高中数学：弧度制-课件
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第5_1_2弧度制优质教学课件PPT
扇形的弧长 扇形的面积
l= nπR
180
S= nπR2
360
l=⑨ αR
1
S= 1lR=⑩ 2αR2
2
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.1 rad的角和1°的角相等. ( ✕ )
π
2.405°可以转化为360°+ 4 . ( ✕ )
提示:角度与弧度不可同时使用,405°可化为2π+
度 0° 1° 30° 45° 60° 90°
120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
π
π
⑦
π
180 6
3
π
4
π
⑧
3π
5π π
2
4
6
2π
3
3π 2π
2
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角为n°(α为其圆心角的弧度数),则
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 必修第一册 人教A版
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
5.1.2 弧度制
通过教材中的探究,明确角度制与弧度制的关系,掌握角度与弧度的互化公式 及弧度制下的弧长公式及扇形面积公式,体会数学抽象的过程,加强问题探究与数 学运算素养的培养.学习本节要注意以下问题: 1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2.掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式.
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
近年来,
随着我市经济的快速发展,政府对民生越来越关注.市区现有一块近似正三角形的 土地ABC(如图所示),其边长为2百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶
苏教版高中数学必修第一册7.1.2弧度制【授课课件】
类型 3 扇形的弧长及面积问题 【例 3】 已知扇形的周长为 8 cm． (1)若该扇形的圆心角为 2 rad，求该扇形的面积；
[解] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，扇形面积为 S． 由题意得：2r＋l＝8，l＝2r， 解得 r＝2，l＝4，S＝12lr＝4．
7.1.2 弧度制
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
7.1.2 弧度制
知识点3
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数 l
的绝对值是|α|＝ r ，弧长l＝ |α|r ．特别地，当r＝1时，弧长l＝—
π rad＝_1_8_0_°__
1°＝1π80rad≈0.017 45 rad
1 rad＝
118800 ππ
度≈57.30°
7.1.2 弧度制
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0° 1° 30° 45° 60°
(3)引入弧度制的意义 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间 建立起一一对应关系，即角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应 关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对 应唯一的一个角．
7.1.2 弧度制
1
2
3
人教版人教(版)高中数学弧度制.(共21张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
注: 常规写法
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
高中数学弧度制微课PPT课件
弧度制
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.象限角、终边相同的角。
3.轴线角
思考：把用度做单位来度量角的制度叫做 ___________
课前练习
1、下列命题正确的是
（C）
A、终边相同的角一定相等
B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角
D、小于90°的角都是锐角
180
57.30
5718'
角和实数之间的关系
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
例1 按照下列要求，把 6730' 化成弧度
（1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
把下列表中的角化成弧度
00
300 450 600 1200 1350 1500 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300
S
1
2
R2
(3) S 1 lR 2
小结：
弧度制
角度制
度量单位
弧度
角度
单位规定
等于半径的长的
圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的 角
1 周角的 360 为1度的角
换算关系
π =180°
1rad=
180
57.30
57°18′，
1°=
rad=0.01745 rad
180
2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，
则A∩B=（ D ）
A、｛锐角｝
B、｛小于90°的角｝
C、｛第一象限角｝D、以上都不对
3、已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（B） A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.象限角、终边相同的角。
3.轴线角
思考：把用度做单位来度量角的制度叫做 ___________
课前练习
1、下列命题正确的是
（C）
A、终边相同的角一定相等
B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角
D、小于90°的角都是锐角
180
57.30
5718'
角和实数之间的关系
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
例1 按照下列要求，把 6730' 化成弧度
（1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
把下列表中的角化成弧度
00
300 450 600 1200 1350 1500 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300
S
1
2
R2
(3) S 1 lR 2
小结：
弧度制
角度制
度量单位
弧度
角度
单位规定
等于半径的长的
圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的 角
1 周角的 360 为1度的角
换算关系
π =180°
1rad=
180
57.30
57°18′，
1°=
rad=0.01745 rad
180
2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，
则A∩B=（ D ）
A、｛锐角｝
B、｛小于90°的角｝
C、｛第一象限角｝D、以上都不对
3、已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（B） A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
高中数学必修一(人教版)《5.1.2 弧度制》课件
≤ 2
2α00·α4＋4＝25，当且仅当 α＝α4，即 α＝2 时取等号，此时 r＝22＋02＝5.
故当半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，其最大值为 25 cm2.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在平面直角坐标系中，集合 S＝αα＝2k3π，k∈Z
的元素所表示的角的终
2.弧度数：
[微思考] 比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半 径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
用度作为单位来度 单位“°”不能 角的正负与
角度制
量角的单位制 省略
方向有关
六十进制
用弧度作为单位来 单位“rad”可以 角的正负与
【对点练清】
1．终边落在坐标轴上的角的集合是
A．{α|α＝2kπ，k∈Z }
B．αα＝12kπ，k∈Z
()
C．αα＝kπ＋π2，k∈Z
D．αα＝12kπ，k∈N
解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z }，化成
弧度为αα＝12kπ，k∈Z
.
