中点的线段。

重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。

2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。

3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。

这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。

二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。

以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

这一性质可以通过中线定理证明。

2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

这一性质可以通过面积公式证明。

3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。

这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。

4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

这一性质可以通过均值不等式证明。

5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

这一性质可以通过坐标几何的方法证明。

三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。

2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。

三角形的重心定理及其证明

三角形的重心定理及其证明证明三角形的重心定理，可以从几何角度和向量角度两个方面进行证明。

下面我将分别从这两个方面进行证明。

几何证明：假设在三角形ABC中，AD、BE、CF为三条中线，交于点G。

需要证明G为三角形ABC的重心。

首先，我们知道，三角形的中线是连接三角形两边中点并且平行于第三边的线段。

所以，AD是BC的中点E到A的中线，即AE=EC，同样，BE 是AC的中点D到B的中线，即BD=DA，CF是AB的中点F到C的中线，即CF=FB。

我们需要证明AG、BG、CG是三角形ABC的三条边AB、BC、CA的中垂线。

由于AE=EC，所以角EAC=角ECA，同样，由于BD=DA，所以角DBA=角DAB。

根据角的平分线定理，我们可以得知角GAB=角GAC=角BAG=角CAG。

同理，我们可以得知角GBA=角GBC=角ABG=角CBG，以及角GCB=角GCA=角CGB=角AGC。

由于三角形的内角和等于180度，所以有角CAB+角ABC+角BCA=180度。

根据角度和定理，我们可以得到以下等式：角GAC+角BAG+角GAB+角GCA+角GBA+角GCB=(角CAB+角ABC+角BCA)*2=360度因此，角GAB+角GBC+角GCA=180度。

由此可见，G是三角形ABC的内角的三边的共同交点，即G是三角形ABC的重心。

证毕。

向量证明：我们可以通过向量的运算来证明三角形的重心定理。

假设点A、B、C分别对应向量a、b、c。

点G对应向量g，即G=(x,y,z)。

根据中线的定义，可以得到以下等式：BG=(AB+BC)/2CG=(AC+BC)/2AG=(AC+AB)/2我们可以将这些等式转化为向量的形式：2BG=AB+BC2CG=AC+BC2AG=AC+AB因此，我们可以得到以下等式：2(b-g)=(a-b)+(c-b)2(c-g)=(a-c)+(b-c)2(a-g)=(b-a)+(c-a)将等式两边展开，我们可以得到：2b-2g=a-b+c-b2c-2g=a-c+b-c2a-2g=b-a+c-a整理等式，我们可以得到：3g=a+b+c因此，向量g的坐标为(x,y,z)，满足等式3g=a+b+c，即g=(1/3)(a+b+c)。

完整版初中几何三角形五心及定理性质

初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理页6 共页1 第三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

1为锐角或直角）或A是△ABC的外心，则∠BOC=2∠（∠A2、若O ∠为钝角）。

A（∠A∠BOC=360°-2当三角形为钝角三角形时，外心在三角形内部；、当三角形为锐角三角形时，3外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

、外心到三顶点的距离相等5垂心定理2图图1三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

页6 共页2 第垂心的性质：6个四点圆。

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到。

（此直︰2三点共线，且OG︰GH=1、重心2、三角形外心OG和垂心H Euler line））线称为三角形的欧拉线（倍。

、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的32 、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

4推论：）。

（图1ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 、1. 若 D 、 E F 分别是△（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。

三角形重心三角形重心定理

三角形重心-三角形重心定理三角形中的几个重要定理三角形中的几个重要定理1．梅涅劳斯定理一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则梅涅劳斯定理的逆定理也成立在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z.AXBYCZ如果1，那么X，Y，Z三点共线。

XBYCZA梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。

2. 塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。

边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAFE，F，则 1.DCEAFB边元塞瓦定理逆定理也成立：在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点.塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。

