0-1背包问题动态规划详解及代码

0/1 背包问题动态规划详解及 C 代码动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。

比如01 背包问题。

/* 一个旅行者有一个最多能用M 公斤的背包，现在有N 件物品，

它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,

它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.

若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。

输入格式：

M,N

W1,P1

W2,P2

输出格式：

X*/

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M —个的试。比如，开始任选N 件物品的一个。看对应M 的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1 物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。

测试数据：

10,3

3,4

4,5

5,6

c[i][j] 数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3 则里面放

4. ...................................................... "这样,这一排背包容量为4,5,6, 10 的时候，最佳方案都是放

4."假如1 号物品放入背包.则再看2 号物品.当背包容量为3 的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c 为

4." 而背包容量为5 的时候，则最佳方案为自己的重量

5. "背包容量为7 的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3 的时候.上一排c3的最佳方案是

4."所以。总的最佳方案是5+4为

9."这样.一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7 的时候,最佳方案不是本身的

6. "而是上一排的

9."说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得

9.")

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n, m)二max{f( n-1,m), f(n-1,m-w[ n] )+P( n,m)}这就是书本上写的动态规划方程. 这回清楚了吗?

下面是实际程序(在VC

6."0环境下通过) :

#include

int c[10][100];/* 对应每种情况的最大价值*/

int knapsack(int m,int n){int i,j,w[10],p[10];

printf(" 请输入每个物品的重量,价值：

\n");

for(i=1;i<=n;i++)

scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);

for(i=0;i<10;i++)

for(j=0;j<100;j++)

c[i][j]=0;/* 初始化数组*/

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=m;j++){if(w[i]<=j) /* 如果当前物品的容量小于背包容量*/{if(p[i]+c[i- 1][j-w[i]]>c[i-1][j])

/* 如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/

/* 大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/

c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];

else

c[i][j]=c[i-1][j];}else c[i][j]=c[i-1][j];}return(c[n][m]);}int main(){int m,n;int i,j;

printf(" 请输入背包的承重量,物品的总个数：

\n");

scanf("%d,%d",&m,&n);

printf(" 旅行者背包能装的最大总价值为%d",knapsack(m,n));

printf("\n");

return 0;}