答案：B
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)， 并判断2 012°是不是这个集合的元素． 解：因为 150°＝56π， 所以终边在阴影区域内角的集合为
() B．－130π 化成度是－600° D．1π2化成度是 15°
解析：对于 A,60°＝60×1π80＝π3；对于 B，－103π＝－130×180°＝－600°；对于 C， －150°＝－150×1π80＝－56π；对于 D，1π2＝112×180°＝15°.故 C 项错误． 答案：C
高中数学必修一课件：弧度制
探究2 解决这一类问题的关键是角度制与弧度制的互化关系，π弧度＝
π 这个角的弧度数
π
180°，再由公式 180° ＝ 这个角的度数 得：度数× 180 ＝弧度数，弧度数
×1π80°＝度数．
思考题2 (1)在下列表格中填上相应的角度或弧度数．
角度 0° 弧度
45° 60°
90° 135° 150° 180°
例4 (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角的弧度 数；
(2)已知一扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm，求扇形的面积； (3)已知一扇形的周长为16 cm，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形 的面积最大？最大面积是多少？
【解析】 (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r
探究1 (1)不论是以“弧度”还是“度”为单位，角的大小都是一个与半径 大小无关的定值．
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写为2. (3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同 的．
思考题1 下列命题中，假命题是( D )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad的角是周角的21π C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
A.sin1 1
B.sin1 2
2 C.sin 1
2 D.sin 2
解析 过圆心作弦的垂线，则所在圆的半径为r＝sin1 1，故弧长为2×sin1 1＝
2 sin
1.
4．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式可以是( D )
高中数学《弧度制》精品PPT课件
则M，N之间的关系是__________
例6 课本P9 例3
例7一个扇形的面积为4cm2 , 周长为8cm，求扇形的圆心角及相应的弦长。
例8.已知一个扇形的周长为c,当它的圆心角取什么值时, 其面积最大?最大值是多少?
练习:课本p9 3,4,5,6
小结: 作业:见作业本
1.1.2 弧度制
一.复习ห้องสมุดไป่ตู้1.任意角的概念.
我们规定, 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角. 2.象限角的概念. 在直角坐标系内讨论角, 使角的顶点与原点重合, 角的始边 与x轴的非负半轴重合, 那么角的终边在第几象限, 就说这个角 是第几象限. 非象限角的概念.
例4 写出与下列角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角.
（1）-
53 3
（2）-21
例5 （1）第三象限角的集合是__________, =-4是第几象限角？
(2)终边落在如图的阴影部分（含边界）的角的集合是________
(3)设集合M= =（2k+1) , k Z, N = =（4k 1) , k Z
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
S k 360 ,k Z ,
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
1. 角度制:1度的角等于周角的 1 .这种用 度为单位来度量的单位制叫做角度36制0 .
弧度制: 把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度.这种用弧度为单位来度 量的单位制叫做弧度制. 2. 正角的弧度是一个正数,负角的弧度是 一个负数, 零角的弧度是0. 如果半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为L, 那么, 角的 弧度数的绝对值是
例6 课本P9 例3
例7一个扇形的面积为4cm2 , 周长为8cm，求扇形的圆心角及相应的弦长。
例8.已知一个扇形的周长为c,当它的圆心角取什么值时, 其面积最大?最大值是多少?
练习:课本p9 3,4,5,6
小结: 作业:见作业本
1.1.2 弧度制
一.复习ห้องสมุดไป่ตู้1.任意角的概念.
我们规定, 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角. 2.象限角的概念. 在直角坐标系内讨论角, 使角的顶点与原点重合, 角的始边 与x轴的非负半轴重合, 那么角的终边在第几象限, 就说这个角 是第几象限. 非象限角的概念.
例4 写出与下列角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角.
（1）-
53 3
（2）-21
例5 （1）第三象限角的集合是__________, =-4是第几象限角？
(2)终边落在如图的阴影部分（含边界）的角的集合是________
(3)设集合M= =（2k+1) , k Z, N = =（4k 1) , k Z
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
S k 360 ,k Z ,
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
1. 角度制:1度的角等于周角的 1 .这种用 度为单位来度量的单位制叫做角度36制0 .
弧度制: 把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度.这种用弧度为单位来度 量的单位制叫做弧度制. 2. 正角的弧度是一个正数,负角的弧度是 一个负数, 零角的弧度是0. 如果半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为L, 那么, 角的 弧度数的绝对值是
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
当堂检测(限时5分钟，满分10分）
2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
高中数学(新人教A版)必修第一册：弧度制【精品课件】
【解析】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所 【答 以案 －】1 485－°1可0π以＋表74示π为－10π＋74π.