角元塞瓦定理BDCEAF1.DCEAFBAFMEBDC如图，设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，三条线段AD、BE、CF 交于一点M．则对ΔABC与点M，有sin BAMsin ACMsin CBM1sin MACsin MCBsin MBAsin BM Dsin MCAsin CBA1sin DMCsin ACBsin AMBsin CM Esin MABsin ACB1sin EMAsin BACsin BCM对ΔMBC与点A，有对ΔMCA与点B，有对ΔMAB与点C，有角元塞瓦定理的逆定理也成立。

sin AMFsin MBCsin BAC1sin FMBsin CBAsin CAMADDEBFCBCEAFBEDACF如图，过△ ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若sin BADsin ACFsin CBE1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。

sin DACsin FCBsin EBA3. 斯台沃特定理ΔABC的边BC上任取一点D，若BD u，CD v，AD t，则b2u c2vt uv.a2特别地，当AD是ΔABC的中线时，u vma1a，令AD ma，则212b22c2a2，此即中线长公式；当AD是ΔABC的内角平分线时，2 acab由内角平分线性质：u，v，b cb c2a b c设AD ta，可得ta bc p(p a)，这里p.此即角平分线公式。

第14章三角形重心的性质及应用

第十四章三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，()22221124AD AB AC BC =+-，且21AG GD =∶∶．性质2设G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF AC ∥交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作KH AB ∥交AC 于K ，交BC 于H ，则（1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心，P 为ABC △内任一点，则（1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG △和DPG △分别应用余弦定理，有 2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-，2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠，而2AG DG =，cos cos AGP DGP ∠=-∠，于是，有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ，DG 分别是BPC △的BC 边，BGC △的BC 边上的中线，有2222122PD PB PC BC +-=，2222122DG BG CG BC =+-，从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1，有()2222911424AG AB AC BC =+-，()2222911424BC AB BC AC =+-， ()2222911424CG BC AC AB =+-，此三式相加，整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++．注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++．性质4设G 为ABC △内一点，G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一：（1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F 时，GD GE GF ⋅⋅值最大；（3）当AG ，BG ，CG 的延长线交三边于D ，E ，F 时，AFG BDG CEG S G S ==△△△；（4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3AB ACAP AQ+=；（5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，有BDA CDA S S =△△，BDG CDG S S =△△，故AGB AGC S S =△△．同理，AGB BGC S S =△△，故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1，令G 为ABC △内一点，连AG 并延长交BC 于D ，连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△，BC a =，CA b =，AB c =，1BDG S S =△，2CDG S S =△，BD x =，DG y =．图14-1yxEDABC由11sin 2S xy BDG =⋅∠， ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠，故211S a S x =-．即2211111S S S a S x S S S +=+==，亦即1S S a=，()2SS a x a =-．又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理，得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠，于是，由上述两式，有2x a x a x a x +=--，于是2ax =，即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理，可证BE 为ABC △边AC 上的中线．故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比．（2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．记GD x =，GE y =，GF z =，由 12GBC S ax =△，12GAC S by =△，12GAB S cz =△，知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式，有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤，即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时，即G B C G A C G A BS S S ==△△△时等号取得，即G 为ABC △的重心时，结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2，设1APF BPD CPE S S S ===△△△，APE S x =△，BPF S y =△，CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==，111BP z y PE x++==，111CP x z PF y ++==，有 1yz z x +=+，①1zx x y +=+，②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-，即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+，⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==，再代入①得1x =，故1x y z ===．若x y ≠，则y x ≠，z x ≠，由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=，⑦而x ，y ，z 为正数，则11x +>，11y +>，11z +>，等式⑦无正数解，故只有正数解1x y z ===，即证．（4）必要性：如图14-3，设M 为ABC △的边BC 上任一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC 于P ，N ，Q ，连PM ，QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△．当N 为ABC △的重心时，M 为BC 中点，有BM MC =，且32AM AN =∶∶，由此即证得结论3AB ACAP AQ+=．充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ，2P 两点，在另一边AC 上有1Q ，2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=，则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心．事实上，如图14-4，连AG 并延长交BC 于M ，过B ，C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ，22P Q 分别于1X ，1Y ，2X ，2Y ，于是，图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+，即11BX CY AG +=．同理，22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+，即1221BX BX CY CY -=-．亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥，从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =，即AM 为ABC △的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=，故2A G G M =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线，G 为ABC △的重心时，由中线长公式（即性质1），有()()222222AD AB CA BC =+-，从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理，()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+．充分性：注意到结论，给定ABC △后，若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数，则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线，并且这条直线过ABC △的重心．事实上，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，设(),G x y ，则222AG x y =+，()222BG x c y =-+，其中AB c =．因此，由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-，得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即证得前一断言，后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度，可求得AC 上的线段AQ 的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-，故3AB AC AP AQ +=，即证．性质5设P 是锐角ABC △内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5，设PEF α∠=，CPE β∠=，CPD γ∠=，EBC α'∠=，并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDAB C在DEF △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--．设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x xf x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ，B x -，B x βγπ---+，A B x βγ-π+++-，C x β-+，0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，易知()f x 递增，于是由()()f f αα'=可得αα'=，所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥，DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =，AF DC FB BD =，DC ECBD AE=．所以AF FB =，BD DC =，EC AE =．故P 为ABC △的重心．必要性：显然（略）．故命题获证，性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离，等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一．事实上，若设三顶点A ，B ，C ，重心G ，BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ，B d ，C d ，G d ，M d ，则()23G A M G d d d d =+-，()12M B C d d d =+．两式相加，即有 ()13G A B C d d d d =++．注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零，则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切．性质7设G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则两中线AD 和BE 垂直；反之，若两中线AD ，BE 垂直，则222AG BG CG +=．【典型例题与基本方法】例1如图14-6，在ABC △中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于A '，B '，C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ，GC ，PB ，PC ，分别过G ，P 作GG BC '⊥于G '，作PP BC '⊥于P '，则PP GG ''∥，PP A PGG A G''=''．又PBC GBC S PP S GG '='△△，有PBC GBC S A P S A G '='△△．同理PCA GCA S B P S B G '='△△，PAB GAB S C PS C G'='△△．因G 为重心，有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△．例2如图147-，设ABC △的重心为G ，AG ，BG ，CG 分别交对边于D ，E ，F ，交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =，CA b =，AB c =，这三边上的中线分别记为a m ，b m ，c m ，应用相交弦定理，有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===．同理224b B E b EB m '=，224c C F C FC m '=．则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式，可求出2a ，2b ，2c ，即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边，即证得结论成立．3．例3如图14-8，过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分，试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8A证明把三角形的每条边三等分，过每一分点作平行于其他两边的直线，这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分，观察这两部分面积之差，显然不超过BEF △的面积，即ABC △面积的19．例4如图14-9，已知P 为ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P ，Q ，O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，AO OC =，PN NC =，则Q '为其重心，且2PQ OQ ''=．在PDB △中，DO BO =，BM M P =，则Q ''为其重心，且2PQ OQ ''''=．这样，Q Q '''≡，并且Q '，Q ''就是AN ，DM 的交点Q ．故P ，Q ，O 在一条直线上，且2PQ OQ =．例5如图14-10，已知CA AB BD ==，AB 为O 的直径，CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠．证明连PO 并延长交O 于E ，则PE PC ⊥．连EC ，ED ，并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中，CO 为PE 边上的中线，且2CA AO =，即知A 为CPE △的重心，则PF 为CE 边上的中线，从而CF PF =，FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分，则CPDE 为平行四边形，即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠．例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对顶点作切线，得到的六个切点共圆．证明如图14-11，设ABC △的三边分别为a ，b ，c ，O 是以BC a =为直径的圆，AT 切O 于T 点．连AO ，在AO 上取点G 使2AG GO =，则G 为ABC △的重心．连OT ，GT ，图14-11ABC由AO =，2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=，12OT a =，13OG OA =，有()2222118TG a b c =++为定值．同理，其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++，由此即证．例7如图14-12，AD ，BE ，CF 是ABC △的三条中线，P 是任意一点．证明：在PAD △，PBE △，PCF △中，其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心，直线PG 与AB ，BC 相交，从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '，易证2AA DD ''=，2CC FF ''=，2EE AA CC '''+=，从而EE DD FF '''=+，故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先，证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当x y z a b c =∶∶∶∶时，222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△．事实上，由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥，当且仅当xy z a b c =∶∶∶∶时取等号，由此即证．如图14-13，设G 为DEF △的重心，则由中线长公式或重心性质3（2），图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦．三式相加，得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为0D ，0E ，0F ，则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥．下证等号能够取到，设G 为ABC △内一点，G 到BC ，CA ，AB 的距离依次为x ，y ，z ，且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线，垂足为0D ，0E ，0F ，由0D ，C ，0E ，G 共圆，知00180D GE C ∠+∠=︒，于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△．同理，00GE F ABC S yz S bc =△△，00GF D ABC S zx S ca=△△．因x y z a b c =∶∶∶∶，则x y y z z xa b b c c a==，故000000G D E G E F G F D S S S==△△△，由重心性质4（1），知G 为000D E F △的重心．由此可见，对ABC △的内接000D E F △而言，222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△．因此，所求最小值为222212ABCS a b c ++△．例9如图14-14，设G 为ABC △的重心，AG ，BG ，CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''；（2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥；（3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤．证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ，则D 为BC 的中点．由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△，13ABC GAB S BG GB S '='△△，13ABC GAC SCG GC S '='△△，及AGB BGA ''△∽△， AGC CGA ''△∽△，有22GAB GBA S AG S BG ''=△△，22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△，从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC'△∽△，得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△，所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△，所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△．中线长公式或重心性质3（2），有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心，由莱布尼兹公式，则()2222219OG R a b c =-++（其中R ，a ，b ，c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）．注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++，于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++．（2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2），知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥，由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤，或由（1）也可推得结论成立．2．证明线共点的一条途径例10如图14-15，设O 是ABC △的内切圆，BC ，CA ，AB 上的切点各是D ，E ，F ．射线DO 交EF 于A '，同样可得B '，C '．试证：直线AA '，BB '，CC '共点．图14-15证明连A B '，A C '．易知B ，D ，O ，F 及C ，D ，O ，E 分别共圆，得A OF B '∠=∠，A OE C '∠=∠．在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理，有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠，有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅．又AFE AEF ∠=∠，故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边，即AA '必过ABC △的重心，同样可证BB '，CC '，也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性，知AA '，BB '，CC '三直线共点于ABC △的重心．【模拟实战】习题A1．如图14-16，点O 在锐角ABC △内，过O 作EF BC ∥，PQ CA ∥，HG AB ∥，若E F P Q H GB C C A A B ==，试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17，M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心，AB AC =，D 是AB 的中点，G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心，且3AM =，4BM =，5CM =，求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点，点E ，F 分别是ABD △和ACD △的重心，连接EF 交AD 于点G ，则DGGA的值是多少？（1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △，作这样的直线与三角形相交，使得由A 点到直线的距离等于由B ，C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似，其逆亦真．2．在ABC △中，G 为重心，I 为内心，试证：AGI △，BGI △，CGI △中，最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中，O ，G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥，求证：tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．。