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
课件1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
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—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
解: 设扇形的圆心角的弧度数为 (0 2 ) , 弧长为l,
半径为R,
l 2R =10 ①
根据题意: 1 lR = 4
②
2
由①得 l =10 2R ,
代入②得 R2 5R 4 = 0
解得 R1=1,R2=4
当R=1时,l=8cm时, = l = 8 2 舍去
• 作业 • 课本第10页
第7、8、 9、10题
1、在0°～360°范围内，找出与－600° 角终边相同的角，并判定它是第几象限角
－600°=120°－360°X 2 第二象限角. 2、写出与－600°角终边相同的角的集合
S，并把集合S中适合不等式-720°≤ β
＜720°的元素β写出来.
角度制
在平面几何中研究角的度量，当
时是用度做单位来度量角，1 的角是
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360
弧度 6
4
3
2
3
2
2
弧度
0
12
6
4
3
度
0 15 30 45 60
弧度
5
3
3
5
12 2
4
2
3
度
75 90 135 270 300
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
该记住（见课本P8表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，
无论用角度制还是弧度制都能在角的集合
与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
[例2]把下列 各角化为度：
(1) 5 rad
6
(2)2rad (精确到0.1）
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧长公式
1、角度制下的弧长公式
n r l=
180
角度制下的扇形面积公式
n r2
S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
注意几点： 1．度数与弧正度角数的换算也可正 借实助数 “计算 器” 《2．中今学后数在学具用零体角 表运》算进时行，“弧0度”二字和
单位
负角
负实数
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
3s．in一表些示特任意 殊ra角d角的角集 的的合度正数弦与弧度实数数集的R 对应值应
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
[例3]
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ
的形式：
16
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11
7
．
已知扇形OAB的中心角为4，其面积 2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为 2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c____
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__4的_0_圆__中__，__圆心角为周角的
如何定义的？
1°的角
O
在角度制下，当把两个带着度、分、 秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率 非十进制，总给我们带来不少困难．那么我 们能否重新选择角单位，使在该单位制下两 角的加、减运算与常规的十进制加减法一样 去做呢？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
(2)角的弧度数的绝对值
= l (l为弧长r为半径)
r
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0） (5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad
180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
2 3
的角
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个 圆心角所在扇形的面积为_4__c_m_2____
练习7：当扇形的中心角为600，半径为10cm， 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积
600=π/3
L=10π/3
S = 50( 3 )cm2
32
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角 为多大时，它有最大面积，最大面积是多少?
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
解: 设扇形的圆心角的弧度数为 (0 2 ) , 弧长为l,
半径为R,
l 2R =10 ①
根据题意: 1 lR = 4
②
2
由①得 l =10 2R ,
代入②得 R2 5R 4 = 0
解得 R1=1,R2=4
当R=1时,l=8cm时, = l = 8 2 舍去
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第7、8、 9、10题
1、在0°～360°范围内，找出与－600° 角终边相同的角，并判定它是第几象限角
－600°=120°－360°X 2 第二象限角. 2、写出与－600°角终边相同的角的集合
S，并把集合S中适合不等式-720°≤ β
＜720°的元素β写出来.
角度制
在平面几何中研究角的度量，当
时是用度做单位来度量角，1 的角是
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360
弧度 6
4
3
2
3
2
2
弧度
0
12
6
4
3
度
0 15 30 45 60
弧度
5
3
3
5
12 2
4
2
3
度
75 90 135 270 300
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
该记住（见课本P8表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，
无论用角度制还是弧度制都能在角的集合
与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
[例2]把下列 各角化为度：
(1) 5 rad
6
(2)2rad (精确到0.1）
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧长公式
1、角度制下的弧长公式
n r l=
180
角度制下的扇形面积公式
n r2
S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
注意几点： 1．度数与弧正度角数的换算也可正 借实助数 “计算 器” 《2．中今学后数在学具用零体角 表运》算进时行，“弧0度”二字和
单位
负角
负实数
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
3s．in一表些示特任意 殊ra角d角的角集 的的合度正数弦与弧度实数数集的R 对应值应
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
[例3]
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ
的形式：
16
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11
7
．
已知扇形OAB的中心角为4，其面积 2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为 2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c____
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__4的_0_圆__中__，__圆心角为周角的
如何定义的？
1°的角
O
在角度制下，当把两个带着度、分、 秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率 非十进制，总给我们带来不少困难．那么我 们能否重新选择角单位，使在该单位制下两 角的加、减运算与常规的十进制加减法一样 去做呢？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
(2)角的弧度数的绝对值
= l (l为弧长r为半径)
r
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0） (5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad
180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
2 3
的角
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个 圆心角所在扇形的面积为_4__c_m_2____
练习7：当扇形的中心角为600，半径为10cm， 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积
600=π/3
L=10π/3
S = 50( 3 )cm2
32
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角 为多大时，它有最大面积，最大面积是多少?