三角形重心知识点总结

三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。

一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。

而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。

三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。

重心通常用字母G 表示。

二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。

2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。

也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。

3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。

4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。

三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。

这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。

2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。

3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。

4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。

5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。

四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。

解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。

然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。

因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。

我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。

三角形重心的知识点

三角形重心的知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形重心这个超有趣的知识点呀！你知道吗，三角形的重心就像是这个三角形的“心脏”一样重要呢！比如说一个三角形的架子，要是重心找得不准，那可就摇摇晃晃不稳定啦！
重心是三角形三条中线的交点哦！想想看，就好像是三条线在争夺一个“宝贝”的位置，最后这个“宝贝”落定的地方就是重心啦！咱画个三角形试试，然后找出那三条中线，哇塞，它们相交的那个点就是重心呀。

好像在一个神秘的游戏中找到了关键线索一样呢！
嘿，你再想想，如果在三角形上放一些东西，那重心可就决定了这个三角形会不会平衡呢！比如把一些积木摆成三角形，要让它稳稳当当的，就得找到重心的位置。

这就跟我们走路要保持平衡一样重要呀，要是重心歪了，那不就得摔跤啦！
真的，三角形重心可是有大用处的呢！不管是在建筑设计中还是在日常生活里，都离不开它。

所以呀，一定要好好了解它哦！我的观点就是，三角形重心真的超级有意思又非常实用，一定要重视起来哟！。

三角形重心相关知识

三角形重心相关知识
嘿，朋友！今天咱来聊聊三角形重心这个超有意思的知识！你看那三角形，平平常常的一个图形，可它里面藏着的重心可有着大奥秘呢！
比如说咱家里用的三脚架吧，它为啥那么稳当呢？这可就和三角形重心有关系啦！想象一下，如果三角形没有重心，那三脚架不就摇摇晃晃，啥都撑不住啦！
三角形重心啊，就像是三角形的“秘密核心”。

咱可以把三角形比作一个小团队，那重心就是这个团队的主心骨。

老师不是经常告诉我们要团结吗，这三角形要是没了重心，那可不是一盘散沙嘛！
咱再拿一个好玩的例子来说，你有没有玩过平衡板？那上面的形状很多就是三角形的呀。

为啥它能在你的脚下稳稳的，而不是一下子就歪倒呢？嘿嘿，就是因为重心在那起着关键作用呢！你说神奇不神奇！
在生活中过河的时候，我们要稳稳地踩在石头上，这时候三角形重心的原理也在起作用啊。

如果石头的形状分布不合理，重心偏了，那我们不就容易掉进水里啦！哎呀呀，多吓人呐！
三角形重心的位置也很有讲究呢。

它可不是随便在三角形里的某个地方哦，而是有特定的计算方法。

就好像我们找宝藏，得有地图和线索才行呢！
总之啊，三角形重心真的好有趣，它在我们生活中无处不在呢。

咱可得好好了解了解它，不然错过了这么有意思的知识多亏呀！所以啊，三角形重心真的非常重要，我们要重视它呀！。

三角形重心性质与杠杆原理

三角形重心性质与杠杆原理
三角形重心性质与杠杆原理
作者：学夫子
基本上来说，题目可以大致说明今天的内容，那就是说说三角形的重心性质与物理学里的“杠杆原理”之间的联系。

用数学研究物理学已经是众所周知，但是用物理学研究数学问题却不多见，这是一个很好的例子，算是作为一个开头，到后面我将逐步写一些用物理学原理研究数学问题的实例，一定能给我们不一样的感觉，这会让你感觉数学并非死板的公式，很多还是物理定律的反映。

首先我们必须知道今天的两个主角——重心性质和杠杆原理。

杠杆原理：
质点组的重心在两质点的连线上，且到两质点的距离与这两点的质量成反比。

用图形话的语言来说就是：
如图所示,两个质点G和H的质量为G和H,其平衡点为O,G 到O点的距离为m,H到O点的距离为n,则必有Gm=Hn
重心性质：
三角形ABC的平衡点是三条中线的交点，且中点分每一天中线成2比1的比例：
现在我们就要用杠杆原理来证明重心性质。

我们在A、B、C 三点放置质量为单位1的质点，因为A和B的中点为E，所以A和B的质量就等于聚集到了E点，说明A、B、C三点的。

三角形重心性质定理.

三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的重要方法之一。

6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。

三角形重心的定理

三角形重心的定理1. 哎呀，说起三角形的重心，那可真是个有趣的话题！就像每个人都有自己的平衡点一样，三角形也有它自己的"中心"，这个点可神奇啦！2. 你想啊，三角形的重心就像是三个小朋友在跷跷板上找平衡点。

这个点的位置可有意思了，它就在三角形三条中线的交点上。

中线是啥？就是从顶点到对边中点的那条线啦！3. 说到这个重心的特点，那可真是绝了！它把每条中线都分成特定的比例，就像是个小裁缝一样，永远都是按照二比一来分割。

从顶点算起，重心把中线分成三分之二和三分之一，这比例稳定得就跟我妈包的饺子一样准！4. 你们猜怎么着？这个重心还有个超级厉害的外号，叫"三角形的平衡点"！要是把一个三角形用硬纸板剪出来，用铅笔尖顶在重心位置，它就能完美平衡，就像杂技演员顶着高高的竿子一样稳！5. 更神奇的是，不管你这个三角形是胖是瘦，是等边还是不等边，这个重心的性质都不会变。

就像是不管你穿什么衣服，你还是你一样！6. 要找重心也特别简单，画两条中线就够啦！它们的交点就是重心。

要是你特别较真，非要画三条中线，也没问题，反正它们肯定在同一个点相交，就像三个好朋友约好在同一个地方见面一样准时！7. 这个重心还有个特别有意思的性质，它到三角形三个顶点的距离的平方和，是最小的。

这就像是找聚会地点，选在重心的位置，大家走的路加起来最短！8. 要是把三角形看成一个薄片，重心就是它的平衡点。

你可以想象，要是用一根针顶着重心，这个三角形就能水平放着不掉下来，简直就像变魔术一样神奇！9. 在物理上，重心还有个超酷的性质：三角形绕着任何一条通过重心的轴旋转时，转动惯量都是最小的。

这就像是花样滑冰选手，把手臂收紧时转得最快一样！10. 有趣的是，三角形的重心还把三角形的面积分成六个相等的小三角形。

这就像是把一个大蛋糕精确地切成六份一样，每一份都一模一样大！11. 在工程设计中，重心的概念可重要啦！比如设计三角形的支架或者建筑构件时，都得考虑重心的位置。